2022高考数学终极押题密卷（上海卷）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（上海卷）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 311.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 09:41:34 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷1（上海卷）
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 黄浦区校级三模）若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i（i虚数单位），则|z|＝ ．
2．（4分）（2022 浦东新区校级二模）集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}，那么A∩B＝ ．
3．（4分）（2021 浦东新区校级模拟）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4＝0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）
4．（4分）（2021 青浦区二模）已知正三角形ABC边长为1，点D在边BC上且BD，则 ．
5．（4分）（2022 杨浦区二模）函数y＝log2（x+1）的反函数为 ．
6．（4分）（2021 黄浦区三模）若的展开式中的常数项为，则实数a的值为 ．
7．（5分）（2022 疏附县一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y最大值为 ．
8．（5分）（2021 普陀区二模）设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且（S1+Sn）＝3，则公比q＝ ．
9．（5分）（2016 上海模拟）如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于 ．
10．（5分）（2022 徐汇区二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 .（结果用最简分数表示）
11．（5分）（2020 杨浦区二模）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为 ．
12．（5分）（2021 闵行区二模）已知数列{an}（n∈N*）满足an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+ +|an﹣an﹣1|（n≥2），且a1＝1，a2＝a（a＞1），则a1+a2+a3+ +a24＝ ．（结果用含a的式子表示）
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2010 长宁区一模）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣|x+1|
C． D．
14．（5分）（2022 徐汇区二模）下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程xy＝1表示的曲线完全一致的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（5分）（2018春 鼓楼区校级期末）函数f（x）＝sin2x﹣cos（x+θ）在[0，2π]上的零点个数记为g（θ），若，则g（θ）的最大值与最小值之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
16．（5分）（2018 上海模拟）若实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 浦东新区校级二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；
（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
18．（14分）（2022 闵行区校级二模）在平面四边形ABCD中，已知∠ABC，∠ADC，AC平分∠BAD．
（1）若∠BAD，AC＝2，求四边形ABCD的面积；
（2）若CD＝2AB，求tan∠BAC的值．
19．（14分）（2022 宝山区二模）某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f（x）＝p qx；②f（x）＝px2+qx+1；③f（x）＝Asin（x）+B（以上三式中p，q，A，B均为常数．）
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（3）＝8，f（7）＝4，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[0，10]，其中x＝0表示1月份，x＝1表示2月份， ，以此类推），为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
20．（16分）（2022 闵行区校级二模）双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点（，1），且渐近线方程为y＝±x．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：点A与点B的纵坐标互为倒数；
（3）在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．
21．（18分）（2021 金山区二模）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则
称函数f（x）为“G（m）函数”．
（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；
（2）若函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，设g（x）＝x|x﹣4|．若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有2成立，求实数t的最大值．
2022高考数学终极押题密卷1（上海卷）
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 黄浦区校级三模）若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i（i虚数单位），则|z|＝ ．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】先化简复数z，再根据模的运算公式求解即可．
【解答】解：由（1﹣i）z＝1+2i，
得z，
所以|z|，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算性质和复数的模，属于基础题．
2．（4分）（2022 浦东新区校级二模）集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}，那么A∩B＝ {﹣2，0，2} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合交集及其运算，即可求解．
【解答】解：∵A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}，
∴A∩B＝{﹣2，0，2}．
故答案为：{﹣2，0，2}．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3．（4分）（2021 浦东新区校级模拟）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4＝0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 x﹣2y＝0 （结果化为普通方程）
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；转化思想；直线与圆．
【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令x＝2t，y＝t，消去t即可得到y与x的解析式．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x﹣2t）2+（y﹣t）2＝2t2+4，圆心（2t，t）
则圆心坐标为，所以消去t可得x＝2y，即x﹣2y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0
【点评】此题考查学生会将圆的方程变为标准方程，会把直线的参数方程化为一般方程．
4．（4分）（2021 青浦区二模）已知正三角形ABC边长为1，点D在边BC上且BD，则 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据 ，结合条件计算即可．
【解答】解：
2
＝11×1×cos120°
．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，向量的加减运算，考查运算能力，属于基础题．
5．（4分）（2022 杨浦区二模）函数y＝log2（x+1）的反函数为 y＝2x﹣1（x∈R） ．
【考点】反函数．
【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】由y＝log2（x+1）（x＞﹣1）解得x＝2y﹣1，把x与y互换即可得出．
【解答】解：由y＝log2（x+1）（x＞﹣1）解得x+1＝2y，即x＝2y﹣1，把x与y互换可得：y＝2x﹣1（x∈R）．
∴y＝log2（x+1）的反函数为y＝2x﹣1（x∈R）．
故答案为：y＝2x﹣1（x∈R）．
【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（4分）（2021 黄浦区三模）若的展开式中的常数项为，则实数a的值为 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于，求得实数a的值．
【解答】解：∵的展开式中的通项公式为 Tr+1 a5﹣r ，令100，求得r＝4．
故展开式的常数项为 5a，则实数a，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
7．（5分）（2022 疏附县一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y最大值为 14 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．
由，
解得，即A（4，6），
代入z＝2x+y＝2×4+6＝14．
即目标函数z＝2x+y最大值为14．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，即可求出z的最大值．
8．（5分）（2021 普陀区二模）设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且（S1+Sn）＝3，则公比q＝ ．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式及数列极限条件即可直接求解．
【解答】解：因为无穷等比数列{an}中，a1＝1，（S1+Sn）13，
所以q．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础题．
9．（5分）（2016 上海模拟）如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】数形结合；等体积法；立体几何．
【分析】根据水的体积不变列出方程解出h2．
【解答】解：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为．
∴水的体积VSh（h﹣h1）．
设倒置后液面面积为S′，则（）2，∴S′．
∴水的体积V．
∴，解得h2．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于中档题．
10．（5分）（2022 徐汇区二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 .（结果用最简分数表示）
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得．
【解答】解：4个人分配到4个学校的情况总数为44种，
4个人恰好分配到4个学校的情况为24种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有44﹣24种，
所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）（2020 杨浦区二模）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为 y ．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据条件求出Γ1与Γ2的方程，再联立两方程，求出直线AB的方程即可．
【解答】解：根据抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，
可得抛物线Γ1与Γ2的方程分别为|x|与，
∵两抛物线交于A、B两点，∴只需联立两方程即可求出直线AB的方程，
∴直线AB的方程为|x|，即y或y，
经检验当y时，不符合条件，
∴直线AB的方程为y，
故答案为：y．
【点评】本题考查了直线和抛物线的综合应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查了方程思想，属中档题．
12．（5分）（2021 闵行区二模）已知数列{an}（n∈N*）满足an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+ +|an﹣an﹣1|（n≥2），且a1＝1，a2＝a（a＞1），则a1+a2+a3+ +a24＝ 23a+210 ．（结果用含a的式子表示）
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】由数列递推式可求得an，从而计算可得答案．
【解答】解：因为an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+ +|an﹣an﹣1|，
所以an＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+ +|an﹣1﹣an﹣2|（n≥3），
所以an+1﹣an＝|an﹣an﹣1|，所以an+1＝an+|an﹣an﹣1|，
因为a1＝1，a2＝a（a＞1），
所以a3＝a2﹣a1＝a﹣1，
a4＝a3+|a3﹣a2|＝a，
a5＝a4+|a4﹣a3|＝a+1，
a6＝a5+|a5﹣a4|＝a+2，
……
所以an﹣an﹣1＝1，n≥3，
所以an，
所以a1+a2+a3+ +a24＝1+a+（a﹣1）+a+（a+1）+…+（a+20）
＝23a+1+2+3+…+20
＝23a+210，
即a1+a2+a3+ +a24＝23a+210．
故答案为：23a+210．
【点评】本题主要考查数列递推式，考查通项公式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2010 长宁区一模）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣|x+1|
C． D．
【考点】奇函数、偶函数；函数单调性的性质与判断．
【专题】阅读型．
【分析】本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．
【解答】解：f（x）＝sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错；
∵f（x）＝﹣|x+1|，∴f（﹣x）＝﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）＝﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；
∵a＞1时，y＝ax在[﹣1，1]上单调递增，y＝a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，故C错；
故选：D．
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题．
14．（5分）（2022 徐汇区二模）下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程xy＝1表示的曲线完全一致的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】转化思想；综合法；坐标系和参数方程；数学运算．
【分析】根据x范围依次排除ABC得到正确答案．
【解答】解：对于A，，∴x0，排除A；
对于B，，x＝|t|≥0，排除B；
对于C，，﹣1≤x＝cost≤1，排除C．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查参数的性质、排除法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）（2018春 鼓楼区校级期末）函数f（x）＝sin2x﹣cos（x+θ）在[0，2π]上的零点个数记为g（θ），若，则g（θ）的最大值与最小值之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；分析法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由题可将零点问题转化为函数交点问题进行求解．
【解答】解：令f（x）＝sin2x﹣cos（x+θ）＝0，解得sin2x＝cos（x+θ），
f（x）的零点个数可看成y＝sin2x与y＝cos（x+θ）的交点个数，
y＝cos（x+θ）是由y＝cosx向左平移θ个单位得到的，
因为，所以当θ＝0时，交点个数最多，sin2x＝cosx，
∵x∈[0，2π]，∴解得，，
当时，交点个数最少，sin2x＝﹣sinx，
∵x∈[0，2π]，解得，
故g（θ）的最大值与最小值之和为7，
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的性质，考查了函数零点问题，以及三角函数图像，属于中档题．
16．（5分）（2018 上海模拟）若实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【考点】不等关系与不等式．
【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．
【分析】运用二次函数的单调性和对数函数的图象和性质，结合不等式的性质，可得a，b，c的大小关系．
【解答】解：实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．
由③可得：a，b＞0，b≠1，又由①可得a＞b＞0．
由②可得：（a﹣1）（c﹣1）＜0，则或．
由，及其③可得，若a＞b＞1，则logba＞1，
由c＜1，可得a＞b＞c；
若0＜b＜1，则logba＜0，c＜0，可得a＞b＞c；
由，及其③可得logba＞1，可得a＜b＜1，与a＞b矛盾，
综上可得a＞b＞c，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数和对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 浦东新区校级二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；
（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】（1）连接AC，利用三角形中位线和直线平行传递性可证；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法直接计算可得．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵E，F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
又∵AA1∥CC1，
∴四边形ACC1A1为平行四边形，
∴AlC1∥AC，∴Al l∥EF，
所以A1，C1，F、E四点共面；
（2）解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为A1（2，0，1），E（2，1，0），F（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），
则，
设平面A1C1FE的法向量为（x，y，z），
故，取x＝1，得（1，1，1），
记直线CD1与平面A1C1FE所成的角为θ，
则，
直线CD1与平面A1C1FE所成的角为．
【点评】本题考查了四点共面的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
18．（14分）（2022 闵行区校级二模）在平面四边形ABCD中，已知∠ABC，∠ADC，AC平分∠BAD．
（1）若∠BAD，AC＝2，求四边形ABCD的面积；
（2）若CD＝2AB，求tan∠BAC的值．
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．
【专题】计算题；对应思想；分析法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解
（2）根据正弦定理有关知识求解
【解答】解：（1），则，
在△ABC中，由正弦定理可知，则，
则．
（2）设∠BAC＝∠DAC＝α，在△ABC中，由正弦定理可知，
即，即，
在△ACD中，由正弦定理可知，即，
即，即，则，
2（cosαsinα）＝sinα，
cosα＝2sinα，
解得．
【点评】本题考查正余弦定理的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（14分）（2022 宝山区二模）某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f（x）＝p qx；②f（x）＝px2+qx+1；③f（x）＝Asin（x）+B（以上三式中p，q，A，B均为常数．）
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（3）＝8，f（7）＝4，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[0，10]，其中x＝0表示1月份，x＝1表示2月份， ，以此类推），为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】（1）根据每个函数的特点及市场中价格的走势可知选择③f（x）＝Asin（x）+B；
（2）根据f（3）＝8，f（7）＝4，求出A，B的值，再根据f（x）＜5解出x的值即可．
【解答】解：（1）应选f（x）＝Asin（x）+B，
∵①f（x）＝p qx是单调函数且不具有先升后降再升的特点，
②f（x）＝px2+qx+1同样不具有先升后降再升的特点，
③f（x）＝Asin（x）+B有多个单调递增区间和减区间；
（2）由f（3）＝Asin（）+B＝AsinB＝A+B＝8，
f（7）＝Asin（）+B＝AsinB＝﹣A+B＝4，
所以解得：A＝2，B＝6；
所以f（x）＝2sin（x）+6（x∈[0，10]），
所以x∈[，]，
当f（x）＜5时，需采用外销策略，则此时2sin（x）+6＜5，
即sin（x），
又x∈[，]，
由y＝sinx函数得在[，]内，sinx，
得x或π＜xπ，
即x或πxπ，
即0＜x或 x，
又x＝0表示1月份，
故应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略．
【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型，也考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
20．（16分）（2022 闵行区校级二模）双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点（，1），且渐近线方程为y＝±x．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：点A与点B的纵坐标互为倒数；
（3）在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可；
（2）设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数的关系，即可证明；
（3）由（2）中的结论及点到直线的距离公式可得原点O到直线AB的距离1，则定圆可求．
【解答】（1）解：由题意，，解得a＝b；
（2）证明：由（1）可得，C：x2﹣y2＝2，
由已知可知直线AB一定不为水平直线，设AB的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），D（﹣x2，y2），
联立，整理得（m2﹣1）y2+2mny+n2﹣2＝0，则，
由于△ABD的外接圆过原点且关于y轴对称，设为x2+y2+Ey＝0，
则，消去E可得，，
∴，整理得y1y2＝1，即点A与点B的纵坐标互为倒数；
（3）解：由1，得n2＝m2+1，
∴原点O到直线AB的距离d1，可知存在一个定圆x2+y2＝1与直线AB相切．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，圆的几何性质等知识，考查运算求解能力，属于中等题．
21．（18分）（2021 金山区二模）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则
称函数f（x）为“G（m）函数”．
（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；
（2）若函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，设g（x）＝x|x﹣4|．若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有2成立，求实数t的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】新定义；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．
【分析】（1）由f（x）＝2x为“G（2）函数”，得，求解指数方程可得实数x0 的值；
（2）函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”可知，存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，整理得，a＝2时，符合题意；a≠2时，利用判别式大于0求解a的范围，取并集得答案；
（3）由f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，得f（x0+0）＝f（x0）+f（0）成立，可得f（x）＝x，不妨设x1＞x2，问题转化为g（x1）﹣2x1＞g（x2）﹣2x2，令F（x）＝g（x）﹣2x，则F（x）在[0，t]上单调递增，写出分段函数F（x）＝x|x﹣4|﹣2x，画出图形，数形结合可得实数t的最大值．
【解答】解：（1）由f（x）＝2x为“G（2）函数”，得f（x0+2）＝f（x0）+f（2），
即，解得，故实数x0的值为；
（2）函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”可知，存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，
∴，即，
由0，得a＞0，整理得．
①当a＝2时，，符合题意；
②当a≠2时，由Δ＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0，即a2﹣6a+4≤0，
解得且a≠2，
综上，实数a的取值范围是[3，3]；
（3）由f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，得f（x0+0）＝f（x0）+f（0）成立，
即f（0）＝0，从而b＝0，则f（x）＝x，
不妨设x1＞x2，则由2成立，即2，
得g（x1）﹣2x1＞g（x2）﹣2x2，
令F（x）＝g（x）﹣2x，则F（x）在[0，t]上单调递增，
又F（x）＝x|x﹣4|﹣2x，
作出函数图象如图：
由图可知，0＜t≤1，故实数t的最大值为1．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查新定义的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
4．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
5．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
6．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
7．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx．
解：∵sinx，
∴2kπx≤2kπ（k∈Z），
∴不等式sinx的解集为{x|2kπx≤2kπ，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b ．
证明：由ab＞0，知0．
又∵a＞b，∴ab，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
13．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
14．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
15．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
17．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ cos（2x） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2 （cos2x﹣sin2x）
cos（2x）．
故答案为：cos（2x）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t
∴当t时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
18．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
19．直线与双曲线的综合
v．
20．直线与抛物线的综合
v．
21．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
22．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
23．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
24．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
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一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 黄浦区校级三模）若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i（i虚数单位），则|z|＝ ．
2．（4分）（2022 浦东新区校级二模）集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}，那么A∩B＝ ．
3．（4分）（2021 浦东新区校级模拟）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4＝0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 （结果化为普通方程）
4．（4分）（2021 青浦区二模）已知正三角形ABC边长为1，点D在边BC上且BD，则 ．
5．（4分）（2022 杨浦区二模）函数y＝log2（x+1）的反函数为 ．
6．（4分）（2021 黄浦区三模）若的展开式中的常数项为，则实数a的值为 ．
7．（5分）（2022 疏附县一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y最大值为 ．
8．（5分）（2021 普陀区二模）设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且（S1+Sn）＝3，则公比q＝ ．
9．（5分）（2016 上海模拟）如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于 ．
10．（5分）（2022 徐汇区二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 .（结果用最简分数表示）
11．（5分）（2020 杨浦区二模）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为 ．
12．（5分）（2021 闵行区二模）已知数列{an}（n∈N*）满足an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+ +|an﹣an﹣1|（n≥2），且a1＝1，a2＝a（a＞1），则a1+a2+a3+ +a24＝ ．（结果用含a的式子表示）
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2010 长宁区一模）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣|x+1|
C． D．
14．（5分）（2022 徐汇区二模）下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程xy＝1表示的曲线完全一致的是（ ）
A． B．
C． D．
15．（5分）（2018春 鼓楼区校级期末）函数f（x）＝sin2x﹣cos（x+θ）在[0，2π]上的零点个数记为g（θ），若，则g（θ）的最大值与最小值之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
16．（5分）（2018 上海模拟）若实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 浦东新区校级二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；
（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
18．（14分）（2022 闵行区校级二模）在平面四边形ABCD中，已知∠ABC，∠ADC，AC平分∠BAD．
（1）若∠BAD，AC＝2，求四边形ABCD的面积；
（2）若CD＝2AB，求tan∠BAC的值．
19．（14分）（2022 宝山区二模）某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f（x）＝p qx；②f（x）＝px2+qx+1；③f（x）＝Asin（x）+B（以上三式中p，q，A，B均为常数．）
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（3）＝8，f（7）＝4，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[0，10]，其中x＝0表示1月份，x＝1表示2月份， ，以此类推），为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
20．（16分）（2022 闵行区校级二模）双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点（，1），且渐近线方程为y＝±x．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：点A与点B的纵坐标互为倒数；
（3）在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．
21．（18分）（2021 金山区二模）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则
称函数f（x）为“G（m）函数”．
（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；
（2）若函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，设g（x）＝x|x﹣4|．若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有2成立，求实数t的最大值．
2022高考数学终极押题密卷1（上海卷）
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 黄浦区校级三模）若复数z满足（1﹣i）z＝1+2i（i虚数单位），则|z|＝ ．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】先化简复数z，再根据模的运算公式求解即可．
【解答】解：由（1﹣i）z＝1+2i，
得z，
所以|z|，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算性质和复数的模，属于基础题．
2．（4分）（2022 浦东新区校级二模）集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}，那么A∩B＝ {﹣2，0，2} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】转化思想；转化法；集合；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合交集及其运算，即可求解．
【解答】解：∵A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x2≤5}，
∴A∩B＝{﹣2，0，2}．
故答案为：{﹣2，0，2}．
【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
3．（4分）（2021 浦东新区校级模拟）方程x2+y2﹣4tx﹣2ty+3t2﹣4＝0（t为参数）所表示的圆的圆心轨迹方程是 x﹣2y＝0 （结果化为普通方程）
【考点】轨迹方程．
【专题】计算题；转化思想；直线与圆．
【分析】把圆化为标准方程后得到：圆心坐标，令x＝2t，y＝t，消去t即可得到y与x的解析式．
【解答】解：把圆的方程化为标准方程得（x﹣2t）2+（y﹣t）2＝2t2+4，圆心（2t，t）
则圆心坐标为，所以消去t可得x＝2y，即x﹣2y＝0．
故答案为：x﹣2y＝0
【点评】此题考查学生会将圆的方程变为标准方程，会把直线的参数方程化为一般方程．
4．（4分）（2021 青浦区二模）已知正三角形ABC边长为1，点D在边BC上且BD，则 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；转化思想；定义法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据 ，结合条件计算即可．
【解答】解：
2
＝11×1×cos120°
．
故答案为：．
【点评】本题考查向量的数量积的定义和性质，向量的加减运算，考查运算能力，属于基础题．
5．（4分）（2022 杨浦区二模）函数y＝log2（x+1）的反函数为 y＝2x﹣1（x∈R） ．
【考点】反函数．
【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】由y＝log2（x+1）（x＞﹣1）解得x＝2y﹣1，把x与y互换即可得出．
【解答】解：由y＝log2（x+1）（x＞﹣1）解得x+1＝2y，即x＝2y﹣1，把x与y互换可得：y＝2x﹣1（x∈R）．
∴y＝log2（x+1）的反函数为y＝2x﹣1（x∈R）．
故答案为：y＝2x﹣1（x∈R）．
【点评】本题考查了反函数的求法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．（4分）（2021 黄浦区三模）若的展开式中的常数项为，则实数a的值为 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数据分析．
【分析】在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项，再根据常数项等于，求得实数a的值．
【解答】解：∵的展开式中的通项公式为 Tr+1 a5﹣r ，令100，求得r＝4．
故展开式的常数项为 5a，则实数a，
故答案为：．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于基础题．
7．（5分）（2022 疏附县一模）设x，y满足约束条件，则目标函数z＝2x+y最大值为 14 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】不等式的解法及应用．
【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，即可求出z的最大值．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：
由z＝2x+y得y＝﹣2x+z，
平移直线y＝﹣2x+z，
由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，y＝﹣2x+z的截距最大，此时z最大．
由，
解得，即A（4，6），
代入z＝2x+y＝2×4+6＝14．
即目标函数z＝2x+y最大值为14．
故答案为：14．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用z的几何意义结合数形结合，即可求出z的最大值．
8．（5分）（2021 普陀区二模）设无穷等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，且（S1+Sn）＝3，则公比q＝ ．
【考点】等比数列的前n项和．
【专题】转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由已知结合等比数列的求和公式及数列极限条件即可直接求解．
【解答】解：因为无穷等比数列{an}中，a1＝1，（S1+Sn）13，
所以q．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了等比数列的求和公式及数列极限的求解，属于基础题．
9．（5分）（2016 上海模拟）如图，圆锥形容器的高为h，圆锥内水面的高为h1，且，若将圆锥倒置，水面高为h2，则等于 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】数形结合；等体积法；立体几何．
【分析】根据水的体积不变列出方程解出h2．
【解答】解：设圆锥形容器的底面积为S，则未倒置前液面的面积为．
∴水的体积VSh（h﹣h1）．
设倒置后液面面积为S′，则（）2，∴S′．
∴水的体积V．
∴，解得h2．
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的结构特征，圆锥的体积计算，属于中档题．
10．（5分）（2022 徐汇区二模）上海某高校哲学专业的4名研究生到指定的4所高级中学宣讲习近平新时代中国特色社会主义思想．若他们每人都随机地从4所学校选择一所，则4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是 .（结果用最简分数表示）
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】考虑反面，4个人恰好分配到4个学校的情况，再作减法即得．
【解答】解：4个人分配到4个学校的情况总数为44种，
4个人恰好分配到4个学校的情况为24种，所以4人中至少有2人选择到同一所学校的情况有44﹣24种，
所以4人中至少有2人选择到同一所学校的概率是．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）（2020 杨浦区二模）已知抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，设两抛物线交于A、B两点，则直线AB的方程为 y ．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据条件求出Γ1与Γ2的方程，再联立两方程，求出直线AB的方程即可．
【解答】解：根据抛物线Γ1与Γ2的焦点均为点F（2，1），准线方程分别x＝0与5x+12y＝0，
可得抛物线Γ1与Γ2的方程分别为|x|与，
∵两抛物线交于A、B两点，∴只需联立两方程即可求出直线AB的方程，
∴直线AB的方程为|x|，即y或y，
经检验当y时，不符合条件，
∴直线AB的方程为y，
故答案为：y．
【点评】本题考查了直线和抛物线的综合应用，两点间的距离公式和点到直线的距离公式，考查了方程思想，属中档题．
12．（5分）（2021 闵行区二模）已知数列{an}（n∈N*）满足an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+ +|an﹣an﹣1|（n≥2），且a1＝1，a2＝a（a＞1），则a1+a2+a3+ +a24＝ 23a+210 ．（结果用含a的式子表示）
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】由数列递推式可求得an，从而计算可得答案．
【解答】解：因为an+1＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+ +|an﹣an﹣1|，
所以an＝|a2﹣a1|+|a3﹣a2|+ +|an﹣1﹣an﹣2|（n≥3），
所以an+1﹣an＝|an﹣an﹣1|，所以an+1＝an+|an﹣an﹣1|，
因为a1＝1，a2＝a（a＞1），
所以a3＝a2﹣a1＝a﹣1，
a4＝a3+|a3﹣a2|＝a，
a5＝a4+|a4﹣a3|＝a+1，
a6＝a5+|a5﹣a4|＝a+2，
……
所以an﹣an﹣1＝1，n≥3，
所以an，
所以a1+a2+a3+ +a24＝1+a+（a﹣1）+a+（a+1）+…+（a+20）
＝23a+1+2+3+…+20
＝23a+210，
即a1+a2+a3+ +a24＝23a+210．
故答案为：23a+210．
【点评】本题主要考查数列递推式，考查通项公式的求法，考查运算求解能力，属于中档题．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2010 长宁区一模）下列函数中既是奇函数，又在区间[﹣1，1]上单调递减的函数是（ ）
A．f（x）＝sinx B．f（x）＝﹣|x+1|
C． D．
【考点】奇函数、偶函数；函数单调性的性质与判断．
【专题】阅读型．
【分析】本题是选择题，可采用逐一检验的方法，只要不满足其中一条就能说明不正确．
【解答】解：f（x）＝sinx是奇函数，但其在区间[﹣1，1]上单调递增，故A错；
∵f（x）＝﹣|x+1|，∴f（﹣x）＝﹣|﹣x+1|≠﹣f（x），∴f（x）＝﹣|x+1|不是奇函数，∴故B错；
∵a＞1时，y＝ax在[﹣1，1]上单调递增，y＝a﹣x[﹣1，1]上单调递减，∴f（x）在[﹣1，1]上单调递增，故C错；
故选：D．
【点评】本题综合考查了函数的奇偶性与单调性，本选择题要直接利用函数奇偶性的性质对选项逐一检验的方法，本类题是函数这一部分的常见好题．
14．（5分）（2022 徐汇区二模）下列以t为参数的参数方程中，其表示的曲线与方程xy＝1表示的曲线完全一致的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】参数方程化成普通方程．
【专题】转化思想；综合法；坐标系和参数方程；数学运算．
【分析】根据x范围依次排除ABC得到正确答案．
【解答】解：对于A，，∴x0，排除A；
对于B，，x＝|t|≥0，排除B；
对于C，，﹣1≤x＝cost≤1，排除C．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查参数的性质、排除法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
15．（5分）（2018春 鼓楼区校级期末）函数f（x）＝sin2x﹣cos（x+θ）在[0，2π]上的零点个数记为g（θ），若，则g（θ）的最大值与最小值之和为（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【考点】三角函数的最值．
【专题】函数思想；分析法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由题可将零点问题转化为函数交点问题进行求解．
【解答】解：令f（x）＝sin2x﹣cos（x+θ）＝0，解得sin2x＝cos（x+θ），
f（x）的零点个数可看成y＝sin2x与y＝cos（x+θ）的交点个数，
y＝cos（x+θ）是由y＝cosx向左平移θ个单位得到的，
因为，所以当θ＝0时，交点个数最多，sin2x＝cosx，
∵x∈[0，2π]，∴解得，，
当时，交点个数最少，sin2x＝﹣sinx，
∵x∈[0，2π]，解得，
故g（θ）的最大值与最小值之和为7，
故选：A．
【点评】本题考查了三角函数的性质，考查了函数零点问题，以及三角函数图像，属于中档题．
16．（5分）（2018 上海模拟）若实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．则a、b、c的大小关系是（ ）
A．b＞a＞c B．c＞b＞a C．c＞a＞b D．a＞b＞c
【考点】不等关系与不等式．
【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用．
【分析】运用二次函数的单调性和对数函数的图象和性质，结合不等式的性质，可得a，b，c的大小关系．
【解答】解：实数a、b、c同时满足：①a2＞b2；②1+ac＜a+c；③logba＞c．
由③可得：a，b＞0，b≠1，又由①可得a＞b＞0．
由②可得：（a﹣1）（c﹣1）＜0，则或．
由，及其③可得，若a＞b＞1，则logba＞1，
由c＜1，可得a＞b＞c；
若0＜b＜1，则logba＜0，c＜0，可得a＞b＞c；
由，及其③可得logba＞1，可得a＜b＜1，与a＞b矛盾，
综上可得a＞b＞c，
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数和对数函数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 浦东新区校级二模）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝1，AB＝AD＝2，E、F分别是AB、BC的中点．
（1）证明：A1、C1、F、E四点共面；
（2）求直线CD1与平面A1C1FE所成的角的大小．
【考点】直线与平面所成的角；平面的基本性质及推论．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间角；数学运算．
【分析】（1）连接AC，利用三角形中位线和直线平行传递性可证；
（2）建立空间直角坐标系，由向量法直接计算可得．
【解答】（1）证明：连接AC，
∵E，F分别为AB、BC的中点，
∴EF∥AC，
又∵AA1∥CC1，
∴四边形ACC1A1为平行四边形，
∴AlC1∥AC，∴Al l∥EF，
所以A1，C1，F、E四点共面；
（2）解：如图，以D为坐标原点建立空间直角坐标系，
可得有关点的坐标为A1（2，0，1），E（2，1，0），F（1，2，0），C（0，2，0），D1（0，0，1），
则，
设平面A1C1FE的法向量为（x，y，z），
故，取x＝1，得（1，1，1），
记直线CD1与平面A1C1FE所成的角为θ，
则，
直线CD1与平面A1C1FE所成的角为．
【点评】本题考查了四点共面的证明以及直线与平面所成的角的计算，属于中档题．
18．（14分）（2022 闵行区校级二模）在平面四边形ABCD中，已知∠ABC，∠ADC，AC平分∠BAD．
（1）若∠BAD，AC＝2，求四边形ABCD的面积；
（2）若CD＝2AB，求tan∠BAC的值．
【考点】三角形中的几何计算；正弦定理．
【专题】计算题；对应思想；分析法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）根据正弦定理与面积公式求解
（2）根据正弦定理有关知识求解
【解答】解：（1），则，
在△ABC中，由正弦定理可知，则，
则．
（2）设∠BAC＝∠DAC＝α，在△ABC中，由正弦定理可知，
即，即，
在△ACD中，由正弦定理可知，即，
即，即，则，
2（cosαsinα）＝sinα，
cosα＝2sinα，
解得．
【点评】本题考查正余弦定理的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
19．（14分）（2022 宝山区二模）某地区的一种特色水果上市时间11个月中，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，现有三种价格模拟函数：①f（x）＝p qx；②f（x）＝px2+qx+1；③f（x）＝Asin（x）+B（以上三式中p，q，A，B均为常数．）
（1）为准确研究其价格走势，应选哪种价格模拟函数，为什么？
（2）若f（3）＝8，f（7）＝4，求出所选函数f（x）的解析式（注：函数的定义域是[0，10]，其中x＝0表示1月份，x＝1表示2月份， ，以此类推），为保证果农的收益，打算在价格在5元以下期间积极拓宽外销渠道，请你预测该水果在哪几个月份要采用外销策略？
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用；直观想象；数学运算．
【分析】（1）根据每个函数的特点及市场中价格的走势可知选择③f（x）＝Asin（x）+B；
（2）根据f（3）＝8，f（7）＝4，求出A，B的值，再根据f（x）＜5解出x的值即可．
【解答】解：（1）应选f（x）＝Asin（x）+B，
∵①f（x）＝p qx是单调函数且不具有先升后降再升的特点，
②f（x）＝px2+qx+1同样不具有先升后降再升的特点，
③f（x）＝Asin（x）+B有多个单调递增区间和减区间；
（2）由f（3）＝Asin（）+B＝AsinB＝A+B＝8，
f（7）＝Asin（）+B＝AsinB＝﹣A+B＝4，
所以解得：A＝2，B＝6；
所以f（x）＝2sin（x）+6（x∈[0，10]），
所以x∈[，]，
当f（x）＜5时，需采用外销策略，则此时2sin（x）+6＜5，
即sin（x），
又x∈[，]，
由y＝sinx函数得在[，]内，sinx，
得x或π＜xπ，
即x或πxπ，
即0＜x或 x，
又x＝0表示1月份，
故应在1月份、6月份、7月份、8月份、9月份采用外销策略．
【点评】本题考查了根据实际问题选择函数类型，也考查了学生分析问题、解决问题的能力，属于中档题．
20．（16分）（2022 闵行区校级二模）双曲线C：1（a＞0，b＞0）经过点（，1），且渐近线方程为y＝±x．
（1）求a，b的值；
（2）点A，B，D是双曲线C上不同的三点，且B，D两点关于y轴对称，△ABD的外接圆经过原点O．求证：点A与点B的纵坐标互为倒数；
（3）在（2）的条件下，试问是否存在一个定圆与直线AB相切，若有，求出定圆方程，没有说明理由．
【考点】直线与双曲线的综合．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）运用代入法，结合双曲线的渐近线方程进行求解即可；
（2）设出直线AB的方程，与双曲线方程联立，根据一元二次方程根与系数的关系，即可证明；
（3）由（2）中的结论及点到直线的距离公式可得原点O到直线AB的距离1，则定圆可求．
【解答】（1）解：由题意，，解得a＝b；
（2）证明：由（1）可得，C：x2﹣y2＝2，
由已知可知直线AB一定不为水平直线，设AB的方程为x＝my+n，A（x1，y1），B（x2，y2），D（﹣x2，y2），
联立，整理得（m2﹣1）y2+2mny+n2﹣2＝0，则，
由于△ABD的外接圆过原点且关于y轴对称，设为x2+y2+Ey＝0，
则，消去E可得，，
∴，整理得y1y2＝1，即点A与点B的纵坐标互为倒数；
（3）解：由1，得n2＝m2+1，
∴原点O到直线AB的距离d1，可知存在一个定圆x2+y2＝1与直线AB相切．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，圆的几何性质等知识，考查运算求解能力，属于中等题．
21．（18分）（2021 金山区二模）设m为给定的实常数，若函数y＝f（x）在其定义域内存在实数x0，使得f（x0+m）＝f（x0）+f（m）成立，则
称函数f（x）为“G（m）函数”．
（1）若函数f（x）＝2x为“G（2）函数”，求实数x0的值；
（2）若函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”，求实数a的取值范围；
（3）已知f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，设g（x）＝x|x﹣4|．若对任意的x1，x2∈[0，t]，当x1≠x2时，都有2成立，求实数t的最大值．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【专题】新定义；函数思想；转化法；函数的性质及应用；数学抽象；数学运算．
【分析】（1）由f（x）＝2x为“G（2）函数”，得，求解指数方程可得实数x0 的值；
（2）函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”可知，存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，整理得，a＝2时，符合题意；a≠2时，利用判别式大于0求解a的范围，取并集得答案；
（3）由f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，得f（x0+0）＝f（x0）+f（0）成立，可得f（x）＝x，不妨设x1＞x2，问题转化为g（x1）﹣2x1＞g（x2）﹣2x2，令F（x）＝g（x）﹣2x，则F（x）在[0，t]上单调递增，写出分段函数F（x）＝x|x﹣4|﹣2x，画出图形，数形结合可得实数t的最大值．
【解答】解：（1）由f（x）＝2x为“G（2）函数”，得f（x0+2）＝f（x0）+f（2），
即，解得，故实数x0的值为；
（2）函数f（x）＝lg，为“G（1）函数”可知，存在实数x0，使得f（x0+1）＝f（x0）+f（1）成立，
∴，即，
由0，得a＞0，整理得．
①当a＝2时，，符合题意；
②当a≠2时，由Δ＝4a2﹣4（a﹣2）（2a﹣2）≥0，即a2﹣6a+4≤0，
解得且a≠2，
综上，实数a的取值范围是[3，3]；
（3）由f（x）＝x+b（b∈R）为“G（0）函数”，得f（x0+0）＝f（x0）+f（0）成立，
即f（0）＝0，从而b＝0，则f（x）＝x，
不妨设x1＞x2，则由2成立，即2，
得g（x1）﹣2x1＞g（x2）﹣2x2，
令F（x）＝g（x）﹣2x，则F（x）在[0，t]上单调递增，
又F（x）＝x|x﹣4|﹣2x，
作出函数图象如图：
由图可知，0＜t≤1，故实数t的最大值为1．
【点评】本题考查函数的最值及其几何意义，考查新定义的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数的最值及其几何意义
【知识点的认识】
函数最大值或最小值是函数的整体性质，从图象上看，函数的最大值或最小值是图象最高点或最低点的纵坐标，求函数的最值一般是先求出极值在求出端点的值，然后进行比较可得．
【解题方法点拨】
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较．
【命题方向】
本知识点是常考点，重要性不言而喻，而且通常是以大题的形式出现，所以务必引起重视．本知识 点未来将仍然以复合函数为基础，添加若干个参数，然后求函数的定义域、参数范围或者满足一些特定要求的自变量或者参数的范围．常用方法有分离参变量法、多次求导法等．
4．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
5．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
6．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
7．不等关系与不等式
【不等关系与不等式】
不等关系就是不相等的关系，如2和3不相等，是相对于相等关系来说的，比如与就是相等关系．而不等式就包含两层意思，第一层包含了不相等的关系，第二层也就意味着它是个式子，比方说a＞b，a﹣b＞0就是不等式．
【不等式定理】
①对任意的a，b，有a＞b a﹣b＞0；a＝b a﹣b＝0；a＜b a﹣b＜0，这三条性质是做差比较法的依据．
②如果a＞b，那么b＜a；如果a＜b，那么b＞a．
③如果a＞b，且b＞c，那么a＞c；如果a＞b，那么a+c＞b+c．
推论：如果a＞b，且c＞d，那么a+c＞b+d．
④如果a＞b，且c＞0，那么ac＞bc；如果c＜0，那么ac＜bc．
【例题讲解】
例1：解不等式：sinx．
解：∵sinx，
∴2kπx≤2kπ（k∈Z），
∴不等式sinx的解集为{x|2kπx≤2kπ，k∈Z}．
这个题很典型，考查了不等式和三角函数的相关知识，也体现了一般不等式喜欢与函数联结的特点，这个题只要去找到满足要求的定义域即可，先找一个周期的，然后加上所以周期就是最后的解．
例2：当ab＞0时，a＞b ．
证明：由ab＞0，知0．
又∵a＞b，∴ab，即；
若，则
∴a＞b．
这个例题就是上面定理的一个简单应用，像这种判断型的题，如果要判断它是错的，直接举个反例即可，这种技巧在选择题上用的最广．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
13．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
14．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
15．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
17．三角函数的最值
【三角函数的最值】
三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数．
【例题解析】
例1：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x＝ cos（2x） ．
解：sin2x﹣sinxcosx+2cos2x2 （cos2x﹣sin2x）
cos（2x）．
故答案为：cos（2x）．
这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换．
例2：函数y＝sin2x﹣sinx+3的最大值是 ．
解：令sinx＝t，可得y＝t2﹣t+3，其中t∈[﹣1，1]
∵二次函数y＝t2﹣t+3的图象开口向上，对称轴是t
∴当t时函数有最小值，
而函数的最大值为t＝﹣1时或t＝1时函数值中的较大的那个
∵t＝﹣1时，y＝（﹣1）2﹣（﹣1）+3＝5，当t＝1时，y＝12﹣1+3＝3
∴函数的最大值为t＝﹣1时y的值
即sinx＝﹣1时，函数的最大值为5．
这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域．
【考点点评】
求三角函数的最值是高考的一个常考点，主要方法我上面已经写了，大家要注意的是把一些基本的方法融会贯通，同时一定要注意函数的定义域和相对应的值域．
18．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
19．直线与双曲线的综合
v．
20．直线与抛物线的综合
v．
21．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
22．平面的基本性质及推论
【知识点的认识】
平面的基本性质及推论：
1．公理1：如果一条直线上的两个点在一个平面内，则这条直线上所有的点都在这个平面内．
2．公理2：经过不在同一直线上的三点，有且只有一个平面．
①推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面．
②推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面．
③推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．
3．公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其他公共点，且这些公共点的集合是一条过这个公共点的直线．
【解题方法点拨】
1．公理1是判定直线在平面内的依据．
2．公理2及推论是确定平面的依据．
3．公理3是判定两个平面相交的依据．
23．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
24．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
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