初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.3 三角函数的计算
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020九上·平桂期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
2．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018九上·南召期末）如果 ，那么锐角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
4．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2020九上·昌平期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子成立的是（ ）
A．sinA=sinB B．sinA=cosB C．tanA=tanB D．cosA=tanB
6．（2020九上·宽城期末）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
7．（2019·山西模拟）如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
8．（2019·龙湖模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝ ．
9．（锐角三角函数(433)+—+互余两角三角函数的关系（容易））若sinA= ，则cos（90°﹣A）= ．
10．（2019·乐山）如图，在△ 中， ， ， .则 边的长为 .
三、计算题
11．（湘教版九年级数学上册 4.2 正切 同步练习）计算：
（1）sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°
（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°
12．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知α为一锐角，sinα= ，求cosα，tanα．
13．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ．求cosA，sinB，tanB的值．
四、解答题
14．（锐角三角函数(433)+—+互余两角三角函数的关系（容易））已知 ，且0°＜α＜45°，求sinα的值．
15．（ 同角三角函数的关系）已知tana= ，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA= cosB= ，
故答案为：B.
【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可.
2．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
3．【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵sin2α+cos230°＝1，∴sin2α＝ ．
∵α为锐角，∴sinα= ，∴α＝30°．
故答案为：A．
【分析】根据特殊角三角函数值计算即得.
4．【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： ∵sin2A+cos2A=1，即（ ）2+cos2A=1，
∴cos2A= ，
∴cosA= 或﹣ （舍去），
∴cosA= ．
故答案为：D．
【分析】利用sin2A+cos2A=1求出cos A，再由锐角三角函数值是正数求解.
5．【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，故有A=90°-B，
从而sinA=sin（90°-B）=cosB．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，故有A=90°-B，从而由诱导公式可得sinA=sin（90°-B）=cosB．
6．【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过C点作CD垂直AB于D，∠ADC=90°，在直角三角形ADC中，tanA==
故答案为：D
【分析】直接过点C做CD垂直AB，在直角三角形ADC中，根据正切函数的定义，分析即可求出tanA .
7．【答案】(4，2)
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为： .
【分析】首先构建直角三角形，已知 tanα＝ ，即CF与OC的比值。即可求出CF，即y值。
8．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
∴sinB＝ ．
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求得AB，在直角三角形ACB中，求 sinB 列出公式代数即可。
9．【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵∠A与∠90°﹣A互余，
∴cos（90°﹣A）=sinA= ．
故答案为 ．
【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值即可求解．
10．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】过A作AD⊥BC于D点，
∵ ，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD= .
【分析】根据三角函数的定义，已知cosC=，故过A作AD⊥BC于D点。根据已知条件得CD，利用勾股定理得AD。在直角三角形ADB中 ，利用特殊角三角函数值即可求出AB。
11．【答案】（1）解：原式=（ ）2﹣ × +1= ﹣ +1
=
（2）解：原式=（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）
=1+1
=2
【知识点】同角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据三角函数的特殊角的值以及同角三角函数的关系，可代入求出值。
12．【答案】解：由sinα= = ，设a=4x，c=5x，
则b= =3x，
故cosα= = ，tanα= = ．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】根据sinα= ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．
13．【答案】解：∵sinA= = ，
∴设AB=13x，BC=12x，
由勾股定理得：AC= = =5x，
∴cosA= = ，
sinB=cosA= ，
tanB= =
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】根据sinA= = 设AB=13x，BC=12x，根据勾股定理求出AC=5x，根据锐角三角函数的定义求出即可．
14．【答案】解：∵ ，
∴（sinα+cosα）2= ，即sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，
而sin2α+cos2α=1，
∴2sinα cosα= ，
∴1﹣2sinα cosα= ，即sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2= ，
∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜cosα，
∴sinα﹣cosα=﹣ ，
而 ，
∴2sinα= ，
∴sinα= ．
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】把已知条件两边平方得到sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，再利用sin2α+cos2α=1，则2sinα cosα= ，所以sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，即（sinα﹣cosα）2= ，当0°＜α＜45°，sinα＜cosα，于是sinα﹣cosα=﹣ ，加上 ，利用加减法即可求得sinα．
15．【答案】解：如图，∵tana= ，
∴设BC=x，则AC=4x，AB=5x，
∴原式= = =﹣7．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义求解即可．
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.3 三角函数的计算
姓名：__________ 班级：__________考号：__________
一、单选题
1．（2020九上·平桂期末）在Rt△ABC中，∠C＝90°，若 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵在△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinA= cosB= ，
故答案为：B.
【分析】根据互余角的三角函数间的关系：sin（90°-α）=cosα，cos（90°-α）=sinα解答即可.
2．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
3．（2018九上·南召期末）如果 ，那么锐角 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵sin2α+cos230°＝1，∴sin2α＝ ．
∵α为锐角，∴sinα= ，∴α＝30°．
故答案为：A．
【分析】根据特殊角三角函数值计算即得.
4．（2018-2019学年初中数学北师大版九年级下册第一章《直角三角形的边角关系》检测题A）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【解答】解： ∵sin2A+cos2A=1，即（ ）2+cos2A=1，
∴cos2A= ，
∴cosA= 或﹣ （舍去），
∴cosA= ．
故答案为：D．
【分析】利用sin2A+cos2A=1求出cos A，再由锐角三角函数值是正数求解.
5．（2020九上·昌平期末）在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子成立的是（ ）
A．sinA=sinB B．sinA=cosB C．tanA=tanB D．cosA=tanB
【答案】B
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】在Rt△ABC中，∠C=90°，故有A=90°-B，
从而sinA=sin（90°-B）=cosB．
故答案为：B．
【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，故有A=90°-B，从而由诱导公式可得sinA=sin（90°-B）=cosB．
6．（2020九上·宽城期末）如图，在5×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均是1，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，则tanA的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】过C点作CD垂直AB于D，∠ADC=90°，在直角三角形ADC中，tanA==
故答案为：D
【分析】直接过点C做CD垂直AB，在直角三角形ADC中，根据正切函数的定义，分析即可求出tanA .
二、填空题
7．（2019·山西模拟）如图，已知tanα＝ ，如果F(4，y)是射线OA上的点，那么F点的坐标是 ．
【答案】(4，2)
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】过 作 轴于 ，
，
则 ，
在 中， ，
即 ， ，
即 .
故答案为： .
【分析】首先构建直角三角形，已知 tanα＝ ，即CF与OC的比值。即可求出CF，即y值。
8．（2019·龙湖模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，则sinB＝ ．
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】∵∠C＝90°，BC＝4，AC＝3，
∴AB＝5，
∴sinB＝ ．
故答案为： .
【分析】根据勾股定理求得AB，在直角三角形ACB中，求 sinB 列出公式代数即可。
9．（锐角三角函数(433)+—+互余两角三角函数的关系（容易））若sinA= ，则cos（90°﹣A）= ．
【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：∵∠A与∠90°﹣A互余，
∴cos（90°﹣A）=sinA= ．
故答案为 ．
【分析】根据一个角的正弦值等于它的余角的余弦值即可求解．
10．（2019·乐山）如图，在△ 中， ， ， .则 边的长为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】过A作AD⊥BC于D点，
∵ ，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD= .
【分析】根据三角函数的定义，已知cosC=，故过A作AD⊥BC于D点。根据已知条件得CD，利用勾股定理得AD。在直角三角形ADB中 ，利用特殊角三角函数值即可求出AB。
三、计算题
11．（湘教版九年级数学上册 4.2 正切 同步练习）计算：
（1）sin260°﹣tan30° cos30°+tan45°
（2）cos245°+sin245°+sin254°+cos254°
【答案】（1）解：原式=（ ）2﹣ × +1= ﹣ +1
=
（2）解：原式=（cos245°+sin245°）+（sin254°+cos254°）
=1+1
=2
【知识点】同角三角函数的关系；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】根据三角函数的特殊角的值以及同角三角函数的关系，可代入求出值。
12．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）已知α为一锐角，sinα= ，求cosα，tanα．
【答案】解：由sinα= = ，设a=4x，c=5x，
则b= =3x，
故cosα= = ，tanα= = ．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】根据sinα= ，设出关于两边的代数表达式，再根据勾股定理求出第三边长的表达式即可推出cosα的值，同理可得tanα的值．
13．（初中数学北师大版九年级下册1.3三角函数的计算练习题）在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ．求cosA，sinB，tanB的值．
【答案】解：∵sinA= = ，
∴设AB=13x，BC=12x，
由勾股定理得：AC= = =5x，
∴cosA= = ，
sinB=cosA= ，
tanB= =
【知识点】同角三角函数的关系；互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】根据sinA= = 设AB=13x，BC=12x，根据勾股定理求出AC=5x，根据锐角三角函数的定义求出即可．
四、解答题
14．（锐角三角函数(433)+—+互余两角三角函数的关系（容易））已知 ，且0°＜α＜45°，求sinα的值．
【答案】解：∵ ，
∴（sinα+cosα）2= ，即sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，
而sin2α+cos2α=1，
∴2sinα cosα= ，
∴1﹣2sinα cosα= ，即sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，
∴（sinα﹣cosα）2= ，
∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜cosα，
∴sinα﹣cosα=﹣ ，
而 ，
∴2sinα= ，
∴sinα= ．
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【分析】把已知条件两边平方得到sin2α+cos2α+2sinα cosα= ，再利用sin2α+cos2α=1，则2sinα cosα= ，所以sin2α+cos2α﹣2sinα cosα= ，即（sinα﹣cosα）2= ，当0°＜α＜45°，sinα＜cosα，于是sinα﹣cosα=﹣ ，加上 ，利用加减法即可求得sinα．
15．（ 同角三角函数的关系）已知tana= ，求 的值．
【答案】解：如图，∵tana= ，
∴设BC=x，则AC=4x，AB=5x，
∴原式= = =﹣7．
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】根据题意画出图形，利用锐角三角函数的定义求解即可．
1 / 1
