2022高考数学终极押题密卷（天津卷）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（天津卷）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 498.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 09:40:48 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷1（天津卷）
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）（2022 河北区一模）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则集合A∩（ UB）＝（ ）
A．{1} B．{2} C．{1，2，5} D．{1，2，3，4}
2．（5分）（2021秋 东宝区校级期中）设a，b∈R，则“”是“a＞b＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）（2022 和平区一模）函数f（x）的部分图像如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2021春 河东区期末）总体的样本数据的频率分布直方图如图所示总体中50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，则a，b的估计值为（ ）
A． B． C．22， D．
5．（5分）（2021秋 魏县校级期末）设a＝log54，则，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
6．（5分）（2021春 红桥区校级期中）一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（ ）
A．3cm B．9cm C．12cm D．6cm
7．（5分）（2020 河东区校级模拟）已知3a＝4b＝12，则a，b不可能满足的关系是（ ）
A．a+b＞4 B．ab＞4
C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2 D．a2+b2＜3
8．（5分）（2022 宁河区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，|OM|＝|OF2|，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2022 河南模拟）已知函数，若函数f（x）在[0，+∞）内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）（2022 宁河区校级模拟）已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z对应点的坐标为 ．
11．（5分）（2022 宁河区校级模拟）二项式的展开式中，常数项是 ．
12．（5分）（2022 河北区一模）经过点P（5，5）的直线l被圆C：x2+y2＝25截得的弦长为，则直线l的方程为 ．
13．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）设m＞n＞0，那么的最小值是 ．
14．（5分）（2021 和平区模拟）某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束．根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，则乙战胜甲的概率是 ；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是 ．
15．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝90°，|AB|＝2，|BC|＝2，|AD|＜|BC|，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影向量的模为2，则 ；设M为线段CD上的动点，则的最小值为 ．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）（2021 天津模拟）已知△ABC中，角c的对边分别为a，b，c，3bcosC+2csinCsinB＝0．
（1）求角C；
（2）若，，求a+b的值．
（3）若，，求．
17．（15分）（2022 宁河区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点，PA＝2．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面PCD与平面PBC夹角．
18．（15分）（2022 天津模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点、下顶点分别为A、B，离心率，坐标原点O到直线AB的距离为，过F2且斜率为k（k≠0）的直线l与C交于P，Q两点．
（1）求C的标准方程；
（2）令P，Q的中点为N，若存在点M（m，0）（m），使得MN⊥PQ，求k的取值范围．
19．（15分）（2022 滨海新区校级模拟）已知正项等差数列{an}与等比数列{bn}满足a1＝1，b2＝4，且a2既是a1+b1和b3﹣a3的等差中项，又是其等比中项．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn，其中k∈N*，求数列{cn}的前2n项和S2n；
（3）令cn，求证．
20．（16分）（2022 河西区校级模拟）已知函数f（x）＝axalnx（a＞0），g（x）＝xex．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；
（2）证明：g（x）≥lnx+x+1；
（3）若f（x）≤g（x）对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．
2022高考数学终极押题密卷1（天津卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）（2022 河北区一模）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则集合A∩（ UB）＝（ ）
A．{1} B．{2} C．{1，2，5} D．{1，2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】求出B的补集，从而求出A∩（ UB）即可．
【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，
∴ UB＝{1，5}
∴A∩（ UB）＝{1}，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算，考查集合的交集，并集问题，是基础题．
2．（5分）（2021秋 东宝区校级期中）设a，b∈R，则“”是“a＞b＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】不等关系与不等式；充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由题意结合不等式的性质，充要条件的判断即可求解．
【解答】解：由a＞b＞1可以得到a﹣1＞b﹣1＞0，所以0，所以必要性成立，
但是不一定可以得到a＞b＞1，比如b＞1＞a．所以充分性不成立，
所以“”是“a＞b＞1”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了必要不充分条件的应用，考查了学生的运算推理能力，属于基础题．
3．（5分）（2022 和平区一模）函数f（x）的部分图像如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．
【分析】根据图象确定函数的定义域，根据定义域进行判断即可．
【解答】解：由图象可知，函数的定义域为{x|x≠±1}，
A．f（x）的定义域为{x|x≠1}，不满足条件．
C．f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，不满足条件．
D．f（x）的定义域为R，不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据图象确定函数的定义域，利用排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
4．（5分）（2021春 河东区期末）总体的样本数据的频率分布直方图如图所示总体中50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，则a，b的估计值为（ ）
A． B． C．22， D．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；概率与统计；数据分析．
【分析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b的值．
【解答】解：由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12，
则a＝18+4，
由于0.08+0.32+0.36＝0.76，
则b＝22+4，
故选：D．
【点评】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
5．（5分）（2021秋 魏县校级期末）设a＝log54，则，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数的单调性得到b＜a＜1，再利用指数函数的单调性得到c＞1，可得到答案．
【解答】解：∵log53，a＝log54＜log55＝1，
∴b＜a＜1，
∵c＝0.5﹣0.2＞0.50＝1，
∴b＜a＜c，
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）（2021春 红桥区校级期中）一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（ ）
A．3cm B．9cm C．12cm D．6cm
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱台的结构特征．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】设圆台的母线长为y，圆台的上下底面半径分别是x、4x，利用相似知识，即可求出圆台的母线长．
【解答】解：如图，设圆台的母线长为y，
因为圆台的上下底面半径的比是1：4，
所以可设圆台的上下底面半径分别是x、4x，
根据相似三角形的性质得，
解此方程得y＝9．
所以圆台的母线长为9cm．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力，属于基础题．
7．（5分）（2020 河东区校级模拟）已知3a＝4b＝12，则a，b不可能满足的关系是（ ）
A．a+b＞4 B．ab＞4
C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2 D．a2+b2＜3
【考点】对数的运算性质；指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据3a＝4b＝12即可得出a＝1+log34，b＝1+log43，根据log34 log43＝1，log34+log43＞2即可判断出选项A，B，C都错误，只能选D．
【解答】解：∵3a＝4b＝12；
∴a＝log312＝1+log34，b＝log412＝1+log43；
∴a+b＝2+log34+log43＞4，ab＝2+log34+log43＞4，
2log34 log43＝2；
∵a＞2；
∴a2+b2＞4；
∴D错误．
故选：D．
【点评】考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：，和不等式a2+b2≥2ab的应用．
8．（5分）（2022 宁河区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，|OM|＝|OF2|，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】根据双曲线的定义、几何性质及直角三角形的判定即可解决．
【解答】解：因为|OF1|＝|OF2|，|OM|＝|OF2|，
所以在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，
所以∠F1MF2＝90°．因为，
所以可设|MF1|＝3m，|MF2|＝2m（m＞0），
则（3m）2+（2m）2＝4c2，解得，
所以，．
由双曲线的定义得，
所以双曲线的离心率．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
9．（5分）（2022 河南模拟）已知函数，若函数f（x）在[0，+∞）内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】分析可知a＞0，对实数a的取值进行分类讨论，确定函数f（x）在[a，+∞）上的零点个数，然后再确定函数f（x）在[0，a）上的零点个数，可得出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围．
【解答】解：当a≤0时，对任意的x≥0，f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a2+2在[0，+∞）上至多2个零点，不合乎题意，所以，a＞0．
函数y＝x2﹣（2a+1）x+a2+2的对称轴为直线．
所以，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，且f（a）＝2﹣a．
①当Δ＝4a﹣7＜0时，即当时，则函数f（x）在[a，+∞）上无零点，
所以，函数在[0，a）上有5个零点，
当0≤x＜a时，，则，
由题意可得﹣5π＜（1﹣2a）π≤﹣4π，解得，此时a不存在；
②当Δ＝0时，即当时，函数f（x）在上只有一个零点，
当时，f（x）＝﹣2cos2πx，则，则函数f（x）在上只有3个零点，
此时，函数f（x）在[0，+∞）上的零点个数为4，不合题意；
③当时，即当时，函数f（x）在[a，+∞）上有2个零点，
则函数在[0，a）上有3个零点，
则﹣3π＜（1﹣2a）π≤﹣2π，解得，此时；
④当时，即当a＞2时，函数f（x）在[a，+∞）上有1个零点，
则函数在[0，a）上有4个零点，
则﹣4π＜（1﹣2a）π≤﹣3π，解得，此时，．
综上所述，实数a的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）（2022 宁河区校级模拟）已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z对应点的坐标为 （1，﹣2） ．
【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求得复数z对应点的坐标．
【解答】解：由z（1+2i）＝|4﹣3i|，
得z
1﹣2i．
∴复数z对应点的坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
11．（5分）（2022 宁河区校级模拟）二项式的展开式中，常数项是 7 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，进而可以求解．
【解答】解：展开式的常数项为Tr+1＝CC，
令0，解得r＝2，
所以展开式的常数项为C7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12．（5分）（2022 河北区一模）经过点P（5，5）的直线l被圆C：x2+y2＝25截得的弦长为，则直线l的方程为 2x﹣y﹣5＝0或x﹣2y+5＝0 ．
【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】设出直线的方程，由条件根据弦长公式求得弦心距，再利用点到直线的距离公式求出弦心距，求得k的值，可得直线的方程．
【解答】解：由题意可得，直线的斜率存在，
设为k，则直线的方程为y﹣5＝k（x﹣5），即 kx﹣y+5﹣5k＝0．
再根据弦长公式求得弦心距为．
再利用点到直线的距离公式可得，解得k＝2或k，
故l的方程是2x﹣y﹣5＝0或x﹣y0．
故答案为：2x﹣y﹣5＝0或x﹣2y+5＝0．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
13．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）设m＞n＞0，那么的最小值是 8 ．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：m＞n＞0，则8，
当且仅当m﹣n＝n且，即m＝1，n时取等号．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
14．（5分）（2021 和平区模拟）某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束．根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，则乙战胜甲的概率是 ；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是 ．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】由互斥事件的概率公式，求出乙战胜甲的概率；设甲得分不少于2为事件A，由对立事件的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，
所以乙战胜甲的概率为1；
由甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，
设甲得分不少于2为事件A，则表示乙胜或甲负且甲乙和，
故P（），
所以甲得分不少于2分的概率是P（A）＝1﹣P（）．
故答案为：；．
【点评】本题考查了概率公式的应用，主要考查了互斥事件的概率公式以及对立事件的概率公式的应用，属于中档题．
15．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝90°，|AB|＝2，|BC|＝2，|AD|＜|BC|，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影向量的模为2，则 6 ；设M为线段CD上的动点，则的最小值为 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学建模；数学运算．
【分析】建立平面直角坐标系，设点D，利用坐标法，结合“向量在向量上的投影向量的模为2”求出及D的坐标，
再设点M，然后结合数量积的运算建立函数模型求出最值．
【解答】解：建立如右图的平面直角坐标系，根据题意可得：
A（0，2），B（0，0），C（，0），
E（0，1），设D（t，2），，
又2，
∴2，∴2，又，
∴6，又由图可知，
∴6；
∴6，∴，∴，∴D，
又M为线段CD上的动点，∴设，λ∈[0，1]，
∴，
又，，∴，，
∴2λ（3λ﹣2），λ∈[0，1]，
∴当λ时，取得最小值，
故答案为：6；．
【点评】本题考查投影向量，数量积及坐标运算，函数模型求最值，属中档题．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）（2021 天津模拟）已知△ABC中，角c的对边分别为a，b，c，3bcosC+2csinCsinB＝0．
（1）求角C；
（2）若，，求a+b的值．
（3）若，，求．
【考点】正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及同角平方关系进行化简可求cosC，进而可求C；
（2）由已知结合三角形面积公式可求ab，然后结合余弦定理即可求解；
（3）结合正弦定理先求sinA，然后可求cosA，结合二倍角公式及两角和的正弦公式可求．
【解答】解：（1）由正弦定理及3bcosC+2csinCsinB＝0得3sinBcosC+2sinCsinCsinB＝0．
因为sinB＞0，
所以3cosC+2sin2C＝0，即3cosC+2﹣2cos2C＝0，
解得cosC或cosC＝2（舍），
由C为三角形内角得C；
（2）因为S△ABC，
所以ab＝4，
因为c＝2，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，即12＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝（a+b）2﹣4，
所以a+b＝4；
（3）由正弦定理得，
所以sinA，cosA，
故sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝1﹣2sin2A，
所以．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．（15分）（2022 宁河区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点，PA＝2．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面PCD与平面PBC夹角．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行；直线与平面所成的角．
【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D﹣xyz，利用向量法能证明PC∥平面 BDE；
（Ⅱ）求出平面 PCD 的法向量，利用向量法能求出直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面 PBC 的法向量，利用向量法能求出平面 PCD 与平面 PBC的夹角．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，
∴以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D﹣xyz．
∵PA＝AB＝2 则 A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，2），
D（0，0，0），P（2，2，0），E（1，2，0）．∴，
设平面 BDE 的一个法向量为 ．
，由
取 ，
∵，又PC 平面 BDE，
∴PC∥平面 BDE；
（Ⅱ）设平面 PCD 的法向量为，
（0，0，2），（2，2，0），（1，0，﹣2），
由，取x2＝2，得（2，﹣2，0），
∵，
∴直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值 ；
（Ⅲ）设平面 PBC 的法向量为 ，
，
∴平面 PCD 与平面 PBC 夹角为 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（15分）（2022 天津模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点、下顶点分别为A、B，离心率，坐标原点O到直线AB的距离为，过F2且斜率为k（k≠0）的直线l与C交于P，Q两点．
（1）求C的标准方程；
（2）令P，Q的中点为N，若存在点M（m，0）（m），使得MN⊥PQ，求k的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据椭圆离心率和△OAB面积列出两个方程，再结合a、b、c关系即可求出椭圆方程；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），k≠0．联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式用m、k表示出N点坐标，根据MN⊥PQ得，由此得到m和k的关系，用k表示出m，根据m的范围即可解出k范围．
【解答】解：（1）椭圆的离心率，整理得：，
∵坐标原点O到直线AB的距离为，
由△OAB的面积公式可知：，
∴，即，即，
即，解得a＝2，则，
∴椭圆C的方程为；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
由韦达定理得，故，
又点N在直线PQ上，，∴，
∵MN⊥PQ，∴，
整理得，由解得k的范围是．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
19．（15分）（2022 滨海新区校级模拟）已知正项等差数列{an}与等比数列{bn}满足a1＝1，b2＝4，且a2既是a1+b1和b3﹣a3的等差中项，又是其等比中项．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn，其中k∈N*，求数列{cn}的前2n项和S2n；
（3）令cn，求证．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用等差数列和等比数列的性质的应用求出数列的通项公式；
（2）利用乘公比错位相减法和裂项相消法的应用求出数列的和；
（3）利用放缩法的应用求出结果．
【解答】解：（1）设正项等差数列{an}的公差为d，d＞0，等比数列{bn}的公比为q，a2既是a1+b1和b3﹣a3的等差中项，又是其等比中项，
可得a2＝a1+b1＝b3﹣a3，即，
代入a1＝1，b2＝4，可得，
则d＝2，q＝2，故an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；；
（2）cn；
则数列{cn}中前2n项中奇数项与偶数项各n项，设奇数项的和为T，偶数项的和为H，
则；
H＝3×22+7×24+ +（4n﹣1） 22n，4H＝3×24+7×26+ +（4n﹣1） 22n+2，
相减可得﹣3H＝12+4[24+26+ +22n]﹣（4n﹣1） 22n+2，
所以．
所以．
证明：（3），
∴．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20．（16分）（2022 河西区校级模拟）已知函数f（x）＝axalnx（a＞0），g（x）＝xex．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；
（2）证明：g（x）≥lnx+x+1；
（3）若f（x）≤g（x）对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，求导得f′（x）＝lnx+1，由导数的几何意义可得k切＝f′（e），进而可得切线方程．
（2）令h（x）＝g（x）﹣（lnx+x+1）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只需h（x）min≥0，即可得出答案．
（3）当a＞0且x＞1时，由f（x）≤g（x） f（x）≤xex axalnx≤xex xalnxa≤xex xalnxa≤ex lnex，
构造函数F（x）＝xlnx，求导分析单调性，进而可得对于任意的x＞1都成立，令，只需a≤pmin（x），再求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，
得f′（x）＝lnx+1，则f（e）＝e，f′（e）＝2，
所以y＝f（x）在x＝e处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e），即y＝2x﹣e．
（2）证明：令h（x）＝g（x）﹣（lnx+x+1）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0）．
，
令，可得函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，
又，
因此存在唯，使得，即x0＝﹣lnx0，
函数h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增；
∴函数h（x）在x＝x0处取得极小值即最小值，
∴h（x）≥h（x0）＝1﹣lnx0﹣x0﹣1＝0，因此g（x）≥lnx+x+1．
（3）当a＞0且x＞1时，
由f（x）≤g（x） f（x）≤xex axalnx≤xex xalnxa≤xex xalnxa≤ex lnex，
构造函数F（x）＝xlnx，得F′（x）＝lnx+1＞0（x＞1），
所以F（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，
f（x）≤g（x） xalnxa≤ex lnex F（xa）≤F（ex），
由于f（x）≤g（x）对任意的x＞1都成立，又xa＞1，ex＞1，
再结合F（x）的单调性知，xa≤ex对于任意的x＞1都成立，即对于任意的x＞1都成立，
令，得，
则p（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
故pmin（x）＝p（e）＝e，
故a≤e，所以a的最大值为e．
【点评】本题考查导数的综合应用、导数的几何意义和恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．指数函数的单调性与特殊点
【知识点归纳】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
5．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； logalogaM．
6．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
7．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
10．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx．
解：∵sinx，
∴2kπx≤2kπ（k∈Z），
∴不等式sinx的解集为{x|2kπx≤2kπ，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b ．
证明：由ab＞0，知0．
又∵a＞b，∴ab，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
11．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
12．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z0且z≠0．
15．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
16．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
17．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
18．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
19．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：
解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d，
∴|m|，
即，
∴满足的必要不充分条件均可．
故答案为：满足的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
21．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
22．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
23．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
24．直线与椭圆的综合
v．
25．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
26．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
27．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
28．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
29．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
第1页（共1页）
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）（2022 河北区一模）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则集合A∩（ UB）＝（ ）
A．{1} B．{2} C．{1，2，5} D．{1，2，3，4}
2．（5分）（2021秋 东宝区校级期中）设a，b∈R，则“”是“a＞b＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）（2022 和平区一模）函数f（x）的部分图像如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2021春 河东区期末）总体的样本数据的频率分布直方图如图所示总体中50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，则a，b的估计值为（ ）
A． B． C．22， D．
5．（5分）（2021秋 魏县校级期末）设a＝log54，则，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
6．（5分）（2021春 红桥区校级期中）一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（ ）
A．3cm B．9cm C．12cm D．6cm
7．（5分）（2020 河东区校级模拟）已知3a＝4b＝12，则a，b不可能满足的关系是（ ）
A．a+b＞4 B．ab＞4
C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2 D．a2+b2＜3
8．（5分）（2022 宁河区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，|OM|＝|OF2|，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
9．（5分）（2022 河南模拟）已知函数，若函数f（x）在[0，+∞）内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）（2022 宁河区校级模拟）已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z对应点的坐标为 ．
11．（5分）（2022 宁河区校级模拟）二项式的展开式中，常数项是 ．
12．（5分）（2022 河北区一模）经过点P（5，5）的直线l被圆C：x2+y2＝25截得的弦长为，则直线l的方程为 ．
13．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）设m＞n＞0，那么的最小值是 ．
14．（5分）（2021 和平区模拟）某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束．根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，则乙战胜甲的概率是 ；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是 ．
15．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝90°，|AB|＝2，|BC|＝2，|AD|＜|BC|，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影向量的模为2，则 ；设M为线段CD上的动点，则的最小值为 ．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）（2021 天津模拟）已知△ABC中，角c的对边分别为a，b，c，3bcosC+2csinCsinB＝0．
（1）求角C；
（2）若，，求a+b的值．
（3）若，，求．
17．（15分）（2022 宁河区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点，PA＝2．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面PCD与平面PBC夹角．
18．（15分）（2022 天津模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点、下顶点分别为A、B，离心率，坐标原点O到直线AB的距离为，过F2且斜率为k（k≠0）的直线l与C交于P，Q两点．
（1）求C的标准方程；
（2）令P，Q的中点为N，若存在点M（m，0）（m），使得MN⊥PQ，求k的取值范围．
19．（15分）（2022 滨海新区校级模拟）已知正项等差数列{an}与等比数列{bn}满足a1＝1，b2＝4，且a2既是a1+b1和b3﹣a3的等差中项，又是其等比中项．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn，其中k∈N*，求数列{cn}的前2n项和S2n；
（3）令cn，求证．
20．（16分）（2022 河西区校级模拟）已知函数f（x）＝axalnx（a＞0），g（x）＝xex．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；
（2）证明：g（x）≥lnx+x+1；
（3）若f（x）≤g（x）对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．
2022高考数学终极押题密卷1（天津卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）（2022 河北区一模）已知集合U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，则集合A∩（ UB）＝（ ）
A．{1} B．{2} C．{1，2，5} D．{1，2，3，4}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】求出B的补集，从而求出A∩（ UB）即可．
【解答】解：∵U＝{1，2，3，4，5}，A＝{1，2}，B＝{2，3，4}，
∴ UB＝{1，5}
∴A∩（ UB）＝{1}，
故选：A．
【点评】本题考查了集合的运算，考查集合的交集，并集问题，是基础题．
2．（5分）（2021秋 东宝区校级期中）设a，b∈R，则“”是“a＞b＞1”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】不等关系与不等式；充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由题意结合不等式的性质，充要条件的判断即可求解．
【解答】解：由a＞b＞1可以得到a﹣1＞b﹣1＞0，所以0，所以必要性成立，
但是不一定可以得到a＞b＞1，比如b＞1＞a．所以充分性不成立，
所以“”是“a＞b＞1”的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了必要不充分条件的应用，考查了学生的运算推理能力，属于基础题．
3．（5分）（2022 和平区一模）函数f（x）的部分图像如图，则f（x）的解析式可能是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；直观想象．
【分析】根据图象确定函数的定义域，根据定义域进行判断即可．
【解答】解：由图象可知，函数的定义域为{x|x≠±1}，
A．f（x）的定义域为{x|x≠1}，不满足条件．
C．f（x）的定义域为{x|x≠﹣1}，不满足条件．
D．f（x）的定义域为R，不满足条件．
故选：B．
【点评】本题主要考查函数解析式的求解，根据图象确定函数的定义域，利用排除法进行判断是解决本题的关键，是基础题．
4．（5分）（2021春 河东区期末）总体的样本数据的频率分布直方图如图所示总体中50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，则a，b的估计值为（ ）
A． B． C．22， D．
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；概率与统计；数据分析．
【分析】先求出每一小组的频率，结合体50%的数据不超过a，总体中80%的数据不超过b，即可求出a，b的值．
【解答】解：由于第一组频率为0.02×4＝0.08，第二组频率为0.08×4＝0.32，第三组频率为0.09×4＝0.36，第四，组组频率为0.03×4＝0.12，
则a＝18+4，
由于0.08+0.32+0.36＝0.76，
则b＝22+4，
故选：D．
【点评】本题考查了频率分布直方图，属于基础题．
5．（5分）（2021秋 魏县校级期末）设a＝log54，则，c＝0.5﹣0.2，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．c＜b＜a D．c＜a＜b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数的单调性得到b＜a＜1，再利用指数函数的单调性得到c＞1，可得到答案．
【解答】解：∵log53，a＝log54＜log55＝1，
∴b＜a＜1，
∵c＝0.5﹣0.2＞0.50＝1，
∴b＜a＜c，
故选：B．
【点评】本题考查了指数函数，对数函数的单调性，考查了计算能力，属于基础题．
6．（5分）（2021春 红桥区校级期中）一个圆锥截成圆台，已知圆台的上下底面半径的比是1：4，截去小圆锥的母线长为3cm，则圆台的母线长为（ ）
A．3cm B．9cm C．12cm D．6cm
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱台的结构特征．
【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】设圆台的母线长为y，圆台的上下底面半径分别是x、4x，利用相似知识，即可求出圆台的母线长．
【解答】解：如图，设圆台的母线长为y，
因为圆台的上下底面半径的比是1：4，
所以可设圆台的上下底面半径分别是x、4x，
根据相似三角形的性质得，
解此方程得y＝9．
所以圆台的母线长为9cm．
故选：B．
【点评】本题考查圆锥与圆台的关系，考查计算能力，属于基础题．
7．（5分）（2020 河东区校级模拟）已知3a＝4b＝12，则a，b不可能满足的关系是（ ）
A．a+b＞4 B．ab＞4
C．（a﹣1）2+（b﹣1）2＞2 D．a2+b2＜3
【考点】对数的运算性质；指数函数的单调性与特殊点．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】根据3a＝4b＝12即可得出a＝1+log34，b＝1+log43，根据log34 log43＝1，log34+log43＞2即可判断出选项A，B，C都错误，只能选D．
【解答】解：∵3a＝4b＝12；
∴a＝log312＝1+log34，b＝log412＝1+log43；
∴a+b＝2+log34+log43＞4，ab＝2+log34+log43＞4，
2log34 log43＝2；
∵a＞2；
∴a2+b2＞4；
∴D错误．
故选：D．
【点评】考查指数式和对数式的互化，对数的运算，以及基本不等式：，和不等式a2+b2≥2ab的应用．
8．（5分）（2022 宁河区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，点M是双曲线右支上一点，|OM|＝|OF2|，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】根据双曲线的定义、几何性质及直角三角形的判定即可解决．
【解答】解：因为|OF1|＝|OF2|，|OM|＝|OF2|，
所以在△MF1F2中，边F1F2上的中线等于|F1F2|的一半，
所以∠F1MF2＝90°．因为，
所以可设|MF1|＝3m，|MF2|＝2m（m＞0），
则（3m）2+（2m）2＝4c2，解得，
所以，．
由双曲线的定义得，
所以双曲线的离心率．
故选：A．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
9．（5分）（2022 河南模拟）已知函数，若函数f（x）在[0，+∞）内恰有5个零点，则a的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】分析可知a＞0，对实数a的取值进行分类讨论，确定函数f（x）在[a，+∞）上的零点个数，然后再确定函数f（x）在[0，a）上的零点个数，可得出关于实数a的不等式（组），综合可得出实数a的取值范围．
【解答】解：当a≤0时，对任意的x≥0，f（x）＝x2﹣（2a+1）x+a2+2在[0，+∞）上至多2个零点，不合乎题意，所以，a＞0．
函数y＝x2﹣（2a+1）x+a2+2的对称轴为直线．
所以，函数f（x）在上单调递减，在上单调递增，且f（a）＝2﹣a．
①当Δ＝4a﹣7＜0时，即当时，则函数f（x）在[a，+∞）上无零点，
所以，函数在[0，a）上有5个零点，
当0≤x＜a时，，则，
由题意可得﹣5π＜（1﹣2a）π≤﹣4π，解得，此时a不存在；
②当Δ＝0时，即当时，函数f（x）在上只有一个零点，
当时，f（x）＝﹣2cos2πx，则，则函数f（x）在上只有3个零点，
此时，函数f（x）在[0，+∞）上的零点个数为4，不合题意；
③当时，即当时，函数f（x）在[a，+∞）上有2个零点，
则函数在[0，a）上有3个零点，
则﹣3π＜（1﹣2a）π≤﹣2π，解得，此时；
④当时，即当a＞2时，函数f（x）在[a，+∞）上有1个零点，
则函数在[0，a）上有4个零点，
则﹣4π＜（1﹣2a）π≤﹣3π，解得，此时，．
综上所述，实数a的取值范围是．
故选：D．
【点评】本题考查函数的零点与方程的关系，考查学生的运算能力，属于中档题．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）（2022 宁河区校级模拟）已知复数z满足z（1+2i）＝|4﹣3i|（其中i为虚数单位），则复数z对应点的坐标为 （1，﹣2） ．
【考点】复数的运算；复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，即可求得复数z对应点的坐标．
【解答】解：由z（1+2i）＝|4﹣3i|，
得z
1﹣2i．
∴复数z对应点的坐标为（1，﹣2），
故答案为：（1，﹣2）．
【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．
11．（5分）（2022 宁河区校级模拟）二项式的展开式中，常数项是 7 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，进而可以求解．
【解答】解：展开式的常数项为Tr+1＝CC，
令0，解得r＝2，
所以展开式的常数项为C7，
故答案为：7．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12．（5分）（2022 河北区一模）经过点P（5，5）的直线l被圆C：x2+y2＝25截得的弦长为，则直线l的方程为 2x﹣y﹣5＝0或x﹣2y+5＝0 ．
【考点】直线与圆的位置关系；直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】设出直线的方程，由条件根据弦长公式求得弦心距，再利用点到直线的距离公式求出弦心距，求得k的值，可得直线的方程．
【解答】解：由题意可得，直线的斜率存在，
设为k，则直线的方程为y﹣5＝k（x﹣5），即 kx﹣y+5﹣5k＝0．
再根据弦长公式求得弦心距为．
再利用点到直线的距离公式可得，解得k＝2或k，
故l的方程是2x﹣y﹣5＝0或x﹣y0．
故答案为：2x﹣y﹣5＝0或x﹣2y+5＝0．
【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
13．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）设m＞n＞0，那么的最小值是 8 ．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】整体思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由已知结合基本不等式即可求解．
【解答】解：m＞n＞0，则8，
当且仅当m﹣n＝n且，即m＝1，n时取等号．
故答案为：8．
【点评】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，属于基础题．
14．（5分）（2021 和平区模拟）某校象棋社团开展竞赛活动，比赛中双方有一人获胜或者双方和棋则比赛结束．根据以往比赛结果，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，则乙战胜甲的概率是 ；甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，则甲得分不少于2分的概率是 ．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】由互斥事件的概率公式，求出乙战胜甲的概率；设甲得分不少于2为事件A，由对立事件的概率公式求解即可．
【解答】解：由题意可知，在一局比赛中，甲战胜乙的概率是，两人和棋的概率是，
所以乙战胜甲的概率为1；
由甲乙两人比赛2局，每局胜方记3分，负方记0分，和棋双方各记1分，
设甲得分不少于2为事件A，则表示乙胜或甲负且甲乙和，
故P（），
所以甲得分不少于2分的概率是P（A）＝1﹣P（）．
故答案为：；．
【点评】本题考查了概率公式的应用，主要考查了互斥事件的概率公式以及对立事件的概率公式的应用，属于中档题．
15．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）如图所示，在梯形ABCD中，∠B＝90°，|AB|＝2，|BC|＝2，|AD|＜|BC|，点E为AB的中点，若向量在向量上的投影向量的模为2，则 6 ；设M为线段CD上的动点，则的最小值为 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】函数思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学建模；数学运算．
【分析】建立平面直角坐标系，设点D，利用坐标法，结合“向量在向量上的投影向量的模为2”求出及D的坐标，
再设点M，然后结合数量积的运算建立函数模型求出最值．
【解答】解：建立如右图的平面直角坐标系，根据题意可得：
A（0，2），B（0，0），C（，0），
E（0，1），设D（t，2），，
又2，
∴2，∴2，又，
∴6，又由图可知，
∴6；
∴6，∴，∴，∴D，
又M为线段CD上的动点，∴设，λ∈[0，1]，
∴，
又，，∴，，
∴2λ（3λ﹣2），λ∈[0，1]，
∴当λ时，取得最小值，
故答案为：6；．
【点评】本题考查投影向量，数量积及坐标运算，函数模型求最值，属中档题．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）（2021 天津模拟）已知△ABC中，角c的对边分别为a，b，c，3bcosC+2csinCsinB＝0．
（1）求角C；
（2）若，，求a+b的值．
（3）若，，求．
【考点】正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及同角平方关系进行化简可求cosC，进而可求C；
（2）由已知结合三角形面积公式可求ab，然后结合余弦定理即可求解；
（3）结合正弦定理先求sinA，然后可求cosA，结合二倍角公式及两角和的正弦公式可求．
【解答】解：（1）由正弦定理及3bcosC+2csinCsinB＝0得3sinBcosC+2sinCsinCsinB＝0．
因为sinB＞0，
所以3cosC+2sin2C＝0，即3cosC+2﹣2cos2C＝0，
解得cosC或cosC＝2（舍），
由C为三角形内角得C；
（2）因为S△ABC，
所以ab＝4，
因为c＝2，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，即12＝a2+b2+ab＝（a+b）2﹣ab＝（a+b）2﹣4，
所以a+b＝4；
（3）由正弦定理得，
所以sinA，cosA，
故sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝1﹣2sin2A，
所以．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，和差角公式，二倍角公式及三角形的面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
17．（15分）（2022 宁河区校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，正方形ABCD边长为2，E是PA的中点，PA＝2．
（Ⅰ）求证：PC∥平面BDE；
（Ⅱ）求直线BE与平面PCD所成角的正弦值；
（Ⅲ）求平面PCD与平面PBC夹角．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行；直线与平面所成的角．
【专题】数形结合；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）以 D 为坐标原点，建立空间直角坐标系 D﹣xyz，利用向量法能证明PC∥平面 BDE；
（Ⅱ）求出平面 PCD 的法向量，利用向量法能求出直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面 PBC 的法向量，利用向量法能求出平面 PCD 与平面 PBC的夹角．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面 ABCD，ABCD 为正方形，
∴以 D 为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系 D﹣xyz．
∵PA＝AB＝2 则 A（0，2，0），B（0，2，2），C（0，0，2），
D（0，0，0），P（2，2，0），E（1，2，0）．∴，
设平面 BDE 的一个法向量为 ．
，由
取 ，
∵，又PC 平面 BDE，
∴PC∥平面 BDE；
（Ⅱ）设平面 PCD 的法向量为，
（0，0，2），（2，2，0），（1，0，﹣2），
由，取x2＝2，得（2，﹣2，0），
∵，
∴直线 BE 与平面 PCD 所成角的正弦值 ；
（Ⅲ）设平面 PBC 的法向量为 ，
，
∴平面 PCD 与平面 PBC 夹角为 ．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值、二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（15分）（2022 天津模拟）已知椭圆C：的左、右焦点分别为F1、F2，左顶点、下顶点分别为A、B，离心率，坐标原点O到直线AB的距离为，过F2且斜率为k（k≠0）的直线l与C交于P，Q两点．
（1）求C的标准方程；
（2）令P，Q的中点为N，若存在点M（m，0）（m），使得MN⊥PQ，求k的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据椭圆离心率和△OAB面积列出两个方程，再结合a、b、c关系即可求出椭圆方程；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），k≠0．联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理和中点坐标公式用m、k表示出N点坐标，根据MN⊥PQ得，由此得到m和k的关系，用k表示出m，根据m的范围即可解出k范围．
【解答】解：（1）椭圆的离心率，整理得：，
∵坐标原点O到直线AB的距离为，
由△OAB的面积公式可知：，
∴，即，即，
即，解得a＝2，则，
∴椭圆C的方程为；
（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），N（x0，y0），直线PQ的方程为y＝k（x﹣1），k≠0，
由得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12＝0，
由韦达定理得，故，
又点N在直线PQ上，，∴，
∵MN⊥PQ，∴，
整理得，由解得k的范围是．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
19．（15分）（2022 滨海新区校级模拟）已知正项等差数列{an}与等比数列{bn}满足a1＝1，b2＝4，且a2既是a1+b1和b3﹣a3的等差中项，又是其等比中项．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）记cn，其中k∈N*，求数列{cn}的前2n项和S2n；
（3）令cn，求证．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）直接利用等差数列和等比数列的性质的应用求出数列的通项公式；
（2）利用乘公比错位相减法和裂项相消法的应用求出数列的和；
（3）利用放缩法的应用求出结果．
【解答】解：（1）设正项等差数列{an}的公差为d，d＞0，等比数列{bn}的公比为q，a2既是a1+b1和b3﹣a3的等差中项，又是其等比中项，
可得a2＝a1+b1＝b3﹣a3，即，
代入a1＝1，b2＝4，可得，
则d＝2，q＝2，故an＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；；
（2）cn；
则数列{cn}中前2n项中奇数项与偶数项各n项，设奇数项的和为T，偶数项的和为H，
则；
H＝3×22+7×24+ +（4n﹣1） 22n，4H＝3×24+7×26+ +（4n﹣1） 22n+2，
相减可得﹣3H＝12+4[24+26+ +22n]﹣（4n﹣1） 22n+2，
所以．
所以．
证明：（3），
∴．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法，数列的求和，乘公比错位相减法在数列求和中的应用，裂项相消法在数列求和中的应用，放缩法的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
20．（16分）（2022 河西区校级模拟）已知函数f（x）＝axalnx（a＞0），g（x）＝xex．
（1）当a＝1时，求曲线y＝f（x）在x＝e处的切线方程；
（2）证明：g（x）≥lnx+x+1；
（3）若f（x）≤g（x）对于任意的x＞1都成立，求a的最大值．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，求导得f′（x）＝lnx+1，由导数的几何意义可得k切＝f′（e），进而可得切线方程．
（2）令h（x）＝g（x）﹣（lnx+x+1）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0），只需h（x）min≥0，即可得出答案．
（3）当a＞0且x＞1时，由f（x）≤g（x） f（x）≤xex axalnx≤xex xalnxa≤xex xalnxa≤ex lnex，
构造函数F（x）＝xlnx，求导分析单调性，进而可得对于任意的x＞1都成立，令，只需a≤pmin（x），再求出a的取值范围．
【解答】解：（1）当a＝1时，f（x）＝xlnx，
得f′（x）＝lnx+1，则f（e）＝e，f′（e）＝2，
所以y＝f（x）在x＝e处的切线方程为y﹣e＝2（x﹣e），即y＝2x﹣e．
（2）证明：令h（x）＝g（x）﹣（lnx+x+1）＝xex﹣lnx﹣x﹣1，（x＞0）．
，
令，可得函数u（x）在（0，+∞）上单调递增，
又，
因此存在唯，使得，即x0＝﹣lnx0，
函数h（x）在（0，x0）上单调递减，在（x0，+∞）上单调递增；
∴函数h（x）在x＝x0处取得极小值即最小值，
∴h（x）≥h（x0）＝1﹣lnx0﹣x0﹣1＝0，因此g（x）≥lnx+x+1．
（3）当a＞0且x＞1时，
由f（x）≤g（x） f（x）≤xex axalnx≤xex xalnxa≤xex xalnxa≤ex lnex，
构造函数F（x）＝xlnx，得F′（x）＝lnx+1＞0（x＞1），
所以F（x）＝xlnx在（1，+∞）上单调递增，
f（x）≤g（x） xalnxa≤ex lnex F（xa）≤F（ex），
由于f（x）≤g（x）对任意的x＞1都成立，又xa＞1，ex＞1，
再结合F（x）的单调性知，xa≤ex对于任意的x＞1都成立，即对于任意的x＞1都成立，
令，得，
则p（x）在（1，e）上单调递减，在（e，+∞）上单调递增，
故pmin（x）＝p（e）＝e，
故a≤e，所以a的最大值为e．
【点评】本题考查导数的综合应用、导数的几何意义和恒成立问题，考查了转化思想，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．指数函数的单调性与特殊点
【知识点归纳】
1、指数函数单调性的讨论，一般会以复合函数的形式出现，所以要分开讨论，首先讨论a的取值范围即a＞1，0＜a＜1的情况．再讨论g（x）的增减，然后遵循同增、同减即为增，一减一增即为减的原则进行判断．
2、同增同减的规律：
（1）y＝ax 如果a＞1，则函数单调递增；
（2）如果0＜a＜1，则函数单调递减．
3、复合函数的单调性：
（1）复合函数为两个增函数复合：那么随着自变量X的增大，Y值也在不断的增大；
（2）复合函数为两个减函数的复合：那么随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值就在不断的减小，而内层函数的Y值就是整个复合函数的自变量X．因此，即当内层函数自变量X的增大时，内层函数的Y值就在不断的减小，即整个复合函数的自变量X不断减小，又因为外层函数也为减函数，所以整个复合函数的Y值就在增大．因此可得“同增”若复合函数为一增一减两个函数复合：内层函数为增函数，则若随着内层函数自变量X的增大，内层函数的Y值也在不断的增大，即整个复合函数的自变量X不断增大，又因为外层函数为减函数，所以整个复合函数的Y值就在减小．反之亦然，因此可得“异减”．
5．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； logalogaM．
6．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
7．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
10．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx．
解：∵sinx，
∴2kπx≤2kπ（k∈Z），
∴不等式sinx的解集为{x|2kπx≤2kπ，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b ．
证明：由ab＞0，知0．
又∵a＞b，∴ab，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
11．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
12．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z0且z≠0．
15．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
16．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
17．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
18．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
19．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：
解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d，
∴|m|，
即，
∴满足的必要不充分条件均可．
故答案为：满足的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
21．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
22．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
23．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
24．直线与椭圆的综合
v．
25．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
26．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
27．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
28．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
29．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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