初中数学华师大版八年级上学期 第13章测试卷
一、单选题
1．（2019·德州）下列命题是真命题的是（ ）
A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】
A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；
故答案为：C．
【分析】对每一个命题的正确性逐一进行判断即可。
2．（2019八下·慈溪期末）要说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝4，b＝﹣1
C．a＝1，b＝0 D．a＝1，b＝﹣2
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解: A、3>2, 32=9>22=4, 正确，不符合题意；
B、4>-1, 42=16>(-1)2=1, 正确，不符合题意；
C、1>0, 12=1>(0)2=0, 正确，不符合题意；
D、1>-2, 12=1<(-2)2=4, 错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别将各项的a、b的取值代入命题验证，如果不成立，就是反例。
3．（2019·宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：A.A图所作的是BC的垂直平分线，则D是BC的中点，故A符合题意；
B.B图所作的是AB的垂直平分线，则BD=AD，BD和CD不一定相等，故D不是BC的中点，故B不符合题意；
C.所作的是∠BAC的角平分线，故D不一定是BC的中点，故C不符合题意；
D.所作的是BC边的垂线，故D不符合题意。
故答案为：A
【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点，分别判别哪个选项是作线段BC的垂直平分线。
4．（2019八上·义乌月考）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：
①∠AOB=90°+ ②当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；③若OD=a，CE+CF=2b，则S△CEF=ab其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．①
【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAC=2∠BAO，∠ABC=2∠ABO
∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，
∴2∠BAO+2∠ABO=180°-∠C
∴∠BAO+∠ABO=90°-∠C
∵∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB，
∴180°-∠AOB=90°-∠C
∴∠AOB=90°+∠C，故①正确；
∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，
∴点O在∠ACB的角平分线上，
∴点O不是∠ACB的角平分线的中点，
∵EF∥AB，
∴ 当∠C=90°时，E，F不一定是AC，BC的中点，故②错误；
∵点O在∠ACB的角平分线上，
∴点O到∠ACB的两边的距离相等，
∵OD⊥CF，
∴S△CEF=OD（CE+CF）=×a×2b=ab,
故③正确；
故正确结论的序号为：①③.
故答案为：B
【分析】利用角平分线的定义及三角形内角和定理就可证得∠BAO+∠ABO=90°-∠C，再利用三角形内角和定理就可推出∠AOB=90°+∠C，可对①作出判断；利用三角形角平分线的定义及角平分线的性质，易证点O在∠ACB的角平分线上，再根据EF∥AB，可知E，F不一定是AC，BC的中点，可对②作出判断；再利用角平分线的性质，可证得点O到∠ACB的两边的距离相等，然后利用三角形的面积公式可推出S△CEF=OD（CE+CF），代入化简可对③作出判断.
5．（2019·潍坊模拟）如图，已知 ．按照以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交 的两边于 ， 两点，连接 ．②分别以点 ， 为圆心，以大于线段 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，连接 ， ．③连接 交 于点 ．下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】由作图步骤可得： 是 的角平分线，
∴∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，
∴△COE≌△DOE，
∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，
∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE= ，
但不能得出 ，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，OE为∠AOB的角平分线，根据其性质证明△COE≌△DOE，根据三角形全等的性质证明四边形的面积公式即可。
二、填空题
6．（2019·邵阳）如图，已知 ，请你添加一个条件，使得 ，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）
【答案】 或 或 .
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴可以添加 ，此时满足SAS；
添加条件 ，此时满足ASA；
添加条件 ，此时满足AAS，
故答案为： 或 或 ；
【分析】根据三角形全等的判定定理，根据题意，添加几个合适的条件即可。
7．（2019·绥化）如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A= 度。
【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠A=x，
∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x,
∴∠BDC=2x,
∵BD=BC ，
∴∠C=∠BDC=2x,
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C=2x,
在△ABC中，x+2x+2x=180°，
∴x=36°即∠A=36°.
故答案为：36°.
【分析】设∠A=x,利用等边对等角可得∠ABD=∠A=x,利用三角形外角的性质可得∠BDC=2x,根据等边对等角可得∠C=∠BDC=2x,从而可得∠ABC=∠C=2x.根据三角形内角和定理列出方程，求出x值即可.
三、解答题
8．（2019八上·义乌月考）已知：如图，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，
求证： AE＝AF
【答案】 解：连接AC，
在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠ECA=∠FCA
∵点E，F分别是DC、BC的中点，
∴2CE=DC，2CF=BC
∵DC=BC
∴CE=CF；
在△AEC和△AFC中，
∴△AEC≌△AFC（SAS）
∴AE=AF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC，图形中隐含公共边AC=AC，利用SSS证明△ADC≌△ABC，利用全等三角形的性质，易证∠ECA=∠FCA；再利用线段中点的定义，可证得CE=CF，利用SAS证明△AEC≌△AFC，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
9．（2019八下·乐山期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F。
求证:DE=BF
【答案】证明:由题知DC∥AB，
则∠DCA=∠BAC，
又DE⊥AC，BF⊥AC
∠DEC=∠BFA=90°，
又DC=BA，
可得△DEC≌△BFA，
则DE=BF，
得证
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质，利用全等三角形的判定定理（AAS）和性质，可得出结论。
四、作图题
10．（2019·萧山模拟）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作和作法，保留作图痕迹）
【答案】解：作图：连接AB
作出线段AB的垂直平分线
在矩形中标出点M的位置
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】先做出线段AB的垂直平分线，然后以点C为圆心，以的长为半径画弧交垂直平分线于一点即为M.
11．（2019·中山模拟）作图题：如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M.
（1）连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN＝MA；
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据.
【答案】（1）解：作图如图1所示，
（2）解：作图如图2所示，作图依据是：两点之间线段最短
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）连接AM，以点M为圆心，MA的长度为半径画弧，交直线l于点N，带你N就是所求的点；
（2）根据两点之间线段最短，故连接AB交直线l于点O，O就是所求的点。
五、综合题
12．（2019·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数；
（2）根据角平分线的定义得出 ∠ABE＝∠CBE，根据二直线平行内错角相等得出 ∠FEB＝∠CBE， 故 ∠FBE＝∠FEB， 根据等角对等边得出 FB＝FE.
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第13章测试卷
一、单选题
1．（2019·德州）下列命题是真命题的是（ ）
A．两边及其中一边的对角分别相等的两个三角形全等
B．平分弦的直径垂直于弦
C．对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形
D．两条直线被第三条直线所截，内错角相等
2．（2019八下·慈溪期末）要说明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，能举的一个反例是（ ）
A．a＝3，b＝2 B．a＝4，b＝﹣1
C．a＝1，b＝0 D．a＝1，b＝﹣2
3．（2019·宜昌）通过如下尺规作图，能确定点D是BC边中点的是（ ）
A． B．
C． D．
4．（2019八上·义乌月考）如图，在△ABC中，∠BAC和∠ABC的平分线相交于点O，过点O作EF∥AB交BC于F，交AC于E，过点O作OD⊥BC于D，下列三个结论：
①∠AOB=90°+ ②当∠C=90°时，E，F分别是AC，BC的中点；③若OD=a，CE+CF=2b，则S△CEF=ab其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①③ C．①② D．①
5．（2019·潍坊模拟）如图，已知 ．按照以下步骤作图：①以点 为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交 的两边于 ， 两点，连接 ．②分别以点 ， 为圆心，以大于线段 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ，连接 ， ．③连接 交 于点 ．下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
6．（2019·邵阳）如图，已知 ，请你添加一个条件，使得 ，你添加的条件是 ．（不添加任何字母和辅助线）
7．（2019·绥化）如图,在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,且BD=BC=AD,则∠A= 度。
三、解答题
8．（2019八上·义乌月考）已知：如图，AB＝AD，BC＝DC，E、F分别是DC、BC的中点，
求证： AE＝AF
9．（2019八下·乐山期末）如图，AC为矩形ABCD的对角线，DE⊥AC于E，BF⊥AC于F。
求证:DE=BF
四、作图题
10．（2019·萧山模拟）某市计划在新竣工的矩形广场的内部修建一个音乐喷泉，要求音乐喷泉M到广场的两个入口A、B的距离相等，且到广场管理处C的距离等于A和B之间距离的一半，A、B、C的位置如图所示，请在原图上利用尺规作图作出音乐喷泉M的位置，（要求：不写已知、求作和作法，保留作图痕迹）
11．（2019·中山模拟）作图题：如图，已知点A，点B，直线l及l上一点M.
（1）连接MA，并在直线l上作出一点N，使得点N在点M的左边，且满足MN＝MA；
（2）请在直线l上确定一点O，使点O到点A与点O到点B的距离之和最短，并写出画图的依据.
五、综合题
12．（2019·重庆）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.
（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度数；
（2）求证：FB＝FE.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】
A、由两边及其中一边的对角分别相等无法证明两个三角形全等，故A错误，是假命题；
B、平分弦（非直径）的直径垂直于弦，故B错误，是假命题；
C、一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形，故C正确，是真命题；
D、两条平行线被第三条直线所截，内错角相等，故D错误，是假命题；
故答案为：C．
【分析】对每一个命题的正确性逐一进行判断即可。
2．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解: A、3>2, 32=9>22=4, 正确，不符合题意；
B、4>-1, 42=16>(-1)2=1, 正确，不符合题意；
C、1>0, 12=1>(0)2=0, 正确，不符合题意；
D、1>-2, 12=1<(-2)2=4, 错误，符合题意；
故答案为：D.
【分析】分别将各项的a、b的取值代入命题验证，如果不成立，就是反例。
3．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图的定义
【解析】【解答】解：A.A图所作的是BC的垂直平分线，则D是BC的中点，故A符合题意；
B.B图所作的是AB的垂直平分线，则BD=AD，BD和CD不一定相等，故D不是BC的中点，故B不符合题意；
C.所作的是∠BAC的角平分线，故D不一定是BC的中点，故C不符合题意；
D.所作的是BC边的垂线，故D不符合题意。
故答案为：A
【分析】作线段BC的垂直平分线可得线段BC的中点，分别判别哪个选项是作线段BC的垂直平分线。
4．【答案】B
【知识点】三角形的面积；三角形内角和定理；角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，
∴∠BAC=2∠BAO，∠ABC=2∠ABO
∵∠C+∠BAC+∠ABC=180°，
∴2∠BAO+2∠ABO=180°-∠C
∴∠BAO+∠ABO=90°-∠C
∵∠BAO+∠ABO=180°-∠AOB，
∴180°-∠AOB=90°-∠C
∴∠AOB=90°+∠C，故①正确；
∵OA，OB平分∠BAC和∠ABC，
∴点O在∠ACB的角平分线上，
∴点O不是∠ACB的角平分线的中点，
∵EF∥AB，
∴ 当∠C=90°时，E，F不一定是AC，BC的中点，故②错误；
∵点O在∠ACB的角平分线上，
∴点O到∠ACB的两边的距离相等，
∵OD⊥CF，
∴S△CEF=OD（CE+CF）=×a×2b=ab,
故③正确；
故正确结论的序号为：①③.
故答案为：B
【分析】利用角平分线的定义及三角形内角和定理就可证得∠BAO+∠ABO=90°-∠C，再利用三角形内角和定理就可推出∠AOB=90°+∠C，可对①作出判断；利用三角形角平分线的定义及角平分线的性质，易证点O在∠ACB的角平分线上，再根据EF∥AB，可知E，F不一定是AC，BC的中点，可对②作出判断；再利用角平分线的性质，可证得点O到∠ACB的两边的距离相等，然后利用三角形的面积公式可推出S△CEF=OD（CE+CF），代入化简可对③作出判断.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定；角平分线的性质
【解析】【解答】由作图步骤可得： 是 的角平分线，
∴∠COE=∠DOE，
∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，
∴△COE≌△DOE，
∴∠CEO=∠DEO，
∵∠COE=∠DOE，OC=OD，
∴CM=DM，OM⊥CD，
∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE= ，
但不能得出 ，
故答案为：C．
【分析】根据题意可知，OE为∠AOB的角平分线，根据其性质证明△COE≌△DOE，根据三角形全等的性质证明四边形的面积公式即可。
6．【答案】 或 或 .
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵ ， ，
∴可以添加 ，此时满足SAS；
添加条件 ，此时满足ASA；
添加条件 ，此时满足AAS，
故答案为： 或 或 ；
【分析】根据三角形全等的判定定理，根据题意，添加几个合适的条件即可。
7．【答案】36
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：设∠A=x，
∵AD=BD， ∴∠ABD=∠A=x,
∴∠BDC=2x,
∵BD=BC ，
∴∠C=∠BDC=2x,
∵AB=AC ，
∴∠ABC=∠C=2x,
在△ABC中，x+2x+2x=180°，
∴x=36°即∠A=36°.
故答案为：36°.
【分析】设∠A=x,利用等边对等角可得∠ABD=∠A=x,利用三角形外角的性质可得∠BDC=2x,根据等边对等角可得∠C=∠BDC=2x,从而可得∠ABC=∠C=2x.根据三角形内角和定理列出方程，求出x值即可.
8．【答案】 解：连接AC，
在△ADC和△ABC中，
∴△ADC≌△ABC（SSS）
∴∠ECA=∠FCA
∵点E，F分别是DC、BC的中点，
∴2CE=DC，2CF=BC
∵DC=BC
∴CE=CF；
在△AEC和△AFC中，
∴△AEC≌△AFC（SAS）
∴AE=AF.
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】连接AC，图形中隐含公共边AC=AC，利用SSS证明△ADC≌△ABC，利用全等三角形的性质，易证∠ECA=∠FCA；再利用线段中点的定义，可证得CE=CF，利用SAS证明△AEC≌△AFC，然后利用全等三角形的性质，可证得结论。
9．【答案】证明:由题知DC∥AB，
则∠DCA=∠BAC，
又DE⊥AC，BF⊥AC
∠DEC=∠BFA=90°，
又DC=BA，
可得△DEC≌△BFA，
则DE=BF，
得证
【知识点】全等三角形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行线的性质，利用全等三角形的判定定理（AAS）和性质，可得出结论。
10．【答案】解：作图：连接AB
作出线段AB的垂直平分线
在矩形中标出点M的位置
【知识点】线段垂直平分线的性质；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】先做出线段AB的垂直平分线，然后以点C为圆心，以的长为半径画弧交垂直平分线于一点即为M.
11．【答案】（1）解：作图如图1所示，
（2）解：作图如图2所示，作图依据是：两点之间线段最短
【知识点】线段的性质：两点之间线段最短；作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】（1）连接AM，以点M为圆心，MA的长度为半径画弧，交直线l于点N，带你N就是所求的点；
（2）根据两点之间线段最短，故连接AB交直线l于点O，O就是所求的点。
12．【答案】（1）解：∵AB＝AC，
∴∠C＝∠ABC，
∵∠C＝36°，
∴∠ABC＝36°，
∵BD＝CD，AB＝AC，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∴∠BAD＝90°﹣36°＝54°
（2）证明：∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE＝∠CBE＝ ∠ABC，
∵EF∥BC，
∴∠FEB＝∠CBE，
∴∠FBE＝∠FEB，
∴FB＝FE.
【知识点】等腰三角形的性质
【解析】【分析】（1）根据等边对等角得出 ∠C＝∠ABC36°， 根据等腰三角形的三线合一得出 AD⊥BC， 故 ∠ADB＝90°， 从而根据直角三角形的两锐角互余算出∠BAD的度数；
（2）根据角平分线的定义得出 ∠ABE＝∠CBE，根据二直线平行内错角相等得出 ∠FEB＝∠CBE， 故 ∠FBE＝∠FEB， 根据等角对等边得出 FB＝FE.
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