初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质
一、基础巩固
1．（2019九上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D． 向右
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a=2＞0，
∴抛物线开口向上.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象性质：a＞0，则抛物线开口向上；a＜0，则抛物线开口向下；由此即可得出答案.
2．（2019九上·河西期中）下列各点中，在二次函数y=-x2的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y=-x2=-1；当x=-2时，y=-x2=-4；当x=2时，y=-x2=-4.
所以点（1，-1）在二次函数y=-x2的图象上．
故答案为：A．
【分析】将点的横坐标代入函数解析式，求出对应的函数值。若函数值等于纵坐标，则可判定此点在函数图象上。
3．（2018九上·如皋期中）关于二次函数 的图象及其性质的说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．顶点是原点
C．对称轴是y轴 D．y随x的增大而减小
【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】A、由a=- ＜0知开口向下，不符合题意；
B、顶点坐标为（0，0），不符合题意；
C、对称轴是直线x=0，即y轴，不符合题意；
D、当x>0时，y随x的增大而减小，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数y=ax2的性质：当a＜0时，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是原点，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；当a＞0时，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；就可得出说法错误。
4．抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（ ）
A．y= x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1， ）（1，4），（1，-2），
因为| |＜|-2|＜|4|，
所以抛物线y= x2开口最大．
故答案为：A．
【分析】比较三个函数的a的值的大小，a的绝对值越大，开口越小；a的绝对值越小，开口越大。可得出答案。
5．已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
【答案】增大
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解: ∵二次函数y=x2，开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【分析】根据二次函数的增减性，抛物线y=ax2,当a＞0时，开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
6．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的有 ．
（ 1 ）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3） ，（4）y=﹣x2．
【答案】（1）（4）
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：（1）y=﹣x+1，y随x增大而减小，正确；（2）y=2x，y随x增大而增大，错误；（3） ，在每一个分支，y随x增大而增大，错误；（4）y=﹣x2，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而减小，正确．
故答案为：（1）（4）．
【分析】利用一次函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小；反比例函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而减小，二次函数y=ax2，当a＜0，x＞0时，y随x的增大而减小，即可得出答案。
二、强化提升
7．下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y=x B．y=2x﹣1 C．y= D．y=x2
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：A、函数y=x，k=1＞0，y随x的增大而增大，故A不符合题意；
B、函数y=2x-1，k=2＞0，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C、函数y=，k=1＞0，y随x的增大而减小，故C符合题意；
D、函数y=x2，a=1＞0，抛物线的开口向上，当x＞0时y随x的增大而增大。当x＜0时，y随x的增大而减小，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，可对A、B作出判断；根据反比例函数的增减性，可对C作出判断；利用二次函数的增减性，可对D作出判断。
8．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，
抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为：B．
【分析】观察图象的开口方向向下，可知a﹣1＜0，解不等式即可。
9．（2018·德州）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故不符合题意；
②y= ，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故不符合题意；
③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故符合题意；
④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故符合题意．
故答案为：B．
【分析】①y=﹣3x+2的图像经过一，二，四象限，整个图像上函数值y随自变量x增大而减小；②y= 的图像的两支分别位于一三象限，在每一支上，函数值y随自变量x增大而减小；③y=2x2的图像的顶点式坐标原点，开口向上，顶点的左边，即x>0时，函数值y随自变量x增大而增大；④y=3x的图像经过一三象限，整个图像上函数值y随自变量x增大而增大；根据函数的性质即可一一判断。
10．（2018九上·武昌期中）抛物线y=x2上有三个点（1，y1），（－2，y2），（3，y3），那么，y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y1【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】因为抛物线y=x2，
当x=1时，y1=1，
当x=－2时，y2=4，
当x=3时，y3=9，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：A．
【分析】分别求出x=1、-2、3时所对应的函数值，再比较 y1、y2、y3的大小。或利用二次函数的性质比较 y1、y2、y3大小。
11．（2018九上·卢龙期中）若抛物线y=（m-1） 开口向下，则m= ．
【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵m2-m=2
∴m=2或m=-1
∵m-1≠0
∴m≠1
∴当m=2或-1时，这个函数都是二次函数，
∵m-1＜0，m＜1
∴m=-1．
故答案为：-1.
【分析】根据抛物线的定义及开口方向进行解答即可。
12．（2018九上·绍兴期中）如图，四个函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为 .
【答案】a>b>c>d
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2的性质知，
抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定。
|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大。
∴a＞b＞0
c＜0，d＜0
0＞c＞d
∴a>b>c>d
故答案为：a>b>c>d
【分析】利用二次函数y=ax2的性质可知|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。观察函数图象，可得出答案。
13．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为 .
【答案】2
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，
∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S△OAB= ×2×2=2，
故答案为：2
【分析】根据二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，求出y=2时的x的值，就可得出点A、B的坐标，再求出AB的长，然后利用三角形的面积公式可解答。
三、真题演练
14．（2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：当 时， ，即S与t是二次函数关系，有最小值 ，开口向上，
当 时， ，即S与t是二次函数关系，开口向下，
由上可得，选项C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，出现两种情况，当，写出重叠面积的表达式，此时转化为二次函数开口方向以及最值问题；当，同理写出面积表达式，分析函数即可。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.1.2 二次函数y=ax2的图像和性质
一、基础巩固
1．（2019九上·鄞州期末）在平面直角坐标系中，抛物线y=2x2的开口方向是（ ）
A．向上 B．向下 C．向左 D． 向右
2．（2019九上·河西期中）下列各点中，在二次函数y=-x2的图象上的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2018九上·如皋期中）关于二次函数 的图象及其性质的说法错误的是（ ）
A．开口向下 B．顶点是原点
C．对称轴是y轴 D．y随x的增大而减小
4．抛物线y= x2，y=4x2，y=－2x2的图像中，开口最大的是（ ）
A．y= x2 B．y=4x2 C．y=－2x2 D．无法确定
5．已知二次函数y=x2，当x＞0时，y随x的增大而 （填“增大”或“减小”）．
6．下列函数中，当x＞0时y随x的增大而减小的有 ．
（ 1 ）y=﹣x+1，（2）y=2x，（3） ，（4）y=﹣x2．
二、强化提升
7．下列函数中，当x＞0时，y值随x值的增大而减小的是（ ）
A．y=x B．y=2x﹣1 C．y= D．y=x2
8．二次函数y=（a﹣1）x2（a为常数）的图象如图所示，则a的取值范围为（ ）
A．a＞1 B．a＜1 C．a＞0 D．a＜0
9．（2018·德州）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y= ；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
10．（2018九上·武昌期中）抛物线y=x2上有三个点（1，y1），（－2，y2），（3，y3），那么，y1、y2、y3的大小关系是（ ）
A．y111．（2018九上·卢龙期中）若抛物线y=（m-1） 开口向下，则m= ．
12．（2018九上·绍兴期中）如图，四个函数的图象中，分别对应的是：①y=ax2；②y=bx2；③y=cx2；④y=dx2．则a、b、c、d的大小关系为 .
13．已知二次函数y=2x2的图象如图所示，将x轴沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A、B两点，则△AOB的面积为 .
三、真题演练
14．（2019·达州）如图，边长都为4的正方形ABCD和正三角形EFG如图放置，AB与EF在一条直线上，点A与点F重合．现将△EFG沿AB方向以每秒1个单位的速度匀速运动，当点F与B重合时停止．在这个运动过程中，正方形ABCD和△EFG重叠部分的面积S与运动时间t的函数图象大致是（ ）
A． B． C． D．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵a=2＞0，
∴抛物线开口向上.
故答案为：A.
【分析】根据二次函数图象性质：a＞0，则抛物线开口向上；a＜0，则抛物线开口向下；由此即可得出答案.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，y=-x2=-1；当x=-2时，y=-x2=-4；当x=2时，y=-x2=-4.
所以点（1，-1）在二次函数y=-x2的图象上．
故答案为：A．
【分析】将点的横坐标代入函数解析式，求出对应的函数值。若函数值等于纵坐标，则可判定此点在函数图象上。
3．【答案】D
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】A、由a=- ＜0知开口向下，不符合题意；
B、顶点坐标为（0，0），不符合题意；
C、对称轴是直线x=0，即y轴，不符合题意；
D、当x>0时，y随x的增大而减小，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据二次函数y=ax2的性质：当a＜0时，抛物线的开口向下，对称轴为y轴，顶点是原点，当x＞0时，y随x的增大而减小，当x＜0时，y随x的增大而增大；当a＞0时，抛物线的开口向上，对称轴为y轴，顶点是原点，当x＞0时，y随x的增大而增大，当x＜0时，y随x的增大而减小；就可得出说法错误。
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1， ）（1，4），（1，-2），
因为| |＜|-2|＜|4|，
所以抛物线y= x2开口最大．
故答案为：A．
【分析】比较三个函数的a的值的大小，a的绝对值越大，开口越小；a的绝对值越小，开口越大。可得出答案。
5．【答案】增大
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解: ∵二次函数y=x2，开口向上，对称轴为y轴，
∴当x＞0时，y随x的增大而增大．
故答案为：增大．
【分析】根据二次函数的增减性，抛物线y=ax2,当a＞0时，开口向上，对称轴为y轴，在对称轴右侧，y随x的增大而增大。
6．【答案】（1）（4）
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：（1）y=﹣x+1，y随x增大而减小，正确；（2）y=2x，y随x增大而增大，错误；（3） ，在每一个分支，y随x增大而增大，错误；（4）y=﹣x2，在对称轴的左侧，y随x增大而增大，在对称轴的右侧，y随x增大而减小，正确．
故答案为：（1）（4）．
【分析】利用一次函数的性质：当k＜0时，y随x的增大而减小；反比例函数的性质：当k＞0时，y随x的增大而减小，二次函数y=ax2，当a＜0，x＞0时，y随x的增大而减小，即可得出答案。
7．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：A、函数y=x，k=1＞0，y随x的增大而增大，故A不符合题意；
B、函数y=2x-1，k=2＞0，y随x的增大而增大，故B不符合题意；
C、函数y=，k=1＞0，y随x的增大而减小，故C符合题意；
D、函数y=x2，a=1＞0，抛物线的开口向上，当x＞0时y随x的增大而增大。当x＜0时，y随x的增大而减小，故D不符合题意；
故答案为：C
【分析】利用一次函数的性质，当k＞0时，y随x的增大而增大，当k＜0时，y随x的增大而减小，可对A、B作出判断；根据反比例函数的增减性，可对C作出判断；利用二次函数的增减性，可对D作出判断。
8．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：如图，
抛物线的开口方向向下，则a﹣1＜0，
解得a＜1．
故答案为：B．
【分析】观察图象的开口方向向下，可知a﹣1＜0，解不等式即可。
9．【答案】B
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故不符合题意；
②y= ，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故不符合题意；
③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故符合题意；
④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大，故符合题意．
故答案为：B．
【分析】①y=﹣3x+2的图像经过一，二，四象限，整个图像上函数值y随自变量x增大而减小；②y= 的图像的两支分别位于一三象限，在每一支上，函数值y随自变量x增大而减小；③y=2x2的图像的顶点式坐标原点，开口向上，顶点的左边，即x>0时，函数值y随自变量x增大而增大；④y=3x的图像经过一三象限，整个图像上函数值y随自变量x增大而增大；根据函数的性质即可一一判断。
10．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】因为抛物线y=x2，
当x=1时，y1=1，
当x=－2时，y2=4，
当x=3时，y3=9，
∴y1＜y2＜y3．
故答案为：A．
【分析】分别求出x=1、-2、3时所对应的函数值，再比较 y1、y2、y3的大小。或利用二次函数的性质比较 y1、y2、y3大小。
11．【答案】-1
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵m2-m=2
∴m=2或m=-1
∵m-1≠0
∴m≠1
∴当m=2或-1时，这个函数都是二次函数，
∵m-1＜0，m＜1
∴m=-1．
故答案为：-1.
【分析】根据抛物线的定义及开口方向进行解答即可。
12．【答案】a>b>c>d
【知识点】二次函数y=ax^2的图象；二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：由二次函数y=ax2的性质知，
抛物线y=ax2的开口大小由|a|决定。
|a|越大，抛物线的开口越小；
|a|越小，抛物线的开口越大。
∴a＞b＞0
c＜0，d＜0
0＞c＞d
∴a>b>c>d
故答案为：a>b>c>d
【分析】利用二次函数y=ax2的性质可知|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大。观察函数图象，可得出答案。
13．【答案】2
【知识点】二次函数y=ax^2的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，
∴2x2=2，x=±1，
∴A，B两点相当于在原坐标系中的坐标为（-1，2），（1，2），
∴S△OAB= ×2×2=2，
故答案为：2
【分析】根据二次函数y=2x2的图象沿y轴向上平移2个单位长度后与抛物线交于A，B两点，求出y=2时的x的值，就可得出点A、B的坐标，再求出AB的长，然后利用三角形的面积公式可解答。
14．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax^2的图象
【解析】【解答】解：当 时， ，即S与t是二次函数关系，有最小值 ，开口向上，
当 时， ，即S与t是二次函数关系，开口向下，
由上可得，选项C符合题意，
故答案为：C．
【分析】根据已知条件，出现两种情况，当，写出重叠面积的表达式，此时转化为二次函数开口方向以及最值问题；当，同理写出面积表达式，分析函数即可。
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