初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
一、单选题
1．（2019九上·港南期中） 的值是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·玉田期中）计算： （ ）
A． B． C． D．
3．（2019九上·西城期中）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
4．（2019·乐山）如图，在边长为 的菱形 中， ，过点 作 于点 ，现将△ 沿直线 翻折至△ 的位置， 与 交于点 .则 等于（ ）
A． B． C． D．
5．（浙教版2019中考数学模拟试卷4）分别写有0，2﹣1，﹣2，cos30°，3的五张卡片，除数不同外其他均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
二、计算题
6．（2019九上·港南期中）
（1）计算： .
（2）解方程： .
7．（2019九上·西城期中）计算：2cos30°+ sin45°﹣tan260°﹣tan45°．
8．（2019九上·深圳期中）计算：
9．（2019九上·南阳月考）先化简，再求值， ，其中a＝﹣2sin30°.
三、解答题
10．（2019九上·延安期中）如图，边长为1的正方形OABC绕着点O逆时针旋转30°得到正方形ODEF，连接AF，求 的周长.
四、综合题
11．（2019·毕节）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数.例如：M{1，2，9}＝ ＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1.请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝ ；
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝ ；
（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（3）若min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，求x的取值范围.
12．（2019·山西模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=4， ，∠A=30°.
（1）请求出线段AD的长度.
（2）请求出 的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： =
故答案为：C.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算即可.
2．【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】将sin60°= ，tan30°= 代入运算即可．
3．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴sin∠ABC＝ ；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，再解直角三角形求出即可．
4．【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵∠B=30°，AB= ，AE⊥BC
∴AE= ，BE=
∴BF=3，EC= - ，则CF=3-
又∵CG∥AB
∴
∴
解得CG= .
【分析】在直角三角形AEB中，根据特殊角三角函数值，求出BE、AE。由翻折的性质得BE=EF。根据菱形的性质得CF长度。判断△CGF∽△BAF，对应边成比例，即可求出CG。
5．【答案】A
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为2﹣1＝ ，cos30°＝ ，
所以在数字0，2﹣1，﹣2，cos30°，3中，负数有﹣2，
则从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率＝ ．
故答案为：A．
【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，先将 2﹣1，cos30°，化简，再根据负数小于0得出这5个数据中共有1个，根据概率公式即可算出 从中任意抽取一张，抽到负数的概率。
6．【答案】（1）解： .
（2）解： ，
原方程可变形为： ，
∴ 或 ，
∴ 或 .
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据零指数幂的法则、实数的绝对值、负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值分别计算各项，再合并即可；（2）利用分解因式法解方程即可.
7．【答案】解：原式＝2× + ﹣3﹣1
＝ ﹣3．
【知识点】二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把特殊角函数值代入计算，即可得到答案.
8．【答案】解：
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】按顺序先分别化简绝对值、进行乘方运算、代入特殊角的三角函数值、进行0次幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
9．【答案】解：原式＝
＝
＝ ，
当a＝﹣2sin30°＝﹣2× ＝﹣1时，
原式＝ ＝﹣1
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将括号里的分式减法通分计算，再将分式的除法转化为乘法，约分化简；利用特殊角的三角函数值求出a的值，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算可求值。
10．【答案】解：记BC与ED的交点为G，连结OG交AF与点H.
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△OCG和△ODG均为直角三角形.
又∵ ，
∴Rt△OCG≌Rt△ODG.
∴DG＝CG，∠COG＝∠DOG.
∴BG＝EG.
又∵∠AOD＝∠FOC，
∴∠FOH＝∠AOH＝ ∠AOF＝60°.
又∵OA＝OF，
∴AH＝FH＝AOsin60°=1× = ，
∴AF＝2AH=
∴ 的周长=AO+FO+AF=1+1+ =2+ .
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设BC与ED的交点为G，连结OG交AF与点H，首先利用HL判断出Rt△OCG≌Rt△ODG ，根据全等三角形的对应边相等得出 DG＝CG，∠COG＝∠DOG ，根据正方形的性质及等式的性质得出 BG＝EG ，根据等角的余角相等得出 ∠AOD＝∠FOC ，故 ∠FOH＝∠AOH＝ ∠AOF＝60° ，根据等腰三角形的三线合一即正弦函数的定义得出 AH＝FH＝AOsin60° =，从而即可解决问题得出答案.
11．【答案】（1）；
（2）解：∵M{﹣2x，x2，3}＝2，
∴ ，
解得x＝﹣1或3
（3）解：∵min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，
∴ ，
解得﹣2≤x≤4
【知识点】一元一次不等式组的应用；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；平均数及其计算
【解析】【解答】解：(1)①M{(﹣2)2，22，﹣22}＝ ，
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝ ，
故答案为：① ；② ；
【分析】（1）①根据乘方的意义将各个数化简，再根据平均数的计算方法算出答案即可；②根据特殊锐角三角函数值将各个数化简，再找出其中最小的数即可；
（2）根据平均数的计算方法，由这组数的平均数是2，列出方程，求解即可；
（3）根据这组数的最小值是-5，列出不等式组，求解即可。
12．【答案】（1）解：在 中，∵ ， ， ，
∴
（2）解：在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）三角形中特殊三角函数值的运算。
（2）求 ，首先先确定对应的边，由（1）可得CD、BD，根据勾股定理求得BC，即而求出 的值。
1 / 1初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.2 30°，45°，60°角的三角函数值
一、单选题
1．（2019九上·港南期中） 的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： =
故答案为：C.
【分析】直接利用特殊角的三角函数值计算即可.
2．（2019九上·玉田期中）计算： （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解： ，
故答案为：B.
【分析】将sin60°= ，tan30°= 代入运算即可．
3．（2019九上·西城期中）如图，每个小正方形的边长都为1，点A、B、C都在小正方形的顶点上，则∠ABC的正弦值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：连接AC，如图所示：
由勾股定理得：AB2＝32+12＝10，BC2＝22+12＝5，AC2＝22+12＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，AC＝BC，
∴∠ACB＝90°，∠ABC＝45°，
∴sin∠ABC＝ ；
故答案为：D．
【分析】根据勾股定理求出△ABC的各个边的长度，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，再解直角三角形求出即可．
4．（2019·乐山）如图，在边长为 的菱形 中， ，过点 作 于点 ，现将△ 沿直线 翻折至△ 的位置， 与 交于点 .则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理的应用；菱形的性质；相似三角形的判定与性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】∵∠B=30°，AB= ，AE⊥BC
∴AE= ，BE=
∴BF=3，EC= - ，则CF=3-
又∵CG∥AB
∴
∴
解得CG= .
【分析】在直角三角形AEB中，根据特殊角三角函数值，求出BE、AE。由翻折的性质得BE=EF。根据菱形的性质得CF长度。判断△CGF∽△BAF，对应边成比例，即可求出CG。
5．（浙教版2019中考数学模拟试卷4）分别写有0，2﹣1，﹣2，cos30°，3的五张卡片，除数不同外其他均相同，从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】负整数指数幂；求特殊角的三角函数值；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：因为2﹣1＝ ，cos30°＝ ，
所以在数字0，2﹣1，﹣2，cos30°，3中，负数有﹣2，
则从中任意抽取一张，那么抽到负数的概率＝ ．
故答案为：A．
【分析】根据负指数的意义，特殊锐角三角函数值，先将 2﹣1，cos30°，化简，再根据负数小于0得出这5个数据中共有1个，根据概率公式即可算出 从中任意抽取一张，抽到负数的概率。
二、计算题
6．（2019九上·港南期中）
（1）计算： .
（2）解方程： .
【答案】（1）解： .
（2）解： ，
原方程可变形为： ，
∴ 或 ，
∴ 或 .
【知识点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；因式分解法解一元二次方程；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）根据零指数幂的法则、实数的绝对值、负整数指数幂的运算法则和特殊角的三角函数值分别计算各项，再合并即可；（2）利用分解因式法解方程即可.
7．（2019九上·西城期中）计算：2cos30°+ sin45°﹣tan260°﹣tan45°．
【答案】解：原式＝2× + ﹣3﹣1
＝ ﹣3．
【知识点】二次根式的混合运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】把特殊角函数值代入计算，即可得到答案.
8．（2019九上·深圳期中）计算：
【答案】解：
【知识点】实数的运算；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】按顺序先分别化简绝对值、进行乘方运算、代入特殊角的三角函数值、进行0次幂运算，然后再按运算顺序进行计算即可.
9．（2019九上·南阳月考）先化简，再求值， ，其中a＝﹣2sin30°.
【答案】解：原式＝
＝
＝ ，
当a＝﹣2sin30°＝﹣2× ＝﹣1时，
原式＝ ＝﹣1
【知识点】分式的化简求值；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】将括号里的分式减法通分计算，再将分式的除法转化为乘法，约分化简；利用特殊角的三角函数值求出a的值，然后将a的值代入化简后的代数式进行计算可求值。
三、解答题
10．（2019九上·延安期中）如图，边长为1的正方形OABC绕着点O逆时针旋转30°得到正方形ODEF，连接AF，求 的周长.
【答案】解：记BC与ED的交点为G，连结OG交AF与点H.
∵∠D＝∠C＝90°，
∴△OCG和△ODG均为直角三角形.
又∵ ，
∴Rt△OCG≌Rt△ODG.
∴DG＝CG，∠COG＝∠DOG.
∴BG＝EG.
又∵∠AOD＝∠FOC，
∴∠FOH＝∠AOH＝ ∠AOF＝60°.
又∵OA＝OF，
∴AH＝FH＝AOsin60°=1× = ，
∴AF＝2AH=
∴ 的周长=AO+FO+AF=1+1+ =2+ .
【知识点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；正方形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】设BC与ED的交点为G，连结OG交AF与点H，首先利用HL判断出Rt△OCG≌Rt△ODG ，根据全等三角形的对应边相等得出 DG＝CG，∠COG＝∠DOG ，根据正方形的性质及等式的性质得出 BG＝EG ，根据等角的余角相等得出 ∠AOD＝∠FOC ，故 ∠FOH＝∠AOH＝ ∠AOF＝60° ，根据等腰三角形的三线合一即正弦函数的定义得出 AH＝FH＝AOsin60° =，从而即可解决问题得出答案.
四、综合题
11．（2019·毕节）某中学数学兴趣小组在一次课外学习与探究中遇到一些新的数学符号，他们将其中某些材料摘录如下：
对于三个实数a，b，c，用M{a，b，c}表示这三个数的平均数，用min{a，b，c}表示这三个数中最小的数.例如：M{1，2，9}＝ ＝4，min{1，2，﹣3}＝﹣3，min{3，1，1}＝1.请结合上述材料，解决下列问题：
（1）①M{（﹣2）2，22，﹣22}＝ ；
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝ ；
（2）若M{﹣2x，x2，3}＝2，求x的值；
（3）若min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，求x的取值范围.
【答案】（1）；
（2）解：∵M{﹣2x，x2，3}＝2，
∴ ，
解得x＝﹣1或3
（3）解：∵min{3﹣2x，1+3x，﹣5}＝﹣5，
∴ ，
解得﹣2≤x≤4
【知识点】一元一次不等式组的应用；求特殊角的三角函数值；有理数的乘方法则；平均数及其计算
【解析】【解答】解：(1)①M{(﹣2)2，22，﹣22}＝ ，
②min{sin30°，cos60°，tan45°}＝ ，
故答案为：① ；② ；
【分析】（1）①根据乘方的意义将各个数化简，再根据平均数的计算方法算出答案即可；②根据特殊锐角三角函数值将各个数化简，再找出其中最小的数即可；
（2）根据平均数的计算方法，由这组数的平均数是2，列出方程，求解即可；
（3）根据这组数的最小值是-5，列出不等式组，求解即可。
12．（2019·山西模拟）如图，在△ABC中，BD⊥AC，AB=4， ，∠A=30°.
（1）请求出线段AD的长度.
（2）请求出 的值.
【答案】（1）解：在 中，∵ ， ， ，
∴
（2）解：在 中，∵ ， ， ，
∴ ，
∵ ， ，
∴ ，
在 中，
∵ ， ， ，
∴ ，
∴
【知识点】勾股定理；锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）三角形中特殊三角函数值的运算。
（2）求 ，首先先确定对应的边，由（1）可得CD、BD，根据勾股定理求得BC，即而求出 的值。
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