初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.1 测量
一、单选题
1．（2019·巴中）如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
2．（2019·枣庄）如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
3．（2019·平房模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A．24m B．22m C．20m D．18m
4．（2019九上·桂林期末）现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2019·白山模拟）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米.
6．（2019·通州模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为 尺．
7．（2019·武汉模拟）如图，在四边形 中， ， ， ， ，若在线段 上取一点 ，使得以 为顶点的三角形和以 为顶点的三角形相似，则这样的 点有 个．
8．（2019·长春模拟）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为 m.
三、解答题
9．（2019·萍乡模拟）如图，操场上有一根旗杆AH.为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度
四、综合题
10．（2018九上·兴化月考）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t.
（1）用含t的代数式表示：AP= ，AQ= .
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ，由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
2．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 、 ，且 为 边的中线，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
，
，
则 ，即 ，
解得 或 （舍），
故答案为： ．
【分析】仔细分析题意容易得到，，根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可以得到，由此可得到答案。
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得： ．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝ CD＝6m．
又∵ ．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）
答：铁塔的高度为24m．
故答案为：A．
【分析】作辅助线DF⊥CD，FG⊥AB将AB分成两部分，根据投影的性质推出小明在E点影子与身高的比等于△FDE中DF：DE，以此计算出DF的长度，同理，小华站在平地上影子与身高的比等于△AGF中AG：GF，计算出AG即可算出AB的长度。
4．【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BC∥ED，
∴△ABC∽△AED，
.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得出答案.
5．【答案】6.4
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知： ，
解得：树高=6.4米.
【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子、物体、经过物体顶部的太阳光所构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质，可求出结果。
6．【答案】57.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，AB与BC交于点F，
由题意得△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，即5：AD=0.4：5，
解得：AD=62.5（尺），
则BD=AD－AB=62.5－5=57.5（尺）
故答案为57.5.
【分析】如图，设AB与BC交于点F，根据平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△ADE，由相似三角形的对应边成比例可得AB：AD=BF：DE，从中求出AD，j进而可求BD的长，即井深 .
7．【答案】3
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】设PA=x．
∵AB=7，AD=2，BC=3，∴BP=AB﹣AP=7﹣x．
∵在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，∴当 时，△PAD∽△PBC，即 ，解得：x ；
当 时，△PAD∽△CBP，即 ，解得：x=1或x=6．
综上所述：P点有3个．
故答案为：3．
【分析】设PA=x，根据BP=AB﹣AP=7﹣x，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，①故当 时，△PAD∽△PBC，②当 时，△PAD∽△CBP，从而根据比例式列出方程求解得出x的值，综上所述即可得出答案。
8．【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据题意得：
解得 x=12
则旗杆的高度为12米。
【分析】根据在同一时刻的日光下物高与影长成正比例列出比例式，解出x的值即可。
9．【答案】解：∵CB∥AH， ED∥AH
∴△FBC∽△FHA，△GDE∽△FHA
∴ ，
即
解得 ， 经检验是原方程的解。
答：旗杆AH的高度为24m。
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据平行可证
△FBC∽△FHA，△GDE∽△FHA，利用相似三角形的性质可得 ， ，从而可得
，代入相应数据先求出BH的长，从而求出AH的长.
10．【答案】（1）2t；16﹣3t
（2）解：∵∠PAQ=∠BAC，
∴当 时，△APQ∽△ABC，即 ，解得
当 时，△APQ∽△ACB，即 ，解得t=4.
∴运动时间为 秒或4秒.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）由题意得：AP=2t；AQ=AC-CQ=16-3t。
【分析】（1）由题意根据AP=时间×速度、AQ=AC-CQ（CQ=时间×速度）可求解；
（2）由题意可分两种情况讨论求解：
①当可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当可得关于t的方程，解方程即可求解；综合两种情况即可求解.
1 / 1初中数学华师大版九年级上学期 第24章 24.1 测量
一、单选题
1．（2019·巴中）如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ，由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
2．（2019·枣庄）如图，将 沿 边上的中线 平移到 的位置．已知 的面积为16，阴影部分三角形的面积9．若 ，则 等于（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】 、 ，且 为 边的中线，
， ，
将 沿 边上的中线 平移得到 ，
，
，
则 ，即 ，
解得 或 （舍），
故答案为： ．
【分析】仔细分析题意容易得到，，根据相似三角形的判定可得，根据相似三角形的性质可以得到，由此可得到答案。
3．（2019·平房模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A．24m B．22m C．20m D．18m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得： ．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝ CD＝6m．
又∵ ．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）
答：铁塔的高度为24m．
故答案为：A．
【分析】作辅助线DF⊥CD，FG⊥AB将AB分成两部分，根据投影的性质推出小明在E点影子与身高的比等于△FDE中DF：DE，以此计算出DF的长度，同理，小华站在平地上影子与身高的比等于△AGF中AG：GF，计算出AG即可算出AB的长度。
4．（2019九上·桂林期末）现有一个测试距离为5m的视力表(如图)，根据这个视力表，小华想制作一个测试距离为3m的视力表，则图中的 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：如图，
∵BC∥ED，
∴△ABC∽△AED，
.
故答案为：D.
【分析】根据相似三角形的判定和性质即可得出答案.
二、填空题
5．（2019·白山模拟）如图，身高1.6米的小丽在阳光下的影长为2米，在同一时刻，一棵大树的影长为8米，则这棵树的高度为 米.
【答案】6.4
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：由题可知： ，
解得：树高=6.4米.
【分析】根据在同一时刻物高与影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子、物体、经过物体顶部的太阳光所构成的两个直角三角形相似，利用相似三角形的性质，可求出结果。
6．（2019·通州模拟）“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为 尺．
【答案】57.5
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，AB与BC交于点F，
由题意得△ABF∽△ADE，
∴AB：AD=BF：DE，即5：AD=0.4：5，
解得：AD=62.5（尺），
则BD=AD－AB=62.5－5=57.5（尺）
故答案为57.5.
【分析】如图，设AB与BC交于点F，根据平行于三角形一边的直线和其它两边相交，所构成的三角形与原三角形相似可得△ABF∽△ADE，由相似三角形的对应边成比例可得AB：AD=BF：DE，从中求出AD，j进而可求BD的长，即井深 .
7．（2019·武汉模拟）如图，在四边形 中， ， ， ， ，若在线段 上取一点 ，使得以 为顶点的三角形和以 为顶点的三角形相似，则这样的 点有 个．
【答案】3
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】设PA=x．
∵AB=7，AD=2，BC=3，∴BP=AB﹣AP=7﹣x．
∵在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，∴当 时，△PAD∽△PBC，即 ，解得：x ；
当 时，△PAD∽△CBP，即 ，解得：x=1或x=6．
综上所述：P点有3个．
故答案为：3．
【分析】设PA=x，根据BP=AB﹣AP=7﹣x，在直角梯形ABCD中，∠A=∠B=90°，①故当 时，△PAD∽△PBC，②当 时，△PAD∽△CBP，从而根据比例式列出方程求解得出x的值，综上所述即可得出答案。
8．（2019·长春模拟）如图，身高是1.6m的某同学直立于旗杆影子的顶端处，测得同一时刻该同学和旗杆的影子长分别为1.2m和9m.则旗杆的高度为 m.
【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设旗杆的高度为xm，根据题意得：
解得 x=12
则旗杆的高度为12米。
【分析】根据在同一时刻的日光下物高与影长成正比例列出比例式，解出x的值即可。
三、解答题
9．（2019·萍乡模拟）如图，操场上有一根旗杆AH.为测量它的高度，在B和D处各立一根高1.5米的标杆BC、DE，两杆相距30米，测得视线AC与地面的交点为F，视线AE与地面的交点为G，并且H、B、F、D、G都在同一直线上，测得BF为3米，DG为5米，求旗杆AH的高度
【答案】解：∵CB∥AH， ED∥AH
∴△FBC∽△FHA，△GDE∽△FHA
∴ ，
即
解得 ， 经检验是原方程的解。
答：旗杆AH的高度为24m。
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据平行可证
△FBC∽△FHA，△GDE∽△FHA，利用相似三角形的性质可得 ， ，从而可得
，代入相应数据先求出BH的长，从而求出AH的长.
四、综合题
10．（2018九上·兴化月考）如图，△ABC中，AB=8厘米，AC=16厘米，点P从A出发，以每秒2厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒3厘米的速度向A运动，其中一个动点到端点时，另一个动点也相应停止运动，设运动的时间为t.
（1）用含t的代数式表示：AP= ，AQ= .
（2）当以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似时，求运动时间是多少？
【答案】（1）2t；16﹣3t
（2）解：∵∠PAQ=∠BAC，
∴当 时，△APQ∽△ABC，即 ，解得
当 时，△APQ∽△ACB，即 ，解得t=4.
∴运动时间为 秒或4秒.
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的应用
【解析】【解答】（1）由题意得：AP=2t；AQ=AC-CQ=16-3t。
【分析】（1）由题意根据AP=时间×速度、AQ=AC-CQ（CQ=时间×速度）可求解；
（2）由题意可分两种情况讨论求解：
①当可得关于t的方程，解方程即可求解；
②当可得关于t的方程，解方程即可求解；综合两种情况即可求解.
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