初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.1.1 轴对称
一、基础巩固
1．（2019·临海模拟）如图所示的图案中，有2条对称轴的轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、B各有一条对称轴，故不正确；
C没有对称轴，故不正确；
D有两条对称轴，故正确；
故答案为：D.
【分析】如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴。由对称轴的定义可知：A、B各有一条对称轴；C没有对称轴；D有两条对称轴。
2．（2019八上·黔南期末）我国传统建筑中，窗框(如图1)的图案玲珑剔透、千变万化．窗框一部分如图2所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：过窗框相对两边中点所在直线折叠，直线两旁的部分就能完全重合，故窗框的对称轴有两条。
故答案为：B。
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；沿着对折的这条直线就是轴对称图形的对称轴，由于该图案过窗框相对两边中点所在直线折叠，直线两旁的部分就能完全重合，故窗框的对称轴有两条。
3．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为
【答案】- -2
【知识点】无理数在数轴上表示；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，
∴AB=-（-1）=+1
点B关于点A的对称点为C，
∴AC=AB=+1
∴点C所表示的数-1-（+1）=
故答案为：
【分析】根据点A、B的坐标求出AB的长，再根据轴对称的性质，由点B关于点A的对称点为C，可知AC=AB，就可求出AC的长，然后就可确定出点C所表示的数。
4．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B=20°，则∠E= °．
【答案】20
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵风筝的图案是轴对称图形，
∴∠E=∠B=20°．
故答案为：20．
【分析】根据轴对称图形的性质得∠E=∠B，即可求得.
5．如图，点P是∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点E、F，连接EF交OA于M，交OB于N，EF=15，求△PMN的周长．
【答案】解：∵P点关于OA、OB的对称点分别为E、F，
∴PM=EM，PN=FN，
∴△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF，
∵EF=15，
∴△PMN的周长=15．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】根据轴对称的性质“
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”可得
PM=EM，PN=FN， 由图可得
△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF。
6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，
（1）结合图形指出对称点．
（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样关系？
【答案】（1）解：由图可知，对称点有A和A′，B和B′，C和C′
（2）解：连接AA′，直线m是线段AA′的垂直平分线；
（3）解：延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或其延长线的交点在对称轴上．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据对称图形的性质和△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，可得对称点；
（2）根据“对称轴是两个对称点的连线的垂直平分线”可得答案；
（3）根据轴对称的性质可直接得出结论.
二、强化提升
7．（2019·保定模拟）如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE长为半径作圆弧交l于A，B两点；再分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径作圆弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CD⊥l B．点A，B关于直线CD对称
C．CD平分∠ACB D．点C，D关于直线l对称
【答案】D
【知识点】轴对称的性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解:连接AD，BD，
∵AC=BC，AD=BD，CD=CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠ACD=∠BCD，
∵AC=BC，
∴CD⊥AB，AO=BO，
∴CD垂直l， 点A，B关于直线CD对称 ，故A、B、C不符合题意；
∵CO与DO不一定相等，
∴C、D不一定关于直线l对称，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据“SSS”可证△ACD≌△BCD，可得∠ACD=∠BCD，利用等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，AO=BO，据此判断A、B、C；由于CO与DO不一定相等，据此可判断D.
8．如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解： A、可以通过平移得到，不符合题意；
B、可以通过平移得到，不符合题意；
C、先利用轴对称，再通过平移得到，符合题意；
D、可以通过平移得到，不符合题意．
故答案为：C
【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。根据定义即可判断求解。
9．（2019·惠民模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM= °.
【答案】120
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A关于BC的对称点G，作点A关于DC的对称点H，连接HG，分别交BC、DC于点M、N。连接AM、AN。则AM=GM，AN=HN
∴∠MAG=∠G，∠NAD=∠H
∴∠AMN+∠ANM=∠MAG+∠G+∠NAD+∠H=2（∠G+∠H）
在△GAH中，∠G+∠H=180°-∠BAD=60°
∴∠AMN+∠ANM=∠MAG+∠G+∠NAD+∠H=2（∠G+∠H）=120°.
故答案为：120.
【分析】先通过作图确定出点M、N的位置，然后根据轴对称的性质得线段相等AM=GM，AN=HN，再由等边对等角得∠MAG=∠G，∠NAD=∠H，继而得∠AMN+∠ANM=2（∠G+∠H），然后在△GAH中利用三角形内角和定理得∠G+∠H=60°，从而得∠AMN+∠ANM。
10．在△ABC中，C、C′关于DE对称，判断∠1，∠2，∠C′的关系并证明．
【答案】解：2∠C′=∠1+∠2．
理由：∵∠CDE+∠C′DE+∠C+∠C′+∠CDE+∠C′ED=360°，
∠CDE+∠EDC′+∠1+∠CDE+∠C′ED+∠2=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠C′，
∵在△ABC中，C、C′关于DE对称，
∴∠C=∠C′，
∴2∠C′=∠1+∠2．
【知识点】多边形内角与外角；轴对称的性质
【解析】【分析】根据四边形的内角和和平角的定义可得
∠CDE+∠C′DE+∠C+∠C′+∠CDE+∠C′ED=360°，∠CDE+∠EDC′+∠1+∠CDE+∠C′ED+∠2=360°，则∠1+∠2=∠C+∠C′ ，再由对称的性质可得
∠C=∠C′， 进而得出答案.
11．（2019七下·双阳期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的正方形网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，顶点都在格点上，其对称轴为直线AC。
（1）在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A‘B’C‘D’。
（3）直接写出四边形A‘B’C‘D’的面积
【答案】（1）
（2）
（3）12
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）过点B作点B关于对称轴的对称点D，连接AD和CD即可。
（2）将四边形ABCD的四个顶点分别向下平移5个单位长度，进行连线即可得到新的图形。
（3）将四边形的面积看作两个三角形的面积的和，即可得到答案。
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到D点，连接即可。
（2）根据平移的性质进行作图。
（3）将四边形的面积进行拆分，简便计算即可。
三、真题演练
12．（2019·柳州）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． 当心吊物安全 B． 当心触电安全
C． 当心滑跌安全 D． 注意安全
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：D答案的图形是轴对称图形。
故答案为：D。
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
13．（2019·泰安）下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的特点确定对称轴即可。
14．（2019·台湾）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？（ ）
A．113 B．124 C．129 D．134
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接AD，
∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，
∵∠B=62°，∠C=51°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-51°=67°，
∴∠EAF=2∠BAC=134°，
故答案为：D.
【分析】连接AD，根据轴对称的性质得出∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，根据三角形的内角和得出∠BAC=∠BAD+∠DAC=57°，根据角的和差及等量代换得出∠EAF=2∠BAC=134°。
15．（2019·广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
【答案】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
1 / 1初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.1.1 轴对称
一、基础巩固
1．（2019·临海模拟）如图所示的图案中，有2条对称轴的轴对称图形是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019八上·黔南期末）我国传统建筑中，窗框(如图1)的图案玲珑剔透、千变万化．窗框一部分如图2所示，它是一个轴对称图形，其对称轴有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．如图，数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，点B关于点A的对称点为C，则点C所表示的数为
4．如图是一个风筝的图案，它是轴对称图形，量得∠B=20°，则∠E= °．
5．如图，点P是∠AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点E、F，连接EF交OA于M，交OB于N，EF=15，求△PMN的周长．
6．如图，△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，
（1）结合图形指出对称点．
（2）连接A、A′，直线m与线段AA′有什么关系？
（3）延长线段AC与A′C′，它们的交点与直线m有怎样关系？
二、强化提升
7．（2019·保定模拟）如图，C，E是直线l两侧的点，以点C为圆心，CE长为半径作圆弧交l于A，B两点；再分别以A，B为圆心，大于 AB的长为半径作圆弧，两弧交于点D，连接CA，CB，CD，下列结论不一定成立的是（ ）
A．CD⊥l B．点A，B关于直线CD对称
C．CD平分∠ACB D．点C，D关于直线l对称
8．如图所示的网格中各有不同的图案，不能通过平移得到的是（ ）
A． B．
C． D．
9．（2019·惠民模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠B=∠D=90°，在BC，CD上分别找一点M，N使△AMN周长最小，则∠AMN+∠ANM= °.
10．在△ABC中，C、C′关于DE对称，判断∠1，∠2，∠C′的关系并证明．
11．（2019七下·双阳期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的12×12的正方形网格中，给出了四边形ABCD的两条边AB与BC，且四边形ABCD是一个轴对称图形，顶点都在格点上，其对称轴为直线AC。
（1）在图中标出点D，并画出该四边形的另两条边
（2）将四边形ABCD向下平移5个单位，画出平移后得到的四边形A‘B’C‘D’。
（3）直接写出四边形A‘B’C‘D’的面积
三、真题演练
12．（2019·柳州）下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是（ ）
A． 当心吊物安全 B． 当心触电安全
C． 当心滑跌安全 D． 注意安全
13．（2019·泰安）下列图形：
其中是轴对称图形且有两条对称轴的是（ ）
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
14．（2019·台湾）如图，△ABC中，D点在BC上，将D点分别以AB，AC为对称轴，画出对称点E，F，并连接AE，AF.根据图中标示的角度，求∠EAF的度数为何？（ ）
A．113 B．124 C．129 D．134
15．（2019·广安）在数学活动课上，王老师要求学生将图1所示的3×3正方形方格纸，剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形．规定：凡通过旋转能重合的图形视为同一种图形，如图2的四幅图就视为同一种设计方案（阴影部分为要剪掉部分）
请在图中画出4种不同的设计方案，将每种方案中要剪掉的两个方格涂黑（每个3×3的正方形方格画一种，例图除外）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】A、B各有一条对称轴，故不正确；
C没有对称轴，故不正确；
D有两条对称轴，故正确；
故答案为：D.
【分析】如果两个图形关于某条直线对称，那么这条直线就是对称轴。由对称轴的定义可知：A、B各有一条对称轴；C没有对称轴；D有两条对称轴。
2．【答案】B
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：过窗框相对两边中点所在直线折叠，直线两旁的部分就能完全重合，故窗框的对称轴有两条。
故答案为：B。
【分析】把一个平面图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的几何图形就是轴对称图形；沿着对折的这条直线就是轴对称图形的对称轴，由于该图案过窗框相对两边中点所在直线折叠，直线两旁的部分就能完全重合，故窗框的对称轴有两条。
3．【答案】- -2
【知识点】无理数在数轴上表示；轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵ 数轴上A，B两点表示的数分别为-1和 ，
∴AB=-（-1）=+1
点B关于点A的对称点为C，
∴AC=AB=+1
∴点C所表示的数-1-（+1）=
故答案为：
【分析】根据点A、B的坐标求出AB的长，再根据轴对称的性质，由点B关于点A的对称点为C，可知AC=AB，就可求出AC的长，然后就可确定出点C所表示的数。
4．【答案】20
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：∵风筝的图案是轴对称图形，
∴∠E=∠B=20°．
故答案为：20．
【分析】根据轴对称图形的性质得∠E=∠B，即可求得.
5．【答案】解：∵P点关于OA、OB的对称点分别为E、F，
∴PM=EM，PN=FN，
∴△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF，
∵EF=15，
∴△PMN的周长=15．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】根据轴对称的性质“
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线”可得
PM=EM，PN=FN， 由图可得
△PMN的周长=PM+MN+FN=ME+MN+FN=EF。
6．【答案】（1）解：由图可知，对称点有A和A′，B和B′，C和C′
（2）解：连接AA′，直线m是线段AA′的垂直平分线；
（3）解：延长线段AC与A′C′，它们的交点在直线m上，其它对应线段（或其延长线）的交点也在直线m上，即若两线段关于直线m对称，且不平行，则它们的交点或其延长线的交点在对称轴上．
【知识点】轴对称的性质
【解析】【分析】（1）根据对称图形的性质和△ABC和△A′B′C′关于直线m对称，可得对称点；
（2）根据“对称轴是两个对称点的连线的垂直平分线”可得答案；
（3）根据轴对称的性质可直接得出结论.
7．【答案】D
【知识点】轴对称的性质；三角形全等的判定（SSS）；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解:连接AD，BD，
∵AC=BC，AD=BD，CD=CD
∴△ACD≌△BCD（SSS）
∴∠ACD=∠BCD，
∵AC=BC，
∴CD⊥AB，AO=BO，
∴CD垂直l， 点A，B关于直线CD对称 ，故A、B、C不符合题意；
∵CO与DO不一定相等，
∴C、D不一定关于直线l对称，故D符合题意；
故答案为：D.
【分析】根据“SSS”可证△ACD≌△BCD，可得∠ACD=∠BCD，利用等腰三角形三线合一的性质可得CD⊥AB，AO=BO，据此判断A、B、C；由于CO与DO不一定相等，据此可判断D.
8．【答案】C
【知识点】轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解： A、可以通过平移得到，不符合题意；
B、可以通过平移得到，不符合题意；
C、先利用轴对称，再通过平移得到，符合题意；
D、可以通过平移得到，不符合题意．
故答案为：C
【分析】平移是指在平面内，将一个图形上的所有点都按照某个直线方向做相同距离的移动，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移。根据定义即可判断求解。
9．【答案】120
【知识点】轴对称的性质
【解析】【解答】解：作点A关于BC的对称点G，作点A关于DC的对称点H，连接HG，分别交BC、DC于点M、N。连接AM、AN。则AM=GM，AN=HN
∴∠MAG=∠G，∠NAD=∠H
∴∠AMN+∠ANM=∠MAG+∠G+∠NAD+∠H=2（∠G+∠H）
在△GAH中，∠G+∠H=180°-∠BAD=60°
∴∠AMN+∠ANM=∠MAG+∠G+∠NAD+∠H=2（∠G+∠H）=120°.
故答案为：120.
【分析】先通过作图确定出点M、N的位置，然后根据轴对称的性质得线段相等AM=GM，AN=HN，再由等边对等角得∠MAG=∠G，∠NAD=∠H，继而得∠AMN+∠ANM=2（∠G+∠H），然后在△GAH中利用三角形内角和定理得∠G+∠H=60°，从而得∠AMN+∠ANM。
10．【答案】解：2∠C′=∠1+∠2．
理由：∵∠CDE+∠C′DE+∠C+∠C′+∠CDE+∠C′ED=360°，
∠CDE+∠EDC′+∠1+∠CDE+∠C′ED+∠2=360°，
∴∠1+∠2=∠C+∠C′，
∵在△ABC中，C、C′关于DE对称，
∴∠C=∠C′，
∴2∠C′=∠1+∠2．
【知识点】多边形内角与外角；轴对称的性质
【解析】【分析】根据四边形的内角和和平角的定义可得
∠CDE+∠C′DE+∠C+∠C′+∠CDE+∠C′ED=360°，∠CDE+∠EDC′+∠1+∠CDE+∠C′ED+∠2=360°，则∠1+∠2=∠C+∠C′ ，再由对称的性质可得
∠C=∠C′， 进而得出答案.
11．【答案】（1）
（2）
（3）12
【知识点】三角形的面积；轴对称的性质；平移的性质
【解析】【解答】解：（1）过点B作点B关于对称轴的对称点D，连接AD和CD即可。
（2）将四边形ABCD的四个顶点分别向下平移5个单位长度，进行连线即可得到新的图形。
（3）将四边形的面积看作两个三角形的面积的和，即可得到答案。
【分析】（1）根据轴对称的性质即可得到D点，连接即可。
（2）根据平移的性质进行作图。
（3）将四边形的面积进行拆分，简便计算即可。
12．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：D答案的图形是轴对称图形。
故答案为：D。
【分析】把一个平面图形，沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能完全重合的平面图形就是轴对称图形，根据定义即可一一判断得出答案。
13．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】1有两条对称轴；2有两条对称轴；3有四条对称轴；4不是对称图形
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的特点确定对称轴即可。
14．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接AD，
∵D点分别以AB、AC为对称轴，画出对称点E、F，
∴∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，
∵∠B=62°，∠C=51°，
∴∠BAC=∠BAD+∠DAC=180°-62°-51°=67°，
∴∠EAF=2∠BAC=134°，
故答案为：D.
【分析】连接AD，根据轴对称的性质得出∠EAB=∠BAD，∠FAC=∠CAD，根据三角形的内角和得出∠BAC=∠BAD+∠DAC=57°，根据角的和差及等量代换得出∠EAF=2∠BAC=134°。
15．【答案】解：根据剪掉其中两个方格，使之成为轴对称图形；即如图所示：
【知识点】轴对称图形
【解析】【分析】轴对称图形的定义：如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形。
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