初中数学北师大版九年级下学期 第一章 1.3 三角函数的计算
一、单选题
1．用科学计算器求sin 9°的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．sin9= B．9sin= C．sin9 D．9sin
2．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2018·淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
4．已知β为锐角，且tan β=3.387，则β约等于（ ）
A．73°33' B．73°27' C．16°27' D．16°21'
二、填空题
5．先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
6．（2017·碑林模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3 ，则AC的长为 ．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）
三、解答题
7．（2019·北京模拟）某商场为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，BC=0.5 m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说得对 请你判断并计算出符合题意的结果.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.325)
四、综合题
8．（2019·呼和浩特）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西 方向，距离甲地 ，丙地位于乙地北偏东 方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点 ，可抽象成右图所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长 （结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
9．如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
10．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：
（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：计算器上有“sin”这个按键，按完后再按9，即可。
故答案为：A。
【分析】需要对科学计算器上的键比较熟悉。
2．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
3．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15，再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
4．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
5．【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【分析】利用计算器分别算出几个角的正切值，即可比较其大小，根据几个角的正切函数即可发现：正切函数的函数值随锐角度数的增大而增大。
6．【答案】8.16
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan 42≈0.9004，
=0.9004，
AC≈8.16，
故答案为：8.16．
【分析】先用计算器求得tan 42的值，然后依据tan∠A=求解即可.
7．【答案】解：在△ABD中，∠ABD=90°，∠BAD=18°，BA=10，
∵tan∠BAD= ，∴BD=10×tan18°.
∴CD=BD-BC=10×tan18°-0.5≈2.8(m).
在△ABD中，∠CDE=90°-∠BAD=72°.
∵CE⊥ED，∴∠DCE=18°.∴cos∠DCE=
∴CE=CD×cos∠DCE=2.8×cos18°≈2.7(m).
∵2.7m<2.8m，且CE⊥AE，∴小亮说得对.
因此，小亮说得对，CE为2.7m.
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】小亮说得对。已知 AB⊥BD ，∠BAD=18°， BC=0.5 m ，即可利用三角函数值求出BD的长度， CD=BD-BC ，在△CDE中，再次利用三角函数值即可求出CE的长度。
8．【答案】解：过点 作 于点 ，
丙地位于甲地北偏西 方向，距离甲地 ，
在 中， ，
．
．
丙地位于乙地北偏东 方向，
在 中， ，
．
．
答：公路 的长为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 过点 作 于点 ，由题意得∠ACD=30°，在直角三角形ACD中，根据特殊三角函数值，求出AD，CD。在直角三角形BDC中，由题意得∠CBD=23°，利用正切函数，即可求出BD。从而得到AB。
9．【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
10．【答案】（1）解：作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中， ，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69
（2）解：∵在Rt△ACH中， ，
∴AH=AC cosA=9cos48°，
∴在Rt△BCH中， ，
∴∠B≈73°32′．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；（2）在Rt△ACH中，利用cosA可求AH，在Rt△BCH中，利用tanB= ，易求其值，再利用计算器求反三角函数即可．
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一、单选题
1．用科学计算器求sin 9°的值，以下按键顺序正确的是（ ）
A．sin9= B．9sin= C．sin9 D．9sin
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：计算器上有“sin”这个按键，按完后再按9，即可。
故答案为：A。
【分析】需要对科学计算器上的键比较熟悉。
2．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
3．（2018·淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15，再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
4．已知β为锐角，且tan β=3.387，则β约等于（ ）
A．73°33' B．73°27' C．16°27' D．16°21'
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
二、填空题
5．先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【分析】利用计算器分别算出几个角的正切值，即可比较其大小，根据几个角的正切函数即可发现：正切函数的函数值随锐角度数的增大而增大。
6．（2017·碑林模拟）在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=42°，BC=3 ，则AC的长为 ．（用科学计算器计算，结果精确到0.01）
【答案】8.16
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan 42≈0.9004，
=0.9004，
AC≈8.16，
故答案为：8.16．
【分析】先用计算器求得tan 42的值，然后依据tan∠A=求解即可.
三、解答题
7．（2019·北京模拟）某商场为缓解“停车难”问题，拟建造地下停车库，如图是该地下停车库坡道入口的设计示意图，其中，AB⊥BD，∠BAD=18°，C在BD上，BC=0.5 m.根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以便告知驾驶员所驾车辆能否安全驶入.小明认为CD的长就是所限制的高度，而小亮认为应该以CE的长作为限制的高度.小明和小亮谁说得对 请你判断并计算出符合题意的结果.(结果精确到0.1 m，参考数据：sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.325)
【答案】解：在△ABD中，∠ABD=90°，∠BAD=18°，BA=10，
∵tan∠BAD= ，∴BD=10×tan18°.
∴CD=BD-BC=10×tan18°-0.5≈2.8(m).
在△ABD中，∠CDE=90°-∠BAD=72°.
∵CE⊥ED，∴∠DCE=18°.∴cos∠DCE=
∴CE=CD×cos∠DCE=2.8×cos18°≈2.7(m).
∵2.7m<2.8m，且CE⊥AE，∴小亮说得对.
因此，小亮说得对，CE为2.7m.
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【分析】小亮说得对。已知 AB⊥BD ，∠BAD=18°， BC=0.5 m ，即可利用三角函数值求出BD的长度， CD=BD-BC ，在△CDE中，再次利用三角函数值即可求出CE的长度。
四、综合题
8．（2019·呼和浩特）如图，已知甲地在乙地的正东方向，因有大山阻隔，由甲地到乙地需要绕行丙地．已知丙地位于甲地北偏西 方向，距离甲地 ，丙地位于乙地北偏东 方向，现要打通穿山隧道，建成甲乙两地直达高速公路，如果将甲、乙、丙三地当作三个点 ，可抽象成右图所示的三角形，求甲乙两地之间直达高速线路的长 （结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）．
【答案】解：过点 作 于点 ，
丙地位于甲地北偏西 方向，距离甲地 ，
在 中， ，
．
．
丙地位于乙地北偏东 方向，
在 中， ，
．
．
答：公路 的长为
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣方向角问题
【解析】【分析】 过点 作 于点 ，由题意得∠ACD=30°，在直角三角形ACD中，根据特殊三角函数值，求出AD，CD。在直角三角形BDC中，由题意得∠CBD=23°，利用正切函数，即可求出BD。从而得到AB。
9．如图：
（1）已知sinα+cosα= ，求sinαcosα.
（2）已知α为锐角，tanα=2，求 的值.
【答案】（1）解：把已知式子两边同时平方，得(sin α+cos α)2= ，
sin 2α+2sin αcos α+cos 2α= ，∴2sin αcos α= -1= ，sin αcos α= .
（2）解： = =7.
【知识点】同角三角函数的关系
【解析】【分析】（1）根据sin 2α+cos 2α=1，可考虑将sinα+cosα= 两边平方，再将sin 2α+cos 2α=1代入即可求得sinαcosα.
（2）中不含tanα，由tanα=，可将分式中的分子分母同时除以cosα，可转化为tanα的代数式，代入值即可求得。
10．已知：如图，在△ABC中，AB=8，AC=9，∠A=48°．
求：
（1）AB边上的高（精确到0.01）；
（2）∠B的度数（精确到1′）．
【答案】（1）解：作AB边上的高CH，垂足为H，
∵在Rt△ACH中， ，
∴CH=AC sinA=9sin48°≈6.69
（2）解：∵在Rt△ACH中， ，
∴AH=AC cosA=9cos48°，
∴在Rt△BCH中， ，
∴∠B≈73°32′．
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【分析】（1）作AB边上的高CH，垂足为H，在Rt△ACH中，利用sinA可求CH；（2）在Rt△ACH中，利用cosA可求AH，在Rt△BCH中，利用tanB= ，易求其值，再利用计算器求反三角函数即可．
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