初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.4用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2019八下·莲都期末）已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2－5x＋6＝0的两个根,则此直角三角形斜边长是（ ）
A． B． C．13 D．5
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：∵x2－5x＋6＝0 ，
∴(x-2)(x-3)=0,
∴x-2=0或x-3=0，
解得 x1=2,x2=3,
∴ 此直角三角形斜边长=
故答案为：A。
【分析】先利用因式分解法求出方程的两根，然后根据勾股定理算出 此直角三角形斜边长即可。
2．（2019八下·嘉兴期末）已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值是（ ）
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵(x2-x)2-4(x2-x)-12=0
∴（x2-x-6）（x2-x+2）=0
∴x2-x-6=0或x2-x+2=0
当x2-x=6时， x2-x+1=6+1=7
x2-x+2=0，
b2-4ac=1-8=-7＜0
此方程无实数解
故答案为：A
【分析】将x2-x看着整体，将原方程利用因式分解法解方程可得到x2-x-6=0或x2-x+2=0（此方程无实数解），就来求出x2-x的值，然后整体代入代数式求值。
3．设α、β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根， 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当x≥0时
原方程2x2﹣3|x|﹣2＝0转化为2x2﹣3x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣ （舍去）；
当x＜0时
原方程2x2﹣3|x|﹣2＝0转化为2x2+3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝ （舍去）．所以方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根α、β分别是2、﹣2，
将2、﹣2代入 中可得结果为﹣1．
故答案为：A．
【分析】含绝对值的方程，需要分类讨论：①当x≥0时，根据绝对值的意义去掉绝对值符号得出方程，利用因式分解法求解并检验即可得出原方程的根；②当x＜0时根据绝对值的意义去掉绝对值符号得出方程，利用因式分解法求解并检验即可得出原方程的根；综上所述即可得出α，β的值，再将两值代入代数式即可算出答案。
4．（2019·莲都模拟）三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．12或15
【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2﹣13x+40＝0可得x＝5或x＝8，
当第三边为5时，则三角形的三边长为3、4、5，满足三角形三边关系，其周长为12，
当第三边为8时，则三角形的三边长为3、4、8，不满足三角形三边关系，舍去，
∴该三角形的周长为12，
故答案为：A.
【分析】先解方程求出x的值，再根据三角形三边之间的关系作出判断即可.
5．（2019·贵港模拟）如果三角形的两边长分别为方程x2﹣8x+15＝0的两根，则该三角形周长L的取值范围是（ ）
A．6＜L＜15 B．6＜L＜16 C．10＜L＜16 D．11＜L＜13
【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
x﹣5＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝5，x2＝3，
所以该三角形周长L的取值范围是10＜L＜16
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再根据两边之差＜L＜两边之和，就可求出L的取值范围。
二、填空题
6．（2019·扬州）一元二次方程 的根是 .
【答案】x1=1，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项得 ,
∴（x-2）（x-1）=0，
∴x-2=0，或x-1=0，
解得： x1=1，x2=2。
故答案为： x1=1，x2=2。
【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，然后利用提公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解。
7．（2019·桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 .
【答案】x1＝3，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2。
故答案为：x1＝3，x2＝2。
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解。
8．（2019八下·杭州期中）若 ，则 的值为 .
【答案】2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ ,
解得： (舍去)
故x=2.
【分析】将方程 两边同时平方得2+=x2,由于 ，故方程可以变形为，利用因式分解法求解并检验即可得出答案。
三、计算题
9．（2019八下·嵊州期末）解方程：
（1）x2-x=0
（2）x2+6x-16=0
【答案】（1）解：x(x-1)=0
x1=0，x2=1
（2）解：(x-2)(x+8)=0
x1=2，x2=-8
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察此方程的特点：右边为0，左边含有公因式x，因此利用因式分解法解此方程。
（2）观察此方程的特点：右边为0，左边能分解因式，因此利用因式分解法解这个方程。
四、综合题
10．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴y轴的垂线相交于B点，且OA，OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形．请直接写出P点坐标．
【答案】（1）解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8，
OA，OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根，
OC=6，C(0，6)
（2）解：设直线MN的解析式是y=kx+b，
由(1)知OA=8，A(8，0)，
点A，C都在直线MN上，
,解得
直线MN的解析式是y= x+ 6
（3）解：A(8，0)，C(0，6)．根据题意，知B(8，6)，
点P在直线MN上，设P(a， a+6)，
当以点P，B．C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1(4，3)；
②当PC=BC时，a2+( a+6-6)2=64，
解得，a= ，则P2(- ， )，P3( ， )；
③当PB=BC时，(a-8)2+(- a+6-6)2=64，
解得a= ，则- a+6=- ，
P4( ，- )，
综上所述，符合条件的点P有：P1(4，3)，P2(- ， )，P3( ， )；
P4( ，- )
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，由OA>OC，确定出OA、OC的长，根据OC的长可确定出点C的坐标。
（2）根据OA的长，可得到点A的坐标，再根据直线MN经过点C、A，由点A、C的坐标，利用待定系数法可得到直线MN的函数解析式。
（3）根据已知条件已知四边形OABC是矩形，由点A、C的坐标，求出点B的坐标，从而可求出BC的长为8，由点P在直线MN上，因此利用函数解析式设P(a， a+6)， 再利用等腰三角形的判定定理分情况讨论： ①当PC=PB时；②当PC=BC时；③当PB=BC时；分别建立关于a的方程，解方程求出a的值，就可得到符合题意的点P的坐标。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章 2.4用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．（2019八下·莲都期末）已知直角三角形的两条直角边长恰好是方程x2－5x＋6＝0的两个根,则此直角三角形斜边长是（ ）
A． B． C．13 D．5
2．（2019八下·嘉兴期末）已知实数x满足(x2-x)2-4(x2-x)-12=0，则代数式x2-x+1的值是（ ）
A．7 B．-1 C．7或-1 D．-5或3
3．设α、β是方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根， 的值是（ ）
A．﹣1 B．1 C． D．
4．（2019·莲都模拟）三角形的两边长分别为3和4，第三边长是方程x2﹣13x+40＝0的根，则该三角形的周长是（ ）
A．12 B．13 C．15 D．12或15
5．（2019·贵港模拟）如果三角形的两边长分别为方程x2﹣8x+15＝0的两根，则该三角形周长L的取值范围是（ ）
A．6＜L＜15 B．6＜L＜16 C．10＜L＜16 D．11＜L＜13
二、填空题
6．（2019·扬州）一元二次方程 的根是 .
7．（2019·桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 .
8．（2019八下·杭州期中）若 ，则 的值为 .
三、计算题
9．（2019八下·嵊州期末）解方程：
（1）x2-x=0
（2）x2+6x-16=0
四、综合题
10．如图，直线MN与x轴，y轴分别相交于A，C两点，分别过A，C两点作x轴y轴的垂线相交于B点，且OA，OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根．
（1）求C点坐标；
（2）求直线MN的解析式；
（3）在直线MN上存在点P，使以P，B，C三点为顶点的三角形是等腰三角形．请直接写出P点坐标．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：∵x2－5x＋6＝0 ，
∴(x-2)(x-3)=0,
∴x-2=0或x-3=0，
解得 x1=2,x2=3,
∴ 此直角三角形斜边长=
故答案为：A。
【分析】先利用因式分解法求出方程的两根，然后根据勾股定理算出 此直角三角形斜边长即可。
2．【答案】A
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ∵(x2-x)2-4(x2-x)-12=0
∴（x2-x-6）（x2-x+2）=0
∴x2-x-6=0或x2-x+2=0
当x2-x=6时， x2-x+1=6+1=7
x2-x+2=0，
b2-4ac=1-8=-7＜0
此方程无实数解
故答案为：A
【分析】将x2-x看着整体，将原方程利用因式分解法解方程可得到x2-x-6=0或x2-x+2=0（此方程无实数解），就来求出x2-x的值，然后整体代入代数式求值。
3．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：当x≥0时
原方程2x2﹣3|x|﹣2＝0转化为2x2﹣3x﹣2＝0，
解得x1＝2，x2＝﹣ （舍去）；
当x＜0时
原方程2x2﹣3|x|﹣2＝0转化为2x2+3x﹣2＝0，
解得x1＝﹣2，x2＝ （舍去）．所以方程2x2﹣3|x|﹣2＝0的两个实数根α、β分别是2、﹣2，
将2、﹣2代入 中可得结果为﹣1．
故答案为：A．
【分析】含绝对值的方程，需要分类讨论：①当x≥0时，根据绝对值的意义去掉绝对值符号得出方程，利用因式分解法求解并检验即可得出原方程的根；②当x＜0时根据绝对值的意义去掉绝对值符号得出方程，利用因式分解法求解并检验即可得出原方程的根；综上所述即可得出α，β的值，再将两值代入代数式即可算出答案。
4．【答案】A
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：解方程x2﹣13x+40＝0可得x＝5或x＝8，
当第三边为5时，则三角形的三边长为3、4、5，满足三角形三边关系，其周长为12，
当第三边为8时，则三角形的三边长为3、4、8，不满足三角形三边关系，舍去，
∴该三角形的周长为12，
故答案为：A.
【分析】先解方程求出x的值，再根据三角形三边之间的关系作出判断即可.
5．【答案】C
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：（x﹣5）（x﹣3）＝0，
x﹣5＝0或x﹣3＝0，
所以x1＝5，x2＝3，
所以该三角形周长L的取值范围是10＜L＜16
故答案为：C.
【分析】利用因式分解法求出方程的解，再根据两边之差＜L＜两边之和，就可求出L的取值范围。
6．【答案】x1=1，x2=2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项得 ,
∴（x-2）（x-1）=0，
∴x-2=0，或x-1=0，
解得： x1=1，x2=2。
故答案为： x1=1，x2=2。
【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，然后利用提公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解。
7．【答案】x1＝3，x2＝2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2。
故答案为：x1＝3，x2＝2。
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解。
8．【答案】2.
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵
∴
∴ ,
解得： (舍去)
故x=2.
【分析】将方程 两边同时平方得2+=x2,由于 ，故方程可以变形为，利用因式分解法求解并检验即可得出答案。
9．【答案】（1）解：x(x-1)=0
x1=0，x2=1
（2）解：(x-2)(x+8)=0
x1=2，x2=-8
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察此方程的特点：右边为0，左边含有公因式x，因此利用因式分解法解此方程。
（2）观察此方程的特点：右边为0，左边能分解因式，因此利用因式分解法解这个方程。
10．【答案】（1）解：解方程x2-14x+48=0得x1=6，x2=8，
OA，OC(OA>OC)的长分别是一元二次方程x2-14x+48=0的两个实数根，
OC=6，C(0，6)
（2）解：设直线MN的解析式是y=kx+b，
由(1)知OA=8，A(8，0)，
点A，C都在直线MN上，
,解得
直线MN的解析式是y= x+ 6
（3）解：A(8，0)，C(0，6)．根据题意，知B(8，6)，
点P在直线MN上，设P(a， a+6)，
当以点P，B．C三点为顶点的三角形是等腰三角形时，需分类讨论：
①当PC=PB时，点P是线段BC的中垂线与直线MN的交点，则P1(4，3)；
②当PC=BC时，a2+( a+6-6)2=64，
解得，a= ，则P2(- ， )，P3( ， )；
③当PB=BC时，(a-8)2+(- a+6-6)2=64，
解得a= ，则- a+6=- ，
P4( ，- )，
综上所述，符合条件的点P有：P1(4，3)，P2(- ， )，P3( ， )；
P4( ，- )
【知识点】因式分解法解一元二次方程；待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定；矩形的性质
【解析】【分析】（1）利用因式分解法求出一元二次方程的解，由OA>OC，确定出OA、OC的长，根据OC的长可确定出点C的坐标。
（2）根据OA的长，可得到点A的坐标，再根据直线MN经过点C、A，由点A、C的坐标，利用待定系数法可得到直线MN的函数解析式。
（3）根据已知条件已知四边形OABC是矩形，由点A、C的坐标，求出点B的坐标，从而可求出BC的长为8，由点P在直线MN上，因此利用函数解析式设P(a， a+6)， 再利用等腰三角形的判定定理分情况讨论： ①当PC=PB时；②当PC=BC时；③当PB=BC时；分别建立关于a的方程，解方程求出a的值，就可得到符合题意的点P的坐标。
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