初中数学北师大版九年级上学期 第二章测试卷
一、单选题
1．（2019八下·慈溪期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、x2+3y＝1，含有两个未知数，故不是一元二次方程；
B、x2+3x＝1，是一元二次方程，故符合题意；
C、ax2+bx+c＝0，当a≠0时，是一元二次方程，故C不符合题意；
D、 ，是分式方程，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，且二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，根据定义即可一一判断得出答案。
2．（2019九上·珠海开学考）用配方法解一元二次方程 ，此方程可化为的正确形式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=-1，
配方得：x2-6x+9=8，即（x-3）2=8，
故答案为：D．
【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，最后写成完全平方公式即可.
3．（2019·宜宾）一元二次方程 的两根分别为 和 ，则 为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=计算即可.
4．（2019·梧州模拟）已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：﹣1 x1＝﹣ ，
解得x1＝ .
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，x1.x2=，把a、c和x1=-1的值代入计算即可求解.
二、填空题
5．（2018九上·泰州月考）方程 的解为 ．
【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
a= ，b= ，c=-1，
∴△=3+4 ＞0，
，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】利用一元二次方程公式法解此方程，先求出b2-4ac的值，再代入公式求出方程的解。
6．（2019·温州模拟）若x(x＋1)＋y(xy＋y)＝(x＋1)·M，则M＝ .
【答案】x+y2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x+1）+y（xy+y）=（x+1） M，
∴x（x+1）+y2（x+1）-（x+1） M=0，
∴（x+1）（x+y2-M）=0，
∵x≠-1，
∴x+y2-M=0，即x+y2=M．
故答案为：x+y2．
【分析】当x+1=0的时候，该式的值与M的值没有关系，M可以为任意实数，故此题中x+1≠0的，将方程的右边整体移到方程的左边，利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而得出x+y2-M=0，求解即可得出答案。
7．（2018九上·东莞期中）方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，则a的取值范围是 .
【答案】 且a≠0
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 ∵方程 有两个不等的实数根，
∴ ，解得 且 .
故答案为： 且a≠0
【分析】因为方程ax2+x+1=0 有两个不等的实数根，令=12 4a>0且a≠0，解得a的取值范围即可。
三、计算题
8．（2019八下·江阴月考）解方程
（1）
（2）x2﹣6x﹣4=0（用配方法）
【答案】（1）解：原方程可变为： + ＝－2
去分母得，1+6-x=-2(x-3)，
整理，得x=1，
检验：把x=1代入x-3≠0，
所以x=1是原方程的解.
（2）解：x2﹣6x﹣4=0
x2﹣6x=4,
x2﹣6x+9=4+9
(x-3)2=13
x-3=±
∴
【知识点】配方法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母将分式方程化为整式方程，解这个整式方程，并检验即可求解；
（2）由配方法可知，先把常数项移到右边，再在方程两边同时加一次项系数一半的平方，然后配方、开方即可求解。
9．（2019八下·西湖期末）解方程：
（1） x2＝14
（2）x（ x﹣1）＝（x﹣2）2
【答案】（1）解： 方程整理得：x2＝49，
开方得：x＝±7；
（2）解： 方程整理得：x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先去分母，系数化为整数，两边同时开方即可得出结果；
（2）左边用单项式乘多项式法则运算，右边用完全平方公式展开，未知数系数化为整数，移项整理成一元二次方程标准形式，用十字相乘法分解因式，令每项因式等于0，即可求解。
10．（2019九上·临沧期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+7＝0的两个根，求 + 和 + 的值．
【答案】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴x1+x2＝8，x1x2＝7，
∴ + = = ，
+ ＝ ＝ ＝ ＝
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2=，x1x2=。分别把所求的两个代数式通分并运用完全平方公式转化为x1+x2和x1x2的形式，然后整体代换即可求解。
四、综合题
11．（2017九上·潜江期中）根据要求，解答下列问题．仔细观察小聪同学所求的三个方程的解．
①方程x2－2x＋1＝0的解为x1＝1，x2＝1；②方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2；③方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3； …………
（1）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．
（2）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
【答案】（1）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0．
（2）x2-9x=-8，
x2-9x+ =-8+ ，
（x- ）2= ，
x- =± ，
所以x1=1，x2=8；
所以猜想正确
【知识点】配方法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）通过观察发现三个方程的二次项系数都是1，常数项是一个正整数，一次项的系数是一个负整数，且一次项系数的绝对值比常数项大1，方程的解是一个根是1，另一个根与常数项一样；根据发现的规律即可解决 ①②两个小题；
（2）将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解，进而判断出猜想正确性。
12．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
【答案】（1）解：根据一元二次方程的定义可得 ，
解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，
解得x1=1，x2=﹣
（2）解：由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的定义，含x的最高次项是2此，二次项的系数不等于0，求出m的值；再将m的值代入方程求出方程的解。
（2）根据一元一次方程的定义，可得出m2+1=1或m+1=0，分别求出m的值，再将m的值代入原方程，分别解方程即可解答。
13．已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．
（1）求k的值；
（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．
【答案】（1）解：将x=2代入所给的方程中得：
2(2 k)=2 k，
解得：k=2
（2）解：当k=2时，方程变为：2y(4 y)=1，整理得：
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义可得，将x=2代入方程即可求得k的值；
（2）将（1）中求得的k值代入方程，用公式即可求解。
14．（2019·伊春）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，边 交 轴于点 ，动点 以每秒 个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运动的时间为 秒，设 与矩形 重叠部分的面积为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解： ，
， ，
，
， ，
，
， ，
四边形 是矩形，
点 的坐标为
（2）解：设 交 轴于点 ，
如图1，当 时， ，
，
，
，即 ，
，
；
如图2，当 时， ，
，
，
，即 ，
，
；
综上所述，
（3）解：由题意知，当点 在 上时，显然不能构成等腰三角形；
当点 在 上运动时，设 ，
， ，
， ， ，
①当 时， ，解得 ，
则 ；
②当 时， ，解得 ，
则 ；
③当 时， ，解得 ，
则 ；
综上， 或 或 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可写出点D的坐标。
（2）利用相似三角形的对应边成比例，可列出相应的关系式。
（3）考虑P点运动的情况，设出坐标，列出关系式，解出相应的P点的坐标。
15．（2019七下·天台期末）一个运输公司有甲、乙两种货车，两次满载的运输情况如下表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运货吨数
第一次 2 4 18
第二次 5 6 35
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨货物；
（2）现有一批重34吨的货物需要运输，而甲、乙两种货车运输的保养费用分别为80元/辆和40元/辆.公司打算由甲、乙两种货车共10辆来完成这次运输，为了使保养费用不超过700元，公司该如何安排甲、乙两种货车来完成这次运输任务.
【答案】（1）解：设甲车每辆运输x吨，乙车每辆运输y吨
解得
答：甲车每辆运输4吨，乙车每辆运输2.5吨。
（2）解：设安排甲车a辆，则乙车（10 a）辆
解得
∵a是整数
∴a可以取的整数是6，7
答：公司可以安排甲车6辆，乙车4辆或甲车7辆，乙车3辆
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设甲、乙每辆车分别运输x吨和y吨，根据运货总吨数=单车运量×车辆数，在第一次和第二次的两种情况下分别列二元一次方程，组成方程组，解方程组即可。
（2）设安排甲车为a辆，则乙车为（10-a）辆，根据单车运量×车辆数不少于34吨，单车保养费用×车辆数不超过700元，分别列一元一次不等式，组成不等式组，解不等式组，在解集中取整数，即可制定出安排方案。
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第二章测试卷
一、单选题
1．（2019八下·慈溪期中）下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2019九上·珠海开学考）用配方法解一元二次方程 ，此方程可化为的正确形式是（ ）
A． B． C． D．
3．（2019·宜宾）一元二次方程 的两根分别为 和 ，则 为（ ）
A． B． C．2 D．
4．（2019·梧州模拟）已知关于x的一元二次方程2x2+mx﹣3＝0的一个根是﹣1，则另一个根是（ ）
A．1 B．﹣1 C． D．
二、填空题
5．（2018九上·泰州月考）方程 的解为 ．
6．（2019·温州模拟）若x(x＋1)＋y(xy＋y)＝(x＋1)·M，则M＝ .
7．（2018九上·东莞期中）方程ax2+x+1=0有两个不等的实数根，则a的取值范围是 .
三、计算题
8．（2019八下·江阴月考）解方程
（1）
（2）x2﹣6x﹣4=0（用配方法）
9．（2019八下·西湖期末）解方程：
（1） x2＝14
（2）x（ x﹣1）＝（x﹣2）2
10．（2019九上·临沧期末）若x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+7＝0的两个根，求 + 和 + 的值．
四、综合题
11．（2017九上·潜江期中）根据要求，解答下列问题．仔细观察小聪同学所求的三个方程的解．
①方程x2－2x＋1＝0的解为x1＝1，x2＝1；②方程x2－3x＋2＝0的解为x1＝1，x2＝2；③方程x2－4x＋3＝0的解为x1＝1，x2＝3； …………
（1）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想：
①方程x2－9x＋8＝0的解为 ；
②关于x的方程 的解为x1＝1，x2＝n．
（2）请用配方法解方程x2－9x＋8＝0，以验证猜想结论的正确性．
12．向阳中学数学兴趣小组对关于x的方程（m+1） +（m﹣2）x﹣1=0提出了下列问题：
（1）是否存在m的值，使方程为一元二次方程？若存在，求出m的值，并解此方程；
（2）是否存在m的值，使方程为一元一次方程？若存在，求出m的值，并解此方程．
13．已知关于x的方程x(x－k)＝2－k的一个根为2．
（1）求k的值；
（2）求方程2y(2k－y)＝1的解．
14．（2019·伊春）如图，在平面直角坐标系中，矩形 的边 在 轴上， 、 的长分别是一元二次方程 的两个根 ， ，边 交 轴于点 ，动点 以每秒 个单位长度的速度，从点 出发沿折线段 向点 运动，运动的时间为 秒，设 与矩形 重叠部分的面积为 ．
（1）求点 的坐标；
（2）求 关于 的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）在点 的运动过程中，是否存在 ，使 为等腰三角形？若存在，直接写出点 的坐标；若不存在，请说明理由．
15．（2019七下·天台期末）一个运输公司有甲、乙两种货车，两次满载的运输情况如下表：
甲种货车辆数 乙种货车辆数 合计运货吨数
第一次 2 4 18
第二次 5 6 35
（1）求甲、乙两种货车每次满载分别能运输多少吨货物；
（2）现有一批重34吨的货物需要运输，而甲、乙两种货车运输的保养费用分别为80元/辆和40元/辆.公司打算由甲、乙两种货车共10辆来完成这次运输，为了使保养费用不超过700元，公司该如何安排甲、乙两种货车来完成这次运输任务.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】A、x2+3y＝1，含有两个未知数，故不是一元二次方程；
B、x2+3x＝1，是一元二次方程，故符合题意；
C、ax2+bx+c＝0，当a≠0时，是一元二次方程，故C不符合题意；
D、 ，是分式方程，故D不符合题意.
故答案为：B.
【分析】只含有一个未知数，未知数的最高次数是2次，且二次项的系数不为0的整式方程，就是一元二次方程，根据定义即可一一判断得出答案。
2．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：方程移项得：x2-6x=-1，
配方得：x2-6x+9=8，即（x-3）2=8，
故答案为：D．
【分析】先移项，然后两边同时加上一次项系数一半的平方，最后写成完全平方公式即可.
3．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：根据题意得：
，
故答案为：C．
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=计算即可.
4．【答案】C
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】设方程的另一根为x1，
根据根与系数的关系可得：﹣1 x1＝﹣ ，
解得x1＝ .
故答案为：C.
【分析】由一元二次方程的根与系数的关系得，x1.x2=，把a、c和x1=-1的值代入计算即可求解.
5．【答案】 ，
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【解答】 ，
a= ，b= ，c=-1，
∴△=3+4 ＞0，
，
∴ ， .
故答案为： ， .
【分析】利用一元二次方程公式法解此方程，先求出b2-4ac的值，再代入公式求出方程的解。
6．【答案】x+y2
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵x（x+1）+y（xy+y）=（x+1） M，
∴x（x+1）+y2（x+1）-（x+1） M=0，
∴（x+1）（x+y2-M）=0，
∵x≠-1，
∴x+y2-M=0，即x+y2=M．
故答案为：x+y2．
【分析】当x+1=0的时候，该式的值与M的值没有关系，M可以为任意实数，故此题中x+1≠0的，将方程的右边整体移到方程的左边，利用提公因式法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而得出x+y2-M=0，求解即可得出答案。
7．【答案】 且a≠0
【知识点】一元二次方程的根；公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】 ∵方程 有两个不等的实数根，
∴ ，解得 且 .
故答案为： 且a≠0
【分析】因为方程ax2+x+1=0 有两个不等的实数根，令=12 4a>0且a≠0，解得a的取值范围即可。
8．【答案】（1）解：原方程可变为： + ＝－2
去分母得，1+6-x=-2(x-3)，
整理，得x=1，
检验：把x=1代入x-3≠0，
所以x=1是原方程的解.
（2）解：x2﹣6x﹣4=0
x2﹣6x=4,
x2﹣6x+9=4+9
(x-3)2=13
x-3=±
∴
【知识点】配方法解一元二次方程；解分式方程
【解析】【分析】（1）先去分母将分式方程化为整式方程，解这个整式方程，并检验即可求解；
（2）由配方法可知，先把常数项移到右边，再在方程两边同时加一次项系数一半的平方，然后配方、开方即可求解。
9．【答案】（1）解： 方程整理得：x2＝49，
开方得：x＝±7；
（2）解： 方程整理得：x2﹣6x+8＝0，
分解因式得：（x﹣2）（x﹣4）＝0，
解得：x1＝2，x2＝4．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）先去分母，系数化为整数，两边同时开方即可得出结果；
（2）左边用单项式乘多项式法则运算，右边用完全平方公式展开，未知数系数化为整数，移项整理成一元二次方程标准形式，用十字相乘法分解因式，令每项因式等于0，即可求解。
10．【答案】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣8x+7＝0的两个根，
∴x1+x2＝8，x1x2＝7，
∴ + = = ，
+ ＝ ＝ ＝ ＝
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【分析】由一元二次方程的根与系数的关系可得：x1+x2=，x1x2=。分别把所求的两个代数式通分并运用完全平方公式转化为x1+x2和x1x2的形式，然后整体代换即可求解。
11．【答案】（1）x1＝1，x2＝8；x2－(1＋n)x＋n＝0．
（2）x2-9x=-8，
x2-9x+ =-8+ ，
（x- ）2= ，
x- =± ，
所以x1=1，x2=8；
所以猜想正确
【知识点】配方法解一元二次方程；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）通过观察发现三个方程的二次项系数都是1，常数项是一个正整数，一次项的系数是一个负整数，且一次项系数的绝对值比常数项大1，方程的解是一个根是1，另一个根与常数项一样；根据发现的规律即可解决 ①②两个小题；
（2）将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解，进而判断出猜想正确性。
12．【答案】（1）解：根据一元二次方程的定义可得 ，
解得m=1，此时方程为2x2﹣x﹣1=0，
解得x1=1，x2=﹣
（2）解：由题可知m2+1=1或m+1=0时方程为一元一次方程
当m2+1=1时，解得m=0，此时方程为﹣x﹣1=0，解得x=﹣1，
当m+1=0时，解得m=﹣1，此时方程为﹣3x﹣1=0，解得x=﹣
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量；公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用一元二次方程的定义，含x的最高次项是2此，二次项的系数不等于0，求出m的值；再将m的值代入方程求出方程的解。
（2）根据一元一次方程的定义，可得出m2+1=1或m+1=0，分别求出m的值，再将m的值代入原方程，分别解方程即可解答。
13．【答案】（1）解：将x=2代入所给的方程中得：
2(2 k)=2 k，
解得：k=2
（2）解：当k=2时，方程变为：2y(4 y)=1，整理得：
∴
【知识点】公式法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程的根的定义可得，将x=2代入方程即可求得k的值；
（2）将（1）中求得的k值代入方程，用公式即可求解。
14．【答案】（1）解： ，
， ，
，
， ，
，
， ，
四边形 是矩形，
点 的坐标为
（2）解：设 交 轴于点 ，
如图1，当 时， ，
，
，
，即 ，
，
；
如图2，当 时， ，
，
，
，即 ，
，
；
综上所述，
（3）解：由题意知，当点 在 上时，显然不能构成等腰三角形；
当点 在 上运动时，设 ，
， ，
， ， ，
①当 时， ，解得 ，
则 ；
②当 时， ，解得 ，
则 ；
③当 时， ，解得 ，
则 ；
综上， 或 或 ．
【知识点】相似三角形的判定与性质；一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据矩形的性质，可写出点D的坐标。
（2）利用相似三角形的对应边成比例，可列出相应的关系式。
（3）考虑P点运动的情况，设出坐标，列出关系式，解出相应的P点的坐标。
15．【答案】（1）解：设甲车每辆运输x吨，乙车每辆运输y吨
解得
答：甲车每辆运输4吨，乙车每辆运输2.5吨。
（2）解：设安排甲车a辆，则乙车（10 a）辆
解得
∵a是整数
∴a可以取的整数是6，7
答：公司可以安排甲车6辆，乙车4辆或甲车7辆，乙车3辆
【知识点】一元二次方程的其他应用；一元一次不等式组的应用
【解析】【分析】（1）设甲、乙每辆车分别运输x吨和y吨，根据运货总吨数=单车运量×车辆数，在第一次和第二次的两种情况下分别列二元一次方程，组成方程组，解方程组即可。
（2）设安排甲车为a辆，则乙车为（10-a）辆，根据单车运量×车辆数不少于34吨，单车保养费用×车辆数不超过700元，分别列一元一次不等式，组成不等式组，解不等式组，在解集中取整数，即可制定出安排方案。
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