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初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 27.2.1 相似三角形的判定
一、单选题
1．（2019九上·长春月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八下·深圳期末）如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
3．（2019·玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
4．（2019九上·龙岗月考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥A
B.若AD＝2BD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2019九上·长春月考）如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB．
6．（2019九上·无锡月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似.
7．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
8．（2019·广西模拟）如图，在△ABC和△ADE中， = ，要使△ABC 和 △ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是
9．（2019九上·朝阳期中）如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若AD：DF=3：1，BE=10，则CE的长为 。
三、综合题
10．（2018九上·兴化月考）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t.
（1）用含t的代数式表示:AP= ，AQ= .
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据勾股定理，AC＝ ，
所以，夹直角的两边的比为 ＝2，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故答案为：C．
【分析】先求出两条直角边AC、BC的长度，进而求出其比值，然后利用”两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”作出判断。
2．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴当∠B＝∠D或∠C＝∠E时，可利用两角对应相等的两个三角形相似证得△ABC∽ADE，故A、B选项可判断两三角形相似；
当 时，可得 ，结合∠BAC＝∠DAE，则可证得△ABC∽△AED，而不能得
出△ABC∽△ADE，故C不能判断△ABC∽ADE；
当 时，结合∠BAC＝∠DAE，可证得△ABC∽△ADE，故D能判断△ABC∽△ADE；
故答案为：C
【分析】根据三角形相似的判定定理进行判断即可得到答案。
3．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽△CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA。
故答案为：C。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，从而即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD＝2BD，DE∥BC，
∴ ．
∵ EF∥AB，
∴ ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解。
5．【答案】∠ADE＝∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠ADE＝∠C．
理由如下：
∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
【分析】观察图形可知△ADE和△ACB有一个公共角，所以若使△ADE∽△ACB．再添加∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或AD:AE=AC:AB等条件都可。
6．【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似.
故答案为： 4或9 .
【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案.
7．【答案】③④⑤
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
8．【答案】∠B=∠E(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ = ，∠B=∠E
∴ △ABC ∽△ADE
故答案为：∠B=∠E
【分析】根据已知条件，两边对应成比例，因此添加这两边的夹角相等即可证得△ABC ∽△ADE。
9．【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF
∴BC:BE=AD:DF=1：3
即BC：（10-BC）=1:3
∴BC=7.5
∴CE=BE-BC=10-7.5=2.5。
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例方程求出BC的长，进而可求得CE的长。
10．【答案】（1）2t；16﹣3t
（2）解:∵∠PAQ=∠BAC，
∴当 时，△APQ∽△ABC，即 ，解得
当 时，△APQ∽△ACB，即 ，解得t=4.
∴运动时间为 秒或4秒.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）由题意得：AP=2t；AQ=AC-CQ=16-3t。
【分析】（1）由题意根据AP=时间×速度、AQ=AC-CQ（CQ=时间×速度）可求解；
（2）由题意可分两种情况讨论求解：
①当可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当可得关于t的方程，解方程即可求解；综合两种情况即可求解.
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初中数学人教版九年级下学期 第二十七章 27.2.1 相似三角形的判定
一、单选题
1．（2019九上·长春月考）下列4×4的正方形网格中，小正方形的边长均为1，三角形的顶点都在格点上，则与△ABC相似的三角形所在的网格图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：根据勾股定理，AC＝ ，
所以，夹直角的两边的比为 ＝2，
观各选项，只有C选项三角形符合，与所给图形的三角形相似．
故答案为：C．
【分析】先求出两条直角边AC、BC的长度，进而求出其比值，然后利用”两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”作出判断。
2．（2019八下·深圳期末）如图，BE、CD相交于点A，连接BC，DE，下列条件中不能判断△ABC∽ADE的是（ ）
A．∠B＝∠D B．∠C＝∠E C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵∠BAC＝∠DAE，
∴当∠B＝∠D或∠C＝∠E时，可利用两角对应相等的两个三角形相似证得△ABC∽ADE，故A、B选项可判断两三角形相似；
当 时，可得 ，结合∠BAC＝∠DAE，则可证得△ABC∽△AED，而不能得
出△ABC∽△ADE，故C不能判断△ABC∽ADE；
当 时，结合∠BAC＝∠DAE，可证得△ABC∽△ADE，故D能判断△ABC∽△ADE；
故答案为：C
【分析】根据三角形相似的判定定理进行判断即可得到答案。
3．（2019·玉林）如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则是相似三角形共有（ ）
A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：图中三角形有：△AEG，△ADC，CFG，△CBA，
∵AB∥EF∥DC，AD∥BC
∴△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA
共有6个组合分别为：∴△AEG∽△ADC，△AEG∽△CFG，△AEG∽△CBA，△ADC∽△CFG，△ADC∽△CBA，CFG∽△CBA。
故答案为：C。
【分析】根据平行于三角形一边的直线截其它两边或两边的延长线，所截的三角形与原三角形相似得出△AEG∽△ADC∽△CFG∽△CBA，从而即可得出答案。
4．（2019九上·龙岗月考）如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，EF∥A
B.若AD＝2BD，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】∵AD＝2BD，DE∥BC，
∴ ．
∵ EF∥AB，
∴ ．
【分析】根据平行线分线段成比例定理求解。
二、填空题
5．（2019九上·长春月考）如图，添加一个条件： ，使△ADE∽△ACB．
【答案】∠ADE＝∠C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：添加∠ADE＝∠C．
理由如下：
∵∠ADE＝∠C，∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ACB．
故答案为：∠ADE＝∠C（答案不唯一）．
【分析】观察图形可知△ADE和△ACB有一个公共角，所以若使△ADE∽△ACB．再添加∠ADE＝∠C或∠AED＝∠B或AD:AE=AC:AB等条件都可。
6．（2019九上·无锡月考）如图，已知△ABC中，D为边AC上一点，P为边AB上一点，AB=12，AC=8，AD=6，当AP的长度为 时，△ADP和△ABC相似.
【答案】4或9
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：当△ADP∽△ACB时，需有 ，∴ ，解得AP＝9.当△ADP∽△ABC时，需有 ，∴ ，解得AP＝4.∴当AP的长为4或9时，△ADP和△ABC相似.
故答案为： 4或9 .
【分析】此题需要分类讨论：①当△ADP∽△ACB时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长；②当△ADP∽△ABC时，需有 ，根据比例式就可算出AP的长，综上所述即可得出答案.
7．（2019·湖州模拟）如图,在正方形网格上有6个斜三角形:
①△ABC,②△CDB,③△DEB,④△FBG,⑤△HGF,⑥△EKF.
在②~⑥中,与①相似的三角形的序号是 .(把你认为正确的都填上)
【答案】③④⑤
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：②△CDB中CD:BC:BD=1: :2 ;
③△DEB中DE：BD：BE=2： ： =1： ： ;
④△FBG中，FB：FG：BG= ： ：5=1： ： ;
⑤△HGF中，HG：HF：FG= ：2： =1： ： ；
⑥△EKF中，KE:EF:FK= : :3.
其它两个三角形的三边之比不符合，故与①相似的三角形的序号是③④⑤．
故答案为：③④⑤
【分析】利用勾股定理可求出△ABC的三边之比为：1： ： ;再利用勾股定理分别求出△CDB，△DEB，△FBG，△HGF，△EKF的三边之比，从而可得到与△ABC相似的三角形的序号。
8．（2019·广西模拟）如图，在△ABC和△ADE中， = ，要使△ABC 和 △ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是
【答案】∠B=∠E(答案不唯一)
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：∵ = ，∠B=∠E
∴ △ABC ∽△ADE
故答案为：∠B=∠E
【分析】根据已知条件，两边对应成比例，因此添加这两边的夹角相等即可证得△ABC ∽△ADE。
9．（2019九上·朝阳期中）如图，AB∥CD∥EF，直线l1、l2与这三条平行线分别交于点A、D、F和点B、C、E．若AD：DF=3：1，BE=10，则CE的长为 。
【答案】
【知识点】平行线分线段成比例
【解析】【解答】解：∵AB∥CD∥EF
∴BC:BE=AD:DF=1：3
即BC：（10-BC）=1:3
∴BC=7.5
∴CE=BE-BC=10-7.5=2.5。
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例方程求出BC的长，进而可求得CE的长。
三、综合题
10．（2018九上·兴化月考）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t.
（1）用含t的代数式表示:AP= ，AQ= .
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
【答案】（1）2t；16﹣3t
（2）解:∵∠PAQ=∠BAC，
∴当 时，△APQ∽△ABC，即 ，解得
当 时，△APQ∽△ACB，即 ，解得t=4.
∴运动时间为 秒或4秒.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）由题意得：AP=2t；AQ=AC-CQ=16-3t。
【分析】（1）由题意根据AP=时间×速度、AQ=AC-CQ（CQ=时间×速度）可求解；
（2）由题意可分两种情况讨论求解：
①当可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当可得关于t的方程，解方程即可求解；综合两种情况即可求解.
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