初中数学华师大版八年级上学期 第14章测试卷
一、单选题
1．（2019八下·廉江期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．1，2，3
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、22+32=13，42=16，13≠16，
∴2、3、4不能构成直角三角形；
B、32+42=25，62=36，25≠36，
∴3、4、6不能构成直角三角形；
C、∵52+122=169，132=169，169=169，
∴5、12、13能构成直角三角形；
D、∵1+2=3，
∴1、2、3不能构成三角形．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一分析判断即可.
2．（2019八上·伊川月考）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：S△ABC=2×3-2××1×2-×3×1
=6-2-
=.
BC=
∴BC的高为： .
故答案为：A.
【分析】△ABC的面积等于它周围的矩形面积减去其相邻的三个直角三角形面积，据此求出△ABC的面积，再代入面积公式求出BC边上的高即可.
3．（2019八下·罗湖期末）下列语句：①每一个外角都等于 的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；多边形内角与外角；反证法；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，符合题意；
②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故不符合题意；
③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，符合题意；
④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，故符合题意；
正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式的值为零的条件分别进行逐一分析即可.
4．（2019八下·福田期末）如图，将 绕点 按顺时针旋转一定角度得到 ，点 的对应点 恰好落在 边上.若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】根据题意可知AB=AD,且∠ABD=60°，
∴ 是等边三角形，且 ，
设 ，
则 ， ，所以， ，
在 中， ，得， （负值已舍）.
故答案为：C.
【分析】先求出△ADB为等边三角形，利用三角形的内角和定理求出∠C=30°，设AB=x，可得DB=x,BC=2x,即得CD=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立关于x的方程，求出x的值即可.
5．（2019八下·番禺期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】如下图，
由勾股定理，得：
FG＝ ，
HI＝ ，
所以，正方形E的边长为： ，
最大正方形E的面积是47。
故答案为：D。
【分析】利用勾股定理先求出FG，HI的长，然后求出正方形E的边长，继而求出正方形E的面积.
6．（2019八下·岑溪期末）如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：如图，圆柱的展开图如图所示，过A作SH⊥FH，
BH=18-1-1=16，SH=24÷2=12，
则SF= ，
故答案为：20.
【分析】作圆柱的展开图，最短距离为展开图SF的直线距离，构造直角三角形运用勾股定理求出SF即可。
二、填空题
7．（2019·湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为4√2的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 .
【答案】
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】 解：如图，延长EO交GH于点K，取②中三角形斜边中点J，连结JK，由图1知KJ一定过②中三角形的直角顶点，
由图1可得：
EO=8，OK=2，KJ=4，
∴EK=EO+OK=8+2=10，
在Rt△KGJ中，
∴KG= ，
设正方形EFGH边长为a，则HK=a-2 ，
在Rt△KEH中，
∵EK2=EH2+HK2，
即102=a2+（a-2 ）2，
解得：a=4 或a=-2 （舍去），
∴正方形EFGH边长为4 .
故答案为：4 .
【分析】由图1可得：EO=8，OK=2，KJ=4，EK=10，在Rt△KGJ中，根据勾股定理求得KG长，
设正方形EFGH边长为a，则HK=a-2 ，在Rt△KEH中，根据勾股定理建立一元二次方程，解之即可求得答案.
三、解答题
8．（2019九上·台州开学考）在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的长.
【答案】解:过A点作AD⊥BC，垂足为D,
在Rt△ACD中，
∵ C= :30°，AC=4,
∴AD= AC=2,
∴CD= =2
在Rt△ABD中，
BD= ，
则BC=BD+CD= +2 (cm)
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】 添加辅助线过A点作AD⊥BC，垂足为D，将要解决的问题转化为直角三角形中，在Rt△ACD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长；在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，然后根据BC=BD+CD求出BC的长。
9．（2019九上·获嘉月考）已知：Rt△ABC， C=90°，三边长分别为 , ， ，两直角边 ， 满足： .求斜边 .
【答案】解：设这个直角三角形的斜边长是c.
∵a，b分别是一个直角三角形的两直角边的长，
∴a2+b2=c2，
又∵（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0，
∴（c2）2-2c2-15=0，
∴（c2-5）（c2+3）=0，
∵c2＞0，
∴c2=5，
∵c＞0，
∴c= .
即这个直角三角形的斜边长是 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理 a2+b2=c2， 然后利用换元的方法将方程变形为 （c2）2-2c2-15=0， 再利用因式分解法求解并检验即可得出c的值，从而得出答案。
10．（2019八下·江门期末）如图，△ABC的边AB=8，BC=5，AC=7．求BC边上的高．
【答案】解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，
∴AB2-BD2=AC2-CD2，即82-（5-CD）2=72-CD2，
解得，CD=1，
则BC边上的高AD= ．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，从而可得AB2-BD2=AC2-CD2，即得82-（5-CD）2=72-CD2，据此求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长即可.
11．（2019·临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 ( 、 、 共线)处同时施工．测得 ， ， ，求 的长．
【答案】解：作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长是
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】做出辅助线，利用勾股定理，可求得BD的长度。
四、综合题
12．（2019八上·余杭月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，CE⊥BD于E，AB=EC
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠EDC=65°，求∠ECB的度数；
（3）若AD=3，AB=4，求DC的长.
【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC，
∵∠A=∠CEB=90°，
在△ABD与△CEB中，
，
∴△ABD≌△ECB
（2）解：由（1）证得△ABD≌△ECB，∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=65°，
∵∠DCE=90°﹣65°=25°，
∴∠ECB=40°
（3）解： 由（1）证得△ABD≌△ECB，∴CE=AB=4，BE=AD=3，
∴BD=BC= =5，
∴DE=2，
∴CD= =2.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠ADB=∠EBC，然后利用AAS判断出△ABD≌△ECB；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出BD=BC，根据等边对等角得出 ∠BCD=∠BDC=65°， 根据直角三角形的两锐角互余得出 ∠DCE ，根据根据角的和差，由∠ECB=∠DCB-∠DCE即可算出答案；
（3） 根据勾股定理算出BD=5，根据全等三角形的对应边相等得出BC=BD=5, AB=EC =4, BE=AB=3， 进而根据边的和差算出DE的长，最后再根据勾股定理算出CD的长.
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一、单选题
1．（2019八下·廉江期末）以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，6 C．5，12，13 D．1，2，3
2．（2019八上·伊川月考）如图，将△ABC放在正方形网格图中（图中每个小正方形的边长均为1），点A，B，C恰好在网格图中的格点上，那么△ABC中BC的高是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019八下·罗湖期末）下列语句：①每一个外角都等于 的多边形是六边形；②“反证法”就是举反例说明一个命题是假命题；③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是真命题；④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，其中正确的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．（2019八下·福田期末）如图，将 绕点 按顺时针旋转一定角度得到 ，点 的对应点 恰好落在 边上.若 ， ，则 的长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
5．（2019八下·番禺期末）如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方A、B、C、D的边长分别是3、5、2、3，则最大正方形E的面积是（ ）
A．13 B．26 C．34 D．47
6．（2019八下·岑溪期末）如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（ ）
A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm
二、填空题
7．（2019·湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”. 由边长为4√2的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 .
三、解答题
8．（2019九上·台州开学考）在△ABC中，∠C=30°，AC=4cm,AB=3cm，求BC的长.
9．（2019九上·获嘉月考）已知：Rt△ABC， C=90°，三边长分别为 , ， ，两直角边 ， 满足： .求斜边 .
10．（2019八下·江门期末）如图，△ABC的边AB=8，BC=5，AC=7．求BC边上的高．
11．（2019·临沂）鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿 方向开挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧 ( 、 、 共线)处同时施工．测得 ， ， ，求 的长．
四、综合题
12．（2019八上·余杭月考）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，CE⊥BD于E，AB=EC
（1）求证：△ABD≌△ECB；
（2）若∠EDC=65°，求∠ECB的度数；
（3）若AD=3，AB=4，求DC的长.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】A、22+32=13，42=16，13≠16，
∴2、3、4不能构成直角三角形；
B、32+42=25，62=36，25≠36，
∴3、4、6不能构成直角三角形；
C、∵52+122=169，132=169，169=169，
∴5、12、13能构成直角三角形；
D、∵1+2=3，
∴1、2、3不能构成三角形．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理逐一分析判断即可.
2．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理
【解析】【解答】解：S△ABC=2×3-2××1×2-×3×1
=6-2-
=.
BC=
∴BC的高为： .
故答案为：A.
【分析】△ABC的面积等于它周围的矩形面积减去其相邻的三个直角三角形面积，据此求出△ABC的面积，再代入面积公式求出BC边上的高即可.
3．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件；多边形内角与外角；反证法；真命题与假命题；逆命题
【解析】【解答】①每一个外角都等于60°的多边形是六边形，符合题意；
②“反证法”就是从反面的角度思考问题的证明方法，故不符合题意；
③“等腰三角形两底角相等”的逆命题是有两个角相等的三角形为等腰三角形，是真命题，符合题意；
④分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，故符合题意；
正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】根据多边形的外角，反证法的定义，等腰三角形的性质与判定，分式的值为零的条件分别进行逐一分析即可.
4．【答案】C
【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【解答】根据题意可知AB=AD,且∠ABD=60°，
∴ 是等边三角形，且 ，
设 ，
则 ， ，所以， ，
在 中， ，得， （负值已舍）.
故答案为：C.
【分析】先求出△ADB为等边三角形，利用三角形的内角和定理求出∠C=30°，设AB=x，可得DB=x,BC=2x,即得CD=x，在Rt△ABC中，利用勾股定理建立关于x的方程，求出x的值即可.
5．【答案】D
【知识点】勾股定理；正方形的性质
【解析】【解答】如下图，
由勾股定理，得：
FG＝ ，
HI＝ ，
所以，正方形E的边长为： ，
最大正方形E的面积是47。
故答案为：D。
【分析】利用勾股定理先求出FG，HI的长，然后求出正方形E的边长，继而求出正方形E的面积.
6．【答案】C
【知识点】勾股定理；平面展开﹣最短路径问题；圆柱的展开图
【解析】【解答】解：如图，圆柱的展开图如图所示，过A作SH⊥FH，
BH=18-1-1=16，SH=24÷2=12，
则SF= ，
故答案为：20.
【分析】作圆柱的展开图，最短距离为展开图SF的直线距离，构造直角三角形运用勾股定理求出SF即可。
7．【答案】
【知识点】勾股定理的应用；正方形的性质
【解析】【解答】 解：如图，延长EO交GH于点K，取②中三角形斜边中点J，连结JK，由图1知KJ一定过②中三角形的直角顶点，
由图1可得：
EO=8，OK=2，KJ=4，
∴EK=EO+OK=8+2=10，
在Rt△KGJ中，
∴KG= ，
设正方形EFGH边长为a，则HK=a-2 ，
在Rt△KEH中，
∵EK2=EH2+HK2，
即102=a2+（a-2 ）2，
解得：a=4 或a=-2 （舍去），
∴正方形EFGH边长为4 .
故答案为：4 .
【分析】由图1可得：EO=8，OK=2，KJ=4，EK=10，在Rt△KGJ中，根据勾股定理求得KG长，
设正方形EFGH边长为a，则HK=a-2 ，在Rt△KEH中，根据勾股定理建立一元二次方程，解之即可求得答案.
8．【答案】解:过A点作AD⊥BC，垂足为D,
在Rt△ACD中，
∵ C= :30°，AC=4,
∴AD= AC=2,
∴CD= =2
在Rt△ABD中，
BD= ，
则BC=BD+CD= +2 (cm)
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理
【解析】【分析】 添加辅助线过A点作AD⊥BC，垂足为D，将要解决的问题转化为直角三角形中，在Rt△ACD中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出AD的长，利用勾股定理求出CD的长；在Rt△ABD中，利用勾股定理求出BD的长，然后根据BC=BD+CD求出BC的长。
9．【答案】解：设这个直角三角形的斜边长是c.
∵a，b分别是一个直角三角形的两直角边的长，
∴a2+b2=c2，
又∵（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0，
∴（c2）2-2c2-15=0，
∴（c2-5）（c2+3）=0，
∵c2＞0，
∴c2=5，
∵c＞0，
∴c= .
即这个直角三角形的斜边长是 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理 a2+b2=c2， 然后利用换元的方法将方程变形为 （c2）2-2c2-15=0， 再利用因式分解法求解并检验即可得出c的值，从而得出答案。
10．【答案】解：作AD⊥BC于D，
由勾股定理得，AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，
∴AB2-BD2=AC2-CD2，即82-（5-CD）2=72-CD2，
解得，CD=1，
则BC边上的高AD= ．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得AD2=AB2-BD2，AD2=AC2-CD2，从而可得AB2-BD2=AC2-CD2，即得82-（5-CD）2=72-CD2，据此求出CD的长，利用勾股定理求出AD的长即可.
11．【答案】解：作 于点 ，
∵ ， ，
∴ ， ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
即 的长是
【知识点】勾股定理的应用
【解析】【分析】做出辅助线，利用勾股定理，可求得BD的长度。
12．【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠ADB=∠EBC，
∵∠A=∠CEB=90°，
在△ABD与△CEB中，
，
∴△ABD≌△ECB
（2）解：由（1）证得△ABD≌△ECB，∴BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC=65°，
∵∠DCE=90°﹣65°=25°，
∴∠ECB=40°
（3）解： 由（1）证得△ABD≌△ECB，∴CE=AB=4，BE=AD=3，
∴BD=BC= =5，
∴DE=2，
∴CD= =2.
【知识点】全等三角形的判定与性质；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据二直线平行，内错角相等得出∠ADB=∠EBC，然后利用AAS判断出△ABD≌△ECB；
（2）根据全等三角形的对应边相等得出BD=BC，根据等边对等角得出 ∠BCD=∠BDC=65°， 根据直角三角形的两锐角互余得出 ∠DCE ，根据根据角的和差，由∠ECB=∠DCB-∠DCE即可算出答案；
（3） 根据勾股定理算出BD=5，根据全等三角形的对应边相等得出BC=BD=5, AB=EC =4, BE=AB=3， 进而根据边的和差算出DE的长，最后再根据勾股定理算出CD的长.
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