初中数学人教版八年级上学期 第十一章 11.2.1 三角形的内角
一、基础巩固
1．（2019·海曙模拟）已知钝角△ABC中，∠A=30°，则下列结论正确的是（ ）
A．0°<∠B<60°
B．90°<∠B<150°
C．0°<∠B<60°或90°<∠B<150°
D．以上都不对
2．（2019·相城模拟）适合条件∠A＝ ∠B＝ ∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
3．（2019·上城模拟）将一把直尺与一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，直尺的一边恰好经过点A，如果∠CDE＝50°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
二、强化提升
4．（2019·汽开区模拟）如图，直线 ，若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019·河北模拟）如图，公园A在公园B的北偏东50°方向，公园C在公园B的北偏西25°方向，若A，B两公园到公园C的两直线的夹角∠C为35°，那么公园C在公园A的（ ）
A．西北方向 B．北偏西60°方向
C．北偏西70°方向 D．南偏东75°方向
6．（2019·美兰模拟）已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A，则此三角形（ ）.
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
7．（2019·白山模拟）如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝70°，则∠BOC＝ .
8．（2019·宁江模拟）如图，AB∥CD，过直线EF上的点G作GH⊥AB，若∠1=50°，则∠2= °。
9．（2019七下·东台月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F.
（1）CD与EF平行吗？并说明理由；
（2）若∠A=72°，求∠FEC的度数.
三、真题演练
10．（2019·北部湾）将—副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）。
A．60° B．65° C．75° D．85°
11．（2019·绍兴）如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（ ）
A．5° B．10° C．30° D．70°
12．（2019·宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点 重合），边 与 交于点 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
13．（2019·哈尔滨）在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=30°
∴∠B+∠C=150°
∵△ABC是钝角三角形
∴ 0°<∠B<60°或90°<∠B<150° ，
故答案为：C
【分析】根据三角形内角和定理，就可求出∠B+∠C的值，再根据钝角三角形的定义，就可求出∠B的度数的取值范围。
2．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A= ∠B= ∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180 ，即6∠A=180 ，
∴∠A=30 ，
∴∠B=60 ，∠C=90 ，
∴△ABC为直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得∠B=2∠A，∠C=3∠A，再根据三角形的内角和定理可得关于∠A的方程，解方程可求得各角的度数，由角的度数即可判断三角形的形状。
3．【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由图可得，∠CDE＝50°，∠C＝90°，
∴∠CED＝40°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝40°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理可求出∠CED的度数，根据两直线平行，同位角相等可求出∠CAF的度数，利用角的和差关系求出∠BAF的度数.
4．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】如图，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠4=72°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-50°-72°=58°，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行内错角相等，可得∠1=∠4=72°，利用三角形内角和定理可求出∠2的度数.
5．【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
由题意得BD∥EF，∠CBA=50°+25°=75°，
∴∠BAE=∠DBA=50°，
在△ABC中，∠CAB=180°-∠C-∠CBA=70°，
∴∠CAF=180°-∠CAB-∠BAE=60°，
∴公园C在公园A的北偏西60°方向.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行内错角相等，可得∠BAE=∠DBA=50°，利用三角形内角和定理求出∠CAB的度数，利用平角的定义可求出∠CAF的度数，从而可求出结论.
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C=180°-∠A，
又∵∠B+∠C=3∠A，
∴3∠A=180°-∠A，
∴∠A=45°．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠B+∠C=180°-∠A，又 ∠B＋∠C=3∠A 从而列出方程求出∠A的度数，即可得出答案。
7．【答案】125°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A＝70°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠ABC+∠ACB＝110°
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝55°
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°
∴∠BPC＝125°
故答案为：125°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的值，再利用角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的值，然后利用三角形内角和定理，在△BOC中求出∠BOC的度数。
8．【答案】40
【知识点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】 ∵∠1=50° ，∴∠3=50°，
AB∥CD，∴∠4=∠3=50°，
GH⊥AB，∠GHA=90°，
∠2=90°-50°=40°。
【分析】由两直线平行可知同位角相等，再根据直角三角形中两锐角互余即可。
9．【答案】（1）解：∵ CD⊥AB，EF⊥AB，
∴ ∠CDB=∠FEB=90°，
∴ EF∥CD；
（2）解：∵∠ ACB=90°，CE平分∠ACB交AB于E，
∴ ∠ACE=45°，
∵ ∠A=72°，
∴ ∠ACD=90°﹣72°=18°，
∴ ∠ECD=∠ACE﹣∠ACD=27°，
∵ EF∥CD，
∴ ∠FEC=∠ECD=27°.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得 ∠CDB=∠FEB=90°， 然后根据同位角相等两直线平行即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得 ∠ACE=45°， 再根据三角形的内角和等于180°可得 ∠ACD=18°， 进而求出 ∠ECD=∠ACE﹣∠ACD=27°， 然后根据两直线平行内错角相等即可求解.
10．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图
∵∠BCA=60°，∠DCE=45°
∴∠2=180°-60°-45°=75°
∵FH∥BC
∴∠1=∠2=75°
故答案为：C
【分析】由已知可得∠BCA=60°，∠DCE=45°，再根据平角的定义求出∠2的度数，然后利用平行线的性质，可求出∠1的度数。
11．【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2=∠3=100°，∠1=70°
∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。
12．【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意知 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
故答案为：A.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出，然后根据三角形的内角和，即可算出答案。
13．【答案】60或10
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠A=50°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-30°=100°
∵ 点D在AB边上， △ACD为直角三角形
当∠ACD=90°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°；
当∠ADC=90°时，∠ACD=90°-∠A=90°-50°=40°
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-40°=60°；
故答案为：60或10
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由已知点D在AB边上， △ACD为直角三角形，分两种情况讨论：当∠ACD=90°时，当∠ADC=90°时，分别求出∠BCD的度数。
1 / 1初中数学人教版八年级上学期 第十一章 11.2.1 三角形的内角
一、基础巩固
1．（2019·海曙模拟）已知钝角△ABC中，∠A=30°，则下列结论正确的是（ ）
A．0°<∠B<60°
B．90°<∠B<150°
C．0°<∠B<60°或90°<∠B<150°
D．以上都不对
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A+∠B+∠C=180°，∠B=30°
∴∠B+∠C=150°
∵△ABC是钝角三角形
∴ 0°<∠B<60°或90°<∠B<150° ，
故答案为：C
【分析】根据三角形内角和定理，就可求出∠B+∠C的值，再根据钝角三角形的定义，就可求出∠B的度数的取值范围。
2．（2019·相城模拟）适合条件∠A＝ ∠B＝ ∠C的△ABC是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A= ∠B= ∠C，
∴∠B=2∠A，∠C=3∠A，
∵∠A+∠B+∠C=180 ，即6∠A=180 ，
∴∠A=30 ，
∴∠B=60 ，∠C=90 ，
∴△ABC为直角三角形.
故答案为：B.
【分析】由已知条件可得∠B=2∠A，∠C=3∠A，再根据三角形的内角和定理可得关于∠A的方程，解方程可求得各角的度数，由角的度数即可判断三角形的形状。
3．（2019·上城模拟）将一把直尺与一块含30°和60°角的三角板ABC按如图所示的位置放置，直尺的一边恰好经过点A，如果∠CDE＝50°，那么∠BAF的度数为（ ）
A．15° B．20° C．30° D．40°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由图可得，∠CDE＝50°，∠C＝90°，
∴∠CED＝40°，
又∵DE∥AF，
∴∠CAF＝40°，
∵∠BAC＝60°，
∴∠BAF＝60°﹣40°＝20°，
故答案为：B.
【分析】根据三角形的内角和定理可求出∠CED的度数，根据两直线平行，同位角相等可求出∠CAF的度数，利用角的和差关系求出∠BAF的度数.
二、强化提升
4．（2019·汽开区模拟）如图，直线 ，若 ， ，则 的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】如图，
∵l1∥l2，
∴∠1=∠4=72°，
∵∠2+∠3+∠4=180°，
∴∠2=180°-∠3-∠4=180°-50°-72°=58°，
故答案为：C.
【分析】根据两直线平行内错角相等，可得∠1=∠4=72°，利用三角形内角和定理可求出∠2的度数.
5．（2019·河北模拟）如图，公园A在公园B的北偏东50°方向，公园C在公园B的北偏西25°方向，若A，B两公园到公园C的两直线的夹角∠C为35°，那么公园C在公园A的（ ）
A．西北方向 B．北偏西60°方向
C．北偏西70°方向 D．南偏东75°方向
【答案】B
【知识点】钟面角、方位角；平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
由题意得BD∥EF，∠CBA=50°+25°=75°，
∴∠BAE=∠DBA=50°，
在△ABC中，∠CAB=180°-∠C-∠CBA=70°，
∴∠CAF=180°-∠CAB-∠BAE=60°，
∴公园C在公园A的北偏西60°方向.
故答案为：B.
【分析】根据两直线平行内错角相等，可得∠BAE=∠DBA=50°，利用三角形内角和定理求出∠CAB的度数，利用平角的定义可求出∠CAF的度数，从而可求出结论.
6．（2019·美兰模拟）已知三角形ABC的三个内角满足关系∠B＋∠C=3∠A，则此三角形（ ）.
A．一定有一个内角为45° B．一定有一个内角为60°
C．一定是直角三角形 D．一定是钝角三角形
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C=180°-∠A，
又∵∠B+∠C=3∠A，
∴3∠A=180°-∠A，
∴∠A=45°．
故答案为：A．
【分析】根据三角形的内角和定理得出∠B+∠C=180°-∠A，又 ∠B＋∠C=3∠A 从而列出方程求出∠A的度数，即可得出答案。
7．（2019·白山模拟）如图，在△ABC中，OB，OC分别为∠ABC和∠ACB的平分线，且∠A＝70°，则∠BOC＝ .
【答案】125°
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵∠A＝70°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°
∴∠ABC+∠ACB＝110°
∵OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB
∴∠OBC＝ ∠ABC，∠OCB＝ ∠ACB，
∴∠OBC+∠OCB＝ （∠ABC+∠ACB）＝55°
∵∠BPC+∠PBC+∠PCB＝180°
∴∠BPC＝125°
故答案为：125°
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的值，再利用角平分线的定义求出∠OBC+∠OCB的值，然后利用三角形内角和定理，在△BOC中求出∠BOC的度数。
8．（2019·宁江模拟）如图，AB∥CD，过直线EF上的点G作GH⊥AB，若∠1=50°，则∠2= °。
【答案】40
【知识点】垂线；平行线的性质；三角形内角和定理；对顶角及其性质
【解析】【解答】 ∵∠1=50° ，∴∠3=50°，
AB∥CD，∴∠4=∠3=50°，
GH⊥AB，∠GHA=90°，
∠2=90°-50°=40°。
【分析】由两直线平行可知同位角相等，再根据直角三角形中两锐角互余即可。
9．（2019七下·东台月考）如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，CE平分∠ACB交AB于E，EF⊥AB交CB于F.
（1）CD与EF平行吗？并说明理由；
（2）若∠A=72°，求∠FEC的度数.
【答案】（1）解：∵ CD⊥AB，EF⊥AB，
∴ ∠CDB=∠FEB=90°，
∴ EF∥CD；
（2）解：∵∠ ACB=90°，CE平分∠ACB交AB于E，
∴ ∠ACE=45°，
∵ ∠A=72°，
∴ ∠ACD=90°﹣72°=18°，
∴ ∠ECD=∠ACE﹣∠ACD=27°，
∵ EF∥CD，
∴ ∠FEC=∠ECD=27°.
【知识点】平行线的判定；平行线的性质；三角形内角和定理；角平分线的定义
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可得 ∠CDB=∠FEB=90°， 然后根据同位角相等两直线平行即可求解；
（2）根据角平分线的定义可得 ∠ACE=45°， 再根据三角形的内角和等于180°可得 ∠ACD=18°， 进而求出 ∠ECD=∠ACE﹣∠ACD=27°， 然后根据两直线平行内错角相等即可求解.
三、真题演练
10．（2019·北部湾）将—副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1的度数为（ ）。
A．60° B．65° C．75° D．85°
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图
∵∠BCA=60°，∠DCE=45°
∴∠2=180°-60°-45°=75°
∵FH∥BC
∴∠1=∠2=75°
故答案为：C
【分析】由已知可得∠BCA=60°，∠DCE=45°，再根据平角的定义求出∠2的度数，然后利用平行线的性质，可求出∠1的度数。
11．（2019·绍兴）如图，墙上钉着三根木条，a，b，c，量得∠1=70°，∠2=100°，那么木条a，b所在直线所夹的锐角是（ ）
A．5° B．10° C．30° D．70°
【答案】B
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：如图，
∵∠2=∠3=100°，∠1=70°
∴a、b两直线所夹的锐角为：180°-∠1-∠3=180°-70°-100°=10°
故答案为：B
【分析】根据对顶角相等，可求出∠3的度数，再利用三角形内角和定理就可求出a、b两直线所夹的锐角的度数。
12．（2019·宿迁）一副三角板如图摆放（直角顶点 重合），边 与 交于点 ， ，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质；三角形内角和定理
【解析】【解答】解：由题意知 ， ，
∵ ，
∴ ，
在 中，
，
故答案为：A.
【分析】根据二直线平行，内错角相等得出，然后根据三角形的内角和，即可算出答案。
13．（2019·哈尔滨）在△ABC中，∠A=50°，∠B=30°，点D在AB边上，连接CD，若△ACD为直角三角形，则∠BCD的度数为 度．
【答案】60或10
【知识点】三角形内角和定理
【解析】【解答】解：∵ △ABC中，∠A=50°，∠B=30°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=180°-50°-30°=100°
∵ 点D在AB边上， △ACD为直角三角形
当∠ACD=90°，∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-90°=10°；
当∠ADC=90°时，∠ACD=90°-∠A=90°-50°=40°
∴∠BCD=∠ACB-∠ACD=100°-40°=60°；
故答案为：60或10
【分析】利用三角形内角和定理求出∠ACB的度数，再由已知点D在AB边上， △ACD为直角三角形，分两种情况讨论：当∠ACD=90°时，当∠ADC=90°时，分别求出∠BCD的度数。
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