初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.4 弧长和扇形的面积
一、基础巩固
1．（2019九下·秀洲月考）如图，小正方形的边长均为1，扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面周长为（ ）
A． B． C．2 D．3
2．（2019·温州模拟）已知扇形的弧长为 ，圆心角为120°，则它的半径为 。
3．（2019·温州模拟）已知一扇形的半径长是4，圆心角为60°，则这个扇形的面积为 .
4．（2019七下·东台月考）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为 （结果保留 ）
5．（2019九下·常熟月考）如图，矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC边相切于点E，且AD＝8、AB＝6，则图中阴影部分的面积是 ．
二、强化提升
6．（2019九下·象山月考）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．9πm2 B． πm2 C．15πm2 D． πm2
7．（2019九下·象山月考）如图，在Rt△ABC中，BC＝3，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动．下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝3 ；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③C，O两点间的最大距离是6；④斜边AB的中点D运动的路径长是 π，其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．①③④
8．（2019·海珠模拟）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA= OA，阴影部分的面积为6π，则⊙O的半径长为 ．
9．（2019九上·徐闻期末）
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2．
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
10．（2019·秀洲模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠1=22.5°，⊙O的半径R=2，求弧PCB与弦PB围成的弓形面积．
三、真题演练
11．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
12．（2019·绍兴）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则 的长为（ ）
A．π B． π C．2π D． π
13．（2019·哈尔滨）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 度．
14．（2019·梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 .
15．（2019·北部湾）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径.AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E.交⊙O于点D，连接BD.
（1）求证:∠BAD=∠CBD:
（2）若∠AEB=125°.求 的长(结果保留π).
16．（2019·衢州）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长为1
∴AB=4，OA=OB=
∵OA2+OB2=16，AB2=16
OA2+OB2=AB2
∴∠AOB=90°
∴弧AB的长即圆锥的底面圆的周长为：=
故答案为：B
【分析】利用勾股定理及勾股定理的逆定理，就可求出∠AOB的度数及OA的长，再利用弧长公式就可求出圆锥的底面周长。
2．【答案】2
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设它的半径为R，
∴,
解之：R=2.
故答案为：2.
【分析】根据弧长公式为：,结合已知条件，建立关于R的方程，解方程求出R的值。
3．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积为 ：；
故答案为 ： 。
【分析】根据扇形的面积计算公式S=即可直接算出答案。
4．【答案】2πR2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵六个扇形的圆心角的和=（4﹣2）×180°=720°，
∴S阴影部分= =2πR2.
故答案为：2πR2.
【分析】根据题意可得六个扇形的圆心角的和=（4﹣2）×180°=720°，然后根据扇形的面积公式解答即可.
5．【答案】4π
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OE．
阴影部分的面积＝S△BCD﹣(S矩形ODCE﹣S扇形ODE)＝
×6×8﹣(4×6﹣
π×4×4)＝4π．
答：阴影部分的面积为4π．
故答案为：4π
【分析】 连接OE．先求空白部分DCE的面积，再用△BCD的面积-空白部分DCE的面积得阴影面积．
6．【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】大扇形的圆心角是90度，半径是6，如图，
所以面积= =9πm2；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，
则面积= π（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+ π= π（m2）．
故答案为：B．
【分析】根据题意画出示意图，由题意可知：大扇形的圆心角是90度，半径是6小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，然后根据扇形的面积计算公式S=算出大小两扇形的面积，再求出其和即可。
7．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝3，∠BAC＝30°，
∴AB＝6，AC＝ ＝3 ，①若C、O两点关于AB对称，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA＝AC＝3 ；
所以①正确；
②当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∴AB与OC互相平分，
但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，
所以②不正确；
③取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴OE＝CE＝ AB＝3
∵OC≤OE+EC，
∴当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为6；
所以③正确；
④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的 ，
则： ×2π 3＝ π，
所以④正确；
综上所述，本题正确的有：①③④；
故答案为：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB，AC的长， 根据对称的性质，由C、O两点关于AB对称，即可得出AB是OC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出OA＝AC ，所以①正确；②当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直；
③取AB的中点为E，连接OE、CE，当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为6；
④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的 ，根据弧长公式进行计算即可．
8．【答案】3
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线 ，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠BPO=∠AOP，
∴∠POB=∠POA
在Rt△PAO中，PA= OA ，
∴tan∠POA=
=
，
∴∠POA=60°，
∴∠AOB=120°，
阴影部分的面积：
，
∴OA=3，
∴⊙O的半径为3.
故答案为：3.
【分析】根据切线的性质及切线长定理，可得∠PAO=90°及∠BPO=∠AOP，可得∠POB=∠POA，由特殊角的三角函数值，可得∠POA=60°，即得∠AOB=120°，最后利用扇形面积公式建立等量，从而求出半径的长。
9．【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）解：如图，△A2BC2为所作的图。
（3）解：∵BC＝ ＝ ，
∴C点旋转到C2点所经过的路径长为 ＝ π．
【知识点】弧长的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别确定点A，点B和点C的坐标，根据关于x轴对称的两个点的坐标的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到三个点关于x轴的对称点，画出图形即可。
（2）以一条边为初始边，将其逆时针旋转90°，得出需要作的图即可。
（3）根据勾股定理求出BC的长度，再根据弧长公式求出C点旋转的轨迹即可。
10．【答案】（1）证明： 证明：∵ 弧BC=弧BC,
∴ ∠P=∠C,
又∵∠1=∠C ,
∴∠P=∠1,
∴BC∥PD ;
（2） 解：连接OP，
∵ CD⊥AB ，AB是直径，
∴ 弧BC=弧BD ，
∵ ∠1=∠C ，
∴ 弧PC=弧BD ,
∴ 弧PC=弧BC，
∵ ∠1=22.5°
∴∠POB=90°，
∴ 弧PCB与弦PB围成的弓形面积 =S扇形POB-S△POB== π-2 .
【知识点】平行线的判定；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠P=∠C,又∠1=∠C ,故∠P=∠1,根据内错角相等，二直线平行得出BC∥PD ;
（2） 利用垂径定理可得弧BC=弧BD ，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得出弧PC=弧BD ,故弧PC=弧BC，根据圆周角定理即可得出∠POB=90°，然后根据 弧PCB与弦PB围成的弓形面积 =S扇形POB-S△POB即可算出答案。
11．【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得： 。
故答案为：C。
【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。
12．【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB
∴∠A=180°-65°-70°=45°
∵弧BC=弧BC
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°
∵OB=OC
在Rt△OBC中，∠OBC=45°
∴OC=BCsin45°= =2
∴弧BC的长为：
故答案为：A
【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。
13．【答案】110
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ 一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，设此弧的圆心角为n，
解之：n=110°
故答案为：110
【分析】利用弧长公式：，将相关的数据代入建立关于n的方程，解方程求出n。
14．【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，
∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝65°，
∴∠AOC＝50°，
∴阴影部分的扇形OAC面积＝ ＝ 。
故答案为： 。
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，得出∠C＝∠ADO﹣∠CAB=65°，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠AOC＝50°，从而即可根据扇形的面积计算公式S=算出阴影部分的面积。
15．【答案】（1）证明:∵AD平分∠BAC.∴∠CAD=∠BAD
又∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
（2）解:如图，
∵∠AEB=125° ∴∠AEC=55°
∵AB是直径 ∴∠ACE=90°
∴∠CAE=35° ∠DAB=35°
则 所对圆心角∠DOB=70°
∴
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，易证∠CAD=∠BAD，再利用圆周角定理可知∠CBD=∠CAD，即可得到结论。
（2）连接OD，根据平角定义，可求出∠AEC，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，从而可求出∠CAE的度数及∠BOD的度数，然后利用弧长公式通过计算可求出及BD的长。
16．【答案】（1）证明：如图，连结OD．
∵OC=OD，AB=AC，
∴∠1=∠C，∠C=∠B，
∴∠1=∠B,
∴DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径．
∴∠ADC=90°．
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠AOD=60°．
∵DE= ，
∴BD=CD=2 ，
∴OC=2，…6分
∴AD= π×2= π
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B，由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°，等量代换得∠2+∠1=90°，由平角定义得∠DOE=90°，从而可得证.（2）连结AD，由圆周角定理得∠ADC=90°，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中，由直角三角形性质得BD=CD=2 ，在Rt△ADC中，由直角三角形性质得OA=OC=2，再由弧长公式计算即可求得答案.
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十四章 24.4 弧长和扇形的面积
一、基础巩固
1．（2019九下·秀洲月考）如图，小正方形的边长均为1，扇形OAB是某圆锥的侧面展开图，则这个圆锥的底面周长为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：∵小正方形的边长为1
∴AB=4，OA=OB=
∵OA2+OB2=16，AB2=16
OA2+OB2=AB2
∴∠AOB=90°
∴弧AB的长即圆锥的底面圆的周长为：=
故答案为：B
【分析】利用勾股定理及勾股定理的逆定理，就可求出∠AOB的度数及OA的长，再利用弧长公式就可求出圆锥的底面周长。
2．（2019·温州模拟）已知扇形的弧长为 ，圆心角为120°，则它的半径为 。
【答案】2
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：设它的半径为R，
∴,
解之：R=2.
故答案为：2.
【分析】根据弧长公式为：,结合已知条件，建立关于R的方程，解方程求出R的值。
3．（2019·温州模拟）已知一扇形的半径长是4，圆心角为60°，则这个扇形的面积为 .
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：扇形的面积为 ：；
故答案为 ： 。
【分析】根据扇形的面积计算公式S=即可直接算出答案。
4．（2019七下·东台月考）如图，一块六边形绿化园地，六角都做有半径为R的圆形喷水池，则这六个喷水池占去的绿化园地的面积为 （结果保留 ）
【答案】2πR2
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵六个扇形的圆心角的和=（4﹣2）×180°=720°，
∴S阴影部分= =2πR2.
故答案为：2πR2.
【分析】根据题意可得六个扇形的圆心角的和=（4﹣2）×180°=720°，然后根据扇形的面积公式解答即可.
5．（2019九下·常熟月考）如图，矩形ABCD中，以AD为直径的半圆与BC边相切于点E，且AD＝8、AB＝6，则图中阴影部分的面积是 ．
【答案】4π
【知识点】三角形的面积；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：连接OE．
阴影部分的面积＝S△BCD﹣(S矩形ODCE﹣S扇形ODE)＝
×6×8﹣(4×6﹣
π×4×4)＝4π．
答：阴影部分的面积为4π．
故答案为：4π
【分析】 连接OE．先求空白部分DCE的面积，再用△BCD的面积-空白部分DCE的面积得阴影面积．
二、强化提升
6．（2019九下·象山月考）如图，一根6m长的绳子，一端拴在围墙墙角的柱子上，另一端拴着一只小羊A（羊只能在草地上活动）那么小羊A在草地上的最大活动区域面积是（ ）
A．9πm2 B． πm2 C．15πm2 D． πm2
【答案】B
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】大扇形的圆心角是90度，半径是6，如图，
所以面积= =9πm2；
小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，
则面积= π（m2），
则小羊A在草地上的最大活动区域面积=9π+ π= π（m2）．
故答案为：B．
【分析】根据题意画出示意图，由题意可知：大扇形的圆心角是90度，半径是6小扇形的圆心角是180°-120°=60°，半径是2m，然后根据扇形的面积计算公式S=算出大小两扇形的面积，再求出其和即可。
7．（2019九下·象山月考）如图，在Rt△ABC中，BC＝3，∠BAC＝30°，斜边AB的两个端点分别在相互垂直的射线OM，ON上滑动．下列结论：①若C、O两点关于AB对称，则OA＝3 ；②若AB平分CO，则AB⊥CO；③C，O两点间的最大距离是6；④斜边AB的中点D运动的路径长是 π，其中正确的有（ ）
A．①② B．③④ C．②③④ D．①③④
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质；含30°角的直角三角形；矩形的判定与性质；弧长的计算；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：在Rt△ABC中，∵BC＝3，∠BAC＝30°，
∴AB＝6，AC＝ ＝3 ，①若C、O两点关于AB对称，
∴AB是OC的垂直平分线，
则OA＝AC＝3 ；
所以①正确；
②当∠ABO＝30°时，∠OBC＝∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴四边形AOBC是矩形，
∴AB与OC互相平分，
但AB与OC的夹角为60°、120°，不垂直，
所以②不正确；
③取AB的中点为E，连接OE、CE，
∵∠AOB＝∠ACB＝90°，
∴OE＝CE＝ AB＝3
∵OC≤OE+EC，
∴当OC经过点E时，OC最大，
则C、O两点距离的最大值为6；
所以③正确；
④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的 ，
则： ×2π 3＝ π，
所以④正确；
综上所述，本题正确的有：①③④；
故答案为：D．
【分析】根据含30°角的直角三角形的边之间的关系得出AB，AC的长， 根据对称的性质，由C、O两点关于AB对称，即可得出AB是OC的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出OA＝AC ，所以①正确；②当∠ABO=30°时，易证四边形OACB是矩形，此时AB与CO互相平分，但所夹锐角为60°，明显不垂直；
③取AB的中点为E，连接OE、CE，当OC经过AB的中点E时，OC最大，则C、O两点距离的最大值为6；
④斜边AB的中点D运动路径是：以O为圆心，以3为半径的圆周的 ，根据弧长公式进行计算即可．
8．（2019·海珠模拟）如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点，PA= OA，阴影部分的面积为6π，则⊙O的半径长为 ．
【答案】3
【知识点】切线的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：如图，连接OP，
∵PA、PB是⊙O的两条切线 ，
∴∠PAO=∠PBO=90°，∠BPO=∠AOP，
∴∠POB=∠POA
在Rt△PAO中，PA= OA ，
∴tan∠POA=
=
，
∴∠POA=60°，
∴∠AOB=120°，
阴影部分的面积：
，
∴OA=3，
∴⊙O的半径为3.
故答案为：3.
【分析】根据切线的性质及切线长定理，可得∠PAO=90°及∠BPO=∠AOP，可得∠POB=∠POA，由特殊角的三角函数值，可得∠POA=60°，即得∠AOB=120°，最后利用扇形面积公式建立等量，从而求出半径的长。
9．（2019九上·徐闻期末）
（1）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．
（2）请画出△ABC绕点B逆时针旋转90°后的△A2BC2．
（3）求出（2）中C点旋转到C2点所经过的路径长（结果保留根号和π）．
【答案】（1）解：如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（2，﹣4）；
（2）解：如图，△A2BC2为所作的图。
（3）解：∵BC＝ ＝ ，
∴C点旋转到C2点所经过的路径长为 ＝ π．
【知识点】弧长的计算；作图﹣轴对称；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）分别确定点A，点B和点C的坐标，根据关于x轴对称的两个点的坐标的横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可得到三个点关于x轴的对称点，画出图形即可。
（2）以一条边为初始边，将其逆时针旋转90°，得出需要作的图即可。
（3）根据勾股定理求出BC的长度，再根据弧长公式求出C点旋转的轨迹即可。
10．（2019·秀洲模拟）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，PB与CD交于点F，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若∠1=22.5°，⊙O的半径R=2，求弧PCB与弦PB围成的弓形面积．
【答案】（1）证明： 证明：∵ 弧BC=弧BC,
∴ ∠P=∠C,
又∵∠1=∠C ,
∴∠P=∠1,
∴BC∥PD ;
（2） 解：连接OP，
∵ CD⊥AB ，AB是直径，
∴ 弧BC=弧BD ，
∵ ∠1=∠C ，
∴ 弧PC=弧BD ,
∴ 弧PC=弧BC，
∵ ∠1=22.5°
∴∠POB=90°，
∴ 弧PCB与弦PB围成的弓形面积 =S扇形POB-S△POB== π-2 .
【知识点】平行线的判定；圆周角定理；扇形面积的计算
【解析】【分析】（1）根据同弧所对的圆周角相等得出∠P=∠C,又∠1=∠C ,故∠P=∠1,根据内错角相等，二直线平行得出BC∥PD ;
（2） 利用垂径定理可得弧BC=弧BD ，根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等得出弧PC=弧BD ,故弧PC=弧BC，根据圆周角定理即可得出∠POB=90°，然后根据 弧PCB与弦PB围成的弓形面积 =S扇形POB-S△POB即可算出答案。
三、真题演练
11．（2019·温州）若扇形的圆心角为90°，半径为6，则该扇形的弧长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：把已知数导入弧长公式即可求得： 。
故答案为：C。
【分析】求弧长，联想弧长公式，代入数字即可。
12．（2019·绍兴）如图，△ABC内接于⊙O，∠B=65°，∠C=70°，若BC=2 ，则 的长为（ ）
A．π B． π C．2π D． π
【答案】A
【知识点】圆周角定理；弧长的计算
【解析】【解答】解：连接OC、OB，
∵∠A=180°-∠ABC-∠ACB
∴∠A=180°-65°-70°=45°
∵弧BC=弧BC
∴∠BOC=2∠A=2×45°=90°
∵OB=OC
在Rt△OBC中，∠OBC=45°
∴OC=BCsin45°= =2
∴弧BC的长为：
故答案为：A
【分析】利用三角形内角和定理求出∠A，再根据圆周角定理，求出∠BOC的度数，就可证得△BOC是等腰直角三角形，利用解直角三角形求出OC的长，然后利用弧长公式计算可求出弧BC的长。
13．（2019·哈尔滨）一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，则此扇形的圆心角是 度．
【答案】110
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：∵ 一个扇形的弧长是11πcm，半径是18cm，设此弧的圆心角为n，
解之：n=110°
故答案为：110
【分析】利用弧长公式：，将相关的数据代入建立关于n的方程，解方程求出n。
14．（2019·梧州）如图，已知半径为1的⊙O上有三点A、B、C，OC与AB交于点D，∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，则阴影部分的扇形OAC面积是 .
【答案】
【知识点】三角形的外角性质；等腰三角形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵∠ADO＝85°，∠CAB＝20°，
∴∠C＝∠ADO﹣∠CAB＝65°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠C＝65°，
∴∠AOC＝50°，
∴阴影部分的扇形OAC面积＝ ＝ 。
故答案为： 。
【分析】根据三角形的一个外角等于与之不相邻的两个内角的和，得出∠C＝∠ADO﹣∠CAB=65°，根据等边对等角及三角形的内角和得出∠AOC＝50°，从而即可根据扇形的面积计算公式S=算出阴影部分的面积。
15．（2019·北部湾）如图，△ABC是⊙O的内接三角形，AB为⊙O直径.AB=6，AD平分∠BAC，交BC于点E.交⊙O于点D，连接BD.
（1）求证:∠BAD=∠CBD:
（2）若∠AEB=125°.求 的长(结果保留π).
【答案】（1）证明:∵AD平分∠BAC.∴∠CAD=∠BAD
又∠CBD=∠CAD
∴∠BAD=∠CBD
（2）解:如图，
∵∠AEB=125° ∴∠AEC=55°
∵AB是直径 ∴∠ACE=90°
∴∠CAE=35° ∠DAB=35°
则 所对圆心角∠DOB=70°
∴
【知识点】圆周角定理；三角形的外接圆与外心；弧长的计算
【解析】【分析】（1）根据角平分线的定义，易证∠CAD=∠BAD，再利用圆周角定理可知∠CBD=∠CAD，即可得到结论。
（2）连接OD，根据平角定义，可求出∠AEC，根据圆周角定理得到∠ACE=90°，从而可求出∠CAE的度数及∠BOD的度数，然后利用弧长公式通过计算可求出及BD的长。
16．（2019·衢州）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E.
（1）求证：DE是⊙O的切线.
（2）若DE= ，∠C=30°，求 的长。
【答案】（1）证明：如图，连结OD．
∵OC=OD，AB=AC，
∴∠1=∠C，∠C=∠B，
∴∠1=∠B,
∴DE⊥AB，
∴∠2+∠B=90°，
∴∠2+∠1=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE为⊙O的切线．
（2）解：连结AD，∵AC为⊙O的直径．
∴∠ADC=90°．
∵AB=AC,
∴∠B=∠C=30°，BD=CD，
∴∠AOD=60°．
∵DE= ，
∴BD=CD=2 ，
∴OC=2，…6分
∴AD= π×2= π
【知识点】圆周角定理；切线的判定；弧长的计算
【解析】【分析】（1）连结OD，根据等腰三角形性质和等量代换得∠1=∠B，由垂直定义和三角形内角和定理得∠2+∠B=90°，等量代换得∠2+∠1=90°，由平角定义得∠DOE=90°，从而可得证.（2）连结AD，由圆周角定理得∠ADC=90°，根据等腰三角形性质和三角形外角性质可得∠AOD=60°,在Rt△DEB中，由直角三角形性质得BD=CD=2 ，在Rt△ADC中，由直角三角形性质得OA=OC=2，再由弧长公式计算即可求得答案.
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