1.4.2正弦函数、余弦函数的性质(二)

课件19张PPT。1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(二) 湖南省耒阳市振兴学校
高中数学老师欧阳文丰制作------周期性一、周期函数的概念 思考1：观察上图, 正弦曲线每相隔 个单位重复出现..2π诱导公式其理论依据是什么？当自变量x的值增加2π的整数倍时，函数值重复出现.数学上，用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”的变化规律思考2：设f(x)=sinx，则
可以怎样表示？ f(x+2kπ)=f(x) 这就是说：当自变量x的值增加到x+2kπ时，函数值重复出现.
为了突出函数的这个特性，我们把函数f(x)=sinx称为周期函数，2kπ为这个函数的周期 (其中k∈z且k≠0).思考3：把函数f(x)=sinx称为周期函数.那么，一般地，如何定义周期函数呢？【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期. 思考4：周期函数的周期是否唯一？正弦函数y=sinx的周期有哪些？ 答：周期函数的周期不止一个. ±2π，±4π，±6π，…都是正弦函数的周期，事实上，任何一个常数2kπ(k∈z且k≠0)都是它的周期.【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期. 【最小正周期】 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期.今后本书中所涉及到的周期，如果不加特别说明，一般都是指函数的最小正周期.【周期函数的定义】对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有
f(x+T)=f(x)
那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期.
【最小正周期】如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期. 答：正弦函数y=sinx有最小正周期，且最小正周期T=2π思考5：我们知道 ±2π，±4π，±6π，…都是y=sinx的周期,那么函数y=sinx有最小正周期吗？若有，那么最小正周期T等于多少？ 正弦函数y=sinx是周期函数，2kπ（k∈Z且 k≠0）都是它的周期，最小正周期 T=2π．
余弦函数y=cosx是周期函数，2kπ（k∈Z且 k≠0）都是周期，最小正周期 T=2π．思考6：就周期性而言，对正弦函数有什么结论？对余弦函数呢？二：周期概念的拓展 思考1：判断下列说法是否正确思考2：周期函数的定义域有什么特点？ ①函数f(x)=sinx（x≥0）是周期函数( )
②函数f(x)=sinx（x＜0）是周期函数( )
③函数f(x)=sinx（x≠3kπ）是周期函数( )
④函数f(x)=sinx，x∈[0，10π]是周期函数( )╳╳╳╳答案：周期函数的定义域是全体实数。 判断下面各题的正误2．y=|sinx|的周期是π且是偶函数．（ ）3．存在角x使得2cosx=3成立．（ ）√×× 对，因为|sin（x+π）|=|-sinx|=|sinx|．错，因为余弦函数的最大值为1．随堂练习例1 求下列函数的周期：
⑴y=3cosx,x∈R;
⑵y=sin2x,x∈R;
⑶y=2sin( - ),x∈R; ∵ 3cos(x+2π)=
∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π【解】⑴3cosx三、例题讲解⑵y=sin2x,x∈R; ∵sin2(x+π)=

∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为π
sin2x解：⑶y=2sin( - ),x∈R; ∴由周期函数的定义可知，原函数的周期为4π解：函数y=Asin（ωx+ψ）　　从前面的例子可以看出，函数y=Asin（ωx+ψ），x∈R及函数y=Acos（ωx+ψ），x∈R（其中A，ω，ψ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期仅与自变量的系数有关．那么，如何用自变量的系数表示上述函数的周期呢？及函数y=Acos（ωx+ψ）的周期　　事实上，令z=ωx+ψ，那么x∈R必须并且只需z∈R，且函数y=Asinz，z∈R及函数y=Acosz，z∈R的周期都是2π．由于成立的最小正数．从而，函数Asin[ω（x+T）+ψ]= Asin（ωx+ψ），Acos[ω（x+T）+ψ]= Acos（ωx+ψ）y=Asin（ωx+ψ），x∈R及函数y=Acos（ωx+ψ），x∈R 例2 已知定义在R上的函数f(x)满足
f(x＋2)＋f(x)=0，试判断f(x)是否为周期函数？〖分析〗由已知有：f(x＋2)= -f(x)
∴f(x+4)=
即 f(x＋4)=f(x)
∴由周期函数的定义知，f(x)是周期函数.f(x)=-[-f(x)]=-f(x＋2)f[(x＋2)+2]= 如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 则这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 对于函数f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f(x+T)=f(x)那么函数f(x)就叫做周期函数，非零常数T就叫做这个函数的周期. 归 纳 整 理 1.说说周期函数的定义.3.什么叫周期函数的最小正周期？ 2.函数的周期性是函数的一个基本性质，判断一个函数是否为周期函数，一般以定义为依据，检验它是否存在非零常数T，对定义域内任一实数x，f(x＋T)=f(x)恒成立. 4.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ) (A＞0)的最小
正周期 T=这个公式，解题时可以直接应用练习：P361，2.P463.