初中数学人教版八年级上学期 第十二章 12.3 角的平分线的性质
一、基础巩固
1．（2019·上城模拟）过线段AB外一点C，用直尺和圆规作AB的垂线段CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】圆周角定理；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：A、根据过直线外一点作已知直线的尺规作图可知此选项不符合题意；
B、无法证明CD是AB上的垂线，符合题意.
C、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
D、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接判断A；根据直径所对的圆周角是直角，据此判断C；根据相交两圆的公共弦的性质，可得CD⊥AB，据此判断D，从而求出答案.
2．（2019·广西模拟）如图，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2的度数为 （ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=80°，∴∠CEG=100°，又∵EF平分∠CEG，∴∠CEF=50°，∵AB∥CD，故∠2=∠CEF=50°.
故答案为：C
【分析】先根据平角的定义和角平分线的定义求得∠CEF的大小，再由平行线的性质即可求出∠2的大小。
3．（2019八下·港南期中）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，则点D到AB边的距离为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CD：BD=3：4.
设CD=3x，则BD=4x，
∴BC=CD+BD=7x，
∵BC=21，
∴7x=21，
∴x=3，
∴CD=9，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=9，
∴点D到AB边的距离是9，
故答案为：B.
【分析】由题意易求得CD的长，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求得点D到AB边的距离=CD的长。
4．（2019八上·天河期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝ ．
【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故答案为：3．
【分析】由角平分线的性质可知CD=DE=1；∠B=30°，DE⊥AB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，即DB=2DE=2，即可求得BC的长。
5．（2019·长春模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于DC＝2，
∴PD的最小值为2．
故答案为：2．
【分析】根据题目可知该作法是∠BAC的角平分线的作法，所以AD平分∠BAC。P是AB上的动点，只有当PD⊥AB时，PD的值最短，则题目转化为求D到AB的距离。根据角平分线的点到角两边距离相等这一性质可推出PD最小值就是CD的值。
6．（2019八上·河池期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为 ．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵BC=10cm，BD：DC=3：2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
【分析】因为点D到AB的距离是点D到AB的垂线段的长度，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知CD与点D到AB的距离相等，结合已知可求得CD的长。
7．（2019七下·盐田期末）尺规作图：作点A关于直线l的对称点A'.
已知：直线l和l外一点A.
求作：点A关于l的对称点A'.
作法：①在l上任取一点P，以点P为圆心，PA长为半径作孤，交l于点B；②以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧AB于点A'. 点A'就是所求作的对称点.
由步骤①，得
由步骤②，得
将横线上的内容填写完整，并说明点A与A'关于直线l对称的理由 .
【答案】PA=PB；AB=BA'；根据线段相等，即可证明三角形全等，证明对称
【知识点】作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据尺规作图的步骤，写出内容即可，根据线段相等求得点的对称点。
8．（2019八下·靖远期中）如图.在△ABC中，AD是角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
求证：EB=FC.
【答案】证明：∵AD平分角BAC DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得DE=DF， 利用HL判Rt△BDE≌Rt△CDF， 由全等三角形的对应边相等即可证明EB=FC.
9．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 单元测试B）如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF．
【答案】证明：在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥BA，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的性质，可证得∠BAD=∠CAD，然后根据角平分线的性质，可证得结论。
二、强化提升
10．（2019八下·港南期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE.
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE.
又∵AC=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=6
故答案为：A
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，然后用HL定理可证Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，结合题意可得△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB可求解。
11．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册第九章多边形 单元检测B卷）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC的度数为（ ）
A．α B． C．90﹣α D．90﹣ α
【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，
∵∠ABD=52°，∠ABC=116°，
∴∠DBC=∠CBE=64°，
∴BC平分∠DBE，
∴CE=CF，
又∵AC平分∠BAD，
∴CE=CG，
∴CF=CG，
又∵CG⊥AD，CF⊥DB，
∴CD平分∠BDG，
∵∠CBE是△ABC的外角，∠DBE是△ABD的外角，
∴∠ACB=∠CBE﹣∠CAB= （∠DBE﹣∠DAB）= ∠ADB，
∴∠ADB=2∠ACB=2α°，
∴∠BDG=180°﹣2α°，
∴∠BDC= ∠BDG=90°﹣α°，
故答案为：C．
【分析】过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，根据角平分线的判定可得到CD平分∠BDG，再根据三角形外角性质，即可得出∠BDC的度数.
12．（2019八上·长兴期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，则S△ABC=8S△BDE其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵ AD平分∠BAC ，DE⊥AB ， ∠C=90°，
∴DC=DE，∠DAE=∠DAC，∠C=∠DEA=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴∠ADE=∠ADC，AE=AC，
∴ AD平分∠CDE ，
故①正确；
②∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵ DE⊥AB ，
∴∠DEB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∴∠BAC=∠BDE，
故②正确；
③无法证明DE平分∠ADB， 故③错误；
④由①知AE=AC，
∵AB=AE+BE=AC+BE，AC=4BE，
∴AB=5BE，
∴S△ADB=·AB·DE=·5BE·DE=5S△BDE，
S△ADC=·AC·DC=·4BE·DE=4S△BDE，
∴S△ABC=S△ADB+S△ADC，
=5S△BDE+4S△BDE，
=9S△BDE.故④错误；
综上所述：正确的有①②.
故答案为：B.
【分析】①根据角平分线的性质定理可知 DC=DE，由全等三角形的判定HL得Rt△ADE≌Rt△ADC，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠ADC，即AD平分 ∠CDE ，从而可得①正确；
② 根据同角的余角相等即可得②正确；
③无法证明DE平分∠ADB， 故③错误；
④由①知AE=AC，结合题意可得AB=5BE，根据线段之间的关系以及三角形的面积公式即可得S△ABC=9S△BDE，故④错误；
13．（2019八上·北碚期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD=AB：AC，其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
【答案】A
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】①正确，因为角平分线上的点到两边的距离相等知；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC=AE，即AC+BE=AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE=∠BAC；
④正确，因为由△ADC≌△ADE可知，∠ADC=∠ADE，所以AD平分∠CDE；
⑤正确，因为CD=ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△ABD：S△ACD=AB：AC．
所以正确的有五个，故答案为：A．
【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可知①正确；根据HL可判定△ADC≌△ADE，由全等三角形的对应边相等可得AC=AE，进而可得AC+BE=AB； 故②正确；根据同角的余角相等可知③正确；由△ADC≌△ADE的对应角相等可得∠BDE=∠BAC； 故④正确；根据 S△ABD与S△ACD的边AB、AC 上的高相等可得S△ABD：S△ACD=AB：AC ；故⑤正确；由此作出判断即可.
14．（2019·广西模拟）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8.若S△ABC=28，则DE=
【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F
∴DE=DF
∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC=28
∴，即
解之：DE=4
故答案为：4
【分析】利用角平分线的性质，易证DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ADC=28 ，建立关于DE的方程，解方程求出DE的长。
15．（2019八上·遵义期末）如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是 ；
【答案】11
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
16．（2019七下·江城期末）如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证：∠FDE=∠DEB。
【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC．
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF= ∠ADE，∠ABE= ∠ABC，
∴∠ADF=∠ABE
∴DF∥BE，
∴∠FDE=∠DEB
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据直线平行的性质，得到∠ADE=∠ABC，由角的平分线定理，即可证明∠ADF=∠ABE，根据直线平行的判定定理得到DF∥BE，根据直线平行的性质作答即可。
17．（2019八上·高州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：
（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵ ，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B．
∴DF∥BC．
（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【知识点】平行线的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据题中条件利用“SAS”判定
△ACF≌△ADF ，由全等三角形对应角相等可得
∠ACF＝∠ADF ，由同角的余角相等得
∠ACF＝∠B ，从而可证
∠ADF＝∠B ，最后根据同位角相等，两直线平行可证
DF∥BC .
（2）结合（1）中结论，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证 FG＝FE .
三、真题演练
18．（2019·北部湾）如图.在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：由作法可知：
CG⊥AB
∵AC=BC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B=40°
∴∠ACB=180°-40°-40°=100°
∴∠BCG=∠ACB=×100°=50°
故答案为：C
【分析】利用等腰三角形的性质和作图可知CG⊥AB，CG平分∠ACB，∠A=∠B，再利用三角形内角和定理求出∠ACB，然后求出∠BCG的度数。
19．（2019·滨州）如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
20．（2019·柳州）已知：∠AOB.
求作：∠A'O'B'，使得A'O'B'=∠AOB.
作法：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出∠A'O'B'
(请保留作图痕迹).
（2）完成下面证明∠A'O'B'=∠AOB的过程(注：括号里填写推理的依据).
证明：由作法可知O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'= ，
∴△C'O'D'≌△COD
∴∠A'O'B'= ∠AOB.
【答案】（1）解：解：如图所示，∠A'O'B'即为所求；
（2）DC；SSS；全等三角形的对应角相等
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】证明：由作法可知O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=DC，
∴△C'O'D' ≌△COD(SSS)
∴∠A'O'B'=∠AOB.(全等三角形的对应角相等)
故答案为：DC，SSS，伞等三角形的对应角相等。
【分析】（1）根据题干提供的方法用尺规作出∠ A'O'B' 即可；
（2）根据作图过程可知： O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'= DC，然后根据SSS判断出 △C'O'D'≌△COD ，根据全等三角形对应角相等即可得出 ∠A'O'B'= ∠AOB 。
1 / 1初中数学人教版八年级上学期 第十二章 12.3 角的平分线的性质
一、基础巩固
1．（2019·上城模拟）过线段AB外一点C，用直尺和圆规作AB的垂线段CD，以下四个作图中，作法错误的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2019·广西模拟）如图，已知AB∥CD，EF平分∠CEG，∠1=80°，则∠2的度数为 （ ）
A．20° B．40° C．50° D．60°
3．（2019八下·港南期中）如图，已知△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD：BD=3：4.若BC=21，则点D到AB边的距离为（ ）
A．7 B．9 C．11 D．14
4．（2019八上·天河期末）如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD是∠BAC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE＝1，则BC＝ ．
5．（2019·长春模拟）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，N；再分别以M，N为圆心，以大于 MN的长为半径画弧，两弧交于点G；作射线AG交BC于点D，若CD＝2，BD＝2.5，P为AB上一动点，则PD的最小值为 ．
6．（2019八上·河池期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD是△ABC的角平分线，BC＝10cm，BD：DC＝3：2，则点D到AB的距离为 ．
7．（2019七下·盐田期末）尺规作图：作点A关于直线l的对称点A'.
已知：直线l和l外一点A.
求作：点A关于l的对称点A'.
作法：①在l上任取一点P，以点P为圆心，PA长为半径作孤，交l于点B；②以点B为圆心，AB长为半径作弧，交弧AB于点A'. 点A'就是所求作的对称点.
由步骤①，得
由步骤②，得
将横线上的内容填写完整，并说明点A与A'关于直线l对称的理由 .
8．（2019八下·靖远期中）如图.在△ABC中，AD是角平分线，且BD=CD，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F.
求证：EB=FC.
9．（2018-2019学年初中数学北师大版八年级下册第一章 三角形的证明 单元测试B）如图AB=AC，BD=CD，DE⊥BA，点E为垂足，DF⊥AC，点F为垂足，求证：DE=DF．
二、强化提升
10．（2019八下·港南期中）如图，在ΔABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB=6cm，则ΔDBE的周长是（ ）
A．6cm B．7cm C．8cm D．9 cm
11．（2018-2019学年初中数学华师大版七年级下册第九章多边形 单元检测B卷）如图，在四边形ABCD中，对角线AC平分∠DAB，∠ABD=52°，∠ABC=116°，∠ACB=α°，则∠BDC的度数为（ ）
A．α B． C．90﹣α D．90﹣ α
12．（2019八上·长兴期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，则下列结论：①AD平分∠CDE；②∠BAC=∠BDE；③DE平分∠ADB；④若AC=4BE，则S△ABC=8S△BDE其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
13．（2019八上·北碚期末）如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：①CD=ED；②AC+BE=AB；③∠BDE=∠BAC；④AD平分∠CDE；⑤S△ABD：S△ACD=AB：AC，其中正确的有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
14．（2019·广西模拟）如图，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F，AB=6，BC=8.若S△ABC=28，则DE=
15．（2019八上·遵义期末）如图，在∠AOB 的边 OA、OB 上取点 M、N，连接 MN，P 是△MON 外角平分线的交点， 若 MN=2，，．则△MON 的周长是 ；
16．（2019七下·江城期末）如图，DE∥BC，DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，求证：∠FDE=∠DEB。
17．（2019八上·高州期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB于点E，AD＝AC，AF平分∠CAB交CE于点F，DF的延长线交AC于点G，
求证：
（1）DF∥BC；
（2）FG＝FE．
三、真题演练
18．（2019·北部湾）如图.在△ABC中，AC=BC，∠A=40°，观察图中尺规作图的痕迹，可知∠BCG的度数为（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
19．（2019·滨州）如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
20．（2019·柳州）已知：∠AOB.
求作：∠A'O'B'，使得A'O'B'=∠AOB.
作法：
①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；
②画一条射线O'A'，以点O'为圆心，OC长为半径画弧，交O'A'于点C'；
③以点C'为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D'；
④过点D'画射线O'B'，则∠A'O'B'=∠AOB.
根据上面的作法，完成以下问题：
（1）使用直尺和圆规，作出∠A'O'B'
(请保留作图痕迹).
（2）完成下面证明∠A'O'B'=∠AOB的过程(注：括号里填写推理的依据).
证明：由作法可知O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'= ，
∴△C'O'D'≌△COD
∴∠A'O'B'= ∠AOB.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】圆周角定理；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：A、根据过直线外一点作已知直线的尺规作图可知此选项不符合题意；
B、无法证明CD是AB上的垂线，符合题意.
C、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
D、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD是AB上的垂线段，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据过直线外一点作已知直线垂线的方法直接判断A；根据直径所对的圆周角是直角，据此判断C；根据相交两圆的公共弦的性质，可得CD⊥AB，据此判断D，从而求出答案.
2．【答案】C
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵∠1=80°，∴∠CEG=100°，又∵EF平分∠CEG，∴∠CEF=50°，∵AB∥CD，故∠2=∠CEF=50°.
故答案为：C
【分析】先根据平角的定义和角平分线的定义求得∠CEF的大小，再由平行线的性质即可求出∠2的大小。
3．【答案】B
【知识点】点到直线的距离；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵CD：BD=3：4.
设CD=3x，则BD=4x，
∴BC=CD+BD=7x，
∵BC=21，
∴7x=21，
∴x=3，
∴CD=9，
过点D作DE⊥AB于E，
∵AD是∠BAC的平分线，∠C=90°，
∴DE=CD=9，
∴点D到AB边的距离是9，
故答案为：B.
【分析】由题意易求得CD的长，过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角两边的距离相等即可求得点D到AB边的距离=CD的长。
4．【答案】3
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，∠C＝90°，
∴CD＝DE＝1，
又∵直角△BDE中，∠B＝30°，
∴BD＝2DE＝2，
∴BC＝CD+BD＝1+2＝3．
故答案为：3．
【分析】由角平分线的性质可知CD=DE=1；∠B=30°，DE⊥AB，根据30°所对的直角边等于斜边的一半，即DB=2DE=2，即可求得BC的长。
5．【答案】2
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：由作法得AD平分∠BAC，
∴点D到AB的距离等于DC＝2，
∴PD的最小值为2．
故答案为：2．
【分析】根据题目可知该作法是∠BAC的角平分线的作法，所以AD平分∠BAC。P是AB上的动点，只有当PD⊥AB时，PD的值最短，则题目转化为求D到AB的距离。根据角平分线的点到角两边距离相等这一性质可推出PD最小值就是CD的值。
6．【答案】4
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵BC=10cm，BD：DC=3：2，
∴BD=6cm，CD=4cm，
∵AD是△ABC的角平分线，∠ACB=90°，
∴点D到AB的距离等于DC，即点D到AB的距离等于4cm．
【分析】因为点D到AB的距离是点D到AB的垂线段的长度，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可知CD与点D到AB的距离相等，结合已知可求得CD的长。
7．【答案】PA=PB；AB=BA'；根据线段相等，即可证明三角形全等，证明对称
【知识点】作图﹣轴对称；三角形全等的判定-SSS
【解析】【分析】根据尺规作图的步骤，写出内容即可，根据线段相等求得点的对称点。
8．【答案】证明：∵AD平分角BAC DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF.
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质
【解析】【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可得DE=DF， 利用HL判Rt△BDE≌Rt△CDF， 由全等三角形的对应边相等即可证明EB=FC.
9．【答案】证明：在△ABD和△ACD中， ，
∴△ABD≌△ACD（SSS），
∴∠BAD=∠CAD，
∵DE⊥BA，DF⊥AC，
∴DE=DF．
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】利用SSS证明△ABD≌△ACD，再根据全等三角形的性质，可证得∠BAD=∠CAD，然后根据角平分线的性质，可证得结论。
10．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】∵AD平分∠CAB，AC⊥BC于点C，DE⊥AB于E，∴CD=DE.
又∵AD=AD，
∴Rt△ACD≌Rt△AED，∴AC=AE.
又∵AC=BC，
∴△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB=6
故答案为：A
【分析】由角平分线上的点到角两边的距离相等可得CD=DE，然后用HL定理可证Rt△ACD≌Rt△AED，根据全等三角形的对应边相等可得AC=AE，结合题意可得△DBE的周长为DE+BD+EB=CD+BD+EB=BC+EB=AC+EB=AE+EB=AB可求解。
11．【答案】C
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，
∵∠ABD=52°，∠ABC=116°，
∴∠DBC=∠CBE=64°，
∴BC平分∠DBE，
∴CE=CF，
又∵AC平分∠BAD，
∴CE=CG，
∴CF=CG，
又∵CG⊥AD，CF⊥DB，
∴CD平分∠BDG，
∵∠CBE是△ABC的外角，∠DBE是△ABD的外角，
∴∠ACB=∠CBE﹣∠CAB= （∠DBE﹣∠DAB）= ∠ADB，
∴∠ADB=2∠ACB=2α°，
∴∠BDG=180°﹣2α°，
∴∠BDC= ∠BDG=90°﹣α°，
故答案为：C．
【分析】过C作CE⊥AB于E，CF⊥BD于F，CG⊥AD于G，根据角平分线的判定可得到CD平分∠BDG，再根据三角形外角性质，即可得出∠BDC的度数.
12．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：①∵ AD平分∠BAC ，DE⊥AB ， ∠C=90°，
∴DC=DE，∠DAE=∠DAC，∠C=∠DEA=90°，
在Rt△ADE和Rt△ADC中，
∵，
∴Rt△ADE≌Rt△ADC（HL），
∴∠ADE=∠ADC，AE=AC，
∴ AD平分∠CDE ，
故①正确；
②∵∠C=90°，
∴∠B+∠BAC=90°，
∵ DE⊥AB ，
∴∠DEB=90°，
∴∠B+∠BDE=90°，
∴∠BAC=∠BDE，
故②正确；
③无法证明DE平分∠ADB， 故③错误；
④由①知AE=AC，
∵AB=AE+BE=AC+BE，AC=4BE，
∴AB=5BE，
∴S△ADB=·AB·DE=·5BE·DE=5S△BDE，
S△ADC=·AC·DC=·4BE·DE=4S△BDE，
∴S△ABC=S△ADB+S△ADC，
=5S△BDE+4S△BDE，
=9S△BDE.故④错误；
综上所述：正确的有①②.
故答案为：B.
【分析】①根据角平分线的性质定理可知 DC=DE，由全等三角形的判定HL得Rt△ADE≌Rt△ADC，由全等三角形的性质可得∠ADE=∠ADC，即AD平分 ∠CDE ，从而可得①正确；
② 根据同角的余角相等即可得②正确；
③无法证明DE平分∠ADB， 故③错误；
④由①知AE=AC，结合题意可得AB=5BE，根据线段之间的关系以及三角形的面积公式即可得S△ABC=9S△BDE，故④错误；
13．【答案】A
【知识点】三角形的面积；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】①正确，因为角平分线上的点到两边的距离相等知；
②正确，因为由HL可知△ADC≌△ADE，所以AC=AE，即AC+BE=AB；
③正确，因为∠BDE和∠BAC都与∠B互余，根据同角的补角相等，所以∠BDE=∠BAC；
④正确，因为由△ADC≌△ADE可知，∠ADC=∠ADE，所以AD平分∠CDE；
⑤正确，因为CD=ED，△ABD和△ACD的高相等，所以S△ABD：S△ACD=AB：AC．
所以正确的有五个，故答案为：A．
【分析】根据角平分线上的点到这个角两边的距离相等可知①正确；根据HL可判定△ADC≌△ADE，由全等三角形的对应边相等可得AC=AE，进而可得AC+BE=AB； 故②正确；根据同角的余角相等可知③正确；由△ADC≌△ADE的对应角相等可得∠BDE=∠BAC； 故④正确；根据 S△ABD与S△ACD的边AB、AC 上的高相等可得S△ABD：S△ACD=AB：AC ；故⑤正确；由此作出判断即可.
14．【答案】4
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，DF⊥BC于F
∴DE=DF
∵ S△ABC=S△ABD+S△ADC=28
∴，即
解之：DE=4
故答案为：4
【分析】利用角平分线的性质，易证DE=DF，再根据S△ABC=S△ABD+S△ADC=28 ，建立关于DE的方程，解方程求出DE的长。
15．【答案】11
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图：作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，
∵PM、PN分别平分∠AMN，∠BNM，
∴PF=PG=PE，
∵S△PMN=·MN·PF=2，MN=2，
∴PF=PG=PE=2，
由题易得：
△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，
∴GM=GF，FN=NE，OG=OE，
∴S△OPG=S△OPE=×（2+2+7）=，
即S△OPG=·OG·PG=，
∴OG=，
∴C△MON=OM+ON+MN，
=OM+ON+MF+FN，
=OM+ON+MG+NE，
=OG+OE，
=2OG，
=2×，
=11.
故答案为：11.
【分析】作PE⊥OB，PG⊥OA，PF⊥MN，连结OP，根据角平分线的性质定理得PF=PG=PE，再由三角形面积公式得PF=PG=PE=2，据条件易得：△GMP≌△GFP，△FPN≌△EPN，△OPG≌△OEP，由全等三角形性质得GM=GF，FN=NE，OG=OE，S△OPG=·OG·PG=得OG=，由三角形周长和等量代换可得答案.
16．【答案】证明：∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠ABC．
∵DF、BE分别平分∠ADE、∠ABC，
∴∠ADF= ∠ADE，∠ABE= ∠ABC，
∴∠ADF=∠ABE
∴DF∥BE，
∴∠FDE=∠DEB
【知识点】平行线的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】根据直线平行的性质，得到∠ADE=∠ABC，由角的平分线定理，即可证明∠ADF=∠ABE，根据直线平行的判定定理得到DF∥BE，根据直线平行的性质作答即可。
17．【答案】（1）证明：∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF＝∠DAF．
在△ACF和△ADF中，
∵ ，
∴△ACF≌△ADF（SAS）．
∴∠ACF＝∠ADF．
∵∠ACB＝90°，CE⊥AB，
∴∠ACE+∠CAE＝90°，∠CAE+∠B＝90°，
∴∠ACF＝∠B，
∴∠ADF＝∠B．
∴DF∥BC．
（2）证明：∵DF∥BC，BC⊥AC，
∴FG⊥AC．
∵FE⊥AB，
又AF平分∠CAB，
∴FG＝FE．
【知识点】平行线的判定；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【分析】（1）根据题中条件利用“SAS”判定
△ACF≌△ADF ，由全等三角形对应角相等可得
∠ACF＝∠ADF ，由同角的余角相等得
∠ACF＝∠B ，从而可证
∠ADF＝∠B ，最后根据同位角相等，两直线平行可证
DF∥BC .
（2）结合（1）中结论，根据角平分线上的点到角两边的距离相等可证 FG＝FE .
18．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；尺规作图-垂线
【解析】【解答】解：由作法可知：
CG⊥AB
∵AC=BC，
∴CG平分∠ACB，∠A=∠B=40°
∴∠ACB=180°-40°-40°=100°
∴∠BCG=∠ACB=×100°=50°
故答案为：C
【分析】利用等腰三角形的性质和作图可知CG⊥AB，CG平分∠ACB，∠A=∠B，再利用三角形内角和定理求出∠ACB，然后求出∠BCG的度数。
19．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
20．【答案】（1）解：解：如图所示，∠A'O'B'即为所求；
（2）DC；SSS；全等三角形的对应角相等
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作一个角等于已知角
【解析】【解答】证明：由作法可知O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'=DC，
∴△C'O'D' ≌△COD(SSS)
∴∠A'O'B'=∠AOB.(全等三角形的对应角相等)
故答案为：DC，SSS，伞等三角形的对应角相等。
【分析】（1）根据题干提供的方法用尺规作出∠ A'O'B' 即可；
（2）根据作图过程可知： O'C'=OC，O'D'=OD，D'C'= DC，然后根据SSS判断出 △C'O'D'≌△COD ，根据全等三角形对应角相等即可得出 ∠A'O'B'= ∠AOB 。
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