初中数学华师大版八年级上学期 第14章 14.1.2 直角三角形的判定
一、单选题
1．（2019八下·中山期末）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1， ，2
【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+22=5≠32，故不符合题意；
B、22+32=13≠42，故不符合题意；
C、32+42=25≠62，故不符合题意；
D、12+ =4=22，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别判断得到答案即可。
2．（2019八上·江川期末）若三角形的三边长为下列各组数：①5，12，13；②11，12，15；③9，40，41；④15，20，25，则其中直角三角形有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①∵52+122＝169＝132，∴能组成直角三角形，不符合题意；②∵112+122＝265≠152＝225，∴不能组成直角三角形，不符合题意；③92+402＝1681＝412，∴能组成直角三角形，不符合题意；④152+202＝625＝252，∴能组成直角三角形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：a + b=c ,则这个三角形是直角三角形；据此作出判断即可.
3．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故答案为：B．
【分析】如图所示，根据作图可得AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，从而求出AB的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.
4．（2019八下·郾城期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中标有 、 、 、 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，
则 ,
因为
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH。
故答案为：D。
【分析】利用方格纸的特点，由勾股定理分别算出 2、 2、 2 、 2，通过观察即可得出，然后利用勾股定理的逆定理判断出AB、EF、GH三条线段能围城直角三角形。
二、解答题
5．（2019·广西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
【答案】证明：作AE⊥BC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在△ABC中，AB=AC，BE=CE。由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2，2AD2=BD2+CD2.2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE22AE2=BE2+CE2，AE=BE=CE.△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。
6．（2019八下·大连月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13.求证：BD⊥CB.
【答案】解：∵∠A=90°，AB=3，AD=4，
∴BD= ，
在△BCD中，
BD2+BC2=25+144=169=CD2，
∴∠DBC=90°
∴BD⊥CB
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在Rt △ABD中，利用勾股定理算出BD的长， 在△BCD中 ，利用勾股定理的逆定理判断出 ∠DBC=90° ，即 BD⊥CB 。
7．（2019·巴彦模拟）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．请你画出三个不同的直角三角形，并直接在网格下方写出其周长．
【答案】解：三角形如图所示
如图1，三角形的周长＝2 + ；
如图2，三角形的周长＝4 +2 ；
如图3，三角形的周长＝5 + ；
如图4，三角形的周长＝3 + ．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形可画出相应图形；再利用勾股定理可求出各边长，从而可求出其周长。
8．（2019八下·洛阳月考）如图所示的一块地,AD=8 m,CD=6 m,∠ADC=90°,AB=26 m,BC=24 m.求这块地的面积.
【答案】解:连接AC,则△ADC为直角三角形,
因为AD=8,CD=6,
所以AC=10.
在△ABC中,AC=10,BC=24,AB=26.
因为102+242=262,
所以△ABC也是直角三角形.
所以这块地的面积为S=S△ABC-S△ADC= AC·BC- AD·CD= ×10×24- ×8×6=120-24=96 m2.
所以这块地的面积为96 m2 .
故答案为：96 m2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
先连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求AC，进而求出AC2+BC2=AB2，利用勾股定理逆定理可证△ABC是直角三角形，再利用S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求地的面积．
9．（2019八上·宁县期中）如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长是多少？
【答案】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，
由勾股定理得：AC＝ ＝5，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，由勾股定理得：AB＝ ＝4.
故AB的长是4.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 在Rt△ACD中 ，利用勾股定理算出AC的长，进而 在Rt△ABC中 利用勾股定理即可算出AB的长。
三、综合题
10．（2019八下·水城期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5.
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求CD的长
【答案】（1）证明：∵122=144，52=25，132=169
∴52+122=132
即BD2+AD2=AB2
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
（2）解： ∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
在Rt△ADC中
CD2=AC2-AD2
CD=
CD=9
∴CD的长为9
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的三边满足较小两边的平方和等于最大的边的平方，故 △ABD是直角三角形 ，且 ∠ADB=90° 从而得出结论: AD⊥BC ;
（2） 在Rt△ADC中，利用勾股定理即可算出CD的长。
11．（2019八下·孝南月考）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，AD=
（1）求CD、BD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形
【答案】（1）解：在Rt△ACD中，CD= ;
在Rt△BCD中，BD=
（2）证明：AB=AD+BD= ，
∵AC2+BC2=42+32=25，
AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1） 在Rt△ACD中 ，利用勾股定理算出CD， 在Rt△BCD中 利用勾股定理算出BD；
（2）由 AC2+BC2=AB2， 利用勾股定理的逆定理，即可判断出 △ABC是直角三角形 ，且∠ACB=90°。
1 / 1初中数学华师大版八年级上学期 第14章 14.1.2 直角三角形的判定
一、单选题
1．（2019八下·中山期末）以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（ ）
A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，6 D．1， ，2
2．（2019八上·江川期末）若三角形的三边长为下列各组数：①5，12，13；②11，12，15；③9，40，41；④15，20，25，则其中直角三角形有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
3．（2019·益阳）已知M、N是线段AB上的两点，AM＝MN＝2，NB＝1，以点A为圆心，AN长为半径画弧；再以点B为圆心，BM长为半径画弧，两弧交于点C，连接AC，BC，则△ABC一定是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形
4．（2019八下·郾城期末）如图，在边长为1的正方形组成的网格图中标有 、 、 、 四条线段，其中能构成一个直角三角形三边的线段是（ ）
A． ， ， B． ， ，
C． ， ， D． ， ，
二、解答题
5．（2019·广西模拟）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任一点，且2AD2=BD2+CD2.求证：△ABC是直角三角形.
6．（2019八下·大连月考）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AB＝3，AD＝4，BC＝12，CD＝13.求证：BD⊥CB.
7．（2019·巴彦模拟）在数学活动课上，老师要求学生在5×5的正方形ABCD网格中（小正方形的边长为1）画直角三角形，要求三个顶点都在格点上，而且三边与AB或AD都不平行．请你画出三个不同的直角三角形，并直接在网格下方写出其周长．
8．（2019八下·洛阳月考）如图所示的一块地,AD=8 m,CD=6 m,∠ADC=90°,AB=26 m,BC=24 m.求这块地的面积.
9．（2019八上·宁县期中）如图，∠B＝∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，BC＝3，则AB的长是多少？
三、综合题
10．（2019八下·水城期末）如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，已知AB=13，AD=12，AC=15，BD=5.
（1）求证：AD⊥BC；
（2）求CD的长
11．（2019八下·孝南月考）如图所示，在△ABC中，CD⊥AB于D，AC=4，BC=3，AD=
（1）求CD、BD的长；
（2）求证：△ABC是直角三角形
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、12+22=5≠32，故不符合题意；
B、22+32=13≠42，故不符合题意；
C、32+42=25≠62，故不符合题意；
D、12+ =4=22，符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据勾股定理的逆定理，分别判断得到答案即可。
2．【答案】C
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】①∵52+122＝169＝132，∴能组成直角三角形，不符合题意；②∵112+122＝265≠152＝225，∴不能组成直角三角形，不符合题意；③92+402＝1681＝412，∴能组成直角三角形，不符合题意；④152+202＝625＝252，∴能组成直角三角形，不符合题意．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理的逆定理：a + b=c ,则这个三角形是直角三角形；据此作出判断即可.
3．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】如图所示，
AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，AB＝2+2+1＝5，
∴AC2+BC2＝AB2，
∴△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°，
故答案为：B．
【分析】如图所示，根据作图可得AC＝AN＝4，BC＝BM＝3，从而求出AB的长，根据勾股定理的逆定理可得△ABC是直角三角形.
4．【答案】D
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：设小正方形的边长为1，
则 ,
因为
所以能构成一个直角三角形三边的线段是AB、EF、GH。
故答案为：D。
【分析】利用方格纸的特点，由勾股定理分别算出 2、 2、 2 、 2，通过观察即可得出，然后利用勾股定理的逆定理判断出AB、EF、GH三条线段能围城直角三角形。
5．【答案】证明：作AE⊥BC于E，如图所示：由题意得：ED=BD-BE=CE-CD，在△ABC中，AB=AC，BE=CE。由勾股定理可得：AD2=AE2+DE2BD2+CD2=(BE+ED)2+(CE-DE)2=BE2+CE2+2DE2，2AD2=BD2+CD2.2AE2+2DE2=BE2+CE2+2DE22AE2=BE2+CE2，AE=BE=CE.△AEB与△AEC都是等腰直角三角形，∠BAE=∠CAE=45°，∠BAC=90°，△ABC是直角三角形.
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【分析】先把AD2的表达式表示出来，由此联想到勾股定理。为此构造直角三角形，作BC边上的高， AD2=AE2+DE2 ，再由勾股定理把BD2和CD2表示出来，比较2AD2与BD2和CD2之和，最后得到AE=BE=CE，据此判断△ABC是直角三角形。
6．【答案】解：∵∠A=90°，AB=3，AD=4，
∴BD= ，
在△BCD中，
BD2+BC2=25+144=169=CD2，
∴∠DBC=90°
∴BD⊥CB
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】在Rt △ABD中，利用勾股定理算出BD的长， 在△BCD中 ，利用勾股定理的逆定理判断出 ∠DBC=90° ，即 BD⊥CB 。
7．【答案】解：三角形如图所示
如图1，三角形的周长＝2 + ；
如图2，三角形的周长＝4 +2 ；
如图3，三角形的周长＝5 + ；
如图4，三角形的周长＝3 + ．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理的逆定理：
如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形可画出相应图形；再利用勾股定理可求出各边长，从而可求出其周长。
8．【答案】解:连接AC,则△ADC为直角三角形,
因为AD=8,CD=6,
所以AC=10.
在△ABC中,AC=10,BC=24,AB=26.
因为102+242=262,
所以△ABC也是直角三角形.
所以这块地的面积为S=S△ABC-S△ADC= AC·BC- AD·CD= ×10×24- ×8×6=120-24=96 m2.
所以这块地的面积为96 m2 .
故答案为：96 m2
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】
先连接AC，在Rt△ACD中，利用勾股定理可求AC，进而求出AC2+BC2=AB2，利用勾股定理逆定理可证△ABC是直角三角形，再利用S四边形ABCD=S△ABC-S△ACD，即可求地的面积．
9．【答案】解：在Rt△ACD中，∠ACD＝90°，AD＝13，CD＝12，
由勾股定理得：AC＝ ＝5，
在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝5，BC＝3，由勾股定理得：AB＝ ＝4.
故AB的长是4.
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】 在Rt△ACD中 ，利用勾股定理算出AC的长，进而 在Rt△ABC中 利用勾股定理即可算出AB的长。
10．【答案】（1）证明：∵122=144，52=25，132=169
∴52+122=132
即BD2+AD2=AB2
∴△ABD是直角三角形
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
（2）解： ∵AD⊥BC
∴∠ADC=90°
在Rt△ADC中
CD2=AC2-AD2
CD=
CD=9
∴CD的长为9
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理判断出△ABD的三边满足较小两边的平方和等于最大的边的平方，故 △ABD是直角三角形 ，且 ∠ADB=90° 从而得出结论: AD⊥BC ;
（2） 在Rt△ADC中，利用勾股定理即可算出CD的长。
11．【答案】（1）解：在Rt△ACD中，CD= ;
在Rt△BCD中，BD=
（2）证明：AB=AD+BD= ，
∵AC2+BC2=42+32=25，
AB2=52=25，
∴AC2+BC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1） 在Rt△ACD中 ，利用勾股定理算出CD， 在Rt△BCD中 利用勾股定理算出BD；
（2）由 AC2+BC2=AB2， 利用勾股定理的逆定理，即可判断出 △ABC是直角三角形 ，且∠ACB=90°。
1 / 1
