初中数学人教版八年级下学期 第十八章 18.1.2 平行四边形的判定
一、单选题
1．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=8，A0=6，则四边形DEFG的周长为（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．18
2．三角形的三条中位线长分别为2cm、3cm、4cm，则原三角形的周长为（ ）.
A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm
3．如图，已知矩形ABCD中，R， P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
4．在四边形ABCD中，现有以下条件：①AB//CD，②A B=CD，③BC//AD，④BC=AD，从中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）.
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）.
A．AD//BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC
C．AB//DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB
6．（2019八上·浦东期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
7．（2019九上·龙岗月考）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为（ ）
A． B． C． D．不确定
8．（2019九上·杭州开学考）如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，下列条件中不一定能判定四边形DEBF是平行四边形的是（ ）
A．AE=CF B．DE=BF C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB
二、填空题
9．（2019八下·顺德期末）如图，点 、 分别是平行四边形 的两边 、 的中点.若 的周长是30，则 的周长是 .
10．（2019·梧州）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是 cm.
三、解答题
11．已知:如图,△ABC的中线BD, CE交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.
12．（2019八下·廉江期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，M、N是对角线BD上的两点，且BM＝DN．求证：四边形AMCN是平行四边形.
四、综合题
13．（2019九上·朝阳期中）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、OD．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形。
（2）若△ADE的面积为6，则四边形DEFG的面积为 。
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、G分别是CA和OC的中点，
∴OD是△AOC的中位线，
∴OD=OA=×6=3，
∵D、E分别是AC和AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×8=4，
同理可得EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=OA，GF=BC，
∴EF=DG=3，GF=DE=4，
∴四边形DEFG的周长为 ：GD+DE+EF+FG=3+4+3+4=14.
故答案为；B.
【分析】由D、G、E、F分别是AC、OC、OB和AB的中点，可知四边形DEFG的四边都是三角形的中位线，从而可得各边的长，则其周长可求.
2．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得：三角形的三边长分别为4，6，8，
∴原三角形的周长=4+6+8=18cm.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半，分别可得原三角形的三边的长，则原三角形的周长可求.
3．【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP和RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF=AR，
∴EF的长度不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，利用三角形的中位线定理即可得出EF是AR的一半，因为AR长为定值，则EF长不变.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①②或③④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；
①③组合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定；
②④组合，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定；
∴共有4种选法.
故选：B.
【分析】根据两组对边分别平行或相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，先分别组合再逐一判断即可.
5．【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故A正确；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故B正确；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，故C错误；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故D正确.
故选：C.
【分析】两组对边分别平行、一组对边平行且相等、两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形都是平行四边形，据此逐一判断即可.
6．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AD=BD，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∴DE=3，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．
7．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1= AC，
∴△BA1B1∽△BAC，
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ，
又∵四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16，
∴SA1B1C1D1= ×16，
∴四边形AnBnCnDn的面积=16× = ．
【分析】根据三角形中位线定理得A1B1=AC，△BA1B1∽△BAC，进而利用相似三角形的性质得△BA1B1和△BAC的面积比等于.再求得四边形ABCD的面积是16，可得四边形A1B1C1D1= ×16，
……，故四边形AnBnCnDn的面积=16×.
8．【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，则OA=OC， OB=OD，又∵AE=CF，则OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），不符合题意；
B、若DE与AC不垂直，则AC上一定有一点M，满足DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形， 符合题意；
C、∵在平行四边形ABCD中，OB=OD， AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∠ADE=∠CBF，则∠EEO=∠FBO， 又∵∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形，不符合题意；
D、 ∵∠AED=∠CFB ，∴∠DEO=∠BFO，DE∥BF，又∵ ∠DOE=∠BOF，OD=OB， ∴△DOE≌△BOF， ∴DE=BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别利用平行四边形的性质定理，结合已知条件，证明三角形全等，得对应角或对应边相等，然后再用平行四边形的判定定理判断即可。
9．【答案】15
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形， 的周长是30，
∴△ADC的周长为30，
∵点 、 分别是平行四边形 的两边 、 的中点.
∴DE= AD,DF= CD，EF= AC，
∴则 的周长= ×30=15.
【分析】四边形ABCD为平行四边形，结合平行四边形的性质即可得到三角形ADC的周长，根据点E和点F分别为边的中点，即可得到三角形DEF的周长。
10．【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，
∴DE＝2FG＝4cm，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm。
故答案为：8。
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半得出DE＝2FG＝4cm，BC＝2DE＝8cm。
11．【答案】证明：∵E、D分别是AB和AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED=BC，
同理FG∥BC，FG=BC，
∴ED∥FG，ED=FG
∴ 四边形DEFG是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形中位线定理可得ED平行等于BC的一半，FG也平行等于BC的一半，可得ED和FG平行且相等，则四边形DEFG是平行四边形.
12．【答案】解：连结AC，交BD于点O，由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
如图，连结AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB﹣BM=OD﹣DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结AC，交BD于点O,利用平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，利用等式的性质可得OM=ON，根据对角线互相平分可证四边形AMCN是平行四边形．
13．【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，且DE= BC．
∵F、G分別是BO、CO的中点
∴FG是△BCO的中位线
FG∥BC，且FG= BC
∴DE∥FG，且DE=FG
∴四边形DEFG是平行四边形。
（2）8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥BC，DE=BC、FG∥BC，FG=BC，则可得DE∥FG，DE=FG，即可利用平行四边形的判定定理得证；
（2）先利用判定三角形相似的预备定理证得△ADE∽△ABC，然后利用三角形的面积比等于相似比求出△ABC的面积，则S四边形DEFG =S△ABC-S△ADE。
1 / 1初中数学人教版八年级下学期 第十八章 18.1.2 平行四边形的判定
一、单选题
1．如图，△ABC的中线BD，CE交于点O，连接OA，点G，F分别为OC，OB的中点，BC=8，A0=6，则四边形DEFG的周长为（ ）.
A．12 B．14 C．16 D．18
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵D、G分别是CA和OC的中点，
∴OD是△AOC的中位线，
∴OD=OA=×6=3，
∵D、E分别是AC和AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE=BC=×8=4，
同理可得EF是△AOB的中位线，GF是△BOC的中位线，
∴EF=OA，GF=BC，
∴EF=DG=3，GF=DE=4，
∴四边形DEFG的周长为 ：GD+DE+EF+FG=3+4+3+4=14.
故答案为；B.
【分析】由D、G、E、F分别是AC、OC、OB和AB的中点，可知四边形DEFG的四边都是三角形的中位线，从而可得各边的长，则其周长可求.
2．三角形的三条中位线长分别为2cm、3cm、4cm，则原三角形的周长为（ ）.
A．4.5cm B．18cm C．9cm D．36cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意得：三角形的三边长分别为4，6，8，
∴原三角形的周长=4+6+8=18cm.
故答案为：B.
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半，分别可得原三角形的三边的长，则原三角形的周长可求.
3．如图，已知矩形ABCD中，R， P分别是DC，BC上的点，E，F分别是AP，RP的中点.当点P在BC上从点B向点C移动而点R不动时，那么下列结论成立的是（ ）.
A．线段EF的长逐渐增大 B．线段EF的长逐渐减少
C．线段EF的长不变 D．线段EF的长不能确定
【答案】C
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，连接AR，
∵E、F分别是AP和RP的中点，
∴EF为△APR的中位线，
∴EF=AR，
∴EF的长度不变.
故答案为：C.
【分析】连接AR，利用三角形的中位线定理即可得出EF是AR的一半，因为AR长为定值，则EF长不变.
4．在四边形ABCD中，现有以下条件：①AB//CD，②A B=CD，③BC//AD，④BC=AD，从中任选两个使四边形ABCD为平行四边形的选法有（ ）.
A．3种 B．4种 C．5种 D．6种
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：①②或③④组合，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形进行判定；
①③组合，利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形进行判定；
②④组合，利用两组对边分别相等的四边形是平行四边形进行判定；
∴共有4种选法.
故选：B.
【分析】根据两组对边分别平行或相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，先分别组合再逐一判断即可.
5．在四边形ABCD中，O是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）.
A．AD//BC，AD=BC B．AB=DC，AD=BC
C．AB//DC，AD=BC D．OA=OC，OD=OB
【答案】C
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故A正确；
B、根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，可以判定，故B正确；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，可能是等腰梯形，故C错误；
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可以判定，故D正确.
故选：C.
【分析】两组对边分别平行、一组对边平行且相等、两组对边分别相等、两组对角分别相等、对角线互相平分的四边形都是平行四边形，据此逐一判断即可.
6．（2019八上·浦东期中）如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，AD=BD，AE=EC，BC=6，则DE=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．5
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】∵AD=BD，AE=EC，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC=2DE，
∴DE=3，
故答案为：B．
【分析】根据三角形的中位线的定理即可求出答案．
7．（2019九上·龙岗月考）如图，四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC=8，BD=4，各边中点分别为A1、B1、C1、D1，顺次连接得到四边形A1B1C1D1，再取各边中点A2、B2、C2、D2，顺次连接得到四边形A2B2C2D2，…，依此类推，这样得到四边形AnBnCnDn，则四边形AnBnCnDn的面积为（ ）
A． B． C． D．不确定
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形A1B1C1D1的四个顶点A1、B1、C1、D1分别为AB、BC、CD、DA的中点，
∴A1B1∥AC，A1B1= AC，
∴△BA1B1∽△BAC，
∴△BA1B1和△BAC的面积比是相似比的平方，即 ，
又∵四边形ABCD的对角线AC=8，BD=4，AC⊥BD，
∴四边形ABCD的面积是16，
∴SA1B1C1D1= ×16，
∴四边形AnBnCnDn的面积=16× = ．
【分析】根据三角形中位线定理得A1B1=AC，△BA1B1∽△BAC，进而利用相似三角形的性质得△BA1B1和△BAC的面积比等于.再求得四边形ABCD的面积是16，可得四边形A1B1C1D1= ×16，
……，故四边形AnBnCnDn的面积=16×.
8．（2019九上·杭州开学考）如图，在 ABCD中，AC与BD交于点O，点E，F是对角线AC上的两点，下列条件中不一定能判定四边形DEBF是平行四边形的是（ ）
A．AE=CF B．DE=BF C．∠ADE=∠CBF D．∠AED=∠CFB
【答案】B
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、∵四边形ABCD为平行四边形，则OA=OC， OB=OD，又∵AE=CF，则OE=OF，∴四边形DEBF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），不符合题意；
B、若DE与AC不垂直，则AC上一定有一点M，满足DM=DE，同理有一点N使BF=BN，则四边形DEBF不一定是平行四边形， 符合题意；
C、∵在平行四边形ABCD中，OB=OD， AD∥BC， ∴∠ADB=∠CBD， ∠ADE=∠CBF，则∠EEO=∠FBO， 又∵∠DOE=∠BOF， ∴△DOE≌△BOF， ∴OE=OF， ∴四边形DEBF是平行四边形，不符合题意；
D、 ∵∠AED=∠CFB ，∴∠DEO=∠BFO，DE∥BF，又∵ ∠DOE=∠BOF，OD=OB， ∴△DOE≌△BOF， ∴DE=BF， ∴四边形DEBF是平行四边形， 不符合题意.
故答案为：B.
【分析】分别利用平行四边形的性质定理，结合已知条件，证明三角形全等，得对应角或对应边相等，然后再用平行四边形的判定定理判断即可。
二、填空题
9．（2019八下·顺德期末）如图，点 、 分别是平行四边形 的两边 、 的中点.若 的周长是30，则 的周长是 .
【答案】15
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【解答】∵四边形ABCD为平行四边形， 的周长是30，
∴△ADC的周长为30，
∵点 、 分别是平行四边形 的两边 、 的中点.
∴DE= AD,DF= CD，EF= AC，
∴则 的周长= ×30=15.
【分析】四边形ABCD为平行四边形，结合平行四边形的性质即可得到三角形ADC的周长，根据点E和点F分别为边的中点，即可得到三角形DEF的周长。
10．（2019·梧州）如图，已知在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，F、G分别是AD、AE的中点，且FG＝2cm，则BC的长度是 cm.
【答案】8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：如图，∵△ADE中，F、G分别是AD、AE的中点，
∴DE＝2FG＝4cm，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴BC＝2DE＝8cm。
故答案为：8。
【分析】根据三角形的中位线等于第三边的一半得出DE＝2FG＝4cm，BC＝2DE＝8cm。
三、解答题
11．已知:如图,△ABC的中线BD, CE交于点O,F,G分别是OB,OC的中点.求证:四边形DEFG是平行四边形.
【答案】证明：∵E、D分别是AB和AC的中点，
∴ED是△ABC的中位线，
∴ED∥BC，ED=BC，
同理FG∥BC，FG=BC，
∴ED∥FG，ED=FG
∴ 四边形DEFG是平行四边形.
【知识点】平行四边形的判定；三角形的中位线定理
【解析】【分析】由三角形中位线定理可得ED平行等于BC的一半，FG也平行等于BC的一半，可得ED和FG平行且相等，则四边形DEFG是平行四边形.
12．（2019八下·廉江期末）如图，四边形ABCD是平行四边形，M、N是对角线BD上的两点，且BM＝DN．求证：四边形AMCN是平行四边形.
【答案】解：连结AC，交BD于点O，由平行四边形的性质可知：OA=OC，OB=OD，再证明OM=ON即可证明四边形AMCN是平行四边形．
如图，连结AC，交BD于点O．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD
∵对角线BD上的两点M、N满足BM=DN，
∴OB﹣BM=OD﹣DN，即OM=ON，
∴四边形AMCN是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】连结AC，交BD于点O,利用平行四边形的性质可得OA=OC，OB=OD，利用等式的性质可得OM=ON，根据对角线互相平分可证四边形AMCN是平行四边形．
四、综合题
13．（2019九上·朝阳期中）如图，△ABC的中线BD、CE相交于点O，F、G分别是BO、CO的中点，连结DE、EF、FG、OD．
（1）求证：四边形DEFG是平行四边形。
（2）若△ADE的面积为6，则四边形DEFG的面积为 。
【答案】（1）证明：∵BD，CE是△ABC的中线，
∴DE是△ABC的中位线
∴DE∥BC，且DE= BC．
∵F、G分別是BO、CO的中点
∴FG是△BCO的中位线
FG∥BC，且FG= BC
∴DE∥FG，且DE=FG
∴四边形DEFG是平行四边形。
（2）8
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据三角形中位线定理可得DE∥BC，DE=BC、FG∥BC，FG=BC，则可得DE∥FG，DE=FG，即可利用平行四边形的判定定理得证；
（2）先利用判定三角形相似的预备定理证得△ADE∽△ABC，然后利用三角形的面积比等于相似比求出△ABC的面积，则S四边形DEFG =S△ABC-S△ADE。
1 / 1
