初中数学北师大版七年级上学期 第二章 2.7 有理数的乘法
一、单选题
1．（2019·玉林）9的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．9 D．﹣9
2．（2019·温州）计算：(﹣3)×5的结果是（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣2 D．2
3．（2019·南充）如果 ，那么 的值为（ ）
A．6 B． C．-6 D．
4．（2019·遂宁）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为 的面与其对面上的数字之积是（ ）
A． B．0 C． D．
5．（2019·禅城模拟）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有倒数 B．正数的倒数比自身小
C．任何有理数都有倒数 D． 的倒数是
6．（浙教版2019年数学中考模拟试卷9）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．|ac|＝ac C．b＜d D．c+d＞0
7．（2019七上·黄岩期末）用分配律计算 ，去括号后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2019七上·江干期末）对于有理数 如果 则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2018七上·忻城期中）下列式子中，正确的是（ ）
A．10﹣8=8﹣10
B．﹣5×13×（﹣4）=﹣5×4×13
C．（﹣3）×（5﹣8）=（﹣3）×5﹣8
D．（﹣3）×（5﹣8）=（﹣3）×5﹣8×（﹣3）
10．（2018七上·庐江期中）下列语句正确的个数是（ ）
①整数和分数统称为有理数；②任何有理数都有相反数；③任何有理数都有倒数；④任何有理数的绝对值都是非负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
11．（2019·南京）﹣2的相反数是 ； 的倒数是 .
12．（2018七上·东台月考）从－3、－1、0、＋2、＋4 中，任取 3 个数相乘，则乘积的最大值是 ．
三、计算题
13．（2019七上·江门期中）计算：
14．（2018七上·大丰期中）计算：
（1）
（2）
（3）
四、解答题
15．（2018七上·深圳期中）在一条南北方向的公路上，有一辆出租车停在A地，乘车的第一位客人向南走3千米下车；该车继续向南开，又走了2千米后，上来第二位客人，第二位客人乘车向北走7千米下车，此时恰好有第三位客人上车，先向北走3千米，又调头向南走，结果下车时出租车恰好到了A地．
（1）如果以A地为原点，向北方向为正方向，用1个单位表示1千米，在数轴上表示出第一位客人和第二位客人下车的位置；
（2）第三位客人乘车走了多少千米？
（3）规定出租车的收费标准是4千米内付7元，超过4千米的部分每千米加付1元（不足1千米按1千米算），那么该出租车司机在这三位客人中共收了多少钱？
16．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）
（1）当小明输入3；﹣4；；﹣201这四个数时，这四次输出的结果分别是？
（2）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？
（3）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？
（4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的数是什么数？
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：9的倒数是： 。
故答案为：A。
【分析】乘积为1的两个数叫做互为倒数，根据定义即可直接得出答案。
2．【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据有理数运算法则计算。
3．【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】
解：∵6a=1，
∴a=
故答案为：B．
【分析】根据倒数的意义求解即可。
4．【答案】A
【知识点】几何体的展开图；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：数字为 的面的对面上的数字是6，其积为 ．
故答案为：A．
【分析】根据正方体展开图的特点先求出与-2对面的数字是6，然后求出它们的积即可.
5．【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】A.只有0没有倒数，不符合题意；
B.1是正数，但1的倒数等于1，不符合题意；
C.0没有倒数，不符合题意；
D.（-1）×（-1）=1，所以-1的倒数是-1，符合题意.
故答案为：D.
【分析】（1）因为0不能作除数，所以0没有倒数；
（2）1的倒数是1，此时这两个数相等；
（3）0是有理数，但是0没有倒数；
（4）-1的倒数是-1.
6．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故不符合题意；
B、a、c异号，则|ac|＝﹣ac，故符合题意；
C、b＜d，故不符合题意；
D、d＞c＞1，则a+d＞0，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据数轴上所表示的数的特点，得出a＜b＜0，d＞c＞1；
A、根据数轴上所表示的数离开原点的距离， 就是该数的绝对值，所以|a|＞|b|，故不符合题意；
B、a、c异号，所以ac＜0，根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出|ac|＝﹣ac，故符合题意；
C、数轴上所表示的数，右边的总比左边的大得出b＜d，故不符合题意；
D、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，所以a+d＞0，故不符合题意.
7．【答案】D
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：D.
【分析】根据乘法分配律可以将括号去掉，注意符号的变化.
8．【答案】D
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵ab＜0， a+b＜0
∴a，b异号，且负数绝对值较大，
∴a＞0，b＜0且|a|=a＜|b| 或a＜0，b＞0且|a|＞|b|=b，
故答案为：D．
【分析】根据有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，由ab＜0得出a，b异号，再根据有理数的加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，由 a+b＜0得出负数绝对值较大，从而得出答案a＞0，b＜0且|a|=a＜|b| 或a＜0，b＞0且|a|＞|b|=b。
9．【答案】D
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、10-8=2，8-10=-2，故不符合题意；
B、-5×13×（-4）=5×4×13，故不符合题意；
C、（-3）×（5-8）=（-3）×5-（-3）×8，故不符合题意；
D、（-3）×（5-8）=（-3）×5-8×（-3），故符合题意。
故答案为：D。
【分析】A、使用加法交换律的时候，连同符号一起交换，所以10-8=-8+10=2≠8-10=-2，故不符合题意；
B、三个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个的时候，积为负，负因数有偶数个的时候，积为正，所以-5×13×（-4）=5×4×13≠- 5×4×13 ，故不符合题意；
C、利用乘法分配律的时候，应该用括号外的因数与括号内的每一个因数都相乘，再把所得的积相加，所以（-3）×（5-8）=（-3）×5-（-3）×8≠ （﹣3）×5﹣8 ，故不符合题意；
D、利用乘法分配律的时候，应该用括号外的因数与括号内的每一个因数都相乘，再把所得的积相加，所以（-3）×（5-8）=（-3）×5-8×（-3），故符合题意。
10．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；有理数及其分类
【解析】【解答】①整数和分数统称为有理数；正确.
②任何有理数都有相反数；正确.
③0没有倒数，故错误.
④任何有理数的绝对值都是非负数．正确.
正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】利用有理数、相反数、倒数、非负数的定义，逐一判断，可得出正确的个数。
11．【答案】2；2
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2的相反数是 2； 的倒数是 2.
故答案为：2；2.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数；1除以一个数等于这个数的倒数.
12．【答案】12
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：积最大的是：（-3）×（-1）×（+4）=3×1×4=12．
故答案为：12．
【分析】乘积的最大值是正数，得到积最大的是（-3）×（-1）×（+4）.
13．【答案】解：原式=
=-30+8-21
=-43
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【分析】有理数的乘法分配律：几个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘再相加。
14．【答案】（1）解： =11.1
（2）解： =-（5.6×1.2）， =-6.72
（3）解： =3.48×0.7， =2.436
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，根据法则一一计算即可。
15．【答案】（1）解：如图所示，
第一位客人在点B处下车，第二位客人在点C处下车。
（2）解：3+（2+3）=3+5=8千米
答：第三位客人乘车走了8千米。
（3）解：第一位客人共走3千米，付7元；第二位客人共走7千米，付7+1×（7-4）=7+3=10元；第三位客人共走8千米，付7+1×（8-4）=11元；7+10+11=28元.∴该出租车司机在这三位客人中共收了28元。
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据数轴上数字的意义，表示出客人下车的坐标。
（2）根据距离的相加，可得出第三位客人乘车距离。
（3）判断距离是否超过4千米，分别代入计算出总费用。
16．【答案】解：（1）∵3＞2，
∴输入3时的程序为：（3﹣5）=﹣2＜0，
∴﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是，
∴当输入3时，输出；
当输入﹣4时，∵﹣4＜2，
∴﹣4的相反数是4＞0，4的倒数是，
∴当输入﹣4时，输出；
当输入时，＜2，
∴其相反数是﹣，其绝对值是，
∴当输入时，输出；
当输入﹣201时，﹣201＜2，
∴其相反数是201＞0，其倒数是，
∴当输入﹣201时，输出；
（2）∵输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，当输入5的倍数时也输出0．
∴应输入0或5n（n为自然数）；
（3）由（1）中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数；
（4）输出的数为2，
逆推过程：逆推1：绝对值为2的数为±2，由“非正”得“相反数这步的结果”为-2，所以原数为2，又因为当输入的数为7时，7-5=2，也相当于输入2，即输入的数为5n+2，n为自然数。
逆推2：2的倒数为，为正，则原数为-，同理，输入的数可为5n-，n为自然数.
即输入的数为5n+2或者5n-，其中n为自然数。
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【分析】（1）先判断出3、﹣4、、201与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可；
（2）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0；
（3）由（1）中输出的各数可找出规律；
（4）运用逆推的方法。
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一、单选题
1．（2019·玉林）9的倒数是（ ）
A． B．﹣ C．9 D．﹣9
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：9的倒数是： 。
故答案为：A。
【分析】乘积为1的两个数叫做互为倒数，根据定义即可直接得出答案。
2．（2019·温州）计算：(﹣3)×5的结果是（ ）
A．﹣15 B．15 C．﹣2 D．2
【答案】A
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：
故答案为：A
【分析】根据有理数运算法则计算。
3．（2019·南充）如果 ，那么 的值为（ ）
A．6 B． C．-6 D．
【答案】B
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】
解：∵6a=1，
∴a=
故答案为：B．
【分析】根据倒数的意义求解即可。
4．（2019·遂宁）如图为正方体的一种平面展开图，各面都标有数字，则数字为 的面与其对面上的数字之积是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【知识点】几何体的展开图；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：数字为 的面的对面上的数字是6，其积为 ．
故答案为：A．
【分析】根据正方体展开图的特点先求出与-2对面的数字是6，然后求出它们的积即可.
5．（2019·禅城模拟）下列说法正确的是（ ）
A．负数没有倒数 B．正数的倒数比自身小
C．任何有理数都有倒数 D． 的倒数是
【答案】D
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】A.只有0没有倒数，不符合题意；
B.1是正数，但1的倒数等于1，不符合题意；
C.0没有倒数，不符合题意；
D.（-1）×（-1）=1，所以-1的倒数是-1，符合题意.
故答案为：D.
【分析】（1）因为0不能作除数，所以0没有倒数；
（2）1的倒数是1，此时这两个数相等；
（3）0是有理数，但是0没有倒数；
（4）-1的倒数是-1.
6．（浙教版2019年数学中考模拟试卷9）实数a，b，c，d在数轴上的位置如图所示，下列关系式不正确的是（ ）
A．|a|＞|b| B．|ac|＝ac C．b＜d D．c+d＞0
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；绝对值及有理数的绝对值；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：从a、b、c、d在数轴上的位置可知：a＜b＜0，d＞c＞1；
A、|a|＞|b|，故不符合题意；
B、a、c异号，则|ac|＝﹣ac，故符合题意；
C、b＜d，故不符合题意；
D、d＞c＞1，则a+d＞0，故不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据数轴上所表示的数的特点，得出a＜b＜0，d＞c＞1；
A、根据数轴上所表示的数离开原点的距离， 就是该数的绝对值，所以|a|＞|b|，故不符合题意；
B、a、c异号，所以ac＜0，根据一个负数的绝对值等于它的相反数得出|ac|＝﹣ac，故符合题意；
C、数轴上所表示的数，右边的总比左边的大得出b＜d，故不符合题意；
D、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，所以a+d＞0，故不符合题意.
7．（2019七上·黄岩期末）用分配律计算 ，去括号后正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【解答】解： = ，
故答案为：D.
【分析】根据乘法分配律可以将括号去掉，注意符号的变化.
8．（2019七上·江干期末）对于有理数 如果 则下列各式成立的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：∵ab＜0， a+b＜0
∴a，b异号，且负数绝对值较大，
∴a＞0，b＜0且|a|=a＜|b| 或a＜0，b＞0且|a|＞|b|=b，
故答案为：D．
【分析】根据有理数的乘法法则，两数相乘，同号得正，异号得负，由ab＜0得出a，b异号，再根据有理数的加法法则，异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值，由 a+b＜0得出负数绝对值较大，从而得出答案a＞0，b＜0且|a|=a＜|b| 或a＜0，b＞0且|a|＞|b|=b。
9．（2018七上·忻城期中）下列式子中，正确的是（ ）
A．10﹣8=8﹣10
B．﹣5×13×（﹣4）=﹣5×4×13
C．（﹣3）×（5﹣8）=（﹣3）×5﹣8
D．（﹣3）×（5﹣8）=（﹣3）×5﹣8×（﹣3）
【答案】D
【知识点】有理数的乘法运算律；有理数的减法法则；有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：A、10-8=2，8-10=-2，故不符合题意；
B、-5×13×（-4）=5×4×13，故不符合题意；
C、（-3）×（5-8）=（-3）×5-（-3）×8，故不符合题意；
D、（-3）×（5-8）=（-3）×5-8×（-3），故符合题意。
故答案为：D。
【分析】A、使用加法交换律的时候，连同符号一起交换，所以10-8=-8+10=2≠8-10=-2，故不符合题意；
B、三个数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个的时候，积为负，负因数有偶数个的时候，积为正，所以-5×13×（-4）=5×4×13≠- 5×4×13 ，故不符合题意；
C、利用乘法分配律的时候，应该用括号外的因数与括号内的每一个因数都相乘，再把所得的积相加，所以（-3）×（5-8）=（-3）×5-（-3）×8≠ （﹣3）×5﹣8 ，故不符合题意；
D、利用乘法分配律的时候，应该用括号外的因数与括号内的每一个因数都相乘，再把所得的积相加，所以（-3）×（5-8）=（-3）×5-8×（-3），故符合题意。
10．（2018七上·庐江期中）下列语句正确的个数是（ ）
①整数和分数统称为有理数；②任何有理数都有相反数；③任何有理数都有倒数；④任何有理数的绝对值都是非负数．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数；有理数及其分类
【解析】【解答】①整数和分数统称为有理数；正确.
②任何有理数都有相反数；正确.
③0没有倒数，故错误.
④任何有理数的绝对值都是非负数．正确.
正确的有3个.
故答案为：C.
【分析】利用有理数、相反数、倒数、非负数的定义，逐一判断，可得出正确的个数。
二、填空题
11．（2019·南京）﹣2的相反数是 ； 的倒数是 .
【答案】2；2
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【解答】解： 2的相反数是 2； 的倒数是 2.
故答案为：2；2.
【分析】只有符号不同的两个数叫做互为相反数；1除以一个数等于这个数的倒数.
12．（2018七上·东台月考）从－3、－1、0、＋2、＋4 中，任取 3 个数相乘，则乘积的最大值是 ．
【答案】12
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【解答】解：积最大的是：（-3）×（-1）×（+4）=3×1×4=12．
故答案为：12．
【分析】乘积的最大值是正数，得到积最大的是（-3）×（-1）×（+4）.
三、计算题
13．（2019七上·江门期中）计算：
【答案】解：原式=
=-30+8-21
=-43
【知识点】有理数的乘法运算律
【解析】【分析】有理数的乘法分配律：几个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘再相加。
14．（2018七上·大丰期中）计算：
（1）
（2）
（3）
【答案】（1）解： =11.1
（2）解： =-（5.6×1.2）， =-6.72
（3）解： =3.48×0.7， =2.436
【知识点】有理数的乘法法则
【解析】【分析】两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，根据法则一一计算即可。
四、解答题
15．（2018七上·深圳期中）在一条南北方向的公路上，有一辆出租车停在A地，乘车的第一位客人向南走3千米下车；该车继续向南开，又走了2千米后，上来第二位客人，第二位客人乘车向北走7千米下车，此时恰好有第三位客人上车，先向北走3千米，又调头向南走，结果下车时出租车恰好到了A地．
（1）如果以A地为原点，向北方向为正方向，用1个单位表示1千米，在数轴上表示出第一位客人和第二位客人下车的位置；
（2）第三位客人乘车走了多少千米？
（3）规定出租车的收费标准是4千米内付7元，超过4千米的部分每千米加付1元（不足1千米按1千米算），那么该出租车司机在这三位客人中共收了多少钱？
【答案】（1）解：如图所示，
第一位客人在点B处下车，第二位客人在点C处下车。
（2）解：3+（2+3）=3+5=8千米
答：第三位客人乘车走了8千米。
（3）解：第一位客人共走3千米，付7元；第二位客人共走7千米，付7+1×（7-4）=7+3=10元；第三位客人共走8千米，付7+1×（8-4）=11元；7+10+11=28元.∴该出租车司机在这三位客人中共收了28元。
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；有理数的加法；有理数的乘法法则
【解析】【分析】（1）根据数轴上数字的意义，表示出客人下车的坐标。
（2）根据距离的相加，可得出第三位客人乘车距离。
（3）判断距离是否超过4千米，分别代入计算出总费用。
16．如图，是一个“有理数转换器”（箭头是指数进入转换器的路径，方框是对进入的数进行转换的转换器）
（1）当小明输入3；﹣4；；﹣201这四个数时，这四次输出的结果分别是？
（2）你认为当输入什么数时，其输出结果是0？
（3）你认为这个“有理数转换器”不可能输出什么数？
（4）有一次，小明在操作的时候，输出的结果是2，你判断一下，小明可能输入的数是什么数？
【答案】解：（1）∵3＞2，
∴输入3时的程序为：（3﹣5）=﹣2＜0，
∴﹣2的相反数是2＞0，2的倒数是，
∴当输入3时，输出；
当输入﹣4时，∵﹣4＜2，
∴﹣4的相反数是4＞0，4的倒数是，
∴当输入﹣4时，输出；
当输入时，＜2，
∴其相反数是﹣，其绝对值是，
∴当输入时，输出；
当输入﹣201时，﹣201＜2，
∴其相反数是201＞0，其倒数是，
∴当输入﹣201时，输出；
（2）∵输出数为0，0的相反数及绝对值均为0，当输入5的倍数时也输出0．
∴应输入0或5n（n为自然数）；
（3）由（1）中输出的各数均为非负数可知，输出的数应为非负数；
（4）输出的数为2，
逆推过程：逆推1：绝对值为2的数为±2，由“非正”得“相反数这步的结果”为-2，所以原数为2，又因为当输入的数为7时，7-5=2，也相当于输入2，即输入的数为5n+2，n为自然数。
逆推2：2的倒数为，为正，则原数为-，同理，输入的数可为5n-，n为自然数.
即输入的数为5n+2或者5n-，其中n为自然数。
【知识点】相反数及有理数的相反数；有理数的倒数
【解析】【分析】（1）先判断出3、﹣4、、201与2的大小，再根据所给程序图找出合适的程序进行计算即可；
（2）由此程序可知，当输出0时，因为0的相反数及绝对值均为0，所以应输入0；
（3）由（1）中输出的各数可找出规律；
（4）运用逆推的方法。
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