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初中数学人教版七年级下学期 第五章 5.1.2 垂线
一、单选题
1．（2020七上·扬州期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm
2．（2020七上·遂宁期末）如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线
3．（2019八上·利辛月考）已知点M(-4，2)，若点N是y轴上一动点，则M，N两点之间的距离最小值为（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．-2
4．（2019八上·富阳月考）如图，在△ABC 中，AE 是和 AF 分别是 BC 边上的中线和高线，AD 是∠BAC 的平分线.则下列线段中最短的是（ ）
A．AE B．AD C．AF D．AC
5．（2019七下·桂平期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5．点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4 D．5
二、填空题
6．（2019·广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是 cm.
7．（2019七下·景县期末）在体育课上某同学立定跳远的情况如图10所示，直线l表示起跳线在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段
的长，理由是 。
三、作图题
8．（2019七下·富宁期中）如图所示的方格纸中有∠CAB，按下列要求画图并回答问题（在方格中，虚线与虚线的交点称为格点）。
（1）①在AB上找一格点D，连接CD，使得CD⊥AB；
②在AB上找一格点E，连接CE，使得CE⊥AC；
（2）线段 的长度是点C到AB的距离，线段 的长度是点A到CE的距离。
9．（2019七下·北京期中）如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点.
（1）①过点P画AB的垂线段PE.
②过点P画CD的垂线，与AB相交于F点.
（2）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？
四、综合题
10．（2019七下·江门期末）画图题，如图，已知三角形
（1）过点 作 ，点 为垂足
（2）在（1）的条件下，若 ，求点A到CD的距离
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】依据垂线段最短，∵P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，∴点P到直线l的距离不大于4cm，故答案为C.
【分析】依据点到直线的距离垂线段最短，即可求解..
2．【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：B．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
3．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短
∴点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离为0-（-4）=4
故答案为：C。
【分析】过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短，即可判断点N的位置，计算得到最小值即可。
4．【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段的性质：垂线段最短可得AF最短，
故答案为：C.
【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可得出结论.
5．【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由题意得： AC
即3≤AP≤5,
∵2.5不在此范围内，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知P在C点时AP最短，长度等于3；从P点从C到B，AP在逐渐增大，P点在B点时，AP最长，长度等于5，因此可以确定AP长的范围。如果线段长不在此范围内，就是不可能的。
6．【答案】5
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PB⊥l，PB=5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
【分析】根据p点到线段的距离为垂线段，可得出长度。
7．【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，∴应测量线段PC的长.
故答案为：线段PC的长，垂线段最短.
【分析】根据垂线段最短解答即可.
8．【答案】（1）画图如下，
如上图所示
（2）CD；AC
【知识点】垂线；点到直线的距离
【解析】【解答】（2）由直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，可知线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离.
故答案为：CD，AC.
【分析】（1） ① 利用方格纸的特点及垂直的定义即可找出点D的位置，再连接CD即可； ② 根据三角形的内角和及垂直的定义，只要满足所找的点E满足∠ECD=∠A即可，由AD=2CD，故只要满足CD=2DE，即可得出点E的位置，从而连接CE即可；
（2）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，即可得出线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离.
9．【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：在直角△FPO中,PO＜FO,
在直角△PEO中,PE＜PO,
∴PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”
【知识点】垂线；垂线段最短
【解析】【分析】（1） ① 让直角三角形尺的一条直角边与AB靠在一起，移动直角三角尺，让另一条直角边经过点P，然后沿着这边作PE⊥AB于点E，线段PE就是所求的垂线段； ② 让直角三角形尺的一条直角边与AB靠在一起，移动直角三角尺让直角三角形尺的直角顶点落在点P处，然后沿着这边作PF⊥CD于点P，直线PF就是所求的垂线；
（2）根据大边对大角得出， 在直角△FPO中,PO＜FO, 在直角△PEO中,PE＜PO, 从而得出结论，依据就是垂线段最短。
10．【答案】（1）解：如图，CD为所作．
（2）解：∵AB=5，BD=2，
∴AD=3，
∴点A到CD的距离为3．
【知识点】垂线；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据题意，作出图形，即可；
（2）根据点到直线的距离概念，通过线段的和差运算，即可求解.
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初中数学人教版七年级下学期 第五章 5.1.2 垂线
一、单选题
1．（2020七上·扬州期末）点P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，则点P到直线l的距离是（ ）
A．4cm B．小于4cm C．不大于4cm D．5cm
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】依据垂线段最短，∵P为直线外一点，点A、B在直线l上，若PA=4cm，PB=5cm，∴点P到直线l的距离不大于4cm，故答案为C.
【分析】依据点到直线的距离垂线段最短，即可求解..
2．（2020七上·遂宁期末）如图，现要从村庄A修建一条连接公路PQ的最短小路，过点A作AH⊥PQ于点H，沿AH修建公路，则这样做的理由是（ ）
A．两点之间，线段最短 B．垂线段最短
C．过一点可以作无数条直线 D．两点确定一条直线
【答案】B
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】∵从直线外一点到这条直线上各点所连线段中，垂线段最短，
∴过点A作AH⊥PQ于点H，这样做的理由是垂线段最短．
故答案为：B．
【分析】根据垂线段的性质：垂线段最短，进行判断即可．
3．（2019八上·利辛月考）已知点M(-4，2)，若点N是y轴上一动点，则M，N两点之间的距离最小值为（ ）
A．-4 B．2 C．4 D．-2
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短
∴点N在y轴上的纵坐标为2，此时二者之间的距离为0-（-4）=4
故答案为：C。
【分析】过直线外一点，到直线上的所有点的连线中，垂线段最短，即可判断点N的位置，计算得到最小值即可。
4．（2019八上·富阳月考）如图，在△ABC 中，AE 是和 AF 分别是 BC 边上的中线和高线，AD 是∠BAC 的平分线.则下列线段中最短的是（ ）
A．AE B．AD C．AF D．AC
【答案】C
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：根据垂线段的性质：垂线段最短可得AF最短，
故答案为：C.
【分析】根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短即可得出结论.
5．（2019七下·桂平期末）如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5．点P在边BC上运动，则线段AP的长不可能是（ ）
A．2.5 B．3.5 C．4 D．5
【答案】A
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：由题意得： AC即3≤AP≤5,
∵2.5不在此范围内，不符合题意；
故答案为：A.
【分析】直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，可知P在C点时AP最短，长度等于3；从P点从C到B，AP在逐渐增大，P点在B点时，AP最长，长度等于5，因此可以确定AP长的范围。如果线段长不在此范围内，就是不可能的。
二、填空题
6．（2019·广州）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=6cm，PB=5cm，PC=7cm，则点P到直线l的距离是 cm.
【答案】5
【知识点】垂线段最短
【解析】【解答】解：∵PB⊥l，PB=5cm，
∴P到l的距离是垂线段PB的长度5cm，
故答案为：5．
【分析】根据p点到线段的距离为垂线段，可得出长度。
7．（2019七下·景县期末）在体育课上某同学立定跳远的情况如图10所示，直线l表示起跳线在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段
的长，理由是 。
【答案】PC；垂线段最短
【知识点】垂线段最短；点到直线的距离
【解析】【解答】解：根据垂线段最短，∴应测量线段PC的长.
故答案为：线段PC的长，垂线段最短.
【分析】根据垂线段最短解答即可.
三、作图题
8．（2019七下·富宁期中）如图所示的方格纸中有∠CAB，按下列要求画图并回答问题（在方格中，虚线与虚线的交点称为格点）。
（1）①在AB上找一格点D，连接CD，使得CD⊥AB；
②在AB上找一格点E，连接CE，使得CE⊥AC；
（2）线段 的长度是点C到AB的距离，线段 的长度是点A到CE的距离。
【答案】（1）画图如下，
如上图所示
（2）CD；AC
【知识点】垂线；点到直线的距离
【解析】【解答】（2）由直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，可知线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离.
故答案为：CD，AC.
【分析】（1） ① 利用方格纸的特点及垂直的定义即可找出点D的位置，再连接CD即可； ② 根据三角形的内角和及垂直的定义，只要满足所找的点E满足∠ECD=∠A即可，由AD=2CD，故只要满足CD=2DE，即可得出点E的位置，从而连接CE即可；
（2）根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度，就是点到直线的距离，即可得出线段CD的长度是点C到AB的距离；线段AC的长度是点A到CE的距离.
9．（2019七下·北京期中）如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点.
（1）①过点P画AB的垂线段PE.
②过点P画CD的垂线，与AB相交于F点.
（2）说明线段PE，PO，FO三者的大小关系，其依据是什么？
【答案】（1）解：如图所示.
（2）解：在直角△FPO中,PO＜FO,
在直角△PEO中,PE＜PO,
∴PE＜PO＜FO，其依据是“垂线段最短”
【知识点】垂线；垂线段最短
【解析】【分析】（1） ① 让直角三角形尺的一条直角边与AB靠在一起，移动直角三角尺，让另一条直角边经过点P，然后沿着这边作PE⊥AB于点E，线段PE就是所求的垂线段； ② 让直角三角形尺的一条直角边与AB靠在一起，移动直角三角尺让直角三角形尺的直角顶点落在点P处，然后沿着这边作PF⊥CD于点P，直线PF就是所求的垂线；
（2）根据大边对大角得出， 在直角△FPO中,PO＜FO, 在直角△PEO中,PE＜PO, 从而得出结论，依据就是垂线段最短。
四、综合题
10．（2019七下·江门期末）画图题，如图，已知三角形
（1）过点 作 ，点 为垂足
（2）在（1）的条件下，若 ，求点A到CD的距离
【答案】（1）解：如图，CD为所作．
（2）解：∵AB=5，BD=2，
∴AD=3，
∴点A到CD的距离为3．
【知识点】垂线；点到直线的距离
【解析】【分析】（1）根据题意，作出图形，即可；
（2）根据点到直线的距离概念，通过线段的和差运算，即可求解.
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