初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、基础巩固
1．（2019·南关模拟）已知 ，用尺规作图的方法在 上确定一点 ，使 ，下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019八上·温州期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019八上·天河期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
4．（2019七下·盐田期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，垂足为D，∠CBE=69°.则∠C= °.
5．（2019八下·封开期末）在△ABC中，∠ABC=90°，
（1）作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O;(保留作图痕迹，请标明字母);
（2）连接BO并延长至D，使得OD=OB;连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形。
二、强化提升
6．（2019八下·灯塔期中）在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条角平分线的交点
7．（2019·广西模拟）如图，△ABC中，AB：AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，D，F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
8．（2019·石首模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
9．（2019八下·南山期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．24° B．30° C．36° D．48°
10．（2019·大埔模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是 ．
11．（2019·沾化模拟）现要在△ABC的边AC上确定一点D，使得点D到AB，BC的距离相等．
（1）如图，请按要求在图上出作点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
（2）若AB=4，BC=6，△ABC的面积为12，求点D到AB的距离。
12．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
三、真题演练
13．（2019·梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
14．（2019·济宁模拟）如图，点 和点 在 内部．
（1）请你作出点 ，使点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
15．（2019·杭州）如图，在△ABC中，AC
（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B.
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，如图所示：
先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PB，即可得出BP+ PC =PA+PC=BC.
故答案为：B.
【分析】A、作图满足AB+PC=BC，故不符合题意；
B、作图满足AP+PC=BC，故符合题意；
C、作图满足AC+PB=BC，故不符合题意；
D、作图满足AB+PA=BC，故不符合题意.
2．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A.由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B.由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C.由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D.由此作图可知PA=PC，符合题意.
故答案为：D。
【分析】根据尺规作图及角平分线、线段的中垂线的性质即可一一判断得出答案。
3．【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，
∴AE＝13．
∵AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，
∴BE＝AE＝13，
故答案为：D．
【分析】由垂直平分线的性质可知BE=AE，由已知中的△ACE的周长为30，CE=5，AC=12，可知AE=13，所以BE=13.
4．【答案】23°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：设∠C的度数为x，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=x，∠EAB=2x
∵ED为线段AB的垂直平分线
∴∠EBA=∠EAB=2x
∵∠CBE的度数为69°
∴2x+x=69°
∴∠C=x=23°
【分析】根据等边对等角设出∠C的度数以及∠ABC的度数，根据三角形的外角和线段垂直平分线的性质得到关于x的式子，计算得到x的值，即可得到∠C的度数。
5．【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵线段AC的垂直平分线 交AC于点O；
∴AO=CO，
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的做法，进行作图即可。
（2）根据线段垂直平分线的性质，证明四边形ABCD为平行四边形，继续证明其为矩形即可。
6．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.
故答案为：B.
【分析】 为使游戏公平,使凳子到三名同学的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知在三边垂直平分线的交点上.
7．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵OE=OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故答案为：D
【分析】利用线段垂直平分线的性质，可证得OA=OC，利用HL，可证得Rt△AOE≌Rt△COE，再利用等腰三角形的性质，可证得AD⊥BC，再利用轴对称的性质，可证△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，从而可得出图中全等三角形的对数。
8．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∵ 的周长
的周长
∴ 的周长﹣ 的周长=AB，
故答案为：C.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AE=BE，根据三角形的周长=三角形三边之和可得：三角形ABC的周长-三角形EBC的周长=AB，于是AB的值可求解。
9．【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵BC的垂直平分线交BC于点E，
∴∠FCE=∠DBC=24°，
又∠A=60°，∠ABD=24°，∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-48°=72°，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCE=72°-24°=48°。
故答案为：D。
【分析】由BD平分∠ABC可得∠DBC=∠ABD，继而可求出∠ACB，由BC的垂直平分线可得∠FCE=∠DBC，再通过∠ACF=∠ACB-∠FCE即可求得。
10．【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接AD，
由题意得：CA=CD,∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD=CA,∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC=AD=2 ，
∵AC=AD，CE=ED，
∴AE垂直平分DC，
∴EO= DC= ，OA=CA sin60°= ，
∴AE=EO+OA= + ，
故答案为 + .
【分析】根据等边三角形的性质以及垂直平分线的性质，可得出AE的长度。
11．【答案】（1）解：如图所示，点D即为所求；
（2）解：点D作DE⊥AB交于点E，作DF⊥BC交于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，
∵S△ABC＝12，AB＝4，BC＝6，
∴S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝ DE AB+ DF BC，
即12＝ ×（4+6）DE，
解得 DE＝ ，
∴D点到AB的距离为 ．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）以A为圆心，以任意长为半径画弧交AB，BC两点，然后以与两边的交点为圆心。以两交点间的距离为半径分别画弧，两弧交于一点，过点B与两弧交点画出射线，交AC于一点，即为点D.
（2）过点D作DE⊥AB交于点E，作DF⊥BC交于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 DE=DF，由S△ABC=S△ABD+S△BCD=12，利用三角形的面积公式，代入数据计算即可求出DE的长，即得D点到AB点的距离.
12．【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
13．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13。
故答案为：B。
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE＝BE，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差等量代换即可算出答案。
14．【答案】（1）解：如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等；
（2）解：理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以连接MN，先作出MN的垂直平分线；根据到角两边的距离相等在角的垂直平分线上，再作出∠AOB的角平分线，两条显得交点即为点P.
（2）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
15．【答案】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）解：根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°.
解得x=36°，即∠B=36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得PA=PA，由等腰三角形性质得∠PAB=∠B，根据三角形外角性质即可得证.（2）根据等腰三角形性质得∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由三角形外角性质得与已知条件得∠BAQ=∠BQA=2x，再由三角形内角和定理列出方程，解之即可得出答案.
1 / 1初中数学人教版八年级上学期 第十三章 13.1.2 线段的垂直平分线的性质
一、基础巩固
1．（2019·南关模拟）已知 ，用尺规作图的方法在 上确定一点 ，使 ，下列作图正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：用尺规在BC上确定一点P，使PA+PC=BC，如图所示：
先做出AB的垂直平分线，即可得出AP=PB，即可得出BP+ PC =PA+PC=BC.
故答案为：B.
【分析】A、作图满足AB+PC=BC，故不符合题意；
B、作图满足AP+PC=BC，故符合题意；
C、作图满足AC+PB=BC，故不符合题意；
D、作图满足AB+PA=BC，故不符合题意.
2．（2019八上·温州期末）下列选项中的尺规作图，能推出PA=PC的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【解答】解：A.由此作图可知CA=CP，不符合题意；
B.由此作图可知BA=BP，不符合题意；
C.由此作图可知∠ABP=∠CBP，不符合题意；
D.由此作图可知PA=PC，符合题意.
故答案为：D。
【分析】根据尺规作图及角平分线、线段的中垂线的性质即可一一判断得出答案。
3．（2019八上·天河期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，连接AE，若CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，则BE的长是（ ）
A．5 B．10 C．12 D．13
【答案】D
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CE＝5，AC＝12，且△ACE的周长为30，
∴AE＝13．
∵AB的垂直平分线交AB于D，交BC于E，
∴BE＝AE＝13，
故答案为：D．
【分析】由垂直平分线的性质可知BE=AE，由已知中的△ACE的周长为30，CE=5，AC=12，可知AE=13，所以BE=13.
4．（2019七下·盐田期末）如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交CA的延长线于点E，垂足为D，∠CBE=69°.则∠C= °.
【答案】23°
【知识点】三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：设∠C的度数为x，
∵AB=AC
∴∠ABC=∠C=x，∠EAB=2x
∵ED为线段AB的垂直平分线
∴∠EBA=∠EAB=2x
∵∠CBE的度数为69°
∴2x+x=69°
∴∠C=x=23°
【分析】根据等边对等角设出∠C的度数以及∠ABC的度数，根据三角形的外角和线段垂直平分线的性质得到关于x的式子，计算得到x的值，即可得到∠C的度数。
5．（2019八下·封开期末）在△ABC中，∠ABC=90°，
（1）作线段AC的垂直平分线l，交AC于点O;(保留作图痕迹，请标明字母);
（2）连接BO并延长至D，使得OD=OB;连接DA、DC，证明四边形ABCD是矩形。
【答案】（1）解：如图所示：
（2）解：∵线段AC的垂直平分线 交AC于点O；
∴AO=CO，
∵BO=DO，
∴四边形ABCD是平行四边形
又∵∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线的做法，进行作图即可。
（2）根据线段垂直平分线的性质，证明四边形ABCD为平行四边形，继续证明其为矩形即可。
二、强化提升
6．（2019八下·灯塔期中）在联欢晚会上,有A，B，C三名同学站在一个三角形的三个顶点位置上,他们在玩抢凳子游戏,要求在他们中间放一个木凳,谁先抢到凳子谁获胜,为使游戏公平,则凳子应放的最适当的位置在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三边垂直平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三条角平分线的交点
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最适当.
故答案为：B.
【分析】 为使游戏公平,使凳子到三名同学的距离相等，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可知在三边垂直平分线的交点上.
7．（2019·广西模拟）如图，△ABC中，AB：AC，D是BC的中点，AC的垂直平分线分别交AC，AD，AB于点E，D，F，则图中全等三角形的对数是（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵EF是AC的垂直平分线，
∴OA=OC，
∵OE=OE，
∴Rt△AOE≌Rt△COE，
∵AB=AC，D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴△ABC关于直线AD轴对称，
∴△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，
综上所述，全等三角形共有4对．
故答案为：D
【分析】利用线段垂直平分线的性质，可证得OA=OC，利用HL，可证得Rt△AOE≌Rt△COE，再利用等腰三角形的性质，可证得AD⊥BC，再利用轴对称的性质，可证△AOC≌△AOB，△BOD≌△COD，△ABD≌△ACD，从而可得出图中全等三角形的对数。
8．（2019·石首模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交边AB于D点，交边AC于E点，若△ABC与△EBC的周长分别是40，24，则AB为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵DE是AB的垂直平分线，
∵ 的周长
的周长
∴ 的周长﹣ 的周长=AB，
故答案为：C.
【分析】由线段的垂直平分线的性质可得AE=BE，根据三角形的周长=三角形三边之和可得：三角形ABC的周长-三角形EBC的周长=AB，于是AB的值可求解。
9．（2019八下·南山期中）如图，在△ABC中，BD平分∠ABC，BC的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接CF，若∠A=60°，∠ABD=24°，则∠ACF的度数为（ ）
A．24° B．30° C．36° D．48°
【答案】D
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=∠ABD=24°，
∵BC的垂直平分线交BC于点E，
∴∠FCE=∠DBC=24°，
又∠A=60°，∠ABD=24°，∠ACB=180°-∠A-∠ABC=180°-60°-48°=72°，
∴∠ACF=∠ACB-∠FCE=72°-24°=48°。
故答案为：D。
【分析】由BD平分∠ABC可得∠DBC=∠ABD，继而可求出∠ACB，由BC的垂直平分线可得∠FCE=∠DBC，再通过∠ACF=∠ACB-∠FCE即可求得。
10．（2019·大埔模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=BC=2，将△ABC绕点C顺时针旋转60°，得到△DEC，则AE的长是 ．
【答案】
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】如图，连接AD，
由题意得：CA=CD,∠ACD=60°，
∴△ACD为等边三角形，
∴AD=CA,∠DAC=∠DCA=∠ADC=60°；
∵∠ABC=90°，AB=BC=2，
∴AC=AD=2 ，
∵AC=AD，CE=ED，
∴AE垂直平分DC，
∴EO= DC= ，OA=CA sin60°= ，
∴AE=EO+OA= + ，
故答案为 + .
【分析】根据等边三角形的性质以及垂直平分线的性质，可得出AE的长度。
11．（2019·沾化模拟）现要在△ABC的边AC上确定一点D，使得点D到AB，BC的距离相等．
（1）如图，请按要求在图上出作点D（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)；
（2）若AB=4，BC=6，△ABC的面积为12，求点D到AB的距离。
【答案】（1）解：如图所示，点D即为所求；
（2）解：点D作DE⊥AB交于点E，作DF⊥BC交于点F，
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC，∴DE＝DF，
∵S△ABC＝12，AB＝4，BC＝6，
∴S△ABC＝S△ABD+S△CBD＝ DE AB+ DF BC，
即12＝ ×（4+6）DE，
解得 DE＝ ，
∴D点到AB的距离为 ．
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；作图-角的平分线
【解析】【分析】（1）以A为圆心，以任意长为半径画弧交AB，BC两点，然后以与两边的交点为圆心。以两交点间的距离为半径分别画弧，两弧交于一点，过点B与两弧交点画出射线，交AC于一点，即为点D.
（2）过点D作DE⊥AB交于点E，作DF⊥BC交于点F，利用角平分线上的点到角两边的距离相等，可得 DE=DF，由S△ABC=S△ABD+S△BCD=12，利用三角形的面积公式，代入数据计算即可求出DE的长，即得D点到AB点的距离.
12．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为15cm，求AB的长；
（2）若∠MFN=70°，求∠MCN的度数．
【答案】（1）解：∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM=CM，BN=CN，
∴△CMN的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，
∵△CMN的周长为15cm，
∴AB=15cm
（2）解：∵∠MFN=70°，
∴∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°，
∵∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF，
∴∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°，
∴∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°，
∵AM=CM，BN=CN，
∴∠A=∠ACM，∠B=∠BCN，
∴∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B）=180°﹣2×70°=40°
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出 AM=CM，BN=CN， 根据三角形周长的计算方法及线段的和差等量代换即可，由 CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB， 即可算出答案；
（2）根据三角形的内角和得出 ∠MNF+∠NMF=180°﹣70°=110°， 根据对顶角相等得出 ∠AMD=∠NMF，∠BNE=∠MNF， 故 ∠AMD+∠BNE=∠MNF+∠NMF=110°， 根据直角三角形两锐角互余及角的和差，得出 ∠A+∠B=90°﹣∠AMD+90°﹣∠BNE=180°﹣110°=70°， 根据等边对等角得出 ∠A=∠ACM，∠B=∠BCN， 最后根据三角形的内角和，由 ∠MCN=180°﹣2（∠A+∠B） 即可算出答案。
三、真题演练
13．（2019·梧州）如图，DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周长是（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】解：∵DE是△ABC的边AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵AC＝8，BC＝5，
∴△BEC的周长是：BE+EC+BC＝AE+EC+BC＝AC+BC＝13。
故答案为：B。
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AE＝BE，从而根据三角形的周长计算方法及线段的和差等量代换即可算出答案。
14．（2019·济宁模拟）如图，点 和点 在 内部．
（1）请你作出点 ，使点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
【答案】（1）解：如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等；
（2）解：理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以连接MN，先作出MN的垂直平分线；根据到角两边的距离相等在角的垂直平分线上，再作出∠AOB的角平分线，两条显得交点即为点P.
（2）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
15．（2019·杭州）如图，在△ABC中，AC（1）已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证：∠APC=2∠B.
（2）以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点Q.连接AQ若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.
【答案】（1）证明：因为点P在AB的垂直平分线上，
所以PA=PB，
所以∠PAB=∠B，
所以∠APC=∠PAB+∠B=2∠B.
（2）解：根据题意，得BQ=BA，
所以∠BAQ=∠BQA，
设∠B=x，
所以∠AQC=∠B+∠BAQ=3x，
所以∠BAQ=∠BQA=2x，
在△ABQ中，x+2x+2x=180°.
解得x=36°，即∠B=36°
【知识点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；线段垂直平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的性质得PA=PA，由等腰三角形性质得∠PAB=∠B，根据三角形外角性质即可得证.（2）根据等腰三角形性质得∠BAQ=∠BQA，设∠B=x，由三角形外角性质得与已知条件得∠BAQ=∠BQA=2x，再由三角形内角和定理列出方程，解之即可得出答案.
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