初中数学华师大版八年级上学期 第13章 13.5.3 角平分线
一、单选题
1．（2019八上·义乌月考）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点 D．△ABC 三条高所在直线的交点
2．（2019·湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
3．（2019·滨州）如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
4．（2019·大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
5．（2019·张家界）如图，在 中， ， ， ，BD平分 ，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（2019·岳阳）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
7．（2019八下·慈溪期末）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
二、填空题
8．（2019八下·赵县期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=2，CD=1，则AC的长是 。
9．（2019八上·获嘉月考）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有 对全等三角形.
三、综合题
10．（2019·济宁模拟）如图，点 和点 在 内部．
（1）请你作出点 ，使点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC的三个角的角平分线的交点处，
故答案为：C
【分析】抓住关键的已知条件：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，根据三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案。
2．【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：延长BA,过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，如图，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥BE，CD=4，
∴DE=DC=4,
又∵AB=6，BC=9，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，
= ·AB·DE+ ·BC·CD，
= ×6×4+ ×9×4，
=12+18，
=30.
故答案为：B.
【分析】延长BA,过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，根据角平分线性质得DE=DC=4,由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，代入数据计算即可得出答案.
3．【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
4．【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
∵BE是∠ABC的平分线
CE是外角∠ACM的平分线
∠EBM=∠ABC
∠ECM=∠ACM
则∠BEC=∠ECM-∠EBM=（∠ACM-∠ABC）=30°
故答案为：B.
【分析】根据角平分线与外角的性质，进行角度计算。
5．【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作 于E，
， ，
，
，BD平分 ，
，
即点D到AB的距离为2，
故答案为：C．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据题意首先计算CD的长度，根据角平分线的性质得到答案即可。
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠ABE＝∠EBC＝25°，
∵BE∥DC，
∴∠EBC＝∠C＝25°.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质，即可得到∠ABE和∠EBC的度数，根据平行的性质，得到∠C的度数即可。
7．【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，
∠DEM=180°-∠BED=180°-140°=40°，
∵BP平分∠ABC，
∴DM=DN，
又∵DE=DF，
∴Rt△DME≌△DNF（HL），
∴∠BFD=∠MED=40°；
故答案为：A.
【分析】作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N， 构造三角形全等；由角平分线性质定理得DM=DN，结合DE=DF，利用斜边直角边定理证明Rt△DME≌△DNF，从而对应角相等，∠BFD=∠MED=40°。
8．【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】做DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=CD=1，
设AC=AE=x，AB=
BE=-X
在Rt△DEB中，BE=,
=+X
解得x=
【分析】根据角平分线以及勾股定理的性质，可列出方程，解出即可。
9．【答案】3
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质定理得出PE=PF，∠1=∠2，从而利用SAS判断出△AOP≌△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出AP=BP，进而利用AAS判断出△EOP≌△FOP，接着利用HL判断得出Rt△AEP≌Rt△BFP，综上所述即可得出答案。
10．【答案】（1）解：如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等；
（2）解：理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以连接MN，先作出MN的垂直平分线；根据到角两边的距离相等在角的垂直平分线上，再作出∠AOB的角平分线，两条显得交点即为点P.
（2）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
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一、单选题
1．（2019八上·义乌月考）如图是一块三角形的草坪，现要在草坪上建一凉亭供大家休息，要使凉亭到草坪三条边的距离相等，凉亭的位置应选在（ ）
A．△ABC 的三条中线的交点 B．△ABC 三边的中垂线的交点
C．△ABC 三条角平分线的交点 D．△ABC 三条高所在直线的交点
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：∵ 要使凉亭到草坪三条边的距离相等，角平分线上的点到角两边的距离相等，
∴凉亭的位置应选在△ABC的三个角的角平分线的交点处，
故答案为：C
【分析】抓住关键的已知条件：要使凉亭到草坪三条边的距离相等，根据三角形角平分线上的点到角两边的距离相等，即可得到答案。
2．（2019·湖州）如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是（ ）
A．24 B．30 C．36 D．42
【答案】B
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：延长BA,过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，如图，
∵BD平分∠ABC，DC⊥BC，DE⊥BE，CD=4，
∴DE=DC=4,
又∵AB=6，BC=9，
∴S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，
= ·AB·DE+ ·BC·CD，
= ×6×4+ ×9×4，
=12+18，
=30.
故答案为：B.
【分析】延长BA,过点D作DE⊥BA交其延长线于点E，根据角平分线性质得DE=DC=4,由S四边形ABCD=S△ABD+S△BCD，代入数据计算即可得出答案.
3．（2019·滨州）如图，在 和 中， ，连接 交于点 ，连接 ．下列结论：① ；② ；③ 平分 ；④ 平分 ．其中正确的个数为（ ）．
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】B
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
解：∵ ，
∴ ，
即 ，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，①符合题意；
∴ ，
由三角形的外角性质得：
∴ °，②符合题意；
作 于 ， 于 ，如图所示：
则 °，
在 和 中， ，
∴ ，
∴ ，
∴ 平分 ，④符合题意；
正确的个数有3个；
故答案为：B．
【分析】根据“SAS”可证△AOC≌△BOD，利用全等三角形的性质，可得∠OCA=∠ODB，AC=BD，据此判断①；根据三角形内角和定理，可得∠OAC=∠OBD，根据三角形的外角性质，可得∠AMB=∠AOB=40°，据此判断②；作 于 ， 于 ，根据“AAS”可证△OCG≌△ODH，即可OG=OH，利用到角两边距离相等的点在角的平分线上，可得MO平分∠BMC，据此判断③④；
4．（2019·大庆）如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A=60°，则∠BEC是（ ）
A．15° B．30° C．45° D．60°
【答案】B
【知识点】三角形的外角性质；角平分线的性质
【解析】【解答】
∵BE是∠ABC的平分线
CE是外角∠ACM的平分线
∠EBM=∠ABC
∠ECM=∠ACM
则∠BEC=∠ECM-∠EBM=（∠ACM-∠ABC）=30°
故答案为：B.
【分析】根据角平分线与外角的性质，进行角度计算。
5．（2019·张家界）如图，在 中， ， ， ，BD平分 ，则点D到AB的距离等于（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】如图，过点D作 于E，
， ，
，
，BD平分 ，
，
即点D到AB的距离为2，
故答案为：C．
【分析】过点D作DE⊥AB于点E，根据题意首先计算CD的长度，根据角平分线的性质得到答案即可。
6．（2019·岳阳）如图，已知BE平分∠ABC，且BE∥DC，若∠ABC＝50°，则∠C的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．50°
【答案】B
【知识点】平行线的性质；角平分线的性质
【解析】【解答】∵BE平分∠ABC，∠ABC＝50°，
∴∠ABE＝∠EBC＝25°，
∵BE∥DC，
∴∠EBC＝∠C＝25°.
故答案为：B.
【分析】根据角平分线的性质，即可得到∠ABE和∠EBC的度数，根据平行的性质，得到∠C的度数即可。
7．（2019八下·慈溪期末）如图，BP平分∠ABC，D为BP上一点，E，F分别在BA，BC上，且满足DE＝DF，若∠BED＝140°，则∠BFD的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N，
∠DEM=180°-∠BED=180°-140°=40°，
∵BP平分∠ABC，
∴DM=DN，
又∵DE=DF，
∴Rt△DME≌△DNF（HL），
∴∠BFD=∠MED=40°；
故答案为：A.
【分析】作DM⊥BA于M，DN⊥BC于N， 构造三角形全等；由角平分线性质定理得DM=DN，结合DE=DF，利用斜边直角边定理证明Rt△DME≌△DNF，从而对应角相等，∠BFD=∠MED=40°。
二、填空题
8．（2019八下·赵县期末）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠BAC与BC相交于点D，若BD=2，CD=1，则AC的长是 。
【答案】
【知识点】角平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】做DE⊥AB，
∵AD平分∠BAC，
∴DE=CD=1，
设AC=AE=x，AB=
BE=-X
在Rt△DEB中，BE=,
=+X
解得x=
【分析】根据角平分线以及勾股定理的性质，可列出方程，解出即可。
9．（2019八上·获嘉月考）如图，OP平分∠MON，PE⊥OM于点E，PF⊥ON于点F，OA＝OB，则图中有 对全等三角形.
【答案】3
【知识点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质
【解析】【解答】解：OP平分∠MON，PE⊥OM于E，PF⊥ON于F，
∴PE=PF，∠1=∠2，
在△AOP与△BOP中，
，
∴△AOP≌△BOP，
∴AP=BP，
在△EOP与△FOP中，
，
∴△EOP≌△FOP，
在Rt△AEP与Rt△BFP中，
，
∴Rt△AEP≌Rt△BFP，
∴图中有3对全等三角形，
故答案为：3.
【分析】根据角平分线的性质定理得出PE=PF，∠1=∠2，从而利用SAS判断出△AOP≌△BOP，根据全等三角形的对应边相等得出AP=BP，进而利用AAS判断出△EOP≌△FOP，接着利用HL判断得出Rt△AEP≌Rt△BFP，综上所述即可得出答案。
三、综合题
10．（2019·济宁模拟）如图，点 和点 在 内部．
（1）请你作出点 ，使点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等（保留作图痕迹，不写作法）；
（2）请说明作图理由．
【答案】（1）解：如图，作∠AOB的角平分线与线段MN的垂直平分线交于P点，即点 到点 和点 的距离相等，且到 两边的距离也相等；
（2）解：理由：角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；作图-角的平分线；作图-线段垂直平分线
【解析】【分析】（1）根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，所以连接MN，先作出MN的垂直平分线；根据到角两边的距离相等在角的垂直平分线上，再作出∠AOB的角平分线，两条显得交点即为点P.
（2）根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等、直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
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