初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.3 勾股定理的应用
一、单选题
1．（2019八下·北京期中）在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB +BC +AC =（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据勾股定理得 ，所以 ，故答案为：A。
【分析】由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，所以AB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2，把AB的值代入计算即可求解。
2．（2019八下·温州期末）如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°，AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为（ ）
A．(2 +2)m B．(4 +2)m C．(5 +2)m D．7m
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2， 4BD2+BD2=100， BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2 .
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求。
3．（2019·宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书 《周髀算经》 中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：较小两个直角三角形的面积之和=较大正方形的面积，所以将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积。
故答案为：C
【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，从而即可得出答案。
4．代数式 的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．11
【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
设P点坐标为P（x，0），
原式可化为 + ，
即 ＝AP， ＝BP，
AB＝ ＝13．
代数式 的最小值为13．
故答案为：B．
【分析】设P点坐标为P（x，0），根据两点间的距离公式，原式可化为 + ，即 ＝AP， ＝BP，只有当A、B、P三点在同一直线上的时候，AB=AP+BP最小，根据勾股定理算出AB的长从而得出答案。
5．（2019·广西模拟）甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40 m／min，甲客轮15min到达点A，乙客轮用20 min到达B点，若A，B两点的直线距离为1000 m.甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏东60° B．南偏西30° C．北偏西30° D．南偏西60°
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设始发港口为C，则 ， ， ， 则△ABC为直角三角形，AB为斜边，C为直角。北偏东30°和南偏东60°两个方向的夹角是直角。
故答案为：A
【分析】求出每边的长，用勾股定理验证看是否是直角三角形，因C为直角，则由角度关系可知航行方向。
6．（2019·荆州模拟）从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，在Rt△ABC中，
AC＝8，AB＝10，
所以BC＝ ＝6．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出示意图，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可算出答案。
7．（2019八下·大石桥期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60 m，AC＝20 m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．200 m B．40 m C．20 m D．50 m
【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】∵CB=60m，AC=20m，AC⊥AB，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理直接求出AB的长.
二、填空题
8．（2019·大庆）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a-b）2的值是 .
【答案】1
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意，可得出a2+b2=13，
四个三角形的面积=4×
2ab=12
所以（a-b）2=13-12=1
【分析】根据勾股定理和面积公式，利用完全平方公式可求解。
9．（2019七下·卫辉期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、 D，BD=BC，△BCD的周长为13，则BC和ED的长分别为 .
【答案】5，3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=8，
∴BD+CD=8，
∵△BCD的周长为13，
∴BC=13 8=5,
∵BD=BC，
∴BD=5，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=4，∠DEB=90°，
∴DE= =3.
【分析】由题意根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，结合题意由线段的构成可得BD＋CD＝8，再根据△BCD的周长为13可得BC＝13 8＝5，则BD＝5，在直角三角形BED中用勾股定理可得ED的长．
10．（2019·广西模拟）一个三角形的三边长分别是m2-1，2m，m2+1，则三角形中最大角是
【答案】90°
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】 m2+1显然大于m2-1，又m2+1-2m=(m-1)2≥0，故m2+1为最大边。
而(m2-1)2+(2m)2=4m4+2m2+1=(m2+1)2， 则此为直角三角形，故填90°。
【分析】先作差，求最大边，再把求较短的两边平方，看是否等于最大边的平方。
11．（2019·广西模拟）一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起云梯搭在火灾窗口(如图)，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，发生火灾的住户窗口A离地面有 米.
【答案】14
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理得
AF=AC+FC=12+2=14
【分析】把住户离地面的高度分割成两部分，在三角形中根据勾股定理求出AC加上梯底离地面的高度，则火灾窗口离地高度可求。
12．（2019八下·大连月考）如图，有一个长方体的盒子，它的长、宽、高分别是4m，3m和12m，则盒内可放的木棒最长为 m.
【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
长和宽组成的长方形的对角线B’D’= cm
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形.
棍子最长为BD= cm。
故答案为：13。
【分析】这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形，根据勾股定理即可算出答案。
13．（2019·阳信模拟）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处。若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 ．
【答案】(10,3）
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵点D的坐标为（10，8）
∴AD=OC=10，OA=CD=8
设CE为x，则DE=8-x
由折叠可知，AF=AD=10，EF=DE=8-x
在Rt△AOF中，OF==6 ∴CF=4
在Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2 即，42+x2=（8-x）2
解得 x=3 即CE=3
∴点E的坐标是（10,3）.
【分析】设CE=x，先根据点D的坐标求出矩形的各边长，然后利用折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE=8-x，再利用勾股定理求出OF的长，继而求出FC的长，最后在Rt△EFC中再次利用勾股定理列出方程，求得x的值即可求出点E的坐标。
三、解答题
14．（2019八下·保山期中）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？
【答案】解：竹竿长x米，则城门高（x-1）米，
根据题意得： ，
解得：x=5
答：竹竿长5米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意，城门宽和高与
竹竿长构成直角三角形，可设
竹竿 长为x，则
城门高（x-1）米， 由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解。
四、综合题
15．（2019·大庆）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港。
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向。
【答案】（1） 由题意知，∠DAB+∠EBA=180°，
∠ABC=90°
∵AB=CB=10，
∴AC=
蓑衣AC约等于14.1km
（2）∠FCA-∠DAC=60°-45°=15°
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理可得到AC两港之间距离和角度。
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.3 勾股定理的应用
一、单选题
1．（2019八下·北京期中）在直角三角形ABC中，斜边AB=1，则AB +BC +AC =（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
2．（2019八下·温州期末）如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°，AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为（ ）
A．(2 +2)m B．(4 +2)m C．(5 +2)m D．7m
3．（2019·宁波）勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书 《周髀算经》 中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（ ）
A．直角三角形的面积
B．最大正方形的面积
C．较小两个正方形重叠部分的面积
D．最大正方形与直角三角形的面积和
4．代数式 的最小值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．11
5．（2019·广西模拟）甲乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是40 m／min，甲客轮15min到达点A，乙客轮用20 min到达B点，若A，B两点的直线距离为1000 m.甲客轮沿北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是（ ）
A．南偏东60° B．南偏西30° C．北偏西30° D．南偏西60°
6．（2019·荆州模拟）从电线杆离地面8米处拉一根长为10m的缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有（ ）m．
A．2 B．4 C．6 D．8
7．（2019八下·大石桥期中）如图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得CB＝60 m，AC＝20 m，则A，B两点间的距离是（ ）
A．200 m B．40 m C．20 m D．50 m
二、填空题
8．（2019·大庆）我国古代数学家赵爽的“勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）。如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边长分别为a、b，那么（a-b）2的值是 .
9．（2019七下·卫辉期末）如图，在△ABC中，AB=AC=8，AB的垂直平分线DE分别交AB、AC于点E、 D，BD=BC，△BCD的周长为13，则BC和ED的长分别为 .
10．（2019·广西模拟）一个三角形的三边长分别是m2-1，2m，m2+1，则三角形中最大角是
11．（2019·广西模拟）一幢高层住宅楼发生火灾，消防车立即赶到，在距住宅楼9米的B处升起云梯搭在火灾窗口(如图)，已知云梯长15米，云梯底部距地面2米，发生火灾的住户窗口A离地面有 米.
12．（2019八下·大连月考）如图，有一个长方体的盒子，它的长、宽、高分别是4m，3m和12m，则盒内可放的木棒最长为 m.
13．（2019·阳信模拟）如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD沿直线AE折叠（点E在边DC上），折叠后顶点D恰好落在边OC上的点F处。若点D的坐标为（10，8），则点E的坐标为 ．
三、解答题
14．（2019八下·保山期中）小东拿着一根长竹竿进一个宽为3米的门，他先横着拿，进不去，又竖起来拿，结果竿比门高1米，当他把竿斜着时，两端刚好顶着门的对角，问：竹竿高多少米？
四、综合题
15．（2019·大庆）如图，一艘船由A港沿北偏东60°方向航行10km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行10km至C港。
（1）求A，C两港之间的距离（结果保留到0.1km，参考数据： ≈1.414， ≈1.732）；
（2）确定C港在A港的什么方向。
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据勾股定理得 ，所以 ，故答案为：A。
【分析】由勾股定理可得AC2+BC2=AB2，所以AB2+BC2+AC2=AB2+AB2=2AB2，把AB的值代入计算即可求解。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2， 4BD2+BD2=100， BD=2，则AD=2BD=4，
AE=AD+DE=4+2 .
故答案为：B
【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：根据勾股定理及正方形的面积计算方法可知：较小两个直角三角形的面积之和=较大正方形的面积，所以将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，所以知道了图2阴影部分的面积即可知道两小正方形重叠部分的面积。
故答案为：C
【分析】根据勾股定理及正方形面积的计算方法可知：将三个正方形按图2方式放置的时候，较小两正方形重叠部分的面积=阴影部分的面积，从而即可得出答案。
4．【答案】B
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图所示：
设P点坐标为P（x，0），
原式可化为 + ，
即 ＝AP， ＝BP，
AB＝ ＝13．
代数式 的最小值为13．
故答案为：B．
【分析】设P点坐标为P（x，0），根据两点间的距离公式，原式可化为 + ，即 ＝AP， ＝BP，只有当A、B、P三点在同一直线上的时候，AB=AP+BP最小，根据勾股定理算出AB的长从而得出答案。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】设始发港口为C，则 ， ， ， 则△ABC为直角三角形，AB为斜边，C为直角。北偏东30°和南偏东60°两个方向的夹角是直角。
故答案为：A
【分析】求出每边的长，用勾股定理验证看是否是直角三角形，因C为直角，则由角度关系可知航行方向。
6．【答案】C
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：由题意得，在Rt△ABC中，
AC＝8，AB＝10，
所以BC＝ ＝6．
故答案为：C．
【分析】根据题意画出示意图，在Rt△ABC中，根据勾股定理即可算出答案。
7．【答案】B
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】∵CB=60m，AC=20m，AC⊥AB，
∴ ，
故答案为：B.
【分析】根据勾股定理直接求出AB的长.
8．【答案】1
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】根据题意，可得出a2+b2=13，
四个三角形的面积=4×
2ab=12
所以（a-b）2=13-12=1
【分析】根据勾股定理和面积公式，利用完全平方公式可求解。
9．【答案】5，3
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理的应用
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD=BD，
∵AC=8，
∴BD+CD=8，
∵△BCD的周长为13，
∴BC=13 8=5,
∵BD=BC，
∴BD=5，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=4，∠DEB=90°，
∴DE= =3.
【分析】由题意根据线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，结合题意由线段的构成可得BD＋CD＝8，再根据△BCD的周长为13可得BC＝13 8＝5，则BD＝5，在直角三角形BED中用勾股定理可得ED的长．
10．【答案】90°
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】 m2+1显然大于m2-1，又m2+1-2m=(m-1)2≥0，故m2+1为最大边。
而(m2-1)2+(2m)2=4m4+2m2+1=(m2+1)2， 则此为直角三角形，故填90°。
【分析】先作差，求最大边，再把求较短的两边平方，看是否等于最大边的平方。
11．【答案】14
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】由勾股定理得
AF=AC+FC=12+2=14
【分析】把住户离地面的高度分割成两部分，在三角形中根据勾股定理求出AC加上梯底离地面的高度，则火灾窗口离地高度可求。
12．【答案】13
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：如图，
长和宽组成的长方形的对角线B’D’= cm
这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形.
棍子最长为BD= cm。
故答案为：13。
【分析】这根最长的棍子和矩形的高，以及长和宽组成的长方形的对角线组成了直角三角形，根据勾股定理即可算出答案。
13．【答案】(10,3）
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【解答】解：∵点D的坐标为（10，8）
∴AD=OC=10，OA=CD=8
设CE为x，则DE=8-x
由折叠可知，AF=AD=10，EF=DE=8-x
在Rt△AOF中，OF==6 ∴CF=4
在Rt△EFC中，CE2+CF2=EF2 即，42+x2=（8-x）2
解得 x=3 即CE=3
∴点E的坐标是（10,3）.
【分析】设CE=x，先根据点D的坐标求出矩形的各边长，然后利用折叠的性质得AF=AD=10，EF=DE=8-x，再利用勾股定理求出OF的长，继而求出FC的长，最后在Rt△EFC中再次利用勾股定理列出方程，求得x的值即可求出点E的坐标。
14．【答案】解：竹竿长x米，则城门高（x-1）米，
根据题意得： ，
解得：x=5
答：竹竿长5米
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】由题意，城门宽和高与
竹竿长构成直角三角形，可设
竹竿 长为x，则
城门高（x-1）米， 由勾股定理可得关于x的方程，解方程即可求解。
15．【答案】（1） 由题意知，∠DAB+∠EBA=180°，
∠ABC=90°
∵AB=CB=10，
∴AC=
蓑衣AC约等于14.1km
（2）∠FCA-∠DAC=60°-45°=15°
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】根据勾股定理可得到AC两港之间距离和角度。
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