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初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.2 画轴对称图形
一、基础巩固
1．（2019·温州模拟）如图，是一个三角板，则下列选项中可能是由该图经过一次轴对称变换后得到的是（ ）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
3．（2019·温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点B的坐标是（﹣5，2），先把△ABC向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，则点B对应点B2的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣2） B．（﹣2，﹣5）
C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
4．（2019·三门模拟）已知点A与B关于x轴对称，若点A坐标为(-3，1)，则点B的坐标为 .
5．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为 ．
6．如图所示，在图形中标出点A、B、C关于直线l的对称点D、E、F．若M为AB的中点，在图中标出它的对称点N．若AB=10，AB边上的高为4，则△DEF的面积为多少？
二、强化提升
7．（2019八下·兰州期中）点A(2,1)与点 (2,-1)关于______对称（ ）
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．都不对
8．（2019八上·黑龙江期末）在平面直角坐标系中，已知点A（-2，a）和点B（b，-3）关于y轴对称，则ab的值是（ ）
A．-1 B．1 C．6 D．-6
9．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．
10．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．
11．（2019八上·龙山期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）.
（1）△ABC的面积是 ．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形 ．
（3）写出点A1、B1、C1的坐标．
12．如图：
（1）①作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′．
②若△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O．试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角a的关系． 不用证明．
13．已知：如图1，过等腰直角三角形ABC的直角顶点A作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，CE，其中CE交直线AP于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAB＝16°，求∠ACF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明．
三、真题演练
14．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m=3，n=2
B．m=-3，n=2
C．m=3，n=2 B.m=-2，n=3
15．（2019·临沂）在平面直角坐标系中，点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
16．（2019·泸州）在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则 的值是 ．
17．（2019·北部湾）如图.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，-1)，B(1，-2)， C(3.-3).
①将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1.请画出△A1B1C1；
②请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
③请写出A1、A2的坐标.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】 解：依题可得：答案为D.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称；由此即可得出答案.
2．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（1，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为：B．
【分析】关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。
3．【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图所示：点 对应点 的坐标是 .
故答案为：D.
【分析】首先根据点的坐标的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，得出B点的对应点B1点的坐标，再根据关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得出B2点的坐标。
4．【答案】(-3，-l)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 已知点A与B关于x轴对称，若点A坐标为(-3，1)
∴点B的坐标为： (-3，-1)
故答案为： (-3，-1）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可得到点B的坐标。
5．【答案】书
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，
这个单词所指的物品是书．
故答案为：书．
【分析】根据轴对称图形的性质画出图形，即可得出答案.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
6．【答案】解：如图所示，
∵AB=10，
∴DE=AB=10，
∴S△DEF= ×10×4=20．
答：△DEF的面积是20．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】根据轴对称的性质画出图形，由轴对称的性质可求出DE的长，再由三角形的面积公式进而可得出结论.
7．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】本题主要考查坐标的对称问题，较为简单，但必须熟练掌握.
【分析】根据点A和点A'的坐标横坐标不变纵坐标相反可得关于X轴对称.
8．【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】由点A（-2，a）和点B（b，-3）关于y轴对称可知：a=-3，b=2，故ab=-6。
故答案为：D。
【分析】点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。
9．【答案】4
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图：补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．
．
故答案为：4．
【分析】根据轴对称与对称轴的定义，再观察此图着重画图中那一个小正方形的轴对称图形.如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．
10．【答案】5
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形如图：
共5个．
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得.熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴.
11．【答案】（1）7.5
（2）
（3）解：A1 (1，5)，B1（1，0)，C1(4，3)
【知识点】轴对称图形；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（1）S△ABC= ×3×5=7.5
【分析】（1）根据三角形面积的计算公式，在网格中进行计算即可。
（2）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，做出三个点关于y轴的对称点即可，连成图形即可。
（3）根据（2）的结论，写出三个点关于y轴对称的点即可。
12．【答案】（1）解：所画图形如下所示：
（2）解：连接B′O．
∵△ABC和△A'B'C'关于MN对称，
∴∠BOM=∠B'OM．
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于EF对称，
∴∠B′OE=∠B″OE．
∴∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE=2（∠B′OM+∠B′OE）=2α
即∠BOB″=2α．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质找出△ABC各顶点关于直线MN对称的各对应点，然后顺次连接即可；
（2）连接AA′，作AA′的垂直平分线即可求出直线EF；
（3）根据对称找到相等的角得∠BOM=∠B'OM．∠B′OE=∠B″OE ，则∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE可得.
13．【答案】（1）解：补全图形，如图所示．
（2）解：如图，连接AE，
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴对称轴AP是EB的垂直平分线．
∴AE＝AB，∠EAP＝∠BAP＝16°，
∵等腰直角三角形ABC，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACF
∴2∠ACF+32°+90°＝180°，
∴∠ACF＝29°
（3）解：AB，FE，FC满足的数量关系：FE2+FC2＝2AB2，
理由如下：连接AE，BF，设BF交AC于点G，
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴对称轴AP是EB的垂直平分线，
∴AE＝AB，FE＝FB，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△ABF（SSS），
∴∠FEA＝∠FBA，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴∠ACE＝∠ABF，
又∵∠CGF＝∠AGB，
∴∠CFB＝∠BAC＝90°，
∴FB2+FC2＝BC2．
∵BC2＝2AB2，
∴FE2+FC2＝2AB2
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的作图，先作出点B关于直线AP的对称点为E，再连接BE，CE即可。
（2）连接AE，利用轴对称的性质可知AE＝AB，∠EAP＝∠BAP＝16°，再根据等腰直角三角形的性质，可证得AE＝AC，根据等边对等角可得到∠AEC=∠ACF，然后求出∠ACF的度数，
（3）连接AE，BF，设BF交AC于点G，利用轴对称的性质易证AP垂直平分BE，可得到AE＝AB，FE＝FB，利用SSS证明△AEF≌△ABF，利用全等三角形的性质可证得∠FEA＝∠FBA，利用等腰三角形的性质，去证明∠ACE＝∠ABF，然后证明∠CFB=90°，然后利用勾股定理可证得结论。
14．【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（m，2）与B（3，n）关于y轴对称，
∴m=-3，n=2.
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可得出答案.
15．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】
∵点 ，
∴点 到直线 的距离为 ，∴点 关于直线 的对称点 到直线 的距离为3，
∴点 的横坐标为 ，
∴对称点 的坐标为 .
故答案为： ．
【分析】根据对称两点到对称直线的距离相等，可解出P点对称点的坐标。
16．【答案】4
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 点 与点 关于 轴对称，
， ，
则a+b的值是： ,
故答案为： ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征:横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值即可.
17．【答案】解：如图，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求，
A1(2，3)：A2(-2，-1)
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称；用坐标表示平移
【解析】【分析】①利用平移的性质，将△ABC向上平移4个单位长度，就可画出△A1B1C1； ②根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，就可得到各个对称点的坐标，然后画出△A2B2C2；③分别写出A1、A2的坐标。
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初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.2 画轴对称图形
一、基础巩固
1．（2019·温州模拟）如图，是一个三角板，则下列选项中可能是由该图经过一次轴对称变换后得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】 解：依题可得：答案为D.
故答案为：D.
【分析】轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形完全重合，称这两个图形为轴对称；由此即可得出答案.
2．在平面直角坐标系中．点P（1，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（ ）
A．（1，2） B．（﹣1，﹣2）
C．（﹣1，2） D．（﹣2，1）
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点P（1，﹣2）关于y轴的对称点的坐标是（﹣1，﹣2），
故答案为：B．
【分析】关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；关于x轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数。
3．（2019·温州模拟）如图，在平面直角坐标系中，△ABC位于第二象限，点B的坐标是（﹣5，2），先把△ABC向下平移4个单位长度得到△A1B1C1，再作与△A1B1C1关于y轴对称的△A2B2C2，则点B对应点B2的坐标是（ ）
A．（﹣5，﹣2） B．（﹣2，﹣5）
C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
【答案】D
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：如图所示：点 对应点 的坐标是 .
故答案为：D.
【分析】首先根据点的坐标的平移规律“横坐标左减右加，纵坐标上加下减”，得出B点的对应点B1点的坐标，再根据关于y轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数即可得出B2点的坐标。
4．（2019·三门模拟）已知点A与B关于x轴对称，若点A坐标为(-3，1)，则点B的坐标为 .
【答案】(-3，-l)
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解： 已知点A与B关于x轴对称，若点A坐标为(-3，1)
∴点B的坐标为： (-3，-1)
故答案为： (-3，-1）
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数，就可得到点B的坐标。
5．如图，某英语单词由四个字母组成，且四个字母都关于直线l对称，则这个英语单词的汉语意思为 ．
【答案】书
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：如图，
这个单词所指的物品是书．
故答案为：书．
【分析】根据轴对称图形的性质画出图形，即可得出答案.如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形.
6．如图所示，在图形中标出点A、B、C关于直线l的对称点D、E、F．若M为AB的中点，在图中标出它的对称点N．若AB=10，AB边上的高为4，则△DEF的面积为多少？
【答案】解：如图所示，
∵AB=10，
∴DE=AB=10，
∴S△DEF= ×10×4=20．
答：△DEF的面积是20．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】根据轴对称的性质画出图形，由轴对称的性质可求出DE的长，再由三角形的面积公式进而可得出结论.
二、强化提升
7．（2019八下·兰州期中）点A(2,1)与点 (2,-1)关于______对称（ ）
A．x轴 B．y轴 C．原点 D．都不对
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】本题主要考查坐标的对称问题，较为简单，但必须熟练掌握.
【分析】根据点A和点A'的坐标横坐标不变纵坐标相反可得关于X轴对称.
8．（2019八上·黑龙江期末）在平面直角坐标系中，已知点A（-2，a）和点B（b，-3）关于y轴对称，则ab的值是（ ）
A．-1 B．1 C．6 D．-6
【答案】D
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】由点A（-2，a）和点B（b，-3）关于y轴对称可知：a=-3，b=2，故ab=-6。
故答案为：D。
【分析】点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标为（-x，y）。
9．如图是由三个小正方形组成的图形请你在图中补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有 种补法．
【答案】4
【知识点】利用轴对称设计图案
【解析】【解答】解：如图：补画一个小正方形使补画后的图形为轴对称图形，共有4种补法．
．
故答案为：4．
【分析】根据轴对称与对称轴的定义，再观察此图着重画图中那一个小正方形的轴对称图形.如果一个图形沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形；对称轴：折痕所在的这条直线叫做对称轴．
10．如图，在2×2的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的△ABC，请你找出格纸中所有与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形，这样的三角形共有 个，请在下面所给的格纸中一一画出．（所给的六个格纸未必全用）．
【答案】5
【知识点】作图﹣轴对称
【解析】【解答】解：与△ABC成轴对称且以格占为顶点的三角形如图：
共5个．
【分析】根据网格结构分别确定出不同的对称轴，然后作出轴对称三角形即可得.熟练掌握网格结构并准确找出对应点的位置是解题的关键，本题难点在于确定出不同的对称轴.
11．（2019八上·龙山期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，A（-1，5），B（-1，0），C（-4，3）.
（1）△ABC的面积是 ．
（2）在图中作出△ABC关于y轴的对称图形 ．
（3）写出点A1、B1、C1的坐标．
【答案】（1）7.5
（2）
（3）解：A1 (1，5)，B1（1，0)，C1(4，3)
【知识点】轴对称图形；关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】（1）S△ABC= ×3×5=7.5
【分析】（1）根据三角形面积的计算公式，在网格中进行计算即可。
（2）关于y轴对称的点，横坐标互为相反数，纵坐标不变，做出三个点关于y轴的对称点即可，连成图形即可。
（3）根据（2）的结论，写出三个点关于y轴对称的点即可。
12．如图：
（1）①作出△ABC关于直线MN对称的△A′B′C′．
②若△A′B′C′和△A″B″C″关于直线EF对称，画出直线EF；
（2）直线MN与EF相交于点O．试探究∠BOB″与直线MN，EF所夹锐角a的关系． 不用证明．
【答案】（1）解：所画图形如下所示：
（2）解：连接B′O．
∵△ABC和△A'B'C'关于MN对称，
∴∠BOM=∠B'OM．
又∵△A'B'C'和△A″B″C″关于EF对称，
∴∠B′OE=∠B″OE．
∴∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE=2（∠B′OM+∠B′OE）=2α
即∠BOB″=2α．
【知识点】轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质找出△ABC各顶点关于直线MN对称的各对应点，然后顺次连接即可；
（2）连接AA′，作AA′的垂直平分线即可求出直线EF；
（3）根据对称找到相等的角得∠BOM=∠B'OM．∠B′OE=∠B″OE ，则∠BOB″=∠BOM+∠B′OM+∠B′OE+∠B″OE可得.
13．已知：如图1，过等腰直角三角形ABC的直角顶点A作直线AP，点B关于直线AP的对称点为E，连接BE，CE，其中CE交直线AP于点F．
（1）依题意补全图形；
（2）若∠PAB＝16°，求∠ACF的度数；
（3）如图2，若45°＜∠PAB＜90°，用等式表示线段AB，FE，FC之间的数量关系，并证明．
【答案】（1）解：补全图形，如图所示．
（2）解：如图，连接AE，
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴对称轴AP是EB的垂直平分线．
∴AE＝AB，∠EAP＝∠BAP＝16°，
∵等腰直角三角形ABC，
∴AB＝AC，∠BAC＝90°，
∴AE＝AC，
∴∠AEC＝∠ACF
∴2∠ACF+32°+90°＝180°，
∴∠ACF＝29°
（3）解：AB，FE，FC满足的数量关系：FE2+FC2＝2AB2，
理由如下：连接AE，BF，设BF交AC于点G，
∵点E与点B关于直线AP对称，
∴对称轴AP是EB的垂直平分线，
∴AE＝AB，FE＝FB，
又∵AF＝AF，
∴△AEF≌△ABF（SSS），
∴∠FEA＝∠FBA，
∵AB＝AC，
∴AE＝AC，
∴∠ACE＝∠AEC，
∴∠ACE＝∠ABF，
又∵∠CGF＝∠AGB，
∴∠CFB＝∠BAC＝90°，
∴FB2+FC2＝BC2．
∵BC2＝2AB2，
∴FE2+FC2＝2AB2
【知识点】全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；轴对称的性质；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的作图，先作出点B关于直线AP的对称点为E，再连接BE，CE即可。
（2）连接AE，利用轴对称的性质可知AE＝AB，∠EAP＝∠BAP＝16°，再根据等腰直角三角形的性质，可证得AE＝AC，根据等边对等角可得到∠AEC=∠ACF，然后求出∠ACF的度数，
（3）连接AE，BF，设BF交AC于点G，利用轴对称的性质易证AP垂直平分BE，可得到AE＝AB，FE＝FB，利用SSS证明△AEF≌△ABF，利用全等三角形的性质可证得∠FEA＝∠FBA，利用等腰三角形的性质，去证明∠ACE＝∠ABF，然后证明∠CFB=90°，然后利用勾股定理可证得结论。
三、真题演练
14．（2019·杭州）在平面直角坐标系中，点A（m，2）与点B（3，n）关于y轴对称，则（ ）
A．m=3，n=2
B．m=-3，n=2
C．m=3，n=2 B.m=-2，n=3
【答案】B
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：∵A（m，2）与B（3，n）关于y轴对称，
∴m=-3，n=2.
故答案为：B.
【分析】关于y轴对称的点的特征：横坐标互为相反数，纵坐标不变，依此即可得出答案.
15．（2019·临沂）在平面直角坐标系中，点 关于直线 的对称点的坐标是 ．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】
∵点 ，
∴点 到直线 的距离为 ，∴点 关于直线 的对称点 到直线 的距离为3，
∴点 的横坐标为 ，
∴对称点 的坐标为 .
故答案为： ．
【分析】根据对称两点到对称直线的距离相等，可解出P点对称点的坐标。
16．（2019·泸州）在平面直角坐标系中，点 与点 关于 轴对称，则 的值是 ．
【答案】4
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】 点 与点 关于 轴对称，
， ，
则a+b的值是： ,
故答案为： ．
【分析】根据关于x轴对称点的坐标特征:横坐标不变，纵坐标互为相反数，从而求出a、b的值即可.
17．（2019·北部湾）如图.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2，-1)，B(1，-2)， C(3.-3).
①将△ABC向上平移4个单位长度得到△A1B1C1.请画出△A1B1C1；
②请画出与△ABC关于y轴对称的△A2B2C2；
③请写出A1、A2的坐标.
【答案】解：如图，△A1B1C1、△A2B2C2即为所求，
A1(2，3)：A2(-2，-1)
【知识点】坐标与图形性质；作图﹣轴对称；用坐标表示平移
【解析】【分析】①利用平移的性质，将△ABC向上平移4个单位长度，就可画出△A1B1C1； ②根据关于y轴对称点的坐标特点：横坐标互为相反数，纵坐标不变，就可得到各个对称点的坐标，然后画出△A2B2C2；③分别写出A1、A2的坐标。
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