初中数学人教版八年级上学期 第十一章 11.1.2 三角形的高、中线与角平分线
一、基础巩固
1．（2019八下·港南期中）三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等可求解。
2．（2019七下·苏州期末）画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A选项根据图形可知做的BC边上的高，不符合题意；
B选项做三角形的高必须过其中一个顶点向对边引垂线，不符合题意；
C选项，钝角三角形，延长CA，过点B向CA的延长线引垂线即为高，符合题意；
D选项根据图形可知做的AB边上的高，不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线；要作△ABC中AC边上的高，就是过点B作AC边的垂线段，可得出正确的选项。
3．（2019·北京模拟）用三角板作△ABC 边 BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）.
A． B．
C． D． .
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A、 作法符合题意，故A符合题意，
B 、没有过BC边所对的顶点，作法不符合题意，故B不符合题意.
C 、没有垂直BC，不符合题意，故C不符合题意.
D、 是作AC的高，不是作BC的高，不符合题意，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形上作高的定义，从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，垂线顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，进行判断即可。
4．（2019七下·苏州期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.
①在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
②画出AB边上的中线CD
③画出BC边上的高线AE
④点 为方格纸上的格点(异于点 )，若 ，则图中的格点 共有 个.
【答案】解：如图，△A′B′C′、线段CD、线段AE即为所求；
④ 7
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）观察B与B'两点的位置得出平移方向和距离：将点B向左平移7个单位，向下平移一个单位，利用方格纸的特点及平移的性质，将点A,C也作相同的平移即可得出其对应点A'，C'再顺次连接即可得出所求的△ A′B′C′；
（2）利用方格纸的特点，把AB看成一个长为6，宽为4的矩形的对角线，根据矩形的对角线互相平分即可找出AB的中点D，再连接CD， 线段CD 就是所求的 AB边上的中线 ；
（3）利用方格纸的特点及三角形高线的定义，过点A的水平线与BC所在的竖直线相交于点E， 线段AE就是 BC边上的高线 ；
（4）根据同底等高的三角形的三角形的面积相等，故点F只要在过点B且与AC平行的直线上即可，利用方格纸的特点即可得出答案。
二、强化提升
5．G为△ABC的重心，△ABC的三边长满足AB＞BC＞CA，记△GAB，△GBC，△GCA的面积分别为S1、S2、S3，则有（ ）
A．S1＞S2＞S3 B．S1＝S2＝S3
C．S1＜S2＜S3 D．S1、S2、S3的大小关系不确定
【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，延长CG交AB于点D
则△ACD的面积＝△BCD的面积，△AGD的面积＝△BGD的面积
∴S2＝S3
同理可证明S1＝S2
∴S1＝S2＝S3
故答案为：B．
【分析】如图，延长CG交AB于点D，根据等底同高的两个三角形的面积相等，得三角形的任意一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，故△ACD的面积＝△BCD的面积，△AGD的面积＝△BGD的面积，根据等式的性质得出S2＝S3，同理可证明S1＝S2，故S1＝S2＝S3。
6．（2019·无锡模拟）如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD⊥CE.若BD＝3，CE＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵BD，CE分别为AC，AB边上的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴OC= =
∴S△BDC= =2
∵BD为AC边上的中线
∴△ABC的面积=2S△BDC=4，
故答案为：A.
【分析】由三角形重心的定义可知点O是△ABC的重心，由三角形的重心的性质可得OC= ，再根据三角形的面积公式和已知条件可求得S△BDC=BD.OC，所以S△ABC=2S△BDC可求解。
7．（2019七下·邗江期中）在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△BCF=3 cm2，则S△ABC的值为 cm2.
【答案】12
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵点E是AD的中点，
∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC，
∴S△BCE= S△ABC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= S△ABC，
又∵S△BCF=3cm2，
∴S△ABC=4S△BEF=12 cm2.
故答案是：12.
【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，据此解答即可.
8．（2019·嘉定模拟）若a、b、c是△ABC的三边，且a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，则△ABC最大边上的高是 cm．
【答案】2.4cm
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，
∴△ABC是直角三角形，
∵S△ABC＝3×4÷2＝6cm2，
∴S△ABC＝5×最大边上的高＝12，
∴△ABC最大边上的高是2.4cm．
故答案为：2.4 cm
【分析】根据三角形的三边关系可得，该三角形为直角三角形，根据三角形的面积公式，求出高即可。
三、真题演练
9．（2019·大庆）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD= .
【答案】3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵D、E是BC、AC的中点
∴G点为△ABC的重心
可得出AG=2DG=2，
所以AD=AG+DG=2+1=3
【分析】利用三角形的重心的性质，可得出AG，求得AD的长。
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一、基础巩固
1．（2019八下·港南期中）三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个（ ）
A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形
C．直角三角形 D．周长相等的三角形
2．（2019七下·苏州期末）画△ABC中AC边上的高，下列四个画法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·北京模拟）用三角板作△ABC 边 BC 上的高，下列三角板的摆放位置正确的是（ ）.
A． B．
C． D． .
4．（2019七下·苏州期末）画图并填空：如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1.在方格纸内将△ABC经过一次平移后得到△A′B′C′，图中标出了点B的对应点B′.
①在给定方格纸中画出平移后的△A′B′C′；
②画出AB边上的中线CD
③画出BC边上的高线AE
④点 为方格纸上的格点(异于点 )，若 ，则图中的格点 共有 个.
二、强化提升
5．G为△ABC的重心，△ABC的三边长满足AB＞BC＞CA，记△GAB，△GBC，△GCA的面积分别为S1、S2、S3，则有（ ）
A．S1＞S2＞S3 B．S1＝S2＝S3
C．S1＜S2＜S3 D．S1、S2、S3的大小关系不确定
6．（2019·无锡模拟）如图，在△ABC中，BD，CE分别为AC，AB边上的中线，BD⊥CE.若BD＝3，CE＝2，则△ABC的面积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
7．（2019七下·邗江期中）在△ABC中，已知点D、E、F分别是边BC、AD、CE上的中点，且S△BCF=3 cm2，则S△ABC的值为 cm2.
8．（2019·嘉定模拟）若a、b、c是△ABC的三边，且a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，则△ABC最大边上的高是 cm．
三、真题演练
9．（2019·大庆）如图，在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点，AD与BE相交于点G，若DG=1，则AD= .
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】三角形一边上的中线把原三角形一定分成两个面积相等的三角形.
故答案为：B.
【分析】根据等底同高的两个三角形的面积相等可求解。
2．【答案】C
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A选项根据图形可知做的BC边上的高，不符合题意；
B选项做三角形的高必须过其中一个顶点向对边引垂线，不符合题意；
C选项，钝角三角形，延长CA，过点B向CA的延长线引垂线即为高，符合题意；
D选项根据图形可知做的AB边上的高，不符合题意。
故答案为：C
【分析】根据三角形高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高线；要作△ABC中AC边上的高，就是过点B作AC边的垂线段，可得出正确的选项。
3．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】A、 作法符合题意，故A符合题意，
B 、没有过BC边所对的顶点，作法不符合题意，故B不符合题意.
C 、没有垂直BC，不符合题意，故C不符合题意.
D、 是作AC的高，不是作BC的高，不符合题意，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】根据三角形上作高的定义，从三角形一个顶点向它的对边作一条垂线，垂线顶点和垂足之间的线段称三角形这条边上的高，进行判断即可。
4．【答案】解：如图，△A′B′C′、线段CD、线段AE即为所求；
④ 7
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）观察B与B'两点的位置得出平移方向和距离：将点B向左平移7个单位，向下平移一个单位，利用方格纸的特点及平移的性质，将点A,C也作相同的平移即可得出其对应点A'，C'再顺次连接即可得出所求的△ A′B′C′；
（2）利用方格纸的特点，把AB看成一个长为6，宽为4的矩形的对角线，根据矩形的对角线互相平分即可找出AB的中点D，再连接CD， 线段CD 就是所求的 AB边上的中线 ；
（3）利用方格纸的特点及三角形高线的定义，过点A的水平线与BC所在的竖直线相交于点E， 线段AE就是 BC边上的高线 ；
（4）根据同底等高的三角形的三角形的面积相等，故点F只要在过点B且与AC平行的直线上即可，利用方格纸的特点即可得出答案。
5．【答案】B
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形的面积
【解析】【解答】解：如图，延长CG交AB于点D
则△ACD的面积＝△BCD的面积，△AGD的面积＝△BGD的面积
∴S2＝S3
同理可证明S1＝S2
∴S1＝S2＝S3
故答案为：B．
【分析】如图，延长CG交AB于点D，根据等底同高的两个三角形的面积相等，得三角形的任意一条中线将三角形分成两个面积相等的三角形，故△ACD的面积＝△BCD的面积，△AGD的面积＝△BGD的面积，根据等式的性质得出S2＝S3，同理可证明S1＝S2，故S1＝S2＝S3。
6．【答案】A
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵BD，CE分别为AC，AB边上的中线，
∴点O是△ABC的重心，
∴OC= =
∴S△BDC= =2
∵BD为AC边上的中线
∴△ABC的面积=2S△BDC=4，
故答案为：A.
【分析】由三角形重心的定义可知点O是△ABC的重心，由三角形的重心的性质可得OC= ，再根据三角形的面积公式和已知条件可求得S△BDC=BD.OC，所以S△ABC=2S△BDC可求解。
7．【答案】12
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵点E是AD的中点，
∴S△ABE= S△ABD，S△ACE= S△ADC，
∴S△ABE+S△ACE= S△ABC，
∴S△BCE= S△ABC，
∵点F是CE的中点，
∴S△BEF= S△BCE= S△ABC，
又∵S△BCF=3cm2，
∴S△ABC=4S△BEF=12 cm2.
故答案是：12.
【分析】三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，据此解答即可.
8．【答案】2.4cm
【知识点】三角形的面积；三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵a＝3cm，b＝4cm，c＝5cm，
∴△ABC是直角三角形，
∵S△ABC＝3×4÷2＝6cm2，
∴S△ABC＝5×最大边上的高＝12，
∴△ABC最大边上的高是2.4cm．
故答案为：2.4 cm
【分析】根据三角形的三边关系可得，该三角形为直角三角形，根据三角形的面积公式，求出高即可。
9．【答案】3
【知识点】三角形的角平分线、中线和高
【解析】【解答】∵D、E是BC、AC的中点
∴G点为△ABC的重心
可得出AG=2DG=2，
所以AD=AG+DG=2+1=3
【分析】利用三角形的重心的性质，可得出AG，求得AD的长。
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