初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.3.2 用计算器求锐角三角函数值
一、单选题
1．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2018·淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
3．在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，用科学计算器求∠A约等于（ ）
A．24°38' B．65°22' C．67°23' D．22°37'
4．已知β为锐角，且tan β=3.387，则β约等于（ ）
A．73°33' B．73°27' C．16°27' D．16°21'
二、填空题
5．（2019·乐山）如图，在△ 中， ， ， .则 边的长为 .
6．（2019·徐汇模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cosB＝ ，则 ＝ ．
7．先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
8．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，展开后，若AB∶BC=4∶5，则∠CFD≈ .(精确到0.01°)
三、解答题
9．（2019·通辽）两栋居民楼之间的距离 ，楼 和 均为10层，每层楼高为 ．上午某时刻，太阳光线 与水平面的夹角为30°，此刻楼 的影子会遮挡到楼 的第几层？（参考数据： ， ）
四、综合题
10．（2019·山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)
（1）任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m.
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
（3）任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
2．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15，再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
3．【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13
则sin A=.
则∠A≈22°37'
故答案为：D.
【分析】由sin A=求出sinA的值，再根据“反三角函数”的按键求出∠A的值。
4．【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
5．【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】过A作AD⊥BC于D点，
∵ ，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD= .
【分析】根据三角函数的定义，已知cosC=，故过A作AD⊥BC于D点。根据已知条件得CD，利用勾股定理得AD。在直角三角形ADB中 ，利用特殊角三角函数值即可求出AB。
6．【答案】 .
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵cosB＝ ，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝ ＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴ ，
∴ ，
∴BE＝ x，CE＝ x，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC。已知 cosB＝ ，设未知数将各边表示出来，即BD＝5x，AB＝13x，从而BC=10x.根据勾股定理得AD=12x。根据两角对应相等两三角形相似定理， △ABD∽△CBE。对应边对应成比例，，即而将BE与CE用x表示出来。S△EDC= S△EBC，从而得S△BED= S△EBC。所以 可以用带有未知数x的各边长表示出来。写出三角形面积公式，即可求出比值。
7．【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【分析】利用计算器分别算出几个角的正切值，即可比较其大小，根据几个角的正切函数即可发现：正切函数的函数值随锐角度数的增大而增大。
8．【答案】53.13°
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由折叠可知，CB=CF.矩形ABCD中，AB=CD，sin ∠CFD= = = .再用计算器求∠CFD≈53.13°.
【分析】在Rt△CDF中，不难得出sin∠CFD==，然后再利用计算器上的反三角函数上的按键有，一种是在三角函数前面加“arc”，一种是在三角函数的“-1”次幂。
9．【答案】解：设太阳光线 交 于点 ，过 作 于 ，
由题意知， ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，所以在四层的上面，即第五层，
答：此刻楼 的影子会遮挡到楼 的第5层．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意设太阳光线 GB 交 AC 于点 F ，过 F 作 于 H。在直角三角形BHF中，利用正切函数值，可求出BH。即可得FC=13，已知每层楼的高度，故求得此时F点在5楼高度上。
10．【答案】（1）5.5
（2）解：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=x m，
在Rt△DEG中，∠DEC=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°= ，∴ ，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°= ，∴CE= ，
∵CD=CE-DE，
∴ ，
∴ ，
∴GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7m
（3）解：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【知识点】矩形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：
任务一： =5.5(m)，
故答案为：5.5；
【分析】（1）根据平均值的定义求解即可
（2）根据矩形的性质，得AB=CD，EH=AC。在直角三角形中， EG=x m ，利用三角函数，求出EC，ED。由 CD=CE-DE ，求解x。即可求出学校旗杆GH的高度。
（3）开放性答案。
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.3.2 用计算器求锐角三角函数值
一、单选题
1．（2019·威海）如图，一个人从山脚下的 点出发，沿山坡小路 走到山顶 点．已知坡角为 ，山高 千米．用科学计算器计算小路 的长度，下列按键顺序正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】在 中， ，
∴ ，
∴按键顺序为： .
故答案为：A．
【分析】在△ABC中，利用解直角三角形可得，可得AB=，然后利用计算器的按键功能判断即可.
2．（2018·淄博）一辆小车沿着如图所示的斜坡向上行驶了100米，其铅直高度上升了15米．在用科学计算器求坡角α的度数时，具体按键顺序是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：sinA= ，
所以用科学计算器求这条斜道倾斜角的度数时，按键顺序为，
故答案为：A．
【分析】根据正弦函数的定义，由sinA==0.15，再根据科学计算器的使用方法即可得出答案。
3．在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，用科学计算器求∠A约等于（ ）
A．24°38' B．65°22' C．67°23' D．22°37'
【答案】D
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13
则sin A=.
则∠A≈22°37'
故答案为：D.
【分析】由sin A=求出sinA的值，再根据“反三角函数”的按键求出∠A的值。
4．已知β为锐角，且tan β=3.387，则β约等于（ ）
A．73°33' B．73°27' C．16°27' D．16°21'
【答案】A
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由计算可得β≈ 73.55° =73°33'
故答案为：A。
【分析】考查计算器的用法；需要用到“arctan”这个键。
二、填空题
5．（2019·乐山）如图，在△ 中， ， ， .则 边的长为 .
【答案】
【知识点】锐角三角函数的定义；计算器—三角函数
【解析】【解答】过A作AD⊥BC于D点，
∵ ，AC=2
∴CD=
在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=
又∵∠B=30°
∴AB=2AD= .
【分析】根据三角函数的定义，已知cosC=，故过A作AD⊥BC于D点。根据已知条件得CD，利用勾股定理得AD。在直角三角形ADB中 ，利用特殊角三角函数值即可求出AB。
6．（2019·徐汇模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，CE⊥AB于点E，cosB＝ ，则 ＝ ．
【答案】 .
【知识点】等腰三角形的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90°，
∵cosB＝ ，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝ ＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90°，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴ ，
∴ ，
∴BE＝ x，CE＝ x，
∴ ，
故答案为： ．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得AD⊥BC。已知 cosB＝ ，设未知数将各边表示出来，即BD＝5x，AB＝13x，从而BC=10x.根据勾股定理得AD=12x。根据两角对应相等两三角形相似定理， △ABD∽△CBE。对应边对应成比例，，即而将BE与CE用x表示出来。S△EDC= S△EBC，从而得S△BED= S△EBC。所以 可以用带有未知数x的各边长表示出来。写出三角形面积公式，即可求出比值。
7．先用计算器求：tan20°≈ ，tan40°≈ ，tan60°≈ ，tan80°≈ ，再按从小到大的顺序用“＜”把tan20°，tan40°，tan60°，tan80°连接起来： ．归纳：正切值，角大值 ．
【答案】0.3640；0.8391；1.7321；5.6713；tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°；大
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：tan20°≈0.3640，
tan40°≈0.8391，
tan60°≈1.7321，
tan80°≈5.6713，
tan20°＜tan40°＜tan60°＜tan80°，
大．
【分析】利用计算器分别算出几个角的正切值，即可比较其大小，根据几个角的正切函数即可发现：正切函数的函数值随锐角度数的增大而增大。
8．如图，将一张矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上，设此点为F，展开后，若AB∶BC=4∶5，则∠CFD≈ .(精确到0.01°)
【答案】53.13°
【知识点】计算器—三角函数
【解析】【解答】解：由折叠可知，CB=CF.矩形ABCD中，AB=CD，sin ∠CFD= = = .再用计算器求∠CFD≈53.13°.
【分析】在Rt△CDF中，不难得出sin∠CFD==，然后再利用计算器上的反三角函数上的按键有，一种是在三角函数前面加“arc”，一种是在三角函数的“-1”次幂。
三、解答题
9．（2019·通辽）两栋居民楼之间的距离 ，楼 和 均为10层，每层楼高为 ．上午某时刻，太阳光线 与水平面的夹角为30°，此刻楼 的影子会遮挡到楼 的第几层？（参考数据： ， ）
【答案】解：设太阳光线 交 于点 ，过 作 于 ，
由题意知， ， ， ，
在 中， ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，所以在四层的上面，即第五层，
答：此刻楼 的影子会遮挡到楼 的第5层．
【知识点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】根据题意设太阳光线 GB 交 AC 于点 F ，过 F 作 于 H。在直角三角形BHF中，利用正切函数值，可求出BH。即可得FC=13，已知每层楼的高度，故求得此时F点在5楼高度上。
四、综合题
10．（2019·山西）某“综合与实践”小组开展了测量本校旗杆高度的实践活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间完成了实地测量.他们在旗杆底部所在的平地上，选取两个不同测点，分别测量了该旗杆顶端的仰角以及这两个测点之间的距离.为了减小测量误差，小组在测量仰角的度数以及两个测点之间的距离时，都分别测量了两次并取它们的平均值作为测量结果，测量数据如下表(不完整)
（1）任务一：两次测量A，B之间的距离的平均值是 m.
（2）任务二：根据以上测量结果，请你帮助“综合与实践”小组求出学校学校旗杆GH的高度.
(参考数据：sin25.7°≈0.43，cos25.7°≈0.90，tan25.7°≈0.48，sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60)
（3）任务三：该“综合与实践”小组在定制方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量旗杆的高度”的方案，但未被采纳.你认为其原因可能是什么？(写出一条即可).
【答案】（1）5.5
（2）解：由题意可得：四边形ACDB，四边形ACEH都是矩形，
∴EH=AC=1.5，CD=AB=5.5，
设EG=x m，
在Rt△DEG中，∠DEC=90°，∠GDE=31°，
∵tan31°= ，∴ ，
在Rt△CEG中，∠CEG=90°，∠GCE=25.7°，
∵tan25.7°= ，∴CE= ，
∵CD=CE-DE，
∴ ，
∴ ，
∴GH=CE+EH=13.2+1.5=14.7，
答：旗杆GH的高度为14.7m
（3）解：答案不唯一：没有太阳光，旗杆底部不可到达，测量旗杆影子的长度遇到困难等.
【知识点】矩形的性质；计算器—三角函数；平均数及其计算
【解析】【解答】解：
任务一： =5.5(m)，
故答案为：5.5；
【分析】（1）根据平均值的定义求解即可
（2）根据矩形的性质，得AB=CD，EH=AC。在直角三角形中， EG=x m ，利用三角函数，求出EC，ED。由 CD=CE-DE ，求解x。即可求出学校旗杆GH的高度。
（3）开放性答案。
1 / 1
