初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.2 二次函数与一元二次方程
一、基础巩固
1．（2019·苏州模拟）用“描点法”画二次函数 的图像时.列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019九上·长春期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
3．（2019九上·乌鲁木齐期末）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示
x 6.15 6.18 6.21 6.24
y 0.02 -0.01 0.02 0.11
则方程ax2+bx+c=0的根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
5．（2019·广州模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则x2+bx+c＝0的两根分别是 ．
二、强化提升
6．（2019·天台模拟）如图，抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在1A．-5-5
7．关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞ B．m＜﹣
C．m＜﹣2 或 m＞2 D．m＞
8．（2019·杭州模拟）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0，②2a﹣b=0，③a+b+c＜0；④c﹣a=3，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
9．（2018九上·绍兴期中）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）
A． ＜m＜3 B． ＜m＜2
C．﹣210．（2019·昆明模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1.
（1）若抛物线与x轴交于原点，求k的值；
（2）当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求k的取值范围.
三、真题演练
11．（2019·梧州）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜2＜x2 B．﹣1＜x1＜2＜x2
C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2
12．（2019·武汉）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由 得：
，
由列表可知，当x=4时，y=5，
又由列表可知：当x=0或x=2时，都有y=-3，
所以 的图像关于x=1对称，
∴4-1=1-x2
解得：x2=-2，
故答案为：A.
【分析】把一元二次方程变形，利用 的图像求解，由列表找到y值相同的点，求出二次函数图象的对称轴方程，再根据对称轴方程求出y=5的另一个点，则可求出一元二次方程 的解。
2．【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，
∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．
故答案为：A.
【分析】根据图象可得抛物线有最小值，若方程有解，即直线y=m和抛物线有交点，即可得到m的取值范围。
3．【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3,
令y=0,根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a,b,
∵当x=m或n时,y=3>0,
∴实数m,n,a,b的大小关系为a＜m＜n＜b.
故答案为：D.
【分析】因为 a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根 ，所以结合题意可知a、b即是函数 y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3 中的y=0时，方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a、b，而当x=m或n时,y=3>0；所以即可判断实数m,n,a,b的大小关系为：a＜m＜n＜b。
4．【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故答案为：C．
【分析】利用图表中数据可得出二次函数的近似图象，由图象可以看出抛物线与x轴有2个交点，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
5．【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：抛物线解析式为y＝（x﹣1）
2﹣4，
当y＝0时，（x+1）2﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
即x2+bx+c＝0的两根分别是x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【分析】由抛物线的顶点可知解析式为y＝（x﹣1）
2﹣4，即为
y＝x2+bx+c的图象，当y=0时，可求得x1＝﹣3，x2＝1，即为x
2+bx+c＝0的两根。
6．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2
∴-
解之：m=4
∴y=-x2+4x
当x=2时，y=-4+8=4
∴顶点坐标为（2，4）
∵ 关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在l当x=1时，y=-1+4=3
当x=2时，y=-4+8=4
∴ 3故答案为：B
【分析】根据已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，求出m的值，就可得到函数解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在l7．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，
∴△＝4m2﹣16＞0，
∴m＞2或m＜﹣2，
∵方程x2﹣2mx+4＝0对应的二次函数，f（x）＝x2﹣2mx+4的开口向上，而方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，
∴f（1）＜0，且f（3）＜0，
∴ ，
∴m＞ ，
∵m＞2或m＜﹣2，
∴m＞ ，
故答案为：A．
【分析】由 关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根得出其根的判别式的值应该大于0，从而列出不等式求解得出m的取值范围；然后根据二次函数判断一元二次方程的根的情况可知：f（1）＜0，且f（3）＜0，将x=1,与x=3分别代入方程即可列出不等式组，求解得出m的取值范围，综上所述即可得出答案。
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b 4ac>0，故①错误；
由于对称轴为x= 1，
∴x= 3与x=1关于x= 1对称，
∵x= 3时，y<0，
∴x=1时，y=a+b+c<0，故③正确；
∵对称轴为x= = 1，
∴2a b=0，故②正确；
∵顶点为B( 1，3)，
∴y=a b+c=3，
∴y=a 2a+c=3，
即c a=3，故④正确；
故答案为：C.
【分析】观察函数图象，可知抛物线与x轴有两个交点，就可对①作出判断；根据对称轴为直线x=-1=-，化简可对②作出判断；由x=1时y＜0，可对③作出判断；根据顶点坐标为（-1，3）可得到a-b+c=3，再由对称轴可得到b=2a，代入化简，就可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数。
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，
故答案为：D
【分析】由y=0，求出点A，B的坐标，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线 y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围。
10．【答案】（1）解：∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1，
∴h＝1，
把原点坐标代入y＝（x﹣1）2+k，得，
（0﹣1）2+k＝0，
解得k＝﹣1
（2）解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴有公共点，
∴对于方程（x﹣1）2+k＝0，判别式b2﹣4ac＝﹣4k≥0，
∴k≤0.
当x＝﹣1时，y＝4+k；当x＝0时，y＝1+k，
∵抛物线的对称轴为x＝1，且当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴4+k＞0且1+k＜0，解得﹣4＜k＜﹣1，
综上，当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴x=1可知，h=1,把h=1代入解析式，再根据抛物线过原点把（0,0）代入解析式即可求解；
（2）根据抛物线与x轴只有一个交点可知，令y=0时所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由一元二次方程的根的判别式可得b2-4ac=0，由此可求得k的范围，再把x=-1和x=0代入解析式结合对称轴的值即可求解。
11．【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，
∵二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：
当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；
又∵x1＜x2
∴x1＜﹣1＜2＜x2。
故答案为：A。
【分析】 关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解 可以看成二次函数y＝（x+1）（x﹣2）与y=m交点的横坐标，二次函数y＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；又x1＜x2，故x1＜﹣1＜2＜x2。
12．【答案】 或5
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：将原方程转化为：a（x 1）2＋b（x 1）＋c＝0，
把抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x 1）2＋b（x 1）＋c，
因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（ 3，0）、B（4，0），
所以抛物线y＝a（x 1）2＋b（x 1）＋c与x轴的两交点坐标为（ 2，0），（5，0），
所以一元二方程a（x 1）2＋b（x 1）＋c＝0的解为x1＝ 2，x2＝5．
故答案为：x1＝ 2，x2＝5．
【分析】将原方程转化为a（x 1）2＋b（x 1）＋c＝0，由此可知抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x 1）2＋b（x 1）＋c，从而得到抛物线y＝a（x 1）2＋b（x 1）＋c与x轴的两交点坐标为（ 2，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a（x 1）2＋b（x 1）＋c＝0的解。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.2 二次函数与一元二次方程
一、基础巩固
1．（2019·苏州模拟）用“描点法”画二次函数 的图像时.列了如下表格：
根据表格上的信息回答问题：一元二次方程 的解为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：由 得：
，
由列表可知，当x=4时，y=5，
又由列表可知：当x=0或x=2时，都有y=-3，
所以 的图像关于x=1对称，
∴4-1=1-x2
解得：x2=-2，
故答案为：A.
【分析】把一元二次方程变形，利用 的图像求解，由列表找到y值相同的点，求出二次函数图象的对称轴方程，再根据对称轴方程求出y=5的另一个点，则可求出一元二次方程 的解。
2．（2019九上·长春期末）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）的图象如图所示，则方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是（ ）
A．m≥﹣4 B．m≥0 C．m≥5 D．m≥6
【答案】A
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为（6，﹣4），
即x＝6时，二次函数有最小值为﹣4，
∴当m≥﹣4时，直线y＝m与二次函数y＝ax2+bx+c有公共点，
∴方程ax2+bx+c＝m有实数根的条件是m≥﹣4．
故答案为：A.
【分析】根据图象可得抛物线有最小值，若方程有解，即直线y=m和抛物线有交点，即可得到m的取值范围。
3．（2019九上·乌鲁木齐期末）已知函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根，则实数m，n，a，b的大小关系可能是（ ）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b
【答案】D
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】函数y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3,
令y=0,根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a,b,
∵当x=m或n时,y=3>0,
∴实数m,n,a,b的大小关系为a＜m＜n＜b.
故答案为：D.
【分析】因为 a，b是方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根 ，所以结合题意可知a、b即是函数 y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3 中的y=0时，方程（x﹣m）（x﹣n）=3的两个根为a、b，而当x=m或n时,y=3>0；所以即可判断实数m,n,a,b的大小关系为：a＜m＜n＜b。
4．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的函数值y与自变量x的四组对应值如表所示
x 6.15 6.18 6.21 6.24
y 0.02 -0.01 0.02 0.11
则方程ax2+bx+c=0的根的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．不能确定
【答案】C
【知识点】利用二次函数图象求一元二次方程的近似根
【解析】【解答】解：利用图表中数据可得出二次函数的大体图象，如图所示：
即图象与x轴交点个数为2个，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
故答案为：C．
【分析】利用图表中数据可得出二次函数的近似图象，由图象可以看出抛物线与x轴有2个交点，即方程ax2+bx+c=0的根的个数是2．
5．（2019·广州模拟）二次函数y＝x2+bx+c的图象如图所示，则x2+bx+c＝0的两根分别是 ．
【答案】x1＝﹣3，x2＝1
【知识点】利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：抛物线解析式为y＝（x﹣1）
2﹣4，
当y＝0时，（x+1）2﹣4＝0，解得x1＝﹣3，x2＝1，
即x2+bx+c＝0的两根分别是x1＝﹣3，x2＝1．
故答案为：x1＝﹣3，x2＝1．
【分析】由抛物线的顶点可知解析式为y＝（x﹣1）
2﹣4，即为
y＝x2+bx+c的图象，当y=0时，可求得x1＝﹣3，x2＝1，即为x
2+bx+c＝0的两根。
二、强化提升
6．（2019·天台模拟）如图，抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，若关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在1A．-5-5
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2
∴-
解之：m=4
∴y=-x2+4x
当x=2时，y=-4+8=4
∴顶点坐标为（2，4）
∵ 关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在l当x=1时，y=-1+4=3
当x=2时，y=-4+8=4
∴ 3故答案为：B
【分析】根据已知抛物线y=-x2+mx的对称轴为直线x=2，求出m的值，就可得到函数解析式，再求出抛物线的顶点坐标，根据关于x的一元二次方程-x2+mx-t=0 (t为实数)在l7．关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，则实数m的取值范围为（ ）
A．m＞ B．m＜﹣
C．m＜﹣2 或 m＞2 D．m＞
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：∵x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，
∴△＝4m2﹣16＞0，
∴m＞2或m＜﹣2，
∵方程x2﹣2mx+4＝0对应的二次函数，f（x）＝x2﹣2mx+4的开口向上，而方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根，并且有一个根小于1，另一个根大于3，
∴f（1）＜0，且f（3）＜0，
∴ ，
∴m＞ ，
∵m＞2或m＜﹣2，
∴m＞ ，
故答案为：A．
【分析】由 关于x的方程x2﹣2mx+4＝0有两个不同的实根得出其根的判别式的值应该大于0，从而列出不等式求解得出m的取值范围；然后根据二次函数判断一元二次方程的根的情况可知：f（1）＜0，且f（3）＜0，将x=1,与x=3分别代入方程即可列出不等式组，求解得出m的取值范围，综上所述即可得出答案。
8．（2019·杭州模拟）如图所示，抛物线y=ax2+bx+c的顶点为B（﹣1，3），与x轴的交点A在点（﹣3，0）和（﹣2，0）之间，以下结论：①b2﹣4ac=0，②2a﹣b=0，③a+b+c＜0；④c﹣a=3，其中正确的有（ ）个．
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax^2+bx+c的图象；二次函数y=ax^2+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：抛物线与x轴有两个交点，
∴△>0，
∴b 4ac>0，故①错误；
由于对称轴为x= 1，
∴x= 3与x=1关于x= 1对称，
∵x= 3时，y<0，
∴x=1时，y=a+b+c<0，故③正确；
∵对称轴为x= = 1，
∴2a b=0，故②正确；
∵顶点为B( 1，3)，
∴y=a b+c=3，
∴y=a 2a+c=3，
即c a=3，故④正确；
故答案为：C.
【分析】观察函数图象，可知抛物线与x轴有两个交点，就可对①作出判断；根据对称轴为直线x=-1=-，化简可对②作出判断；由x=1时y＜0，可对③作出判断；根据顶点坐标为（-1，3）可得到a-b+c=3，再由对称轴可得到b=2a，代入化简，就可对④作出判断；综上所述可得到正确结论的个数。
9．（2018九上·绍兴期中）已知二次函数y=﹣x2+x+6及一次函数y=﹣x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数（如图所示），当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是（）
A． ＜m＜3 B． ＜m＜2
C．﹣2【答案】D
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：如图，
当y=0时，﹣x2+x+6=0，解得x1=﹣2，x2=3，则A（﹣2，0），B（3，0），
将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方的部分图象的解析式为y=（x+2）（x﹣3），
即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），
当直线y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时，2+m=0，解得m=﹣2；
当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时，方程x2﹣x﹣6=﹣x+m有相等的实数解，解得m=﹣6，
所以当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围为﹣6＜m＜﹣2，
故答案为：D
【分析】由y=0，求出点A，B的坐标，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为y=（x+2）（x﹣3），即y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3），然后求出直线 y=﹣x+m经过点A（﹣2，0）时m的值和当直线y=﹣x+m与抛物线y=x2﹣x﹣6（﹣2≤x≤3）有唯一公共点时m的值，从而得到当直线y=﹣x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围。
10．（2019·昆明模拟）在平面直角坐标系中，抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1.
（1）若抛物线与x轴交于原点，求k的值；
（2）当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，求k的取值范围.
【答案】（1）解：∵抛物线y＝（x﹣h）2+k的对称轴是直线x＝1，
∴h＝1，
把原点坐标代入y＝（x﹣1）2+k，得，
（0﹣1）2+k＝0，
解得k＝﹣1
（2）解：∵抛物线y＝（x﹣1）2+k与x轴有公共点，
∴对于方程（x﹣1）2+k＝0，判别式b2﹣4ac＝﹣4k≥0，
∴k≤0.
当x＝﹣1时，y＝4+k；当x＝0时，y＝1+k，
∵抛物线的对称轴为x＝1，且当﹣1＜x＜0时，抛物线与x轴有且只有一个公共点，
∴4+k＞0且1+k＜0，解得﹣4＜k＜﹣1，
综上，当﹣4＜k＜﹣1时，抛物线与x轴有且只有一个公共点.
【知识点】二次函数y=a（x-h）^2+k的性质；二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【分析】（1）由抛物线的对称轴x=1可知，h=1,把h=1代入解析式，再根据抛物线过原点把（0,0）代入解析式即可求解；
（2）根据抛物线与x轴只有一个交点可知，令y=0时所得的一元二次方程有两个相等的实数根，由一元二次方程的根的判别式可得b2-4ac=0，由此可求得k的范围，再把x=-1和x=0代入解析式结合对称轴的值即可求解。
三、真题演练
11．（2019·梧州）已知m＞0，关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2（x1＜x2），则下列结论正确的是（ ）
A．x1＜﹣1＜2＜x2 B．﹣1＜x1＜2＜x2
C．﹣1＜x1＜x2＜2 D．x1＜﹣1＜x2＜2
【答案】A
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解为x1，x2，可以看作二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点的横坐标，
∵二次函数m＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：
当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；
又∵x1＜x2
∴x1＜﹣1＜2＜x2。
故答案为：A。
【分析】 关于x的一元二次方程（x+1）（x﹣2）﹣m＝0的解 可以看成二次函数y＝（x+1）（x﹣2）与y=m交点的横坐标，二次函数y＝（x+1）（x﹣2）与x轴交点坐标为（﹣1，0），（2，0），如图：当m＞0时，就是抛物线位于x轴上方的部分，此时x＜﹣1，或x＞2；又x1＜x2，故x1＜﹣1＜2＜x2。
12．（2019·武汉）抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(－3，0)、B(4，0)两点，则关于x的一元二次方程a(x－1)2＋c＝b－bx的解是
【答案】 或5
【知识点】二次函数图象与一元二次方程的综合应用
【解析】【解答】解：将原方程转化为：a（x 1）2＋b（x 1）＋c＝0，
把抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x 1）2＋b（x 1）＋c，
因为抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A（ 3，0）、B（4，0），
所以抛物线y＝a（x 1）2＋b（x 1）＋c与x轴的两交点坐标为（ 2，0），（5，0），
所以一元二方程a（x 1）2＋b（x 1）＋c＝0的解为x1＝ 2，x2＝5．
故答案为：x1＝ 2，x2＝5．
【分析】将原方程转化为a（x 1）2＋b（x 1）＋c＝0，由此可知抛物线y＝ax2＋bx＋c沿x轴向右平移1个单位得到y＝a（x 1）2＋b（x 1）＋c，从而得到抛物线y＝a（x 1）2＋b（x 1）＋c与x轴的两交点坐标为（ 2，0），（5，0），然后根据抛物线与x轴的交点问题得到一元二方程a（x 1）2＋b（x 1）＋c＝0的解。
1 / 1
