初中数学华师大版九年级上学期 第23章 23.2 相似图形
一、单选题
1．（2019·白银）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）.
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
【答案】B
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；相似图形；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换。
故答案为：B。
【分析】平移变换只会改变图形的位置，方向、大小、形状都不变改变；相似变换不会改变图形的形状、但大小、会发生改变；旋转变换会改变图形的位置、方向，但不会改变图形的大小与形状；对称变换会改变图形的方向及位置，但不会改变图形的形状、大小；用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，从而即可做出判断得出答案。
2．（2019九下·象山月考）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则 AE/DF=BD/DC
设DF=xcm，得到：6/x=8/6
解得：x=4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
【分析】根据相似多边形的对应边相等，得出 ,根据比例式建立方程，求解即可。
3．（2019九下·温州竞赛）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中，与矩形ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】矩形ABCD的长宽之比为4∶3，
A、长宽之比为2∶1.5=4∶3，A符合题意；
B、长宽之比为2：1.2=5：3，B不符合题意；
C、长宽之比为3：2，C不符合题意；
D、长宽之比为2.5∶1.5=5∶3，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别把每个矩形的长宽之比化为最简整数比，比较即可。
4．（2019九上·象山期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（ ）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，
： ：1，
设 ， ，
，
则 ，
整理，得： ，
则 ，即AE： ：1。
故答案为：B。
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得出 ： ：1， 设 ， ，根据矩形的性质得出，根据矩形的面积计算方法，由 矩形ABCD与矩形DEFC面积比为4：1 列出方程，求解用含a的式子表示出x，进而即可求出答案。
5．（2019九上·莲池期中）如果两个相似多边形的面积比是4：9，那么它们的周长比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C． D．16：81
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】相似多边形的面积比等于相似比的平方，故相似多边形的相似比为2∶3，相似多边形周长比等于相似比。
故答案为：B。
【分析】由相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比可得。
6．（2018九上·定兴期中）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴ = ，
∴a=2b．
故答案为：B
【分析】由题得对折两次后的小长方形纸片的长和宽，再根据相似多边形的性质可得，化简可得a与b的关系。
7．（2018九上·义乌期中）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形
B．两个等边三角形
C．有一内角是80°的两个等腰三角形
D．两个菱形
【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A.两个矩形，对应角相等，但是对应边不一定成比例，故不是相似图形，A不符合题意；
B.等边三角形每个角都相等，根据相似三角形的判定：两个角对应相等的两个三角形相似，故是相似图形，B符合题意；
C.这个内角没有说是等腰三角形的顶角还是底角，当这个80°是一个三角形的顶角，是另一个三角形的底角时，这两个三角形不相似，C不符合题意；
D.两个菱形，对应边成比例，但是对应角不一定相等，故不是相似图形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】相似图形：对应角相等，对应边成比例的两个图形；两个相似图形，形状相同，但大小不一定相等.依此逐一分析即可.
8．（2019九上·贵阳期末）观察下列每组图形,相似图形是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A．两图形形状不同，故不是相似图形；
B．两图形形状不同，故不是相似图形；
C．两图形形状相同，故是相似图形；
D．两图形形状不同，故不是相似图形．
故答案为：C．
【分析】形状相同的图形叫做相似图形，据此判断即得.
二、填空题
9．（2019九上·宁波期末）矩形的两边长分别为 和6（ ），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 .
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵原矩形ABCD的长为6，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为 =2，
∵小矩形与原矩形相似，
∴
∴x=2 .
故答案为：2 .
【分析】由相似图形的性质可得比例式求解。
10．（2018九上·西安月考）有一块多边形草坪，在设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm，经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是 .
【答案】2700m2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设草坪的实际面积是 ，因为地图图形与实际图形相似，所以方程为：
，解得 ,经检验， 是方程的解.
故答案为： .
【分析】由题意知地图图形与实际图形相似，所以根据相似形的性质“相似图形的面积的比等于相似比”可求解。
11．（2018九上·太原期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ．
【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设BG=x，
则BE= x，
∵BE=BC，
∴BC= x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x： x= ：2，
故答案为：
【分析】设BG=x，可得BE= x，BC= x，可得两个正方形的相似比.
三、解答题
12．（2018九上·碑林月考）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【答案】解：当 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。
四、作图题
13．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．
【答案】解：如图所示：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用相似多边形的性质，按要求画图即可。
五、综合题
14．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知求出MN、AB、MD的长，再根据沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，的长对应边成比例，可得出DM BC=AB MN，将相关线段的值代入可求出BC的长。
（2）由题意可得出矩形EFDC与原矩形ABCD相似，的长对应边成比例，就可求出DF的长，再根据矩形的面积公式可解答。
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一、单选题
1．（2019·白银）如图，将图形用放大镜放大，应该属于（ ）.
A．平移变换 B．相似变换 C．旋转变换 D．对称变换
2．（2019九下·象山月考）如图所示，在长为8cm，宽为6cm的矩形中，截去一个矩形（图中阴影部分），如果剩下的矩形与原矩形相似，那么剩下矩形的面积是（ ）
A．28cm2 B．27cm2 C．21cm2 D．20cm2
3．（2019九下·温州竞赛）已知矩形ABCD中，AB=4，BC=3，下列四个矩形中，与矩形ABCD相似的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2019九上·象山期末）如图，矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，则AE：ED的值为（ ）
A．4：1 B．3：1 C．2：1 D．3：2
5．（2019九上·莲池期中）如果两个相似多边形的面积比是4：9，那么它们的周长比是（ ）
A．4：9 B．2：3 C． D．16：81
6．（2018九上·定兴期中）如图，取一张长为a，宽为b的长方形纸片，将它对折两次后得到一张小长方形纸片，若要使小长方形与原长方形相似，则原长方形纸片的边a、b应满足的条件是（ ）
A． B． C． D．
7．（2018九上·义乌期中）下列各组图形一定相似的是（ ）
A．两个矩形
B．两个等边三角形
C．有一内角是80°的两个等腰三角形
D．两个菱形
8．（2019九上·贵阳期末）观察下列每组图形,相似图形是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．（2019九上·宁波期末）矩形的两边长分别为 和6（ ），把它按如图方式分割成三个全等的小矩形，每一个小矩形与原矩形相似，则 .
10．（2018九上·西安月考）有一块多边形草坪，在设计图纸上的面积为300cm2，其中一条边的长度为5cm，经测量，这条边的实际长度为15m，则这块草坪的实际面积是 .
11．（2018九上·太原期中）如图，正方形ABCD中，点E是对角线BD上的一点，BE=BC，过点E作EF⊥AB，EG⊥BC，垂足分别为点F，G，则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比为 ．
三、解答题
12．（2018九上·碑林月考）如图，一个矩形广场的长为100m，宽为80m，广场外围两条纵向小路的宽均为1.5m，如果两条横向小路的宽都为xm，那么当x为多少时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
四、作图题
13．如图，左边格点图中有一个四边形，请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形，要求大小与左边四边形不同．
五、综合题
14．一个矩形ABCD的较短边长为2．
（1）如图①，若沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，求它的另一边长；
（2）如图②，已知矩形ABCD的另一边长为4，剪去一个矩形ABEF后，余下的矩形EFDC与原矩形相似，求余下矩形EFDC的面积．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】轴对称的性质；平移的性质；相似图形；旋转的性质
【解析】【解答】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换。
故答案为：B。
【分析】平移变换只会改变图形的位置，方向、大小、形状都不变改变；相似变换不会改变图形的形状、但大小、会发生改变；旋转变换会改变图形的位置、方向，但不会改变图形的大小与形状；对称变换会改变图形的方向及位置，但不会改变图形的形状、大小；用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，从而即可做出判断得出答案。
2．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：如图，
依题意，在矩形ABDC中截取矩形ABFE，
则矩形ABDC∽矩形FDCE，
则 AE/DF=BD/DC
设DF=xcm，得到：6/x=8/6
解得：x=4.5，
则剩下的矩形面积是：4.5×6=27cm2．
【分析】根据相似多边形的对应边相等，得出 ,根据比例式建立方程，求解即可。
3．【答案】A
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】矩形ABCD的长宽之比为4∶3，
A、长宽之比为2∶1.5=4∶3，A符合题意；
B、长宽之比为2：1.2=5：3，B不符合题意；
C、长宽之比为3：2，C不符合题意；
D、长宽之比为2.5∶1.5=5∶3，D不符合题意；
故答案为：A
【分析】分别把每个矩形的长宽之比化为最简整数比，比较即可。
4．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解： 矩形ABCD∽矩形DEFC，且面积比为4：1，
： ：1，
设 ， ，
，
则 ，
整理，得： ，
则 ，即AE： ：1。
故答案为：B。
【分析】根据相似多边形面积的比等于相似比的平方得出 ： ：1， 设 ， ，根据矩形的性质得出，根据矩形的面积计算方法，由 矩形ABCD与矩形DEFC面积比为4：1 列出方程，求解用含a的式子表示出x，进而即可求出答案。
5．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】相似多边形的面积比等于相似比的平方，故相似多边形的相似比为2∶3，相似多边形周长比等于相似比。
故答案为：B。
【分析】由相似多边形的性质：相似多边形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比可得。
6．【答案】B
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：对折两次后的小长方形的长为b，宽为 a，
∵小长方形与原长方形相似，
∴ = ，
∴a=2b．
故答案为：B
【分析】由题得对折两次后的小长方形纸片的长和宽，再根据相似多边形的性质可得，化简可得a与b的关系。
7．【答案】B
【知识点】相似图形
【解析】【解答】解：A.两个矩形，对应角相等，但是对应边不一定成比例，故不是相似图形，A不符合题意；
B.等边三角形每个角都相等，根据相似三角形的判定：两个角对应相等的两个三角形相似，故是相似图形，B符合题意；
C.这个内角没有说是等腰三角形的顶角还是底角，当这个80°是一个三角形的顶角，是另一个三角形的底角时，这两个三角形不相似，C不符合题意；
D.两个菱形，对应边成比例，但是对应角不一定相等，故不是相似图形，D不符合题意；
故答案为：B.
【分析】相似图形：对应角相等，对应边成比例的两个图形；两个相似图形，形状相同，但大小不一定相等.依此逐一分析即可.
8．【答案】C
【知识点】相似图形
【解析】【解答】A．两图形形状不同，故不是相似图形；
B．两图形形状不同，故不是相似图形；
C．两图形形状相同，故是相似图形；
D．两图形形状不同，故不是相似图形．
故答案为：C．
【分析】形状相同的图形叫做相似图形，据此判断即得.
9．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：∵原矩形ABCD的长为6，宽为x，
∴小矩形的长为x，宽为 =2，
∵小矩形与原矩形相似，
∴
∴x=2 .
故答案为：2 .
【分析】由相似图形的性质可得比例式求解。
10．【答案】2700m2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设草坪的实际面积是 ，因为地图图形与实际图形相似，所以方程为：
，解得 ,经检验， 是方程的解.
故答案为： .
【分析】由题意知地图图形与实际图形相似，所以根据相似形的性质“相似图形的面积的比等于相似比”可求解。
11．【答案】
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【解答】解：设BG=x，
则BE= x，
∵BE=BC，
∴BC= x，
则正方形FBGE与正方形ABCD的相似比=BG：BC=x： x= ：2，
故答案为：
【分析】设BG=x，可得BE= x，BC= x，可得两个正方形的相似比.
12．【答案】解：当 时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
解得x=1.2
答：当x为1.2m时，小路内、外边缘所围成的两个矩形相似.
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】根据两个矩形相似可得比例式，于是可列方程求解。
13．【答案】解：如图所示：
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】利用相似多边形的性质，按要求画图即可。
14．【答案】（1）解：由已知得MN=AB=2，MD= AD= BC，∵沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，
∴矩形DMNC与矩形ABCD相似， = ，
∴DM BC=AB MN，即 BC2=4，
∴BC=2 ，即它的另一边长为2
（2）解：∵矩形EFDC与原矩形ABCD相似，
∴ = ，
∵AB=CD=2，BC=4，
∴DF= =1，
∴矩形EFDC的面积=CD DF=2×1=2
【知识点】相似多边形的性质
【解析】【分析】（1）根据已知求出MN、AB、MD的长，再根据沿长边对折后得到的矩形与原矩形相似，的长对应边成比例，可得出DM BC=AB MN，将相关线段的值代入可求出BC的长。
（2）由题意可得出矩形EFDC与原矩形ABCD相似，的长对应边成比例，就可求出DF的长，再根据矩形的面积公式可解答。
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