初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.2.3 边角边
一、单选题
1．（2019八上·义乌月考）下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B．AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C．AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D．BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
2．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ，添加条件后，可得 ，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2019八上·义乌月考）如图点C，D在AB同侧，AD=BC，添加一个条件 就能使△ABD≌△BAC。
4．（2019·广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且 ，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；② 的周长为 ；③ ；④ 的面积的最大值 .其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
5．（2019·广西模拟）如图，点B，A，D，E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC △DEF，则只需添加一个适当的条件是 (只填一个即可)
6．（2019七下·富宁期中）如图所示，AB交CD于O点，OA=OB，请你添加一个条件，使得△AOC≌△BOD，你添加的条件是 。
三、解答题
7．（2019八上·义乌月考）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，
求证：△ABC≌△DEF．
8．（2019八上·潮安期末）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．
求证：BC＝ED．
四、综合题
9．（2019·禅城模拟）如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE交于P点，BF⊥AD于F．
（1）求证：△ACD≌△BAE；
（2）求证：BF＝ PF．
10．（2019八上·官渡期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）DF＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值．）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF ，∠A=∠D，两边及一边的对角对应相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A不符合题意；
∵AB=BC，∠B=∠E，DE=EF，这两个三角形中只有一组对应角相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故B不符合题意；
∵ AB=EF，∠A=∠D，AC=DF ，EF和DF的夹角为∠F，
∴△ABC和△DEF不全等，故C不符合题意；
∵ BC=EF，∠C=∠F，AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS），故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用判定两三角形全等的方法：SSS，SAS，AAS，ASA，对各选项逐一判断，即可得出答案：注意对应边和对应角。
2．【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD=∠CAD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故不符合题意；
B、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故不符合题意；
C、∵BD=CD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故不符合题意；
D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA不能由此判定三角形全等，故符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据题干及图形提供的条件来看，已经具有AD=AD， ，要使 只需要再添加任意一对角对应相等或BD=CD即可，从而即可一一判断得出答案。
3．【答案】∠DAB=∠CBA或AC=BD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），故可以添加∠DAB=∠CBA；
在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），故可以添加AC=BD；
故答案为：∠DAB=∠CBA或AC=BD
【分析】观察图形，隐含条件为：AB=BA，因此利用SAS，可以添加∠DAB=∠CBA，利用SSS可以添加AC=BD.
4．【答案】①④
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．
∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH= BE，∵AF= BE，∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
设BE=x，则AE=a-x，AF= ，
∴∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据全等三角形的判定定理（AAS）和三角形的周长、面积公式，可列出关系式，得到正确的结论。
5．【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF(答案不唯一)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ BC∥EF
∴∠B=∠E
∵BD=AE
∴ BD-AD=AE-AD，即BA=DE
∴添加BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
添加 ∠BAC=∠EDF
∴△ABC≌△DEF（ASA）
添加∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（AAS）
故答案为： BC=EF或∠BAC=∠EDF或∠C=∠F
【分析】利用平行线的性质，易证∠B=∠E，再由BD=AE，再根据SAS或ASA或AAS添加条件即可得到△ABC≌△DEF。
6．【答案】OC=OD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】理由是：在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(SAS).
故答案为：OC=OD.
【分析】开放性的命题，答案不唯一，题干中已经具有 OA=OB ，图形中又具有∠AOC=∠BOD，故只要添加任意一组角对应相等，或边OC=OD即可利用三角形全等的判定方法判断出△AOC≌△BOD。
7．【答案】解：∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A=∠EDF，∠ACB=∠F，
∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+CD即AC=DF；
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】利用平行线的性质，易证∠A=∠EDF，∠ACB=∠F，再利用线段的和差，可证得AC=DF，然后利用ASA可证得结论。
8．【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD，
在△BAC和△ECD中 ，
∴△BAC≌△ECD（SAS），
∴BC＝ED
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质，即可得到∠BAC=∠ECD，根据边角边的三角形的判定定理即可证明三角形全等，得出BC=ED即可。
9．【答案】（1）证明：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴在△ABE和△CAD中，
AB＝AC ；
∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
又∵∠BAE＝∠BAP+∠PAE＝60°，
∴∠BAP+∠ABP＝60°，
又∵∠BPF＝∠BAP+∠ABP，
∴∠BPF＝60°，
∵BF⊥AD
∴tan∠BPF＝ ，
∴tan60°＝ ＝ ，
∴BF＝ PF
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，且AE=CD，根据“两边和其夹角对应相等的两个三角形全等”可证明△ACD≌△BAE；
（2）由题（1）可得∠CAD=∠ABE，故∠BPD=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=60°，由于BF⊥AD，根据三角函数可得tan∠BPF=，所以可证明BF=PF。
10．【答案】（1）t
（2）证明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∴∠AED＝∠FDE．
在△AED和△FDE中，AF＝FD＝t,∠AED＝∠FDE,DE＝DE，
∴△AED≌△FDE（SAS）．
（3）∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE．
∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝ ，
∴当t为 时，△DEF是等边三角形．
（4）∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
解得：t＝ ；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4．
综上所述：当t为 或4时，△DEF为直角三角形．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°．
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，
∴DF＝ CD＝t．
故答案为：t．
【分析】（1）根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得DF＝ CD＝t．（2）根据两直线平行内错角相等可得 ∠AED＝∠FDE，由SAS即可判断△AED≌△FDE ；（3）由 △AED≌△FDE可知， 当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得当 AD＝AE，即 t＝10﹣2t时， △DEF是等边三角形，解方程求出t值即可.（4）由△AED≌△FDE可知 ，当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形． ① 当∠ADE＝90°时 ，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得 AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t）， 解方程求出t值即可.② 当∠AED＝90°时，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得 AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，解方程求出t值即可.
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.2.3 边角边
一、单选题
1．（2019八上·义乌月考）下面各条件中，能使△ABC≌△DEF的条件是（ ）
A．AB=DE,∠A=∠D,BC=EF B．AB=BC,∠B=∠E,DE=EF
C．AB=EF,∠A=∠D,AC=DF D．BC=EF,∠C=∠F,AC=DF
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵AB=DE，BC=EF ，∠A=∠D，两边及一边的对角对应相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故A不符合题意；
∵AB=BC，∠B=∠E，DE=EF，这两个三角形中只有一组对应角相等，
∴△ABC和△DEF不一定全等，故B不符合题意；
∵ AB=EF，∠A=∠D，AC=DF ，EF和DF的夹角为∠F，
∴△ABC和△DEF不全等，故C不符合题意；
∵ BC=EF，∠C=∠F，AC=DF
∴△ABC≌△DEF（SAS），故D符合题意；
故答案为：D
【分析】利用判定两三角形全等的方法：SSS，SAS，AAS，ASA，对各选项逐一判断，即可得出答案：注意对应边和对应角。
2．（2019七下·苏州期末）如图，已知 ，添加条件后，可得 ，则在下列条件中，不能添加的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠BAD=∠CAD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（ASA）；故不符合题意；
B、∵∠B=∠C，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（AAS）；故不符合题意；
C、∵BD=CD，
∴ ，
∴△ABD≌△ACD（SAS）；故不符合题意；
D、AB=AC与∠ADB=∠ADC、AD=AD组成了SSA不能由此判定三角形全等，故符合题意。
故答案为：D。
【分析】根据题干及图形提供的条件来看，已经具有AD=AD， ，要使 只需要再添加任意一对角对应相等或BD=CD即可，从而即可一一判断得出答案。
二、填空题
3．（2019八上·义乌月考）如图点C，D在AB同侧，AD=BC，添加一个条件 就能使△ABD≌△BAC。
【答案】∠DAB=∠CBA或AC=BD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），故可以添加∠DAB=∠CBA；
在△ABD和△BAC中，
∴△ABD≌△BAC（SAS），故可以添加AC=BD；
故答案为：∠DAB=∠CBA或AC=BD
【分析】观察图形，隐含条件为：AB=BA，因此利用SAS，可以添加∠DAB=∠CBA，利用SSS可以添加AC=BD.
4．（2019·广州）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM=45°，点F在射线AM上，且 ，CF与AD相交于点G，连接EC，EF，EG，则下列结论：①∠ECF=45°；② 的周长为 ；③ ；④ 的面积的最大值 .其中正确的结论是 .（填写所有正确结论的序号）
【答案】①④
【知识点】三角形的面积；三角形全等的判定
【解析】【解答】解：如图1，在BC上截取BH=BE，连接EH．
∵BE=BH，∠EBH=90°，
∴EH= BE，∵AF= BE，∴AF=EH，
∵∠DAM=∠EHB=45°，∠BAD=90°，
∴∠FAE=∠EHC=135°，
∵BA=BC，BE=BH，
∴AE=HC，∴△FAE≌△EHC（SAS），
∴EF=EC，∠AEF=∠ECH，
∵∠ECH+∠CEB=90°，∴∠AEF+∠CEB=90°，∴∠FEC=90°，
∴∠ECF=∠EFC=45°，故①正确，
如图2中，延长AD到H，使得DH=BE，则△CBE≌△CDH（SAS），
∴∠ECB=∠DCH，∴∠ECH=∠BCD=90°，∴∠ECG=∠GCH=45°，
∵CG=CG，CE=CH，∴△GCE≌△GCH（SAS），∴EG=GH，
∵GH=DG+DH，DH=BE，
∴EG=BE+DG，故③错误，
∴△AEG的周长=AE+EG+AG=AG+GH=AD+DH+AE=AE+EB+AD=AB+AD=2a，故②错误，
设BE=x，则AE=a-x，AF= ，
∴∴ ，
∴当 时， 的面积有最大值，最大值是 ，④正确；
故答案为：①④.
【分析】根据全等三角形的判定定理（AAS）和三角形的周长、面积公式，可列出关系式，得到正确的结论。
5．（2019·广西模拟）如图，点B，A，D，E在同一直线上，BD=AE，BC∥EF，要使△ABC △DEF，则只需添加一个适当的条件是 (只填一个即可)
【答案】BC=EF或∠BAC=∠EDF(答案不唯一)
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：∵ BC∥EF
∴∠B=∠E
∵BD=AE
∴ BD-AD=AE-AD，即BA=DE
∴添加BC=EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
添加 ∠BAC=∠EDF
∴△ABC≌△DEF（ASA）
添加∠C=∠F
∴△ABC≌△DEF（AAS）
故答案为： BC=EF或∠BAC=∠EDF或∠C=∠F
【分析】利用平行线的性质，易证∠B=∠E，再由BD=AE，再根据SAS或ASA或AAS添加条件即可得到△ABC≌△DEF。
6．（2019七下·富宁期中）如图所示，AB交CD于O点，OA=OB，请你添加一个条件，使得△AOC≌△BOD，你添加的条件是 。
【答案】OC=OD
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】理由是：在△AOC和△BOD中，
∴△AOC≌△BOD(SAS).
故答案为：OC=OD.
【分析】开放性的命题，答案不唯一，题干中已经具有 OA=OB ，图形中又具有∠AOC=∠BOD，故只要添加任意一组角对应相等，或边OC=OD即可利用三角形全等的判定方法判断出△AOC≌△BOD。
三、解答题
7．（2019八上·义乌月考）已知AB∥DE，BC∥EF，D，C在AF上，且AD=CF，
求证：△ABC≌△DEF．
【答案】解：∵AB∥DE，BC∥EF，
∴∠A=∠EDF，∠ACB=∠F，
∵AD=CF，
∴AD+DC=CF+CD即AC=DF；
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（ASA）
【知识点】平行线的性质；三角形全等的判定
【解析】【分析】利用平行线的性质，易证∠A=∠EDF，∠ACB=∠F，再利用线段的和差，可证得AC=DF，然后利用ASA可证得结论。
8．（2019八上·潮安期末）已知：如图，点E，A，C在同一直线上，AB∥CD，AB＝CE，AC＝CD．
求证：BC＝ED．
【答案】证明：∵AB∥CD，
∴∠BAC＝∠ECD，
在△BAC和△ECD中 ，
∴△BAC≌△ECD（SAS），
∴BC＝ED
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【分析】根据平行线的性质，即可得到∠BAC=∠ECD，根据边角边的三角形的判定定理即可证明三角形全等，得出BC=ED即可。
四、综合题
9．（2019·禅城模拟）如图，在等边三角形ABC中，AE＝CD，AD，BE交于P点，BF⊥AD于F．
（1）求证：△ACD≌△BAE；
（2）求证：BF＝ PF．
【答案】（1）证明：如图所示：
∵△ABC是等边三角形，
∴在△ABE和△CAD中，
AB＝AC ；
∴△ABE≌△CAD（SAS）
（2）证明：∵△ABE≌△CAD，
∴∠ABE＝∠CAD，
又∵∠BAE＝∠BAP+∠PAE＝60°，
∴∠BAP+∠ABP＝60°，
又∵∠BPF＝∠BAP+∠ABP，
∴∠BPF＝60°，
∵BF⊥AD
∴tan∠BPF＝ ，
∴tan60°＝ ＝ ，
∴BF＝ PF
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的性质
【解析】【分析】（1）在等边三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°，且AE=CD，根据“两边和其夹角对应相等的两个三角形全等”可证明△ACD≌△BAE；
（2）由题（1）可得∠CAD=∠ABE，故∠BPD=∠BAD+∠ABE=∠BAD+∠CAD=60°，由于BF⊥AD，根据三角函数可得tan∠BPF=，所以可证明BF=PF。
10．（2019八上·官渡期末）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝10，∠C＝30°点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长度的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（t＞0），过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．
（1）DF＝ ；（用含t的代数式表示）
（2）求证：△AED≌△FDE；
（3）当t为何值时，△DEF是等边三角形？说明理由；
（4）当t为何值时，△DEF为直角三角形？（请直接写出t的值．）
【答案】（1）t
（2）证明：∵∠CFD＝90°，∠B＝90°，
∴DF∥AB，
∴∠AED＝∠FDE．
在△AED和△FDE中，AF＝FD＝t,∠AED＝∠FDE,DE＝DE，
∴△AED≌△FDE（SAS）．
（3）∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形．
∵∠A＝90°﹣∠C＝60°，
∴AD＝AE．
∵AE＝t，AD＝AC﹣CD＝10﹣2t，
∴t＝10﹣2t，
∴t＝ ，
∴当t为 时，△DEF是等边三角形．
（4）∵△AED≌△FDE，
∴当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形．
当∠AED＝90°时，AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，
解得：t＝ ；
当∠ADE＝90°时，AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t），
解得：t＝4．
综上所述：当t为 或4时，△DEF为直角三角形．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定；含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：（1）∵DF⊥BC，
∴∠CFD＝90°．
在Rt△CDF中，∠CFD＝90°，∠C＝30°，CD＝2t，
∴DF＝ CD＝t．
故答案为：t．
【分析】（1）根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得DF＝ CD＝t．（2）根据两直线平行内错角相等可得 ∠AED＝∠FDE，由SAS即可判断△AED≌△FDE ；（3）由 △AED≌△FDE可知， 当△DEF是等边三角形时，△EDA是等边三角形，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可得当 AD＝AE，即 t＝10﹣2t时， △DEF是等边三角形，解方程求出t值即可.（4）由△AED≌△FDE可知 ，当△DEF为直角三角形时，△EDA是直角三角形． ① 当∠ADE＝90°时 ，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得 AE＝2AD，即t＝2（10﹣2t）， 解方程求出t值即可.② 当∠AED＝90°时，根据30°的角所对的直角边等于斜边的一半可得 AD＝2AE，即10﹣2t＝2t，解方程求出t值即可.
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