初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.6 利用相似三角形测高
一、单选题
1．（2019·巴中）如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ，由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
2．（2019·长春模拟）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（ ）
A． B． C．11m D．
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得，设AB＝x米，代入对应数据，求出x值即可.
3．（2019·平房模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A．24m B．22m C．20m D．18m
【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得： ．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝ CD＝6m．
又∵ ．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）
答：铁塔的高度为24m．
故答案为：A．
【分析】作辅助线DF⊥CD，FG⊥AB将AB分成两部分，根据投影的性质推出小明在E点影子与身高的比等于△FDE中DF：DE，以此计算出DF的长度，同理，小华站在平地上影子与身高的比等于△AGF中AG：GF，计算出AG即可算出AB的长度。
4．（2019九上·秀洲期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直距离 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴AB∥CD
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD，根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似得出△AOB∽△COD，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可算出CD的长。
5．（2019九上·嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=3：2，则PM的长为（ ）
A．60mm B． mm C．20mm D． mm
【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设AD与PM交于点H
PM：PQ=3：2
设PM=3x，PQ=2x
由题意可知PQ=HD=2x，则AH=80-2x
∵矩形ABCD
∴PM∥BC
∴
解之：x=20
∴PM=3x=3×20=60mm
故答案为：A
【分析】由PM：PQ=3：2，设PM=3x，PQ=2x，根据题意用含x的代数式表示出AH的长，再利用矩形的性质，可证得PM∥BC，就可证得△APM∽△ABC，利用相似三角形的对应边的比等于对应边上的高之比，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可求出PM的长。
6．（2018九上·襄汾期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC。∴△EAB∽△EDC。∴ 。
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴ ，解得：AB＝40（m）。
故答案为：B。
【分析】先根据已知条件判定△EAB∽△EDC，再根据相似三角形的性质得，然后将BE、EC、CD的值代入，解所得比例方程即可求得AB的值。
二、解答题
7．（2019·西安模拟）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．
【答案】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝5.4．
经检验，x＝5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意可知△MEA、△DEC都是等腰直角三角形，设EC＝CD＝x米， 由CD∥BN 可得， △ABN∽△ACD， 根据相似三角形的对应边成比例即可求出路灯的高CD的长．
8．（2019·周至模拟）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度.
【答案】解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴ ＝ ，
同理可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得BD＝6，
∴ ＝ ，
解得AB＝5.1.
答：路灯杆AB高5.1m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得CD∥AB， 由平行于三角形一边的直线截其它两边，所构成的三角形与原三角形相似可得△CDF∽△ABF， 利用相似三角形的对应边成比例可得 ＝ ，同理可得 ＝ ，利用等量代换求出 ＝ ，把已知条件代入求出BD＝6， 再根据 ＝ 即可求路灯杆AB的高度.
9．（2019·紫金模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高。
【答案】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴ ，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴ ，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）
答：树高为 5.5 米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据两角相等的两个三角形相似，可得
△DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得
，代入数据计算即得BC的长，由
AB＝AC+BC ，即可求出树高.
三、综合题
10．（2019·台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD
（1）求 的值
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由.
【答案】（1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴
∴
∴.x2=4-2x
x2+2x-4=0
∵x>0
∴x=
∴
（2）解：在CD上截取DH=AF，
∵AF=DH，∠PAF=∠D=90°，AP=FD，
∴△PAF≌△FDH ( SAS )
∴PF=FH，
∴AD=CD，AF=DH
∴FD=CH=AP=-1
∵点E是AB中点，
∴BE=AE=1= EM
∴PE=PA+AE=
∴C2=BE2+BC2=1+4=5，
∴EC=
∴EC=PE，CM=-1
∴∠P=∠ECP
∴AP∥ CD
∴∠P=∠PCD
∴∠ECP=∠PCD，且CM=CH=-1， CF=CF
∴△FCM≌△FCH ( SAS )
∴FM=FH
∴FM=PF
（3）解：点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上，理由如下，
若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，
∵EN⊥AB， AE= BE
∴AQ=BQ=AP=-1
由旋转的性质可得AQ=AQ'=-1，AB=AB'=2，Q'B'=QB=-1，
∵点B (0，-2)，点N (2，-1 )
∴直线BN解析式为y=x-2
设点B’(x，x-2)
∴AB'=，
∴x=，
∴点B'（，），
∵点Q'（，0）
∴B'Q'=，
∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设AP=x，则FD=x，AF=2-x，由正方形性质得AB∥CD，再由平行线截线段成比例得 ，即 ，解之得x= -1，将x值代入 即可得 的值.
（2）在CD上截取DH=AF，由"SAS”可证△PAF≌△HDF，可得PF=FH，由勾股定理可求CE=EP=，可得CM=CH=-1，由“SAS"可证△FCM≌△FCH，可得FM=FH=PF ；
（3）以A原点， AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法可求BN解析式，即可求B'坐标，计算B'Q'的长度，即可判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上.
1 / 1初中数学北师大版九年级上学期 第四章 4.6 利用相似三角形测高
一、单选题
1．（2019·巴中）如图 ABCD，F为BC中点，延长AD至E，使 ，连结EF交DC于点G，则 ＝（ ）
A．2：3 B．3：2 C．9：4 D．4：9
2．（2019·长春模拟）如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行.张强扛着箱子(人与箱子的总高度约为2.2m)乘电梯刚好安全通过，请你根据图中数据回答，两层楼之间的高约为（ ）
A． B． C．11m D．
3．（2019·平房模拟）如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影DE留在坡面上．已知铁塔底座宽CD＝12 m，塔影长DE＝18 m，小明和小华的身高都是1.6m，同一时刻，小明站在点E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m和1m，那么塔高AB为（ ）
A．24m B．22m C．20m D．18m
4．（2019九上·秀洲期末）学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置 绕 点旋转到 位置，已知 ， ，垂足分别为 ， ， ， ， ，则栏杆 端应下降的垂直距离 为（ ）
A． B． C． D．
5．（2019九上·嘉兴期末）如图，有一块三角形余料ABC，BC=120mm，高线AD=80mm，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC上，点P，M分别在AB，AC上，若满足PM：PQ=3：2，则PM的长为（ ）
A．60mm B． mm C．20mm D． mm
6．（2018九上·襄汾期中）如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上。若测得BE=20m，EC=10m，CD=20m，则河的宽度AB等于（ ）
A．60m B．40m C．30m D．20m
二、解答题
7．（2019·西安模拟）一天晚上，李明利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当在点A处放置标杆时，李明测得直立的标杆高AM与影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处放置同一个标杆，测得直立标杆高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB＝1.2m，已知标杆直立时的高为1.8m，求路灯的高CD的长．
8．（2019·周至模拟）如图，河对岸有一路灯杆AB，在灯光下，小亮在点D处测得自己的影长DF＝3m，沿BD方向从D后退4米到G处，测得自己的影长GH＝5，如果小亮的身高为1.7m，求路灯杆AB的高度.
9．（2019·紫金模拟）如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边DE=0.4m，EF=0.2m，测得边DF离地面的高度AC=1.5m，CD=8m，求树高。
三、综合题
10．（2019·台州）如图，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是BA延长线上的一点，连接PC交AD于点F，AP=FD
（1）求 的值
（2）如图1，连接EC，在线段EC上取一点M，使EM=EB，连接MF，求证MF=PF；
（3）如图2，过点E作EN⊥CD于点N，在线段EN上取一点Q，使AQ=AP，连接BQ，BN.将△AQB绕点A旋转，使点Q旋转后的对应点Q'落在边AD上.请判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上，并说明理由.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设 ，
∵ ，
∴ ，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ ， ，
∵点F是BC的中点，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
故答案为：D．
【分析】设 ，仔细审题再结合平行四边形的性质可将CF表示出来，再根据相似三角形的判定易证 ，由相似三角形的性质中相似三角形面积的比等于相似比的平方，可求出结论
2．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】如图，作DE⊥FC于点E，
∴△ABC∽△CED，∴ .
设AB＝x米，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.∴ ，解得x＝5.5.故答案为：A.
【分析】如图，作DE⊥FC于点E，由题意得DE＝6米，EF＝2.2米.根据两角相等的两个三角形相似，可证△ABC∽△CED，利用相似三角形的对应边成比例，可得，设AB＝x米，代入对应数据，求出x值即可.
3．【答案】A
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：过D作DF⊥CD，交AE于点F，过F作FG⊥AB，垂足为G．
由题意得： ．
∴DF＝DE×1.6÷2＝14.4（m）．
∴GF＝BD＝ CD＝6m．
又∵ ．
∴AG＝1.6×6＝9.6（m）．
∴AB＝14.4+9.6＝24（m）
答：铁塔的高度为24m．
故答案为：A．
【分析】作辅助线DF⊥CD，FG⊥AB将AB分成两部分，根据投影的性质推出小明在E点影子与身高的比等于△FDE中DF：DE，以此计算出DF的长度，同理，小华站在平地上影子与身高的比等于△AGF中AG：GF，计算出AG即可算出AB的长度。
4．【答案】C
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵ ， ，
∴AB∥CD
∴△AOB∽△COD，
∴
∵AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m，
∴ .
故答案为：C.
【分析】根据同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行得出AB∥CD，根据平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截得的三角形与原三角形相似得出△AOB∽△COD，根据相似三角形对应边成比例得出，根据比例式即可算出CD的长。
5．【答案】A
【知识点】相似三角形的判定与性质；相似三角形的应用
【解析】【解答】解：设AD与PM交于点H
PM：PQ=3：2
设PM=3x，PQ=2x
由题意可知PQ=HD=2x，则AH=80-2x
∵矩形ABCD
∴PM∥BC
∴
解之：x=20
∴PM=3x=3×20=60mm
故答案为：A
【分析】由PM：PQ=3：2，设PM=3x，PQ=2x，根据题意用含x的代数式表示出AH的长，再利用矩形的性质，可证得PM∥BC，就可证得△APM∽△ABC，利用相似三角形的对应边的比等于对应边上的高之比，建立关于x的方程，解方程求出x的值，就可求出PM的长。
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】∵AB⊥BC，CD⊥BC，∴AB∥DC。∴△EAB∽△EDC。∴ 。
又∵BE=20m，EC=10m，CD=20m，∴ ，解得：AB＝40（m）。
故答案为：B。
【分析】先根据已知条件判定△EAB∽△EDC，再根据相似三角形的性质得，然后将BE、EC、CD的值代入，解所得比例方程即可求得AB的值。
7．【答案】解：设CD长为x米，
∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA，
∴MA∥CD∥BN，
∴EC＝CD＝x米，
∴△ABN∽△ACD，
∴ ＝ ，即 ，
解得：x＝5.4．
经检验，x＝5.4是原方程的解，
∴路灯高CD为5.4米．
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】由题意可知△MEA、△DEC都是等腰直角三角形，设EC＝CD＝x米， 由CD∥BN 可得， △ABN∽△ACD， 根据相似三角形的对应边成比例即可求出路灯的高CD的长．
8．【答案】解：∵CD⊥BF，AB⊥BF，
∴CD∥AB，
∴△CDF∽△ABF，
∴ ＝ ，
同理可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得BD＝6，
∴ ＝ ，
解得AB＝5.1.
答：路灯杆AB高5.1m.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行可得CD∥AB， 由平行于三角形一边的直线截其它两边，所构成的三角形与原三角形相似可得△CDF∽△ABF， 利用相似三角形的对应边成比例可得 ＝ ，同理可得 ＝ ，利用等量代换求出 ＝ ，把已知条件代入求出BD＝6， 再根据 ＝ 即可求路灯杆AB的高度.
9．【答案】解：∵∠DEF＝∠DCB＝90°，∠D＝∠D，
∴△DEF∽△DCB
∴ ，
∵DE＝0.4m，EF＝0.2m，CD＝8m，
∴ ，
∴CB＝4（m），
∴AB＝AC+BC＝1.5+4＝5.5（米）
答：树高为 5.5 米.
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【分析】根据两角相等的两个三角形相似，可得
△DEF∽△DCB ，利用相似三角形的对边成比例，可得
，代入数据计算即得BC的长，由
AB＝AC+BC ，即可求出树高.
10．【答案】（1）解：设AP=x，则FD=x，AF=2-x
∵在正方形ABCD中，AB∥CD
∴
∴
∴.x2=4-2x
x2+2x-4=0
∵x>0
∴x=
∴
（2）解：在CD上截取DH=AF，
∵AF=DH，∠PAF=∠D=90°，AP=FD，
∴△PAF≌△FDH ( SAS )
∴PF=FH，
∴AD=CD，AF=DH
∴FD=CH=AP=-1
∵点E是AB中点，
∴BE=AE=1= EM
∴PE=PA+AE=
∴C2=BE2+BC2=1+4=5，
∴EC=
∴EC=PE，CM=-1
∴∠P=∠ECP
∴AP∥ CD
∴∠P=∠PCD
∴∠ECP=∠PCD，且CM=CH=-1， CF=CF
∴△FCM≌△FCH ( SAS )
∴FM=FH
∴FM=PF
（3）解：点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上，理由如下，
若点B'在BN上，如图，以A原点，AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，
∵EN⊥AB， AE= BE
∴AQ=BQ=AP=-1
由旋转的性质可得AQ=AQ'=-1，AB=AB'=2，Q'B'=QB=-1，
∵点B (0，-2)，点N (2，-1 )
∴直线BN解析式为y=x-2
设点B’(x，x-2)
∴AB'=，
∴x=，
∴点B'（，），
∵点Q'（，0）
∴B'Q'=，
∴点B旋转后的对应点B'不落在线段BN上.
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设AP=x，则FD=x，AF=2-x，由正方形性质得AB∥CD，再由平行线截线段成比例得 ，即 ，解之得x= -1，将x值代入 即可得 的值.
（2）在CD上截取DH=AF，由"SAS”可证△PAF≌△HDF，可得PF=FH，由勾股定理可求CE=EP=，可得CM=CH=-1，由“SAS"可证△FCM≌△FCH，可得FM=FH=PF ；
（3）以A原点， AB为y轴，AD为x轴建立平面直角坐标系，用待定系数法可求BN解析式，即可求B'坐标，计算B'Q'的长度，即可判断点B旋转后的对应点B'是否落在线段BN上.
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