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初中数学人教版九年级上学期 第二十一章 21.2.3 因式分解法
一、基础巩固
1．（2019·宁波模拟）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的解，则三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．不能确定
【答案】B
【考点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
x﹣3＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝3，x2＝7，
而3+3＝6，
所以三角形的第三边为7，
所以这个三角形的周长为3+6+7＝16。
故答案为：B。
【分析】先用因式分解法求出方程 x2﹣10x+21＝0的解 ，然后根据三角形的三边关系判断出三角形的第三边，进而根据三角形周长的计算方法算出答案即可。
2．解方程：x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0
【答案】解：①当x﹣1≥0时|x﹣1|＝x﹣1，
得方程，x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0，
去掉绝对值得，x2﹣3x+2＝0
因式分解得（x﹣1）（x﹣2）＝0
解得x1＝1，x2＝2；
②当x﹣1＜0时|x﹣1|＝﹣x+1，
得方程x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0
去掉绝对值得x2+3x﹣4＝0
因式分解得，（x﹣1）（x+4）＝0
解得x1＝1（舍去），x2＝﹣4．
∴原方程的根是x1＝1，x2＝2，x3＝﹣4
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】含绝对值的方程，分 ①当x﹣1≥0 ， ②当x﹣1＜0时 两种情况分别去掉绝对值符号，得出方程，求解并检验即可得出原方程的解。
3．（2019八下·余杭期末）解方程：
（1）(x+2)2=3(x+2)
（2）2x2+6x+3=0
【答案】（1）解：(x+2)2-3(x+2)=0
(x+2)(x+2-3)=0
∴(x+2)(x-1)=0
∴x+2=0或x-1=0
∴x1=-2，x2=1
（2）解：∵a=2．b=6．c=3
∴b2-4ac=62-4×2×3=12
∴x=
∴x1= ,x2=
【考点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：方程两边含有公因式（x+2），因此移项后，利用因式分解法解方程。
（2）观察方程的特点，左边不能分解因式，因此利用公式法求解，先算出 b2-4ac的值，再代入求根公式进行计算。
4．（2019七下·嘉兴期末）阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形由(x+p)(x+q)=x +(P+q)+pq得
x +(p+q)x+Pq=(x+P)(x+q)利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,
例如:将式子x +3+2分解因式。分析:这个式子的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2所以
x +3x+2=x +(1+2)x+1×2,x +3x+2=(x+1)(x+2)
请仿照上面的方法,解答下列问题
（1）分解因式:x +6x-27
（2）若x +px+8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是
（3）利用因式分解法解方程:x -4x-12=0
【答案】（1）解：x +6x-27=(x+9)(x-3)
（2）±9,±6
（3）解：∵方程分解得:(x-6)(x+2)=0
可得x-6=0或x+2=0
解得:x=6或x=-2
【考点】因式分解法解一元二次方程；十字相乘法因式分解
【解析】【解答】解：(2)∵8=1×8;8=-8×(-1);8=-2×(-4);8=-4×(-2)
则p的可能值为
-1+(-8)=-9;8+1=9;-2+(-4)=-6;
4+2=6
∴整数p的所有可能值是±9,±6
故答案为:±9,±6;
【分析】（1）题中所给的方法其实质就是十字相乘法，二次三项式中，二次项的系数是1，故只需要将常数项分解为两个因数的积，且这两个因数的和为一次项的系数，从而即可将多项成写成两个一次项的乘积形式；
（2）根据题干提供的方法，找出常数项所有分解为两个因数积的方法，然后求出每一种方法中的两个因数的和即可得出P的值；
（3）利用十字相乘法将方程的左边分解因式，然后根据两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解两个方程即可求出原方程的解。
5．（2019九上·高要期中）已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
【答案】（1）解：∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，
解得k＞- .
（2）解：当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，
因式分解得（x-1）（x-2）=0，
解得x1=1，x2=2
【考点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知 △ ＞0，解出k值即可。
（2）将k的值代入一元二次方程，可解出x的两个值。
6．（2018九上·安陆月考）如图7,已知平行四边形ABCD的周长是32cm,AB︰BC=5︰3,AE⊥BC,垂足为E,AF⊥CD,垂足为F,∠EAF=2∠C．
（1）求∠C的度数;
（2）已知DF的长是关于 的方程 - -6=0的一个根,求该方程的另一个根.
【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠E=∠F=90°，∵四边形AECF的内角和为360°，∴∠EAF+∠C=360°-2×90°=180°，
∵∠EAF=2∠C，
∴2∠C+∠C=180°，
∴∠C=60
（2）解：∵ABCD为平行四边形，∴∠DAB=∠C=60°，CD∥AB，由已知AF⊥CD，得AF⊥AB，∴∠FAB=90°，∴∠FAD=∠FAB-∠DAB=30°，由平行四边形的性质，知AB=CD，AD=BC，由周长为32cm，得AB+BC=16cm，
由AB︰BC=5︰3，可求得BC=6cm，∴AD=BC=6cm，
在Rt△ADF中，∵∠FAD=30°，
∴DF= AD=3cm,
把DF的长代入方程中，求得 =1，
∴原方程为 - -6=0，解该方程得 =3， =-2，∴方程的另一个根为 =-2
【考点】因式分解法解一元二次方程；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可求出∠E和∠F的度数，再根据四边形的内角和定理求出∠EAF+∠C=180°，然后根据∠EAF=2∠C，求出∠C的度数。
（2）利用平行四边形的性质及垂直的定义求出∠FAD，再根据平行四边形的周长及AB︰BC=5︰3，求出BC、AD，利用直角三角形的性质求出DF的长，然后将DF的值代入方程求出a的值，将a的值代入方程，就可求出方程的另一个根。
二、真题演练
7．（2019·桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 .
【答案】x1＝3，x2＝2
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2。
故答案为：x1＝3，x2＝2。
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解。
8．（2019·扬州）一元二次方程 的根是 .
【答案】x1=1，x2=2
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项得 ,
∴（x-2）（x-1）=0，
∴x-2=0，或x-1=0，
解得： x1=1，x2=2。
故答案为： x1=1，x2=2。
【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，然后利用提公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解。
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初中数学人教版九年级上学期 第二十一章 21.2.3 因式分解法
一、基础巩固
1．（2019·宁波模拟）一个三角形的两边长分别为3和6，第三边长是方程x2﹣10x+21＝0的解，则三角形的周长为（ ）
A．12 B．16 C．12或16 D．不能确定
2．解方程：x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0
3．（2019八下·余杭期末）解方程：
（1）(x+2)2=3(x+2)
（2）2x2+6x+3=0
4．（2019七下·嘉兴期末）阅读与思考:整式乘法与因式分解是方向相反的变形由(x+p)(x+q)=x +(P+q)+pq得
x +(p+q)x+Pq=(x+P)(x+q)利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式,
例如:将式子x +3+2分解因式。分析:这个式子的常数项2=1×2,一次项系数3=1+2所以
x +3x+2=x +(1+2)x+1×2,x +3x+2=(x+1)(x+2)
请仿照上面的方法,解答下列问题
（1）分解因式:x +6x-27
（2）若x +px+8可分解为两个一次因式的积,则整数p的所有可能值是
（3）利用因式分解法解方程:x -4x-12=0
5．（2019九上·高要期中）已知：关于x的一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）请选择一个k的负整数值，并求出方程的根．
6．（2018九上·安陆月考）如图7,已知平行四边形ABCD的周长是32cm,AB︰BC=5︰3,AE⊥BC,垂足为E,AF⊥CD,垂足为F,∠EAF=2∠C．
（1）求∠C的度数;
（2）已知DF的长是关于 的方程 - -6=0的一个根,求该方程的另一个根.
二、真题演练
7．（2019·桂林）一元二次方程（x﹣3）（x﹣2）＝0的根是 .
8．（2019·扬州）一元二次方程 的根是 .
答案解析部分
1．【答案】B
【考点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系
【解析】【解答】解：x2﹣10x+21＝0，
（x﹣3）（x﹣7）＝0，
x﹣3＝0或x﹣7＝0，
所以x1＝3，x2＝7，
而3+3＝6，
所以三角形的第三边为7，
所以这个三角形的周长为3+6+7＝16。
故答案为：B。
【分析】先用因式分解法求出方程 x2﹣10x+21＝0的解 ，然后根据三角形的三边关系判断出三角形的第三边，进而根据三角形周长的计算方法算出答案即可。
2．【答案】解：①当x﹣1≥0时|x﹣1|＝x﹣1，
得方程，x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0，
去掉绝对值得，x2﹣3x+2＝0
因式分解得（x﹣1）（x﹣2）＝0
解得x1＝1，x2＝2；
②当x﹣1＜0时|x﹣1|＝﹣x+1，
得方程x2﹣3|x﹣1|﹣1＝0
去掉绝对值得x2+3x﹣4＝0
因式分解得，（x﹣1）（x+4）＝0
解得x1＝1（舍去），x2＝﹣4．
∴原方程的根是x1＝1，x2＝2，x3＝﹣4
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】含绝对值的方程，分 ①当x﹣1≥0 ， ②当x﹣1＜0时 两种情况分别去掉绝对值符号，得出方程，求解并检验即可得出原方程的解。
3．【答案】（1）解：(x+2)2-3(x+2)=0
(x+2)(x+2-3)=0
∴(x+2)(x-1)=0
∴x+2=0或x-1=0
∴x1=-2，x2=1
（2）解：∵a=2．b=6．c=3
∴b2-4ac=62-4×2×3=12
∴x=
∴x1= ,x2=
【考点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）观察方程的特点：方程两边含有公因式（x+2），因此移项后，利用因式分解法解方程。
（2）观察方程的特点，左边不能分解因式，因此利用公式法求解，先算出 b2-4ac的值，再代入求根公式进行计算。
4．【答案】（1）解：x +6x-27=(x+9)(x-3)
（2）±9,±6
（3）解：∵方程分解得:(x-6)(x+2)=0
可得x-6=0或x+2=0
解得:x=6或x=-2
【考点】因式分解法解一元二次方程；十字相乘法因式分解
【解析】【解答】解：(2)∵8=1×8;8=-8×(-1);8=-2×(-4);8=-4×(-2)
则p的可能值为
-1+(-8)=-9;8+1=9;-2+(-4)=-6;
4+2=6
∴整数p的所有可能值是±9,±6
故答案为:±9,±6;
【分析】（1）题中所给的方法其实质就是十字相乘法，二次三项式中，二次项的系数是1，故只需要将常数项分解为两个因数的积，且这两个因数的和为一次项的系数，从而即可将多项成写成两个一次项的乘积形式；
（2）根据题干提供的方法，找出常数项所有分解为两个因数积的方法，然后求出每一种方法中的两个因数的和即可得出P的值；
（3）利用十字相乘法将方程的左边分解因式，然后根据两个因式的积为0，则这两个因式至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解两个方程即可求出原方程的解。
5．【答案】（1）解：∵一元二次方程x2-3x-k=0有两个不相等的实数根，
∴△=（-3）2-4×1×（-k）＞0，
解得k＞- .
（2）解：当k=-2时，方程为x2-3x+2=0，
因式分解得（x-1）（x-2）=0，
解得x1=1，x2=2
【考点】因式分解法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）根据题意，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知 △ ＞0，解出k值即可。
（2）将k的值代入一元二次方程，可解出x的两个值。
6．【答案】（1）解：∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠E=∠F=90°，∵四边形AECF的内角和为360°，∴∠EAF+∠C=360°-2×90°=180°，
∵∠EAF=2∠C，
∴2∠C+∠C=180°，
∴∠C=60
（2）解：∵ABCD为平行四边形，∴∠DAB=∠C=60°，CD∥AB，由已知AF⊥CD，得AF⊥AB，∴∠FAB=90°，∴∠FAD=∠FAB-∠DAB=30°，由平行四边形的性质，知AB=CD，AD=BC，由周长为32cm，得AB+BC=16cm，
由AB︰BC=5︰3，可求得BC=6cm，∴AD=BC=6cm，
在Rt△ADF中，∵∠FAD=30°，
∴DF= AD=3cm,
把DF的长代入方程中，求得 =1，
∴原方程为 - -6=0，解该方程得 =3， =-2，∴方程的另一个根为 =-2
【考点】因式分解法解一元二次方程；平行四边形的性质
【解析】【分析】（1）根据垂直的定义可求出∠E和∠F的度数，再根据四边形的内角和定理求出∠EAF+∠C=180°，然后根据∠EAF=2∠C，求出∠C的度数。
（2）利用平行四边形的性质及垂直的定义求出∠FAD，再根据平行四边形的周长及AB︰BC=5︰3，求出BC、AD，利用直角三角形的性质求出DF的长，然后将DF的值代入方程求出a的值，将a的值代入方程，就可求出方程的另一个根。
7．【答案】x1＝3，x2＝2
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：x﹣3＝0或x﹣2＝0，
所以x1＝3，x2＝2。
故答案为：x1＝3，x2＝2。
【分析】根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解。
8．【答案】x1=1，x2=2
【考点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
移项得 ,
∴（x-2）（x-1）=0，
∴x-2=0，或x-1=0，
解得： x1=1，x2=2。
故答案为： x1=1，x2=2。
【分析】将方程的右边整体移到方程的左边，然后利用提公因式法将方程的左边分解因式，根据两个因式的乘积等于0，则这两个因式至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程即可求出原方程的解。
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