初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.1 探索勾股定理
一、单选题
1．（2019八下·天台期末）下列三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．6, 7, 8 B．2, 3, 4 C．3, 4, 6 D．6，8, 10
【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 解：A、最大边82=64<62+72=85, 为锐角三角形，A不符合题意；
B、最大边42=16>32+22=13, 为钝角三角形，B不符合题意；
C、最大边62=36>32+42=25, 为钝角三角形，C不符合题意；
C、最大边102=100=62+82=100, 为直角三角形，D不符合题意；
故答案为：D
【分析】先找出最大边，然后根据勾股定理分析判断，最大边的平方小于另外两边的平方和是锐角三角形，等于另外两边的平方和是直角三角形，大于另外两边的平方和是钝角三角形。
2．（2019八下·赵县期末）在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】
∵∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠DEC,∠ACB=∠CDE，AC=CD,
∴△ACB≌△△DCE(AAS),
∴AB=CE，BC=DE,
由勾股定理可得，AC2=AB2+BC2=AB2+DE2
Sn=Sm+Sq=11+5=16.
n的面积为16
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形判定定理证明，再利用勾股定理求得线段的关系，得到面积。
3．（2019八下·赵县期末）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
4．（2019八下·长兴期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连结CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长是（ ）
A．4 B．3 C．4或8 D．3或6
【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：1）当∠EFC=90°时，
∵∠AFE=∠ABE=90°，
∴∠AFE+∠EFC=180°，
∴A、F、C在同一条直线上，
∴AF=AB=6，
∴FC=AC-AF=10-6=4，
设BE=x, 则EF=x,EC=BC-BE=8-x,
由勾股定理得：EF2+FC2=EC2，
即x2+42=(8-x)2,
∴x=3,即EF=3；
2）当点F在AD上时，
A、F、D在同一条直线上，
这时四边形ABED是矩形，
∵△AFE是由△ABE折叠而得，
∴AF=AB=6，
∴BE=AF=6.
故答案为：D.
【分析】△CEF为直角三角形有两种情况，即F在AC上时，或F在AD上时，分别利用折叠图形的特点找出相关相等的线段，设未知数，利用勾股定理列式即可解决。
5．（2019·美兰模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．25
【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据图形，利用勾股定理可得： ，故答案为：A．
【分析】利用方格纸的特点可知：AB是两直角边分别为3与4的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出AB的长。
二、填空题
6．（2019·邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 ，弦 ，则小正方形ABCD的面积是 .
【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵勾 ，弦 ，
∴股b= ，
∴小正方形的边长＝ ，
∴小正方形的面积
故答案为：4
【分析】根据勾股定理计算得到b的长度，即可得到小正方形的边长计算其面积即可。
7．（2019·太仓模拟）如图，在 中， ，若 边上的中线 垂直相交于 点，则 .
【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD、BE分别为BC，AC的中线，
∴BD=BC=4，AE=AC=3，
∵点O是△ABC的重心，
∴AO=2OD，BO=2OE，
∵BE⊥AD，
∴∠AOE=∠BOD=90°，
∴AO2+OE2=AE2=9，BO2+OD2=BD2=16，
∴AO2+BO2=9①，BO2+OA2=16②，
①+②得AO2+OB2=25，
∴AO2+OB2=20，
∵AO2+OB2=AB2，
∴AB=.
故答案为：.
【分析】根据三角形的中线，可得BD=BC=4，AE=AC=3，AO=2OD，BO=2OE.利用勾股定理可得AO2+OE2=AE2=9，BO2+OD2=BD2=16，从而可得AO2+BO2=9①，BO2+OA2=16②，两等式相加可得AO2+OB2=20，从而可求出AB的长.
8．（2019八下·巴南月考）如图，点D、E分别是直角△ABC的边AB和BC的点，将△BDE沿DE翻折到△ADE，若∠C=90°，AC=2 ，BC=8，则DE的长为 ；
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵在直角三角形ABC中，AC=2 ，BC=8
∴ =
故BD=
∵△BDE沿DE翻折到△ADE
∴BE=AE
所以CE=BC-BE=8-BE
在直角三角形△ABE中
即
解得AE=
故CE=
在直角三角形BDE中
=
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，根据点D是AB的中点求出BD的长，根据翻折的性质求出CE=BC-BE=8-BE，然后在直角三角形△ABE中根据勾股定理列出关于AE的方程求出AE,进而求出CE,再根据勾股定理求出DE即可.
三、解答题
9．（2018八上·江都期中）A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF＝70米，它们的水平距离EF＝390米．现欲在公路旁建一个超市P，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？
【答案】解：设 米，则 米，由题意得： 解得： . 故：超市应建在距离E处150米的位置.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理由题意可知AP=BP，因此设EP=x表示出PF，然后根据AP2=BP2建立关于x的方程，求解即可。
10．（2018八上·紫金期中）如图，BC=3cm，AB=4cm，AF=12cm，且∠B=∠FAC=90°，求正方形CDEF的面积．
【答案】解：∵∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5
∵∠FAC=90°，
∴AC2+AF2=CF2，
∵AC=5,AF =12，
∴CF=13
∵S正方形CDEF=CF2
∴S正方形CDEF=169。
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】由题意可知，ΔABC与ΔACF都是直角三角形，由勾股定理可以分别求出AC与CF的长，正方形CDEF的面积等于边长的平方，即CF的平方，即可求得正方形CDEF的面积。
11．（2018九上·黑龙江月考）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
【答案】解：连接DE，CE，设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE中， ，∴在Rt△BCE中， ，∴CE2=102+（50-x）2，又DE=CE，∴202+x2=102+（50-x）2，解得x=22∴收购站E到A站的距离为22km。
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据题意，作线段CD的垂直平分线交AB于点E，连接DE、CE。设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE和Rt△BCE中，用勾股定理表示出DE和CE，再根据等量关系DE=CE列方程求解即可。
四、综合题
12．（2019八上·江川期末）一架云梯长25 m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7 m.
（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m吗？
【答案】（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB= =24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′=20米，BC′= =15（米），
则：CC′=15﹣7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出 梯子的顶端A距地面的高度.（2）根据勾股定理求出BE=15,由15-7=8（米）≠4（米）即可作出判断.
13．细心观察图，认真分析各式，然后解答下列问题．
( )2＋1＝2，S1＝ ；
( )2＋1＝3，S2＝ ；
( )2＋1＝4，S3＝ ；
……
（1）请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值．
【答案】（1）解：( )2＋1＝n＋1，Sn＝
（2）解： ∵OAn2=n
∴OA10=
（3）解： 原式=（）2+（）2+（）2+···+（）2=（1+2+3+···+10）=.
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据数和式子的规律，写出符合条件的式子即可。
（2）在直角三角形中，根据勾股定理表示出长度即可。
（3）根据（1）中得出的规律进行计算求值。
1 / 1初中数学北师大版八年级上学期 第一章 1.1 探索勾股定理
一、单选题
1．（2019八下·天台期末）下列三条线段能构成直角三角形的是（ ）
A．6, 7, 8 B．2, 3, 4 C．3, 4, 6 D．6，8, 10
2．（2019八下·赵县期末）在直线l上有三个正方形m、q、n，若m、q的面积分别为5和11，则n的面积（ ）
A．4 B．6 C．16 D．55
3．（2019八下·赵县期末）将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（ ）
A．12cm≤h≤19cm B．12cm≤h≤13cm
C．11cm≤h≤12cm D．5cm≤h≤12cm
4．（2019八下·长兴期末）如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，点E是BC边上一点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在点F处，连结CF，当△CEF为直角三角形时，BE的长是（ ）
A．4 B．3 C．4或8 D．3或6
5．（2019·美兰模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A、B都是格点，则线段AB的长度为（ ）
A．5 B．6 C．7 D．25
二、填空题
6．（2019·邵阳）公元3世纪初，中国古代数学家赵爽注《周髀算经》时，创造了“赵爽弦图”．如图，设勾 ，弦 ，则小正方形ABCD的面积是 .
7．（2019·太仓模拟）如图，在 中， ，若 边上的中线 垂直相交于 点，则 .
8．（2019八下·巴南月考）如图，点D、E分别是直角△ABC的边AB和BC的点，将△BDE沿DE翻折到△ADE，若∠C=90°，AC=2 ，BC=8，则DE的长为 ；
三、解答题
9．（2018八上·江都期中）A，B两个居民楼在公路同侧，它们离公路的距离分别为AE＝200米，BF＝70米，它们的水平距离EF＝390米．现欲在公路旁建一个超市P，使超市到两居民楼的距离相等，则超市应建何处？为什么？
10．（2018八上·紫金期中）如图，BC=3cm，AB=4cm，AF=12cm，且∠B=∠FAC=90°，求正方形CDEF的面积．
11．（2018九上·黑龙江月考）铁路上A，B两站（视为直线上的两点）相距50km，C，D为两村庄（视为两个点），DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B（如图）.已知DA=20km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村庄到收购站E的直线距离相等，请你设计出收购站的位置，并计算出收购站E到A站的距离.
四、综合题
12．（2019八上·江川期末）一架云梯长25 m，如图所示斜靠在一面墙上，梯子底端C离墙7 m.
（1）这个梯子的顶端A距地面有多高？
（2）如果梯子的顶端下滑了4 m，那么梯子的底部在水平方向也是滑动了4 m吗？
13．细心观察图，认真分析各式，然后解答下列问题．
( )2＋1＝2，S1＝ ；
( )2＋1＝3，S2＝ ；
( )2＋1＝4，S3＝ ；
……
（1）请用含有n(n是正整数)的等式表示上述变化规律；
（2）推算出OA10的长；
（3）求 ＋ ＋ ＋…＋ 的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】 解：A、最大边82=64<62+72=85, 为锐角三角形，A不符合题意；
B、最大边42=16>32+22=13, 为钝角三角形，B不符合题意；
C、最大边62=36>32+42=25, 为钝角三角形，C不符合题意；
C、最大边102=100=62+82=100, 为直角三角形，D不符合题意；
故答案为：D
【分析】先找出最大边，然后根据勾股定理分析判断，最大边的平方小于另外两边的平方和是锐角三角形，等于另外两边的平方和是直角三角形，大于另外两边的平方和是钝角三角形。
2．【答案】C
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理
【解析】【解答】
∵∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠BAC=90°，
∴∠ABC=∠DEC,∠ACB=∠CDE，AC=CD,
∴△ACB≌△△DCE(AAS),
∴AB=CE，BC=DE,
由勾股定理可得，AC2=AB2+BC2=AB2+DE2
Sn=Sm+Sq=11+5=16.
n的面积为16
故答案为：C.
【分析】利用全等三角形判定定理证明，再利用勾股定理求得线段的关系，得到面积。
3．【答案】C
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】
h最大时为筷子与杯底垂直时，h=12cm
最小时为筷子与杯底和杯高形成直角三角形时，AB=
h=24-13=11cm，
∴11cm≤h≤12cm.
故答案为：C.
【分析】根据题意，找到h最小、最大值的情况，利用勾股定理解答。
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：1）当∠EFC=90°时，
∵∠AFE=∠ABE=90°，
∴∠AFE+∠EFC=180°，
∴A、F、C在同一条直线上，
∴AF=AB=6，
∴FC=AC-AF=10-6=4，
设BE=x, 则EF=x,EC=BC-BE=8-x,
由勾股定理得：EF2+FC2=EC2，
即x2+42=(8-x)2,
∴x=3,即EF=3；
2）当点F在AD上时，
A、F、D在同一条直线上，
这时四边形ABED是矩形，
∵△AFE是由△ABE折叠而得，
∴AF=AB=6，
∴BE=AF=6.
故答案为：D.
【分析】△CEF为直角三角形有两种情况，即F在AC上时，或F在AD上时，分别利用折叠图形的特点找出相关相等的线段，设未知数，利用勾股定理列式即可解决。
5．【答案】A
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】根据图形，利用勾股定理可得： ，故答案为：A．
【分析】利用方格纸的特点可知：AB是两直角边分别为3与4的直角三角形的斜边，利用勾股定理即可求出AB的长。
6．【答案】4
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】∵勾 ，弦 ，
∴股b= ，
∴小正方形的边长＝ ，
∴小正方形的面积
故答案为：4
【分析】根据勾股定理计算得到b的长度，即可得到小正方形的边长计算其面积即可。
7．【答案】
【知识点】三角形的角平分线、中线和高；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AD、BE分别为BC，AC的中线，
∴BD=BC=4，AE=AC=3，
∵点O是△ABC的重心，
∴AO=2OD，BO=2OE，
∵BE⊥AD，
∴∠AOE=∠BOD=90°，
∴AO2+OE2=AE2=9，BO2+OD2=BD2=16，
∴AO2+BO2=9①，BO2+OA2=16②，
①+②得AO2+OB2=25，
∴AO2+OB2=20，
∵AO2+OB2=AB2，
∴AB=.
故答案为：.
【分析】根据三角形的中线，可得BD=BC=4，AE=AC=3，AO=2OD，BO=2OE.利用勾股定理可得AO2+OE2=AE2=9，BO2+OD2=BD2=16，从而可得AO2+BO2=9①，BO2+OA2=16②，两等式相加可得AO2+OB2=20，从而可求出AB的长.
8．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】∵在直角三角形ABC中，AC=2 ，BC=8
∴ =
故BD=
∵△BDE沿DE翻折到△ADE
∴BE=AE
所以CE=BC-BE=8-BE
在直角三角形△ABE中
即
解得AE=
故CE=
在直角三角形BDE中
=
【分析】先根据勾股定理求出AB的长，根据点D是AB的中点求出BD的长，根据翻折的性质求出CE=BC-BE=8-BE，然后在直角三角形△ABE中根据勾股定理列出关于AE的方程求出AE,进而求出CE,再根据勾股定理求出DE即可.
9．【答案】解：设 米，则 米，由题意得： 解得： . 故：超市应建在距离E处150米的位置.
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理由题意可知AP=BP，因此设EP=x表示出PF，然后根据AP2=BP2建立关于x的方程，求解即可。
10．【答案】解：∵∠B=90°，
∴AB2+BC2=AC2，
∵AB=4，BC=3，
∴AC=5
∵∠FAC=90°，
∴AC2+AF2=CF2，
∵AC=5,AF =12，
∴CF=13
∵S正方形CDEF=CF2
∴S正方形CDEF=169。
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】由题意可知，ΔABC与ΔACF都是直角三角形，由勾股定理可以分别求出AC与CF的长，正方形CDEF的面积等于边长的平方，即CF的平方，即可求得正方形CDEF的面积。
11．【答案】解：连接DE，CE，设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE中， ，∴在Rt△BCE中， ，∴CE2=102+（50-x）2，又DE=CE，∴202+x2=102+（50-x）2，解得x=22∴收购站E到A站的距离为22km。
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【分析】根据题意，作线段CD的垂直平分线交AB于点E，连接DE、CE。设AE=x km，则BE=(50-x) km ，在Rt△ADE和Rt△BCE中，用勾股定理表示出DE和CE，再根据等量关系DE=CE列方程求解即可。
12．【答案】（1）由题意得：AC=25米，BC=7米，
AB= =24（米），
答：这个梯子的顶端距地面有24米；
（2）由题意得：BA′=20米，BC′= =15（米），
则：CC′=15﹣7=8（米），
答：梯子的底端在水平方向滑动了8米．
【知识点】勾股定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理即可求出 梯子的顶端A距地面的高度.（2）根据勾股定理求出BE=15,由15-7=8（米）≠4（米）即可作出判断.
13．【答案】（1）解：( )2＋1＝n＋1，Sn＝
（2）解： ∵OAn2=n
∴OA10=
（3）解： 原式=（）2+（）2+（）2+···+（）2=（1+2+3+···+10）=.
【知识点】勾股定理；探索数与式的规律
【解析】【分析】（1）根据数和式子的规律，写出符合条件的式子即可。
（2）在直角三角形中，根据勾股定理表示出长度即可。
（3）根据（1）中得出的规律进行计算求值。
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