初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、基础巩固
1．（2019·青秀模拟）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是（ ）
A．y=2x2﹣4 B．y=2(x-2)2 C．y=2x2+2 D．y=2(x+2)2
2．（2019·浙江模拟）已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m＋1)在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2019·容县模拟）将 化成 的形式，则 的值是（ ）
A．-5 B．-8 C．-11 D．5
4．（2019·广州模拟）在二次函数 的图像中，若y随着x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞-1
5．（2019·山西模拟）如图所示的是二次函数 （ 为常数，且 ）的图象，其对称轴为直线 ，且经过点（0，1），则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
6．（2019·泰山模拟）给出下列函数:①y=2x-3；②y= ；③y=2x2；④y=-3x+1.上述函数中符合条件“当x>0时，函数值y随自变量x增大而增小”的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
7．（2019·夏津模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2-4ac>0；③ab<0；④a2-ab+ac<0，⑤b+2a=0，其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．（2018九上·杭州月考）已知二次函数 ．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时， 随 的增大而增大； 取什么值时， 随 增大而减小．
二、强化提升
9．（2019·防城模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（ ）
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝1.5 D．x＝2
10．（2019九下·温州模拟）已知二次函数 y = x2- 4x + n (n 是常数)，若对于抛物线上任意两点 A (x1， y1 ) ，B (x2 ， y2 ) 均有 y1＞y2 ，则 x1 ， x2 应满足的关系式是（ ）
A．x1 - 2＞x2 - 2 B．x1 - 2＜x2 - 2
C．| x1 - 2|＞|x2 - 2| D．| x1 - 2 | ＜|x2 - 2 |
11．（2019·深圳模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
12．（2019·二道模拟）对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为 .
13．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（三））已知y关于x的函数：y=（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1中满足k≤3．
（1）求证：此函数图象与x轴总有交点；
（2）当关于z的方程 有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标．
14．（2019·宽城模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与抛物线y＝ +k均经过点A（1，0）.直线x＝m在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）.函数y＝ax2﹣4ax+3（x≥m）的图象记为G1，函数y＝ +k（x≤m）的图象记为G2，图象G1与G2合起来得到的图形记为G.
（1）求a、k的值.
（2）当m＝ 时，求图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围.
（3）当﹣2≤x≤ 时，图形G上最高点的纵坐标为2，求m的值.
（4）当直线y＝2m﹣1与图形G有2个公共点时，直接写出m的取值范围.
15．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
三、真题演练
16．（2019·河池）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
17．（2019·遂宁）二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ，下列结论错误的是（ ）
A．
B．当 时，顶点的坐标为
C．当 时，
D．当 时，y随x的增大而增大
18．（2019·台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）
（1）求b，c满足的关系式
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值
19．（2019·天水）二次函数 的图象如图所示，若 ， .则 、 的大小关系为 .(填“ ”、“ ”或“ ”)
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解;A、y=2x2-4的对称轴为x=0，故该选项不符合题意；
B、y=2（x-2）2的对称轴为x=2，故该选项符合题意；
C、y=2x2+2的对称轴为x=0，故该选项不符合题意；
D、y=2（x+2）2对称轴为x=-2，故该选项不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式x=-即可算出A,C的对称轴直线作出判断;再根据抛物线的顶点式的性质即可得出B,D的对称轴直线再作出判断即可得出答案。
2．【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（-1，m），B（1，m），
∴A与B关于y轴对称，故A，B不符合题意；
∵B（1，m），C（2，m+1），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故D符合题意，C不符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据点的坐标与图形的性质得出A与B关于y轴对称，由B，C两点的坐标可以发现当x＞0时，y随x的增大而增大，从而即可一一判断得出答案。
3．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-6x+1=（x-3）2-8，
∴（x-3）2-8=a（x-h）2+k，
∴a=1，h=3，k=-8，
∴h+k=3+（-8）=-5.
故答案为：A.
【分析】根据y=a(x+)2+可将二次函数的解析式配成顶点式，则可得h、k的值，然后求和即可求解。
4．【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵a=-1＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∵对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线的对称轴，由于a＜0，可得抛物线开口向下，从而可得在对称轴的左则，y随x的增大增大，据此判断即可.
5．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.∵x=1时，y＜0，∴a-b+c＜0，该选项正确。
B.∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴＜0，∴b＜0，
∵抛物线经过点（0，1），∴c=1＞0，∴ ，该选项正确。
C.根据抛物线的对称性可得x=-2时，y=1，∴4a+2b+c=1＞0，该选项错误，符合题意。
D.∵c=1，a＜0；∴ ，该选项正确。
故答案为：C．
【分析】已知点的坐标使函数解析式成立。
A.当x=1，y=a-b+c，根据函数图象y＜0，即a-b+c＜0
B.根据抛物线图像的性质，开口方向、对称轴以及顶点坐标可以得出a、b、c的正负性，即可判断出abc 的正负性。
C.函数对称轴为x=-1，所以当x=2时与x=0时，y值相等，y=1.
D.已知c的值及a的正负性，代入不等式即可判断。
6．【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】对于y=2x-3，函数值y随着x的增大而增大；
对于y=，当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；
对于y=2x2，当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；
对于y=-3x+1，函数值y随着x的增大而增大。
故答案为：C。
【分析】一次函数y=kx+b，k＞0时，y随着x的增大而增大，k＜0时，y随着x的增大而减小；
二次函数y=ax2，当a＞0时，x＞0时y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小；
反比例函数y=，当a＞0时，x＞0时，函数值y随x的增大而减小，x＜0时，函数值y随x的增大而减小。
7．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由二次函数的图象可知，抛物线开口向上，a>0，x=-1即，求得b=2a，即b-2a=0，还可求得b>0，所以ab>0，③⑤是错误的；已知点B的坐标为（1，0），对称轴x=-1，根据抛物线的对称性求得点A的坐标为（-3，0），所以AB=4，①是正确的；由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的交点有两个，即与二次函数相对应的ax2+bx+c=0的一元二次方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac>0，②是正确的；由抛物线的图象可知，x=-1是对称轴，此时y有最小值为-3，即a-b+c=-3，又因为a>0，所以a（a-b+c）=a2-ab-ac<0，④是正确的。综上所述，①②④是正确的。
故答案为：C
【分析】此题主要考查二次函数的性质，通过观察图象可以判断出a、b、c的符号，由开口方向可以判断a>0，由对称轴在y轴的左侧可以判断b>0，由抛物线的图象与x轴的交点可以判断出与之相对应的一元二次方程的根的个数可以判断b2-4ac>0，由抛物线的对称性和对称轴及点B的坐标，可以确定点A的坐标，从而求得AB的长为4，同样由对称轴可知a-b+c=-3，即可求得正确的结论个数。
8．【答案】（1）解：
（2）解：开口向上，对称轴是 ，顶点坐标是
（3）解： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 增大而减小．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）由配方法即可求得；（2）开口方向看二次项系数；由（1）中的顶点式即可得对称轴和顶点坐标；（3）先看抛物线的开口方向，开口向上，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小.
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝ ，即x＝1.5，
故答案为：C.
【分析】由表可知当x＝0和x＝3时，y＝3，根据抛物线的对称轴的计算公式可得该抛物线的对称轴是直线x＝ ，即x＝1.5.
10．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线开口向上，∴当A点到直线x=2的距离大于点B到直线x=2的距离时，y1＞y2，∴|x1﹣2|＞|x2﹣2|。
故答案为：C。
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式算出抛物线的对称轴为直线x=2，又由于抛物线的开口向上，故点离开对称轴的距离越远，其对应的函数值就越大，从而即可得出答案。
11．【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，
∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故答案为：D．
【分析】首先根据二次函数图象开口可得a＜0，其次根据对称轴在y轴左边可知b＜0，再将点P坐标代入二次函数解析式可知a﹣b＜0，最后根据一次函数图象的性质可知其图像经过二、三、四象限，从而求解。
12．【答案】1≤a≤2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴该函数的顶点坐标为（2，0），对称轴为：x＝2 ，
把y＝0代入解析式可得：x＝2，
把y＝1代入解析式可得：x1＝3，x2＝1，
所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，
故可得：1≤a≤2，
故答案为：1≤a≤2.
【分析】首先将二次函数的解析式配成顶点式，即可得出该函数顶点坐标及对称轴直线，然后将函数值y＝0与y＝1分别代入二次函数的解析式即可算出对应的自变量的值，从而求出自变量x的取值范围，进而根据抛物线的性质即可得出a的取值范围。
13．【答案】（1）证明：当k=2时，函数为y=﹣2x+3，图象与x轴有交点．
当k≠2时，△=4（k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）=﹣4k+12；
当k≤3时，△≥0，此时抛物线与x轴有交点．
因此，k≤3时，y关于x的函数y=（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1的图象与x轴总有交点．
（2）解：关于z的方程去分母得：z﹣2=k+2z﹣6，k=4﹣z．
由于原分式方程有增根，其根必为z=3．这时k=1
这时函数为y=﹣x2+2．它与x轴的交点是（﹣ ，0）和（ ，0）．
【知识点】分式方程的增根；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分类讨论：① 当k=2时， 该函数是一次函数，与x轴一定有交点；② 当k≠2时 ，该函数是二次函数，算出其根的判别式的值，根据当k≤3时，其判别式一定大于等于0，即△≥0，故此时抛物线与x轴有交点，综上所述即可得出 k≤3时，y关于x的函数y=（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1的图象与x轴总有交点；
（2）关于z的方程两边都乘以（z-3）约去分母，求解用含k的式子表示z，根据分式方程的增根就是使最简公分母为0的根，得出z=3，进而算出k的值，将k的值代入抛物线的解析式，根据抛物线与x轴交点的坐标特点即可求出其与x轴交点的坐标。
14．【答案】（1）解：抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与抛物线y＝ +k图象G1与均经过点A（1，0）
∴a﹣4a+3＝0， ×22+k＝0，
解得a＝1，k＝﹣2
（2）解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴图象G1与的对称轴为直线x＝2，
∵y＝ ﹣2，∴图象G2与的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当m＝ 时，图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围是x≤﹣1或 ≤x≤2
（3）解：当﹣1＜m＜1时，m2﹣4m+3＝2 （如图1）
解得m1＝2﹣ ，m2＝2+ ＞1（舍去）
当1＜m＜2时， （m+1）2﹣2＝2 （如图2）
解得m1＝﹣1+2 ，m2＝﹣1﹣2 ＜1（舍去）
（4）解：当直线y＝2m﹣1与y＝（x﹣2）2﹣1，x＝m相交时，
2m﹣1＝（m﹣2）2﹣1，
∴m＝3+ ，m＝3﹣ ；
当直线y＝2m﹣1与y＝ ﹣2，x＝m相交时，
2m﹣1＝ ﹣2
∴m＝1+ ，m＝1﹣ ，
当y＝2m﹣1＝﹣2时，m＝﹣ ，
当y＝2m﹣1＝﹣1时，m＝0，
∴﹣ ＜m≤1﹣ ，m＝0，3﹣ ≤m＜1+ ；
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A（1，0）分别代入两个抛物线解析式中，求出a、k的值即可.
（2）结合（1）可知y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 的对称轴为直线x-2， y＝ ﹣2 的对称轴为直线x=-1， 即得当m＝ 时，图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围是x≤﹣1或 ≤x≤2 .
（3）当﹣2≤x≤ 时，图象如图①，当﹣1＜m＜1时，可得m2﹣4m+3＝2；当1＜m＜2时，可得 （m+1）2﹣2＝2 ，分别解出m值并检验即得.
（4）①当直线y＝2m﹣1与y＝（x﹣2）2﹣1，x＝m相交时，可得2m﹣1＝（m﹣2）2﹣1，②当直线y＝2m﹣1与y＝ ﹣2，x＝m相交时，可得2m﹣1＝ ﹣2 ，③当y＝2m﹣1＝﹣2时，④当y＝2m﹣1＝﹣1时，分别求出m值即得；
15．【答案】（1）解：∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1
（2）解：当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2
（3）解：m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴ 或 ，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）因为x1＜x2≤﹣2，于是将x=﹣2代入题目中的解析式，即可将用含m的代数式表示，并将其配顶点式，根据二次函数的性质可求得yP有最小值时m的值，再将此时的m的值代入抛物线F的解析式，并配成顶点式，根据二次函数的性质即可判断与的大小；
（3）因为抛物线F与线段AB有公共点，则可得抛物线在直线y=2的上方或下方，于是可得不等式组求解。
16．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，因此ac＜0，故不符合题意；
B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，故不符合题意；
C、由对称轴为x=- =1，得2a=-b，即2a+b=0，故符合题意；
D、由对称轴为x=1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（-1，0），所以a-b+c=0，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系，由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，由抛物线的对称轴直线公式及对称轴直线得出2a+b=0，根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另外一个交点是（-1，0），所以当x=-1的时候y=a-b+c=0，从而即可一一判断得出答案。
17．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
当 时，
∴顶点的坐标为 ，故B选项正确，不符合题意；
当 时，由图象知此时
即
∴ ，故C选项不正确，符合题意；
∵对称轴为直线 且图象开口向上
∴当 时，y随x的增大而增大，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、利用对称轴为直线x==2，求出a值，据此判断.
B、将b=-4，a=4代入抛物线解析式中，可得y=x2-4x-4，然后将其化为顶点式，据此判断即可.
C、根据图象可得，当x=-1时，y=1+4+b＜0，从而可求出b的范围，据此判断即可.
D、由于抛物线的开口向上，对称轴直线x=2，可得当x＞2时，y随x的增大而增大，据此判断即可.
18．【答案】（1）解：将点（-2，4）代入y=x2+bx+c，得4=（-2）2-2b+c，∴c=2b
∴b，c满足的关系式是c=2b
（2）解：把c=2b代入y=x2+bx+c，得y=x2+bx+2b，
∵顶点坐标是（m，n）
∴n=m2+bm+2b且m=，即b=-2m
∴n=m2+(-2m)m+2(-2m)=-m2-4m
∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m
（3）y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b，
对称轴x=-，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0；
此时y=x2，当-5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴-4≤x=≤0,
当-5≤x≤1时，函数有最小值-+2b，
当-5≤-＜-2时，函数有最大值1+3b，
当-2＜-≤1时，函数有最大值25-3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1=3b时，1+3b+-2b=16，
∴b=6或b=-10，
∵4≤b≤8，
∴b=6；
当最大值25-3b时，25-3b+-2b=16，
∴b=2或b=18,
∵2≤b≤4,
∴b=2;
综上所述b=2或b=6.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将点（-2，4）代入函数解析式即可得出b、c满足的关系式.（2）将（1）中得到的c=2b代入函数解析式得y=x2+bx+2b，可知对称轴m=- ，且n=m2+bm+2b，即n=m2+（-2m）m+2（-2m）=-m2-4m，从而可得n关于m的函数解析式.（3） y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b， 当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0； 此时y=x2 ， 最大值与最小值之差为25 ； 当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0， 得0≤b≤8，求-5≤x≤1 、 -5≤-＜-2 、 -2＜-≤1 三种情况下的函数最大值，再当最大值1=3b或25-3b时，求出b的值。
19．【答案】<
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当 时， ，
当 时， ，
，
即 。
故答案为：
【分析】根据图象可知当 时， ，当 时， ，利用作差法及有理数的减法法则判断出M-N＜0，故 。
1 / 1初中数学人教版九年级上学期 第二十二章 22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质
一、基础巩固
1．（2019·青秀模拟）在下列二次函数中，其图象对称轴为x=2的是（ ）
A．y=2x2﹣4 B．y=2(x-2)2 C．y=2x2+2 D．y=2(x+2)2
【答案】B
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解;A、y=2x2-4的对称轴为x=0，故该选项不符合题意；
B、y=2（x-2）2的对称轴为x=2，故该选项符合题意；
C、y=2x2+2的对称轴为x=0，故该选项不符合题意；
D、y=2（x+2）2对称轴为x=-2，故该选项不符合题意。
故答案为：B。
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式x=-即可算出A,C的对称轴直线作出判断;再根据抛物线的顶点式的性质即可得出B,D的对称轴直线再作出判断即可得出答案。
2．（2019·浙江模拟）已知点A(－1，m)，B(1，m)，C(2，m＋1)在同一个函数图象上，这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】坐标与图形性质；反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵点A（-1，m），B（1，m），
∴A与B关于y轴对称，故A，B不符合题意；
∵B（1，m），C（2，m+1），
∴当x＞0时，y随x的增大而增大，故D符合题意，C不符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据点的坐标与图形的性质得出A与B关于y轴对称，由B，C两点的坐标可以发现当x＞0时，y随x的增大而增大，从而即可一一判断得出答案。
3．（2019·容县模拟）将 化成 的形式，则 的值是（ ）
A．-5 B．-8 C．-11 D．5
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【解答】解：∵y=x2-6x+1=（x-3）2-8，
∴（x-3）2-8=a（x-h）2+k，
∴a=1，h=3，k=-8，
∴h+k=3+（-8）=-5.
故答案为：A.
【分析】根据y=a(x+)2+可将二次函数的解析式配成顶点式，则可得h、k的值，然后求和即可求解。
4．（2019·广州模拟）在二次函数 的图像中，若y随着x的增大而增大，则x的取值范围是（ ）
A．x＜1 B．x＞1 C．x＜2 D．x＞-1
【答案】A
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵a=-1＜0，
∴二次函数图象开口向下，
∵对称轴是直线x=1，
∴当x＜1时，函数图象在对称轴的左边，y随x的增大增大．
故答案为：A．
【分析】先求出抛物线的对称轴，由于a＜0，可得抛物线开口向下，从而可得在对称轴的左则，y随x的增大增大，据此判断即可.
5．（2019·山西模拟）如图所示的是二次函数 （ 为常数，且 ）的图象，其对称轴为直线 ，且经过点（0，1），则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A.∵x=1时，y＜0，∴a-b+c＜0，该选项正确。
B.∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴左侧，∴＜0，∴b＜0，
∵抛物线经过点（0，1），∴c=1＞0，∴ ，该选项正确。
C.根据抛物线的对称性可得x=-2时，y=1，∴4a+2b+c=1＞0，该选项错误，符合题意。
D.∵c=1，a＜0；∴ ，该选项正确。
故答案为：C．
【分析】已知点的坐标使函数解析式成立。
A.当x=1，y=a-b+c，根据函数图象y＜0，即a-b+c＜0
B.根据抛物线图像的性质，开口方向、对称轴以及顶点坐标可以得出a、b、c的正负性，即可判断出abc 的正负性。
C.函数对称轴为x=-1，所以当x=2时与x=0时，y值相等，y=1.
D.已知c的值及a的正负性，代入不等式即可判断。
6．（2019·泰山模拟）给出下列函数:①y=2x-3；②y= ；③y=2x2；④y=-3x+1.上述函数中符合条件“当x>0时，函数值y随自变量x增大而增小”的是（ ）
A．①③ B．③④ C．②④ D．②③
【答案】C
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】对于y=2x-3，函数值y随着x的增大而增大；
对于y=，当x＞0时，函数值y随x的增大而减小；
对于y=2x2，当x＞0时，函数值y随x的增大而增大；
对于y=-3x+1，函数值y随着x的增大而增大。
故答案为：C。
【分析】一次函数y=kx+b，k＞0时，y随着x的增大而增大，k＜0时，y随着x的增大而减小；
二次函数y=ax2，当a＞0时，x＞0时y随x的增大而增大，x＜0时，y随x的增大而减小；
反比例函数y=，当a＞0时，x＞0时，函数值y随x的增大而减小，x＜0时，函数值y随x的增大而减小。
7．（2019·夏津模拟）如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x=-1，点B的坐标为（1，0），则下列结论：①AB=4；②b2-4ac>0；③ab<0；④a2-ab+ac<0，⑤b+2a=0，其中正确的结论个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】由二次函数的图象可知，抛物线开口向上，a>0，x=-1即，求得b=2a，即b-2a=0，还可求得b>0，所以ab>0，③⑤是错误的；已知点B的坐标为（1，0），对称轴x=-1，根据抛物线的对称性求得点A的坐标为（-3，0），所以AB=4，①是正确的；由二次函数的图象可知，抛物线与x轴的交点有两个，即与二次函数相对应的ax2+bx+c=0的一元二次方程有两个不相等的实数根，即b2-4ac>0，②是正确的；由抛物线的图象可知，x=-1是对称轴，此时y有最小值为-3，即a-b+c=-3，又因为a>0，所以a（a-b+c）=a2-ab-ac<0，④是正确的。综上所述，①②④是正确的。
故答案为：C
【分析】此题主要考查二次函数的性质，通过观察图象可以判断出a、b、c的符号，由开口方向可以判断a>0，由对称轴在y轴的左侧可以判断b>0，由抛物线的图象与x轴的交点可以判断出与之相对应的一元二次方程的根的个数可以判断b2-4ac>0，由抛物线的对称性和对称轴及点B的坐标，可以确定点A的坐标，从而求得AB的长为4，同样由对称轴可知a-b+c=-3，即可求得正确的结论个数。
8．（2018九上·杭州月考）已知二次函数 ．
（1）将解析式化成顶点式；
（2）写出它的开口方向、对称轴和顶点坐标；
（3）x取什么值时， 随 的增大而增大； 取什么值时， 随 增大而减小．
【答案】（1）解：
（2）解：开口向上，对称轴是 ，顶点坐标是
（3）解： 时， 随 的增大而增大； 时， 随 增大而减小．
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化
【解析】【分析】（1）由配方法即可求得；（2）开口方向看二次项系数；由（1）中的顶点式即可得对称轴和顶点坐标；（3）先看抛物线的开口方向，开口向上，则在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；在对称轴的左侧，y随x的增大而减小.
二、强化提升
9．（2019·防城模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数且a≠0）中的x与y的部分对应值如下表，该抛物线的对称轴是直线（ ）
x ﹣1 0 1 3
y ﹣1 3 5 3
A．x＝0 B．x＝1 C．x＝1.5 D．x＝2
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由表知当x＝0和x＝3时，y＝3，
∴该抛物线的对称轴是直线x＝ ，即x＝1.5，
故答案为：C.
【分析】由表可知当x＝0和x＝3时，y＝3，根据抛物线的对称轴的计算公式可得该抛物线的对称轴是直线x＝ ，即x＝1.5.
10．（2019九下·温州模拟）已知二次函数 y = x2- 4x + n (n 是常数)，若对于抛物线上任意两点 A (x1， y1 ) ，B (x2 ， y2 ) 均有 y1＞y2 ，则 x1 ， x2 应满足的关系式是（ ）
A．x1 - 2＞x2 - 2 B．x1 - 2＜x2 - 2
C．| x1 - 2|＞|x2 - 2| D．| x1 - 2 | ＜|x2 - 2 |
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x=2，而抛物线开口向上，∴当A点到直线x=2的距离大于点B到直线x=2的距离时，y1＞y2，∴|x1﹣2|＞|x2﹣2|。
故答案为：C。
【分析】根据抛物线的对称轴直线公式算出抛物线的对称轴为直线x=2，又由于抛物线的开口向上，故点离开对称轴的距离越远，其对应的函数值就越大，从而即可得出答案。
11．（2019·深圳模拟）如图，二次函数y＝ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y＝（a﹣b）x+b的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由二次函数的图象可知，
a＜0，b＜0，
当x＝﹣1时，y＝a﹣b＜0，
∴y＝（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，
故答案为：D．
【分析】首先根据二次函数图象开口可得a＜0，其次根据对称轴在y轴左边可知b＜0，再将点P坐标代入二次函数解析式可知a﹣b＜0，最后根据一次函数图象的性质可知其图像经过二、三、四象限，从而求解。
12．（2019·二道模拟）对于二次函数y＝x2﹣4x+4，当自变量x满足a≤x≤3时，函数值y的取值范围为0≤y≤1，则a的取值范围为 .
【答案】1≤a≤2
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+4＝（x﹣2）2，
∴该函数的顶点坐标为（2，0），对称轴为：x＝2 ，
把y＝0代入解析式可得：x＝2，
把y＝1代入解析式可得：x1＝3，x2＝1，
所以函数值y的取值范围为0≤y≤1时，自变量x的范围为1≤x≤3，
故可得：1≤a≤2，
故答案为：1≤a≤2.
【分析】首先将二次函数的解析式配成顶点式，即可得出该函数顶点坐标及对称轴直线，然后将函数值y＝0与y＝1分别代入二次函数的解析式即可算出对应的自变量的值，从而求出自变量x的取值范围，进而根据抛物线的性质即可得出a的取值范围。
13．（浙教版2018-2019学年重点高中自主招生数学模拟试卷（三））已知y关于x的函数：y=（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1中满足k≤3．
（1）求证：此函数图象与x轴总有交点；
（2）当关于z的方程 有增根时，求上述函数图象与x轴的交点坐标．
【答案】（1）证明：当k=2时，函数为y=﹣2x+3，图象与x轴有交点．
当k≠2时，△=4（k﹣1）2﹣4（k﹣2）（k+1）=﹣4k+12；
当k≤3时，△≥0，此时抛物线与x轴有交点．
因此，k≤3时，y关于x的函数y=（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1的图象与x轴总有交点．
（2）解：关于z的方程去分母得：z﹣2=k+2z﹣6，k=4﹣z．
由于原分式方程有增根，其根必为z=3．这时k=1
这时函数为y=﹣x2+2．它与x轴的交点是（﹣ ，0）和（ ，0）．
【知识点】分式方程的增根；一次函数的性质；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）分类讨论：① 当k=2时， 该函数是一次函数，与x轴一定有交点；② 当k≠2时 ，该函数是二次函数，算出其根的判别式的值，根据当k≤3时，其判别式一定大于等于0，即△≥0，故此时抛物线与x轴有交点，综上所述即可得出 k≤3时，y关于x的函数y=（k﹣2）x2﹣2（k﹣1）x+k+1的图象与x轴总有交点；
（2）关于z的方程两边都乘以（z-3）约去分母，求解用含k的式子表示z，根据分式方程的增根就是使最简公分母为0的根，得出z=3，进而算出k的值，将k的值代入抛物线的解析式，根据抛物线与x轴交点的坐标特点即可求出其与x轴交点的坐标。
14．（2019·宽城模拟）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与抛物线y＝ +k均经过点A（1，0）.直线x＝m在这两条抛物线的对称轴之间（不与对称轴重合）.函数y＝ax2﹣4ax+3（x≥m）的图象记为G1，函数y＝ +k（x≤m）的图象记为G2，图象G1与G2合起来得到的图形记为G.
（1）求a、k的值.
（2）当m＝ 时，求图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围.
（3）当﹣2≤x≤ 时，图形G上最高点的纵坐标为2，求m的值.
（4）当直线y＝2m﹣1与图形G有2个公共点时，直接写出m的取值范围.
【答案】（1）解：抛物线y＝ax2﹣4ax+3（a≠0）与抛物线y＝ +k图象G1与均经过点A（1，0）
∴a﹣4a+3＝0， ×22+k＝0，
解得a＝1，k＝﹣2
（2）解：∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，
∴图象G1与的对称轴为直线x＝2，
∵y＝ ﹣2，∴图象G2与的对称轴为直线x＝﹣1，
∴当m＝ 时，图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围是x≤﹣1或 ≤x≤2
（3）解：当﹣1＜m＜1时，m2﹣4m+3＝2 （如图1）
解得m1＝2﹣ ，m2＝2+ ＞1（舍去）
当1＜m＜2时， （m+1）2﹣2＝2 （如图2）
解得m1＝﹣1+2 ，m2＝﹣1﹣2 ＜1（舍去）
（4）解：当直线y＝2m﹣1与y＝（x﹣2）2﹣1，x＝m相交时，
2m﹣1＝（m﹣2）2﹣1，
∴m＝3+ ，m＝3﹣ ；
当直线y＝2m﹣1与y＝ ﹣2，x＝m相交时，
2m﹣1＝ ﹣2
∴m＝1+ ，m＝1﹣ ，
当y＝2m﹣1＝﹣2时，m＝﹣ ，
当y＝2m﹣1＝﹣1时，m＝0，
∴﹣ ＜m≤1﹣ ，m＝0，3﹣ ≤m＜1+ ；
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）将点A（1，0）分别代入两个抛物线解析式中，求出a、k的值即可.
（2）结合（1）可知y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1 的对称轴为直线x-2， y＝ ﹣2 的对称轴为直线x=-1， 即得当m＝ 时，图形G上y随x的增大而减小时x的取值范围是x≤﹣1或 ≤x≤2 .
（3）当﹣2≤x≤ 时，图象如图①，当﹣1＜m＜1时，可得m2﹣4m+3＝2；当1＜m＜2时，可得 （m+1）2﹣2＝2 ，分别解出m值并检验即得.
（4）①当直线y＝2m﹣1与y＝（x﹣2）2﹣1，x＝m相交时，可得2m﹣1＝（m﹣2）2﹣1，②当直线y＝2m﹣1与y＝ ﹣2，x＝m相交时，可得2m﹣1＝ ﹣2 ，③当y＝2m﹣1＝﹣2时，④当y＝2m﹣1＝﹣1时，分别求出m值即得；
15．如图，已知点A（0，2），B（2，2），C（﹣1，﹣2），抛物线F：y=x2﹣2mx+m2﹣2与直线x=﹣2交于点P．
（1）当抛物线F经过点C时，求它的表达式；
（2）设点P的纵坐标为yP，求yP的最小值，此时抛物线F上有两点（x1，y1），（x2，y2），且x1＜x2≤﹣2，比较y1与y2的大小；
（3）当抛物线F与线段AB有公共点时，直接写出m的取值范围．
【答案】（1）解：∵抛物线F经过点C（﹣1，﹣2），
∴﹣2=（﹣1）2﹣2×m×（﹣1）+m2﹣2，
解得，m=﹣1，
∴抛物线F的表达式是：y=x2+2x﹣1
（2）解：当x=﹣2时，yp=4+4m+m2﹣2=（m+2）2﹣2，
∴当m=﹣2时，yp的最小值﹣2，
此时抛物线F的表达式是：y=x2+4x+2=（x+2）2﹣2，
∴当x≤﹣2时，y随x的增大而减小，
∵x1＜x2≤﹣2，
∴y1＞y2
（3）解：m的取值范围是﹣2≤m≤0或2≤m≤4，
理由：∵抛物线F与线段AB有公共点，点A（0，2），B（2，2），
∴ 或 ，
解得，﹣2≤m≤0或2≤m≤4
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）由题意用待定系数法可求抛物线的解析式；
（2）因为x1＜x2≤﹣2，于是将x=﹣2代入题目中的解析式，即可将用含m的代数式表示，并将其配顶点式，根据二次函数的性质可求得yP有最小值时m的值，再将此时的m的值代入抛物线F的解析式，并配成顶点式，根据二次函数的性质即可判断与的大小；
（3）因为抛物线F与线段AB有公共点，则可得抛物线在直线y=2的上方或下方，于是可得不等式组求解。
三、真题演练
16．（2019·河池）如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=1，则下列结论中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：A、由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，因此ac＜0，故不符合题意；
B、由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，故不符合题意；
C、由对称轴为x=- =1，得2a=-b，即2a+b=0，故符合题意；
D、由对称轴为x=1及抛物线过（3，0），可得抛物线与x轴的另外一个交点是（-1，0），所以a-b+c=0，故不符合题意。
故答案为：C。
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系，由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点在y轴的正半轴上，可得c＞0，由抛物线与x轴有两个交点，可得b2-4ac＞0，由抛物线的对称轴直线公式及对称轴直线得出2a+b=0，根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的另外一个交点是（-1，0），所以当x=-1的时候y=a-b+c=0，从而即可一一判断得出答案。
17．（2019·遂宁）二次函数 的图象如图所示，对称轴为直线 ，下列结论错误的是（ ）
A．
B．当 时，顶点的坐标为
C．当 时，
D．当 时，y随x的增大而增大
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数
∴对称轴为直线
∴ ，故A选项正确，不符合题意；
当 时，
∴顶点的坐标为 ，故B选项正确，不符合题意；
当 时，由图象知此时
即
∴ ，故C选项不正确，符合题意；
∵对称轴为直线 且图象开口向上
∴当 时，y随x的增大而增大，故D选项正确，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】A、利用对称轴为直线x==2，求出a值，据此判断.
B、将b=-4，a=4代入抛物线解析式中，可得y=x2-4x-4，然后将其化为顶点式，据此判断即可.
C、根据图象可得，当x=-1时，y=1+4+b＜0，从而可求出b的范围，据此判断即可.
D、由于抛物线的开口向上，对称轴直线x=2，可得当x＞2时，y随x的增大而增大，据此判断即可.
18．（2019·台州）已知函数y=x2+bx+c（b，c为常数）的图象经过点（-2，4）
（1）求b，c满足的关系式
（2）设该函数图象的顶点坐标是（m，n），当b的值变化时，求n关于m的函数解析式
（3）若该函数的图象不经过第三象限，当-5sx≤1时，函数的最大值与最小值之差为16，求b的值
【答案】（1）解：将点（-2，4）代入y=x2+bx+c，得4=（-2）2-2b+c，∴c=2b
∴b，c满足的关系式是c=2b
（2）解：把c=2b代入y=x2+bx+c，得y=x2+bx+2b，
∵顶点坐标是（m，n）
∴n=m2+bm+2b且m=，即b=-2m
∴n=m2+(-2m)m+2(-2m)=-m2-4m
∴n关于m的函数解析式为n=-m2-4m
（3）y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b，
对称轴x=-，
当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0；
此时y=x2，当-5≤x≤1时，函数最小值是0，最大值是25，
∴最大值与最小值之差为25；（舍去）
当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0，
∴0≤b≤8，
∴-4≤x=≤0,
当-5≤x≤1时，函数有最小值-+2b，
当-5≤-＜-2时，函数有最大值1+3b，
当-2＜-≤1时，函数有最大值25-3b；
函数的最大值与最小值之差为16，
当最大值1=3b时，1+3b+-2b=16，
∴b=6或b=-10，
∵4≤b≤8，
∴b=6；
当最大值25-3b时，25-3b+-2b=16，
∴b=2或b=18,
∵2≤b≤4,
∴b=2;
综上所述b=2或b=6.
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）将点（-2，4）代入函数解析式即可得出b、c满足的关系式.（2）将（1）中得到的c=2b代入函数解析式得y=x2+bx+2b，可知对称轴m=- ，且n=m2+bm+2b，即n=m2+（-2m）m+2（-2m）=-m2-4m，从而可得n关于m的函数解析式.（3） y=x2+bx+2b=（x+）2-+2b， 当b≤0时，c≤0，函数不经过第三象限，则c=0； 此时y=x2 ， 最大值与最小值之差为25 ； 当b＞0时，c＞0，函数不经过第三象限，则△≤0， 得0≤b≤8，求-5≤x≤1 、 -5≤-＜-2 、 -2＜-≤1 三种情况下的函数最大值，再当最大值1=3b或25-3b时，求出b的值。
19．（2019·天水）二次函数 的图象如图所示，若 ， .则 、 的大小关系为 .(填“ ”、“ ”或“ ”)
【答案】<
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：当 时， ，
当 时， ，
，
即 。
故答案为：
【分析】根据图象可知当 时， ，当 时， ，利用作差法及有理数的减法法则判断出M-N＜0，故 。
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