初中数学华师大版八年级上学期 第14章 14.1.3 反证法
一、单选题
1．（2019八下·南山期中）用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：首先要假设原命题的结论不成立，即”每一个内角都小于60°“.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明命题时，首先要假设原命题的结论不成立。
2．（2019八下·吴兴期末）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60度”时，应假设（ ）
A．每一个内角都大于60度 B．每一个内角都小于60度
C．有一个内角大于60度 D．有一个内角小于60度
【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60度”时，应先假设三角形中每个内角都不小于或等于60°，即大于60°；
故答案为：A.
【分析】反证法证明时，先作出与求证结论相反的假设；然后将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；最后得出结论，说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
二、填空题
3．（2019八下·郑州期末）命题“一个三角形中至少有两个锐角”是真命题用反证法证明该命题时,第一步应先假设 .
【答案】一个三角形中最多有一个锐角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：第一步应先假设：一个三角形中最多有一个锐角.
故答案为：一个三角形中最多有一个锐角.
【分析】用反证法证明一个命题的第一步就是假设原命题的反面成立，故假设 一个三角形中最多有一个锐角即可。
4．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： .
【答案】AB∥CD
【知识点】反证法
【解析】【解答】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD。
故答案为：AB∥CD.
【分析】利用反证法进行证明时，第一个步骤是假设结论成立，即AB和CD平行。
5．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
6．反证法：先假设命题的 不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 的结果，从而证明命题的结论 成立，这种证明方法称为反证法.
【答案】结论；矛盾；一定
【知识点】反证法
【解析】【解答】解 ：反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
故答案为 ：结论； 矛盾；一定。
【分析】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，基本事实，已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明得方法称为反证法。
7．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设求证的结论不成立，那么 ，
∴∠A+∠B+∠C＞ ，
这与三角形 相矛盾．
∴假设不成立
∴ ．
【答案】三角形中所有角都大于60°；；180°；；的三内角和为180°；；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形的三内角和为180°相矛盾．
∴假设不成立，
∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
三、解答题
8．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
【答案】解：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，
∴∠1=∠2.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】选择两个条件作为题设，即为已知条件；另外一个条件为结论，即为证明的结论。根据任选的题设和结论进行证明即可。
9．（2019·巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证： ；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
【答案】解：①证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在△AEC与△BCD中，
∴ ．
∴ ；
②解：由①知：
∴
．
又∵
．
∴ ．
整理，得 ．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）、根据题意结合三角形全等的判定定理易证 ，根据全等三角形的性质：对应边相等，即可。
（2）、直接根据直角梯形的面积公式表示出
由因为 ，从而得到
，整理可得出结论。
四、综合题
10．（2019八下·中山期末）如图，已知等腰三角形 的底边 长为10，点 是 上的一点，其中 。
（1）求证： ；
（2）求 的长。
【答案】（1）证明：∵
∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴
（2）解：设 为 ，则
∵ ，
∴ ，
在 中
，即 ，
解得
∴ .
故答案为：(1)见解析；(2) .
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可计算得到△BDC为直角三角形，根据其性质得到答案。
（2）可以设AB为x，在三角形ABD中，根据勾股定理计算得到答案即可。
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一、单选题
1．（2019八下·南山期中）用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，首先应假设这个三角形中（ ）
A．有一个内角大于60° B．有一个内角小于60°
C．每一个内角都大于60° D．每一个内角都小于60°
2．（2019八下·吴兴期末）用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60度”时，应假设（ ）
A．每一个内角都大于60度 B．每一个内角都小于60度
C．有一个内角大于60度 D．有一个内角小于60度
二、填空题
3．（2019八下·郑州期末）命题“一个三角形中至少有两个锐角”是真命题用反证法证明该命题时,第一步应先假设 .
4．如图，直线AB、CD被直线EF所截，∠1、∠2是同位角，如果∠1≠∠2，那么AB与CD不平行．用反证法证明这个命题时，应先假设： .
5．用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程归纳为以下三个步骤：
①∠A＋∠B＋∠C＝90°＋90°＋∠C>180°，这与三角形内角和为180°相矛盾，则∠A＝∠B＝90°不成立；②所以一个三角形中不能有两个直角；③假设∠A，∠B，∠C中有两个角是直角，不妨设∠A＝∠B＝90°.正确顺序的序号排列为
6．反证法：先假设命题的 不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相 的结果，从而证明命题的结论 成立，这种证明方法称为反证法.
7．用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于60°”．
已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的内角．求证：∠A，∠B，∠C中至少有一个内角小于或等于60°．
证明：假设求证的结论不成立，那么 ，
∴∠A+∠B+∠C＞ ，
这与三角形 相矛盾．
∴假设不成立
∴ ．
三、解答题
8．如图，直线AB和直线CD，直线BE和直线CF都被直线BC所截．在下面三个条件中，请你选择其中两个作为题设，剩下的一个作为结论，组成一个真命题并证明．
①AB⊥BC，CD⊥BC，②BE∥CF，③∠1＝∠2.
9．（2019·巴中）如图，等腰直角三角板如图放置．直角顶点C在直线m上，分别过点A、B作AE⊥直线m于点E，BD⊥直线m于点D．
①求证： ；
②若设△AEC三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理．
四、综合题
10．（2019八下·中山期末）如图，已知等腰三角形 的底边 长为10，点 是 上的一点，其中 。
（1）求证： ；
（2）求 的长。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：首先要假设原命题的结论不成立，即”每一个内角都小于60°“.
故答案为：D.
【分析】用反证法证明命题时，首先要假设原命题的结论不成立。
2．【答案】A
【知识点】反证法
【解析】【解答】解： 用反证法证明命题“三角形中必有一个内角小于或等于60度”时，应先假设三角形中每个内角都不小于或等于60°，即大于60°；
故答案为：A.
【分析】反证法证明时，先作出与求证结论相反的假设；然后将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；最后得出结论，说明反设不成立，从而肯定原命题成立。
3．【答案】一个三角形中最多有一个锐角
【知识点】反证法
【解析】【解答】解：第一步应先假设：一个三角形中最多有一个锐角.
故答案为：一个三角形中最多有一个锐角.
【分析】用反证法证明一个命题的第一步就是假设原命题的反面成立，故假设 一个三角形中最多有一个锐角即可。
4．【答案】AB∥CD
【知识点】反证法
【解析】【解答】利用假设法来进行证明时，首先假设结论成立，即应先假设AB∥CD。
故答案为：AB∥CD.
【分析】利用反证法进行证明时，第一个步骤是假设结论成立，即AB和CD平行。
5．【答案】③①②
【知识点】反证法
【解析】【解答】由反证法证明的步骤知，先反证即③，再推出矛盾即①，最后作出判断，肯定结论即②，即顺序应为③①②
【分析】根据反证法的步骤，首先假设结论不成立，其次用已学的知识或已知条件得到与假设或已学的知识或已知条件相矛盾的结论，那么原命题成立。所以正确顺序的序号排列③①②。
6．【答案】结论；矛盾；一定
【知识点】反证法
【解析】【解答】解 ：反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法称为反证法.
故答案为 ：结论； 矛盾；一定。
【分析】反证法：先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义，基本事实，已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明得方法称为反证法。
7．【答案】三角形中所有角都大于60°；；180°；；的三内角和为180°；；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度
【知识点】反证法
【解析】【解答】证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°，
∴∠A+∠B+∠C＞180°，
这与三角形的三内角和为180°相矛盾．
∴假设不成立，
∴三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
故答案为：三角形中所有角都大于60°；180°；的三内角和为180°；三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度．
【分析】根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立．
8．【答案】解：已知：如图，AB⊥BC、CD⊥BC，BE∥CF.
求证：∠1=∠2.
证明：∵AB⊥BC、CD⊥BC，
∴∠ABC=∠DCB，
又∵BE∥CF，
∴∠EBC=∠FCB，
∴∠ABC ∠EBC=∠DCB ∠FCB，
∴∠1=∠2.
【知识点】真命题与假命题
【解析】【分析】选择两个条件作为题设，即为已知条件；另外一个条件为结论，即为证明的结论。根据任选的题设和结论进行证明即可。
9．【答案】解：①证明：∵ ，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
在△AEC与△BCD中，
∴ ．
∴ ；
②解：由①知：
∴
．
又∵
．
∴ ．
整理，得 ．
【知识点】三角形全等的判定；勾股定理的证明
【解析】【分析】（1）、根据题意结合三角形全等的判定定理易证 ，根据全等三角形的性质：对应边相等，即可。
（2）、直接根据直角梯形的面积公式表示出
由因为 ，从而得到
，整理可得出结论。
10．【答案】（1）证明：∵
∵ 为直角三角形，
∴ ，
∴
（2）解：设 为 ，则
∵ ，
∴ ，
在 中
，即 ，
解得
∴ .
故答案为：(1)见解析；(2) .
【知识点】勾股定理的证明；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理，即可计算得到△BDC为直角三角形，根据其性质得到答案。
（2）可以设AB为x，在三角形ABD中，根据勾股定理计算得到答案即可。
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