2022高考数学终极押题密卷（北京卷）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（北京卷）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 406.3KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 09:42:12 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷2（北京卷）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 东城区二模）已知集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则 UA＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≤﹣1或x≥3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
2．（4分）（2022 房山区一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则z （ ）
A．5 B．3 C．5﹣4i D．3﹣4i
3．（4分）（2022 平谷区模拟）已知边长为2的正方形ABCD，设P为平面ABCD内任一点，则“0 4”是“点P在正方形及内部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）（2021 海淀区校级模拟）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最大棱长为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）（2018 黑龙江模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）（2020 延庆区一模）某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
7．（4分）（2021 海淀区一模）函数①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
8．（4分）（2021 北京模拟）已知三棱锥ABCD的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（0，1，2），则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）（2013 朝阳区一模）若直线y＝x+m与圆x2+y2+4x+2＝0有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，2） B．（﹣4，0）
C．（﹣2，﹣2） D．（0，4）
10．（4分）（2019 东城区一模）已知数列{an}满足：a1＝a，，则下列关于{an}的判断正确的是（ ）
A． a＞0， n≥2，使得
B． a＞0， n≥2，使得an＜an+1
C． a＞0， m∈N*，总有am＜an
D． a＞0， m∈N*，总有am+n＝an
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2020秋 虹口区期末）在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是 ．
12．（5分）（2022 丰台区一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为 ；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（0，2），则|FM|＝ ．
13．（5分）（2019 通州区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 1，则 的值是
14．（5分）（2020 东城区二模）已知cos2α，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ．
15．（5分）（2021秋 房山区期末）设函数，给出下列四个结论：
①函数f（x）的值域是R；
②对 t＞0，方程f（x）＝t都有3个实数根；
③，使得f（﹣x0）＝f（x0）；
④若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2022 朝阳区一模）在△ABC中，asinC+ccosA＝0．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
17．（13分）（2022 湖北模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB1；
（Ⅱ）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离．
18．（14分）（2021 西城区二模）在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对A，B，C，D，E五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如表，其中a＞b，ab∈N．
教育软件类型 A B C D E
选用教师人数 10 15 a 30 b
假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．
（Ⅰ）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数；
（Ⅱ）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率；
（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1；该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2；从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．试比较P1，P2和P3之间的大小．（结论不要求证明）
19．（15分）（2022 顺义区模拟）若函数f（x）＝（x+1）e﹣x．
（Ⅰ）判断方程f（x）＝1解的个数，并说明理由；
（Ⅱ）当a＞0，设，求g（x）的单调区间．
20．（15分）（2022 丰台区一模）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于点M，N．若|MN|≤4，求点P横坐标的取值范围．
21．（15分）（2022 石景山区一模）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．
（1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n﹣1+1，判断{cn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列{dn}为单调递增的等差数列，且d1≠0，dn∈Z（n∈N*），求证：{dn}为“等比源数列”．
2022高考数学终极押题密卷2（北京卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 东城区二模）已知集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则 UA＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≤﹣1或x≥3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【考点】补集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，利用补集定义能求出 UA．
【解答】解：∵集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴ UA＝{x|x≤﹣1或x≥3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）（2022 房山区一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则z （ ）
A．5 B．3 C．5﹣4i D．3﹣4i
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：∵复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），∴z＝2﹣i，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（4分）（2022 平谷区模拟）已知边长为2的正方形ABCD，设P为平面ABCD内任一点，则“0 4”是“点P在正方形及内部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】先建系写出坐标，利用向量的数量积运算得到0≤x≤2，再利用充要条件的定义判定即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如下，
则A（0，0），B（2，0），设P（x，y），
则0 4 0≤2x≤4 0≤x≤2，
①当x＝1，y＝4时，满足0 4，但P（1，4）在正方形外部，
②当点P在正方形及内部时，则0≤x≤2，0≤y≤2，
∴0 4是点P在正方形及内部的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积运算，充要条件的判定，属于中档题．
4．（4分）（2021 海淀区校级模拟）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最大棱长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．
【解答】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以最长的棱长AB．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5．（4分）（2018 黑龙江模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，
可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c＝2，即a2+b2＝4，
解得a＝1，b，
所求双曲线方程为：．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（4分）（2020 延庆区一模）某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
【考点】等比数列的通项公式；对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：4，取对数化简即可得出．
【解答】解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：4，
取对数可得：n6．
∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．
故选：B．
【点评】本题考查了指数对数运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（4分）（2021 海淀区一模）函数①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
【考点】三角函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：①f（x）＝sinx+cosx，
所以T＝2π，非奇非偶函数，
②f（x）＝sinxcosx，
故T，奇函数，
③，
故T，奇函数．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（4分）（2021 北京模拟）已知三棱锥ABCD的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（0，1，2），则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】画出图形，结合已知条件求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意，可知几何体是三棱锥，如图：
三棱锥的体积为：．
故选：B．
【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，空间空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
9．（4分）（2013 朝阳区一模）若直线y＝x+m与圆x2+y2+4x+2＝0有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，2） B．（﹣4，0）
C．（﹣2，﹣2） D．（0，4）
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可确定实数m的取值范围．
【解答】解：圆x2+y2+4x+2＝0化为（x+2）2+y2＝2，圆的圆心坐标（﹣2，0），半径为
∵直线y＝x+m与圆（x+2）2+y2＝2有两个不同的公共点，
∴d
∴m2﹣4m＜0
∴0＜m＜4
故选：D．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，属于中档题．
10．（4分）（2019 东城区一模）已知数列{an}满足：a1＝a，，则下列关于{an}的判断正确的是（ ）
A． a＞0， n≥2，使得
B． a＞0， n≥2，使得an＜an+1
C． a＞0， m∈N*，总有am＜an
D． a＞0， m∈N*，总有am+n＝an
【考点】数列递推式．
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；等差数列与等比数列．
【分析】A． a1＝a＞0，，由an＞0．利用基本不等式的性质即可得出an+1，即可判断出正误．
B．由A可得：n≥2时，an，即an+1＜an，即可判断出正误．
C．令f（x）（x），利用导数已经其单调性，即可判断出正误．
D：由a1＝a＞0，，a2，令a，解得a，即可判断出正误．
【解答】解：A． a1＝a＞0，，∴an＞0．∴an+1≥2，因此A不正确．
B．∵，由A可得：n≥2时，an，∴1，即an+1＜an，因此B不正确．
C．令f（x）（x），则f′（x）0，因此函数f（x）在[，+∞）上单调递增，因此不存在m∈N*，总有am＜an，不正确．
D：由a1＝a＞0，，a2，令a，解得a，则an，因此结论成立．
故选：D．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其单调性、利用导数已经函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2020秋 虹口区期末）在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是 112 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【分析】根据题意，求出（2x+1）8的展开式通项，分析可得当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即可得答案．
【解答】解：根据题意，（2x+1）8的展开式通项为Tr+1＝C8r（2x）8﹣r，
当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，
即x2项的系数是112，
故答案为：112．
【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．
12．（5分）（2022 丰台区一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为 （1，0） ；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（0，2），则|FM|＝ 5 ．
【考点】抛物线的性质；抛物线的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用抛物线方程求解焦点坐标；设M（，y），根据以MF为直径的圆过点A（0，2），可得0，解得y，然后利用抛物线的性质求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，∴F（1，0），
设M（，y），∵以MF为直径的圆过点A（0，2），
∴AM⊥AF，∴（，y 2） （1，﹣2）＝0，
∴ 2（y 2）＝0，解得y＝4，
∴xM4，∴|MF|＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了圆的性质、抛物线的定义及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（5分）（2019 通州区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 1，则 的值是 2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量的坐标，可得数量积
【解答】解：建立如图坐标系；
则A（0，0），B（2，0），C（2，），E（2，），F（x，）；
∴（2，0），（x，），（2，）；
∴ 2x＝1 x，
∴ 2x+1＝1+1＝2；
故答案为：2
【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标公式，考查运用坐标法解题，考查运算能力，属于中档题．
14．（5分）（2020 东城区二模）已知cos2α，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ﹣1 ．
【考点】二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由cos2α求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．
【解答】解：由cos2α，得2cos2α﹣1，即cos2α；
所以cos2（）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α
＝1﹣3cos2α
＝1﹣3
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二倍角的三角函数计算问题，是基础题．
15．（5分）（2021秋 房山区期末）设函数，给出下列四个结论：
①函数f（x）的值域是R；
②对 t＞0，方程f（x）＝t都有3个实数根；
③，使得f（﹣x0）＝f（x0）；
④若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【考点】函数的零点与方程根的关系；命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论．
【解答】解：因为函数，
其图象如下图所示：
对于①，由图可知，其值域是R，故①正确；
对于②，由图可知，当t＞3时，方程f（x）＝t只有2个实数根，故②不正确；
对于③，当x0＞0 时，使得有f（﹣x0）＝f（x0）成立，即y＝x2﹣4x+3 与y＝1+log3x有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数x1，x2，x3满足x1＜x2＜x3，
当满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）时，由图可知，
即 x1+x2＝﹣4，
当f（x）＝﹣1时，即1+log3x＝﹣1，解得，
当f（x）＝3时，即1+log3x＝3，解得x＝9，
从而可知，
所以，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2022 朝阳区一模）在△ABC中，asinC+ccosA＝0．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（I）边化角可得sinAsinC+sinCcosA＝0，可求tanA＝﹣1，即可求A；
（II）选择②③，由正弦定理可求b，求得sinC，可求面积，选择①③，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可求c，可求b，从而可求面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为asinC+ccosA＝0，
所以由正弦定理可得sinAsinC+sinCcosA＝0，
因为sinC≠0，
所以sinA+cosA＝0，即tanA＝﹣1，
因为A∈（0，π），
则∠A；
（Ⅱ）若选择②③，
由正弦定理，及a，sinB，得，所以b，
因为∠A，所以B∈（0，），∴cosB，
sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以S△ABCabsinC1．
若选择①③，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，及bc，得10＝2c2+c2﹣2c2，解得c，
所以b＝2，所以S△ABCbcsinA21．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
17．（13分）（2022 湖北模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB1；
（Ⅱ）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BM⊥AB1；
（Ⅱ）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式能求出点A1到平面BCM的距离．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AA1⊥平面ABC，AB，AC 平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，
A（0，0，0），A1（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，1），M（0，a，1），（a∈[0，1]），
（﹣1，a，1），（1，0，1），
∵0，∴BM⊥AB1；
（Ⅱ）设平面BCM的法向量（x，y，z），
（﹣1，a，1），（﹣1，1，0），
∴，取x＝1，得（1，1，1﹣a），
∵直线AB1与平面BCM所成角为，
∴sin，
解得a，∴（1，1，），
∵（1，0，﹣1），
∴点A1到平面BCM的距离为：
d．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（14分）（2021 西城区二模）在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对A，B，C，D，E五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如表，其中a＞b，ab∈N．
教育软件类型 A B C D E
选用教师人数 10 15 a 30 b
假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．
（Ⅰ）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数；
（Ⅱ）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率；
（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1；该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2；从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．试比较P1，P2和P3之间的大小．（结论不要求证明）
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）由统计表知a+b＝45，某校共有300名教师，由此能估计该校教师中使用教育软件C或E的人数．
（Ⅱ）设“从该地区教师中随机抽取3人．至少有2人使用教育软件D”为事件I，由频率估计概率，从该地区教师中随机抽取一名教师，该教师使用软件D的概率为，记被抽取的3人中使用软件D的人数为X，则符合事件I的X的可能取值为2，3，由此能估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率．
（Ⅲ）P1，由a+b＝45，a＞b，ab∈N．得23≤a≤44，从而；P2P1，从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．则P3＞P1＞P2．
【解答】解：（Ⅰ）由统计表知：
a+b＝100﹣10﹣15﹣30＝45，
若某校共有300名教师，则估计该校教师中使用教育软件C或E的人数为：
300135（人）．
（Ⅱ）设“从该地区教师中随机抽取3人．至少有2人使用教育软件D”为事件I，
由题意，样本中100名教师使用教育软件D的人数为30人，频率为，
由频率估计概率，从该地区教师中随机抽取一名教师，该教师使用软件D的概率为，
记被抽取的3人中使用软件D的人数为X，则符合事件I的X的可能取值为2，3，
∴估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率为：
P（I）＝P（X＝2）+P（X＝3）
．
（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1，
则P1，∵a+b＝45，a＞b，ab∈N．∴23≤a≤44，∴；
该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，
从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2，
则P2是M部分概率，P2P1；
从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．
则P3＞P1＞P2．
【点评】本题考查频数、概率的运算，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
19．（15分）（2022 顺义区模拟）若函数f（x）＝（x+1）e﹣x．
（Ⅰ）判断方程f（x）＝1解的个数，并说明理由；
（Ⅱ）当a＞0，设，求g（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．
【专题】导数的综合应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）对函数求导后直接判断出函数单调性从而得出函数在x＝0处取得极值1，从而判断函数f（x）＝1的解得个数；
（Ⅱ）对函数求导，根据未知数的不同范围判断函数单调增减区间．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣xe﹣x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，（0，+∞）递增，
且f（0）＝1，
故f（x）＝1仅有一个实数解x＝0；
（Ⅱ）当a＞0时，，
g′（x）＝x（a﹣e﹣x），
令g′（x）＝0，解得：x＝0或x＝﹣lna，
当0＜a＜1时，lna＜0，
此时令g′（x）＞0，解得：x＜0或者x＞﹣lna，
故g（x）的单调增区间为：（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），单调减区间为（0，﹣lna），
当a≥1时，令g′（x）＞0时，解得x＞0，
故g（x）的单调增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）．
综上所述：当0＜a＜1时，g（x）的单调增区间为：（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），单调减区间为（0，﹣lna），
当a≥1时，单调增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）．
【点评】本题主要考查函数单调性的求解，及根据未知数范围判断函数单调性．
20．（15分）（2022 丰台区一模）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于点M，N．若|MN|≤4，求点P横坐标的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）直接由条件计算a，b即可；
（Ⅱ）设出点P坐标，分别写出直线PA，PB的方程，表示出M，N坐标，由|MN|≤4得到不等式，解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得
解得a2＝4，b2＝1．
所以椭圆C的方程是．
（Ⅱ）设P（m，n）（﹣2＜m＜2），
由已知得A（﹣2，0），B（2，0），
所以直线AP，BP的方程分别为，．
令x＝4，得点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，
所以．
因为点P在椭圆C上，所以，
所以m2﹣4＝﹣4n2，即．
因为|MN|≤4，所以，即（m﹣4）2≤16n2．
所以（m﹣4）2≤﹣4（m2﹣4）．
整理得5m2﹣8m≤0，解得．
所以点P横坐标的取值范围是．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．（15分）（2022 石景山区一模）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．
（1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n﹣1+1，判断{cn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列{dn}为单调递增的等差数列，且d1≠0，dn∈Z（n∈N*），求证：{dn}为“等比源数列”．
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；对应思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（1）根据题中定义判断
（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解
（3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解
【解答】解：（1）{an}是“等比源数列”，{bn}不是“等比源数列”．
{an}中“1，2，4”构成等比数列，所以{an}是“等比源数列”；
{bn}中“1，2，6“，“1，2，24”，“1，6，24”，2，6，24”均不能构成等比数列，所以{bn}不是“等比源数列””．
（2）{cn}不是“等比源数列”．
假设{cn}是“等比源数列”，因为{cn}是单调递增数列，
即{cn}中存在的cm，cn，ck（m＜n＜k）三项成等比数列，也就是，即（2n﹣1+1）2＝（2m﹣1+1）（2k﹣1+1），
22n﹣2+2n＝2m﹣k﹣2+2m﹣1+2k﹣1，两边时除以2m﹣1得22n﹣m﹣1+2n﹣m+1＝2k﹣1+1+2k﹣m，
等式左边22n﹣m﹣1+2n﹣m+1为偶数，
等式右边2k﹣1+1+2k﹣m为奇数．
所以数列{cn}中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得{cn}不是“等比源数列”．
（3）证明：因为等差数列{dn}单调递增，所以d＞0．
因为dn∈Z则d≥1，且d∈Z，所以数列{dn}中必有一项dm＞0．
为了使得{dn}为“等比源数列”，只需要{dn}中存在第n项，第k项（m＜n＜k），
使得成立，即，
即（n﹣m）[2dm+（n﹣m）d]＝dm（k﹣m）成立．
当n＝dm+m，k＝2dm+（n﹣m）d+m时，上式成立．所以{dn}中存在dm，dn，dk成等比数列．
所以，数列{dn}为“等比源数列“．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
考点卡片
1．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； logalogaM．
5．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
8．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
12．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的知识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
【典型例题分析】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，
∴（m）2+（）2，
解得m
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
13．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
14．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
15．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
16．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：
解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d，
∴|m|，
即，
∴满足的必要不充分条件均可．
故答案为：满足的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
20．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
21．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
22．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
23．双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2
离心率 e（e＞1） e（e＞1）
渐近线 即y＝±x 即y＝±x
准线 x＝± y＝±
24．直线与椭圆的综合
v．
25．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
26．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
27．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 东城区二模）已知集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则 UA＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≤﹣1或x≥3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
2．（4分）（2022 房山区一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则z （ ）
A．5 B．3 C．5﹣4i D．3﹣4i
3．（4分）（2022 平谷区模拟）已知边长为2的正方形ABCD，设P为平面ABCD内任一点，则“0 4”是“点P在正方形及内部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）（2021 海淀区校级模拟）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最大棱长为（ ）
A． B． C． D．
5．（4分）（2018 黑龙江模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．（4分）（2020 延庆区一模）某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
7．（4分）（2021 海淀区一模）函数①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
8．（4分）（2021 北京模拟）已知三棱锥ABCD的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（0，1，2），则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．（4分）（2013 朝阳区一模）若直线y＝x+m与圆x2+y2+4x+2＝0有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，2） B．（﹣4，0）
C．（﹣2，﹣2） D．（0，4）
10．（4分）（2019 东城区一模）已知数列{an}满足：a1＝a，，则下列关于{an}的判断正确的是（ ）
A． a＞0， n≥2，使得
B． a＞0， n≥2，使得an＜an+1
C． a＞0， m∈N*，总有am＜an
D． a＞0， m∈N*，总有am+n＝an
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2020秋 虹口区期末）在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是 ．
12．（5分）（2022 丰台区一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为 ；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（0，2），则|FM|＝ ．
13．（5分）（2019 通州区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 1，则 的值是
14．（5分）（2020 东城区二模）已知cos2α，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ．
15．（5分）（2021秋 房山区期末）设函数，给出下列四个结论：
①函数f（x）的值域是R；
②对 t＞0，方程f（x）＝t都有3个实数根；
③，使得f（﹣x0）＝f（x0）；
④若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2022 朝阳区一模）在△ABC中，asinC+ccosA＝0．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
17．（13分）（2022 湖北模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB1；
（Ⅱ）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离．
18．（14分）（2021 西城区二模）在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对A，B，C，D，E五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如表，其中a＞b，ab∈N．
教育软件类型 A B C D E
选用教师人数 10 15 a 30 b
假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．
（Ⅰ）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数；
（Ⅱ）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率；
（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1；该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2；从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．试比较P1，P2和P3之间的大小．（结论不要求证明）
19．（15分）（2022 顺义区模拟）若函数f（x）＝（x+1）e﹣x．
（Ⅰ）判断方程f（x）＝1解的个数，并说明理由；
（Ⅱ）当a＞0，设，求g（x）的单调区间．
20．（15分）（2022 丰台区一模）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于点M，N．若|MN|≤4，求点P横坐标的取值范围．
21．（15分）（2022 石景山区一模）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．
（1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n﹣1+1，判断{cn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列{dn}为单调递增的等差数列，且d1≠0，dn∈Z（n∈N*），求证：{dn}为“等比源数列”．
2022高考数学终极押题密卷2（北京卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 东城区二模）已知集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}，则 UA＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜3} B．{x|﹣1≤x≤3} C．{x|x≤﹣1或x≥3} D．{x|x＜﹣1或x＞3}
【考点】补集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，利用补集定义能求出 UA．
【解答】解：∵集合U＝R，A＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝{x|﹣1＜x＜3}，
∴ UA＝{x|x≤﹣1或x≥3}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查补集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）（2022 房山区一模）在复平面内，复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），则z （ ）
A．5 B．3 C．5﹣4i D．3﹣4i
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，以及共轭复数的定义，即可求解．
【解答】解：∵复数z对应的点的坐标为（2，﹣1），∴z＝2﹣i，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（4分）（2022 平谷区模拟）已知边长为2的正方形ABCD，设P为平面ABCD内任一点，则“0 4”是“点P在正方形及内部”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】先建系写出坐标，利用向量的数量积运算得到0≤x≤2，再利用充要条件的定义判定即可．
【解答】解：建立平面直角坐标系如下，
则A（0，0），B（2，0），设P（x，y），
则0 4 0≤2x≤4 0≤x≤2，
①当x＝1，y＝4时，满足0 4，但P（1，4）在正方形外部，
②当点P在正方形及内部时，则0≤x≤2，0≤y≤2，
∴0 4是点P在正方形及内部的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题考查了向量的数量积运算，充要条件的判定，属于中档题．
4．（4分）（2021 海淀区校级模拟）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的最大棱长为（ ）
A． B． C． D．
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】首先把三视图转换为直观图，进一步求出最大棱长．
【解答】解：根据几何体的三视图可得直观图为：该几何体为四棱锥体，
如图所示：
所以最长的棱长AB．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和直观图形之间的转换，几何体的棱长的求法和应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
5．（4分）（2018 黑龙江模拟）已知双曲线的一条渐近线方程为，一个焦点坐标为（2，0），则双曲线C的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】直接利用双曲线的渐近线方程以及焦点坐标，得到关系式，求出a、b，即可得到双曲线方程．
【解答】解：双曲线的一条渐近线方程是，
可得，它的一个焦点坐标为（2，0），可得c＝2，即a2+b2＝4，
解得a＝1，b，
所求双曲线方程为：．
故选：C．
【点评】本题考查双曲线的方程的求法，双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．
6．（4分）（2020 延庆区一模）某企业生产A，B两种型号的产品，每年的产量分别为10万支和40万支，为了扩大再生产，决定对两种产品的生产线进行升级改造，预计改造后的A，B两种产品的年产量的增长率分别为50%和20%，那么至少经过多少年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量（取lg2＝0.3010）（ ）
A．6年 B．7年 C．8年 D．9年
【考点】等比数列的通项公式；对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：4，取对数化简即可得出．
【解答】解：设至少经过n年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量，则10×（1+50%）n＞40×（1+20%）n，化为：4，
取对数可得：n6．
∴至少经过7年后，A产品的年产量会超过B产品的年产量．
故选：B．
【点评】本题考查了指数对数运算性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
7．（4分）（2021 海淀区一模）函数①f（x）＝sinx+cosx，②f（x）＝sinxcosx，③中，周期是π且为奇函数的所有函数的序号是（ ）
A．①② B．② C．③ D．②③
【考点】三角函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：①f（x）＝sinx+cosx，
所以T＝2π，非奇非偶函数，
②f（x）＝sinxcosx，
故T，奇函数，
③，
故T，奇函数．
故选：D．
【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
8．（4分）（2021 北京模拟）已知三棱锥ABCD的四个顶点在空间直角坐标系中的坐标分别为A（2，0，0），B（2，1，0），C（0，2，0），D（0，1，2），则该三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】画出图形，结合已知条件求解几何体的体积即可．
【解答】解：由题意，可知几何体是三棱锥，如图：
三棱锥的体积为：．
故选：B．
【点评】本题考查空间几何体的体积的求法，空间空间想象能力，转化思想以及计算能力，是中档题．
9．（4分）（2013 朝阳区一模）若直线y＝x+m与圆x2+y2+4x+2＝0有两个不同的公共点，则实数m的取值范围是（ ）
A．（2，2） B．（﹣4，0）
C．（﹣2，﹣2） D．（0，4）
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，即可确定实数m的取值范围．
【解答】解：圆x2+y2+4x+2＝0化为（x+2）2+y2＝2，圆的圆心坐标（﹣2，0），半径为
∵直线y＝x+m与圆（x+2）2+y2＝2有两个不同的公共点，
∴d
∴m2﹣4m＜0
∴0＜m＜4
故选：D．
【点评】本题考查直线和圆的方程的应用，解题的关键是利用圆心到直线的距离小于半径，建立不等式，属于中档题．
10．（4分）（2019 东城区一模）已知数列{an}满足：a1＝a，，则下列关于{an}的判断正确的是（ ）
A． a＞0， n≥2，使得
B． a＞0， n≥2，使得an＜an+1
C． a＞0， m∈N*，总有am＜an
D． a＞0， m∈N*，总有am+n＝an
【考点】数列递推式．
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；等差数列与等比数列．
【分析】A． a1＝a＞0，，由an＞0．利用基本不等式的性质即可得出an+1，即可判断出正误．
B．由A可得：n≥2时，an，即an+1＜an，即可判断出正误．
C．令f（x）（x），利用导数已经其单调性，即可判断出正误．
D：由a1＝a＞0，，a2，令a，解得a，即可判断出正误．
【解答】解：A． a1＝a＞0，，∴an＞0．∴an+1≥2，因此A不正确．
B．∵，由A可得：n≥2时，an，∴1，即an+1＜an，因此B不正确．
C．令f（x）（x），则f′（x）0，因此函数f（x）在[，+∞）上单调递增，因此不存在m∈N*，总有am＜an，不正确．
D：由a1＝a＞0，，a2，令a，解得a，则an，因此结论成立．
故选：D．
【点评】本题考查了数列递推关系、数列的通项公式及其单调性、利用导数已经函数的单调性、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2020秋 虹口区期末）在（2x+1）8的二项式展开式中，x2项的系数是 112 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【分析】根据题意，求出（2x+1）8的展开式通项，分析可得当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，即可得答案．
【解答】解：根据题意，（2x+1）8的展开式通项为Tr+1＝C8r（2x）8﹣r，
当r＝6时，有T7＝C82（2x）2＝112x2，
即x2项的系数是112，
故答案为：112．
【点评】本题考查二项式定理的应用，注意二项式定理的形式，属于基础题．
12．（5分）（2022 丰台区一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，则F的坐标为 （1，0） ；设点M在抛物线C上，若以线段FM为直径的圆过点（0，2），则|FM|＝ 5 ．
【考点】抛物线的性质；抛物线的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用抛物线方程求解焦点坐标；设M（，y），根据以MF为直径的圆过点A（0，2），可得0，解得y，然后利用抛物线的性质求解即可．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F，∴F（1，0），
设M（，y），∵以MF为直径的圆过点A（0，2），
∴AM⊥AF，∴（，y 2） （1，﹣2）＝0，
∴ 2（y 2）＝0，解得y＝4，
∴xM4，∴|MF|＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了圆的性质、抛物线的定义及其性质、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
13．（5分）（2019 通州区一模）如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC，点E为BC的中点，点F在边CD上，若 1，则 的值是 2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】建立直角坐标系，由已知条件可得F的坐标，进而可得向量的坐标，可得数量积
【解答】解：建立如图坐标系；
则A（0，0），B（2，0），C（2，），E（2，），F（x，）；
∴（2，0），（x，），（2，）；
∴ 2x＝1 x，
∴ 2x+1＝1+1＝2；
故答案为：2
【点评】本题考查平面向量的数量积的坐标公式，考查运用坐标法解题，考查运算能力，属于中档题．
14．（5分）（2020 东城区二模）已知cos2α，则cos2（）﹣2cos2（π﹣α）的值为 ﹣1 ．
【考点】二倍角的三角函数；运用诱导公式化简求值．
【专题】转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由cos2α求得cos2α的值，再化简并计算所求三角函数值．
【解答】解：由cos2α，得2cos2α﹣1，即cos2α；
所以cos2（）﹣2cos2（π﹣α）＝sin2α﹣2cos2α
＝1﹣3cos2α
＝1﹣3
＝﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了二倍角的三角函数计算问题，是基础题．
15．（5分）（2021秋 房山区期末）设函数，给出下列四个结论：
①函数f（x）的值域是R；
②对 t＞0，方程f（x）＝t都有3个实数根；
③，使得f（﹣x0）＝f（x0）；
④若互不相等的实数x1，x2，x3满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1+x2+x3的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是 ①③④ ．
【考点】函数的零点与方程根的关系；命题的真假判断与应用．
【专题】计算题；转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】画出函数图象，结合图象对四个结论依次分析，即可求解结论．
【解答】解：因为函数，
其图象如下图所示：
对于①，由图可知，其值域是R，故①正确；
对于②，由图可知，当t＞3时，方程f（x）＝t只有2个实数根，故②不正确；
对于③，当x0＞0 时，使得有f（﹣x0）＝f（x0）成立，即y＝x2﹣4x+3 与y＝1+log3x有交点，这显然成立，故③正确；
对于④，不妨设互不相等的实数x1，x2，x3满足x1＜x2＜x3，
当满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）时，由图可知，
即 x1+x2＝﹣4，
当f（x）＝﹣1时，即1+log3x＝﹣1，解得，
当f（x）＝3时，即1+log3x＝3，解得x＝9，
从而可知，
所以，故④正确．
故答案为：①③④．
【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，属于中档题．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2022 朝阳区一模）在△ABC中，asinC+ccosA＝0．
（Ⅰ）求∠A；
（Ⅱ）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择两个作为已知，使△ABC存在且唯一确定，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；方程思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（I）边化角可得sinAsinC+sinCcosA＝0，可求tanA＝﹣1，即可求A；
（II）选择②③，由正弦定理可求b，求得sinC，可求面积，选择①③，由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA，可求c，可求b，从而可求面积．
【解答】解：（Ⅰ）因为asinC+ccosA＝0，
所以由正弦定理可得sinAsinC+sinCcosA＝0，
因为sinC≠0，
所以sinA+cosA＝0，即tanA＝﹣1，
因为A∈（0，π），
则∠A；
（Ⅱ）若选择②③，
由正弦定理，及a，sinB，得，所以b，
因为∠A，所以B∈（0，），∴cosB，
sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以S△ABCabsinC1．
若选择①③，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，及bc，得10＝2c2+c2﹣2c2，解得c，
所以b＝2，所以S△ABCbcsinA21．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
17．（13分）（2022 湖北模拟）如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1上一点．
（Ⅰ）求证：BM⊥AB1；
（Ⅱ）若直线AB1与平面BCM所成角为，求点A1到平面BCM的距离．
【考点】点、线、面间的距离计算．
【专题】转化思想；向量法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）建立空间直角坐标系，利用向量法能证明BM⊥AB1；
（Ⅱ）利用空间向量夹角公式，结合空间点到面距离公式能求出点A1到平面BCM的距离．
【解答】解：（Ⅰ）证明：∵AA1⊥平面ABC，AB，AC 平面ABC，
∴AA1⊥AB，AA1⊥AC，而AB⊥AC，故建立如图所示的空间直角坐标系，
A（0，0，0），A1（0，0，1），B（1，0，0），C（0，1，0），B1（1，0，1），M（0，a，1），（a∈[0，1]），
（﹣1，a，1），（1，0，1），
∵0，∴BM⊥AB1；
（Ⅱ）设平面BCM的法向量（x，y，z），
（﹣1，a，1），（﹣1，1，0），
∴，取x＝1，得（1，1，1﹣a），
∵直线AB1与平面BCM所成角为，
∴sin，
解得a，∴（1，1，），
∵（1，0，﹣1），
∴点A1到平面BCM的距离为：
d．
【点评】本题考查线线垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
18．（14分）（2021 西城区二模）在新冠病毒疫情防控期间，北京市中小学开展了“优化线上教育与学生线下学习相结合”的教育教学实践活动．为了解某区教师对A，B，C，D，E五类线上教育软件的使用情况（每位教师都使用这五类教育软件中的某一类且每位教师只选择一类教育软件），从该区教师中随机抽取了100人，统计数据如表，其中a＞b，ab∈N．
教育软件类型 A B C D E
选用教师人数 10 15 a 30 b
假设所有教师选择使用哪类软件相互独立．
（Ⅰ）若某校共有300名教师，试估计该校教师中使用教育软件C或E的人数；
（Ⅱ）从该区教师中随机抽取3人，估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率；
（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1；该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2；从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．试比较P1，P2和P3之间的大小．（结论不要求证明）
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）由统计表知a+b＝45，某校共有300名教师，由此能估计该校教师中使用教育软件C或E的人数．
（Ⅱ）设“从该地区教师中随机抽取3人．至少有2人使用教育软件D”为事件I，由频率估计概率，从该地区教师中随机抽取一名教师，该教师使用软件D的概率为，记被抽取的3人中使用软件D的人数为X，则符合事件I的X的可能取值为2，3，由此能估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率．
（Ⅲ）P1，由a+b＝45，a＞b，ab∈N．得23≤a≤44，从而；P2P1，从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．则P3＞P1＞P2．
【解答】解：（Ⅰ）由统计表知：
a+b＝100﹣10﹣15﹣30＝45，
若某校共有300名教师，则估计该校教师中使用教育软件C或E的人数为：
300135（人）．
（Ⅱ）设“从该地区教师中随机抽取3人．至少有2人使用教育软件D”为事件I，
由题意，样本中100名教师使用教育软件D的人数为30人，频率为，
由频率估计概率，从该地区教师中随机抽取一名教师，该教师使用软件D的概率为，
记被抽取的3人中使用软件D的人数为X，则符合事件I的X的可能取值为2，3，
∴估计这3人中至少有2人使用教育软件D的概率为：
P（I）＝P（X＝2）+P（X＝3）
．
（Ⅲ）设该区有3000名教师，从中随机抽取1人，记该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P1，
则P1，∵a+b＝45，a＞b，ab∈N．∴23≤a≤44，∴；
该区学校M有600名教师，其中有200人使用教育软件C，100人使用教育软件D，
从学校M中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率值为P2，
则P2是M部分概率，P2P1；
从该区其他教师（除学校M外）中随机抽取1人，该教师使用教育软件C或D的概率估计值为P3．
则P3＞P1＞P2．
【点评】本题考查频数、概率的运算，考查二项分布等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是中档题．
19．（15分）（2022 顺义区模拟）若函数f（x）＝（x+1）e﹣x．
（Ⅰ）判断方程f（x）＝1解的个数，并说明理由；
（Ⅱ）当a＞0，设，求g（x）的单调区间．
【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系．
【专题】导数的综合应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）对函数求导后直接判断出函数单调性从而得出函数在x＝0处取得极值1，从而判断函数f（x）＝1的解得个数；
（Ⅱ）对函数求导，根据未知数的不同范围判断函数单调增减区间．
【解答】解：（Ⅰ）f′（x）＝﹣xe﹣x，
令f′（x）＞0，解得：x＜0，
故f（x）在（﹣∞，0）递减，（0，+∞）递增，
且f（0）＝1，
故f（x）＝1仅有一个实数解x＝0；
（Ⅱ）当a＞0时，，
g′（x）＝x（a﹣e﹣x），
令g′（x）＝0，解得：x＝0或x＝﹣lna，
当0＜a＜1时，lna＜0，
此时令g′（x）＞0，解得：x＜0或者x＞﹣lna，
故g（x）的单调增区间为：（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），单调减区间为（0，﹣lna），
当a≥1时，令g′（x）＞0时，解得x＞0，
故g（x）的单调增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）．
综上所述：当0＜a＜1时，g（x）的单调增区间为：（﹣∞，0），（﹣lna，+∞），单调减区间为（0，﹣lna），
当a≥1时，单调增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）．
【点评】本题主要考查函数单调性的求解，及根据未知数范围判断函数单调性．
20．（15分）（2022 丰台区一模）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右顶点分别为A，B，且|AB|＝4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上不同于A，B的一点，直线PA，PB与直线x＝4分别交于点M，N．若|MN|≤4，求点P横坐标的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）直接由条件计算a，b即可；
（Ⅱ）设出点P坐标，分别写出直线PA，PB的方程，表示出M，N坐标，由|MN|≤4得到不等式，解不等式即可．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得
解得a2＝4，b2＝1．
所以椭圆C的方程是．
（Ⅱ）设P（m，n）（﹣2＜m＜2），
由已知得A（﹣2，0），B（2，0），
所以直线AP，BP的方程分别为，．
令x＝4，得点M的纵坐标为，点N的纵坐标为，
所以．
因为点P在椭圆C上，所以，
所以m2﹣4＝﹣4n2，即．
因为|MN|≤4，所以，即（m﹣4）2≤16n2．
所以（m﹣4）2≤﹣4（m2﹣4）．
整理得5m2﹣8m≤0，解得．
所以点P横坐标的取值范围是．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
21．（15分）（2022 石景山区一模）若数列{an}中存在三项，按一定次序排列构成等比数列，则称{an}为“等比源数列”．
（1）已知数列{an}为4，3，1，2，数列{bn}为1，2，6，24，分别判断{an}，{bn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（2）已知数列{cn}的通项公式为cn＝2n﹣1+1，判断{cn}是否为“等比源数列”，并说明理由；
（3）已知数列{dn}为单调递增的等差数列，且d1≠0，dn∈Z（n∈N*），求证：{dn}为“等比源数列”．
【考点】数列的应用．
【专题】计算题；对应思想；分析法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（1）根据题中定义判断
（2）假设存在三项成等比数列后列方程，判断是否有解
（3）假设存在三项成等比数列后列方程，找出一组解
【解答】解：（1）{an}是“等比源数列”，{bn}不是“等比源数列”．
{an}中“1，2，4”构成等比数列，所以{an}是“等比源数列”；
{bn}中“1，2，6“，“1，2，24”，“1，6，24”，2，6，24”均不能构成等比数列，所以{bn}不是“等比源数列””．
（2）{cn}不是“等比源数列”．
假设{cn}是“等比源数列”，因为{cn}是单调递增数列，
即{cn}中存在的cm，cn，ck（m＜n＜k）三项成等比数列，也就是，即（2n﹣1+1）2＝（2m﹣1+1）（2k﹣1+1），
22n﹣2+2n＝2m﹣k﹣2+2m﹣1+2k﹣1，两边时除以2m﹣1得22n﹣m﹣1+2n﹣m+1＝2k﹣1+1+2k﹣m，
等式左边22n﹣m﹣1+2n﹣m+1为偶数，
等式右边2k﹣1+1+2k﹣m为奇数．
所以数列{cn}中不存在三项按一定次序排列构成等比数列．
综上可得{cn}不是“等比源数列”．
（3）证明：因为等差数列{dn}单调递增，所以d＞0．
因为dn∈Z则d≥1，且d∈Z，所以数列{dn}中必有一项dm＞0．
为了使得{dn}为“等比源数列”，只需要{dn}中存在第n项，第k项（m＜n＜k），
使得成立，即，
即（n﹣m）[2dm+（n﹣m）d]＝dm（k﹣m）成立．
当n＝dm+m，k＝2dm+（n﹣m）d+m时，上式成立．所以{dn}中存在dm，dn，dk成等比数列．
所以，数列{dn}为“等比源数列“．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
考点卡片
1．补集及其运算
【知识点的认识】
一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中所涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U．（通常把给定的集合作为全集）．
对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作 UA，即 UA＝{x|x∈U，且x A}．其图形表示如图所示的Venn图．．
【解题方法点拨】
常用数轴以及韦恩图帮助分析解答，补集常用于对立事件，否命题，反证法．
【命题方向】
通常情况下以小题出现，高考中直接求解补集的选择题，有时出现在简易逻辑中，也可以与函数的定义域、值域，不等式的解集相结合命题，也可以在恒成立中出现．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．命题的真假判断与应用
【知识点的认识】
判断含有“或”、“且”、“非”的复合命题的真假，首先要明确p、q及非p的真假，然后由真值表判断复合命题的真假．
注意：“非p”的正确写法，本题不应将“非p”写成“方程x2﹣2x+1＝0的两根都不是实根”，因为“都是”的反面是“不都是”，而不是“都不是”，要认真区分．
【解题方法点拨】
1．判断复合命题的真假，常分三步：先确定复合命题的构成形式，再指出其中简单命题的真假，最后由真值表得出复合命题的真假．
2．判断一个“若p则q”形式的复合命题的真假，不能用真值表时，可用下列方法：若“pq”，则“若p则q”为真；而要确定“若p则q”为假，只需举出一个反例说明即可．
3．判断逆命题、否命题、逆否命题的真假，有时可利用原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假这一关系进行转化判断．
【命题方向】该部分内容是《课程标准》新增加的内容，几乎年年都考，涉及知识点多而且全，多以小题形式出现．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； logalogaM．
5．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
8．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
12．列举法计算基本事件数及事件发生的概率
【知识点的知识】
1、等可能条件下概率的意义：一般地，如果在一次试验中，有n种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的m种结果，那么事件A发生的概率为P（A）．
等可能条件下概率的特征：
（1）对于每一次试验中所有可能出现的结果都是有限的；
（2）每一个结果出现的可能性相等．
2、概率的计算方法：
（1）列举法（列表或画树状图），
（2）公式法；
列表法或树状图这两种举例法，都可以帮助我们不重不漏的列出所以可能的结果．
列表法
（1）定义：用列出表格的方法来分析和求解某些事件的概率的方法叫做列表法．
（2）列表法的应用场合
当一次试验要设计两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法．
树状图法
（1）定义：通过列树状图列出某事件的所有可能的结果，求出其概率的方法叫做树状图法．
（2）运用树状图法求概率的条件
当一次试验要设计三个或更多的因素时，用列表法就不方便了，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树状图法求概率．
【典型例题分析】
典例1：将一颗骰子投掷两次，第一次出现的点数记为a，第二次出现的点数记为b，设任意投掷两次使两条不重合直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的概率为P1，相交的概率为P2，若点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，则实数m的取值范围是（ ）
A．（，+∞） B．（﹣∞，） C．（，） D．（，）
解析：对于a与b各有6中情形，故总数为36种
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2平行的情形有a＝2，b＝4，或a＝3，b＝6，故概率为P
设两条直线l1：ax+by＝2，l2：x+2y＝2相交的情形除平行与重合即可，
∵当直线l1、l2相交时b≠2a，图中满足b＝2a的有（1，2）、（2，4）、（3，6）共三种，
∴满足b≠2a的有36﹣3＝33种，
∴直线l1、l2相交的概率P，
∵点（P1，P2）在圆（x﹣m）2+y2的内部，
∴（m）2+（）2，
解得m
故选：D
典例2：某种零件按质量标准分为1，2，3，4，5五个等级，现从一批该零件巾随机抽取20个，对其等级进行统计分析，得到频率分布表如下
等级 1 2 3 4 5
频率 0.05 m 0.15 0.35 n
（1）在抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，求m，n；
（2）在（1）的条件下，从等级为3和5的所有零件中，任意抽取2个，求抽取的2个零件等级恰好相同的概率．
解析：（1）由频率分布表得 0.05+m+0.15+0.35+n＝1，
即 m+n＝0.45．…（2分）
由抽取的20个零件中，等级为5的恰有2个，
得 ．…（4分）
所以m＝0.45﹣0.1＝0.35．…（5分）
（2）：由（1）得，等级为3的零件有3个，记作x1，x2，x3；等级为5的零件有2个，
记作y1，y2．从x1，x2，x3，y1，y2中任意抽取2个零件，所有可能的结果为：（x1，x2），（x1，x3），（x1，y1），（x1，y2），（x2，x3），（x2，y1），（x2，y2），（x3，y1），（x3，y2），（y1，y2）
共计10种．…（9分）
记事件A为“从零件x1，x2，x3，y1，y2中任取2件，其等级相等”．
则A包含的基本事件为（x1，x2），（x1，x3），（x2，x3），（y1，y2）共4个．…（11分）
故所求概率为 ．…（13分）
13．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
14．运用诱导公式化简求值
【知识点的认识】
利用诱导公式化简求值的思路
1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数．
2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数．
3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数．
4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得．
15．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
16．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：
解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d，
∴|m|，
即，
∴满足的必要不充分条件均可．
故答案为：满足的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
20．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
21．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
22．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
23．双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2
离心率 e（e＞1） e（e＞1）
渐近线 即y＝±x 即y＝±x
准线 x＝± y＝±
24．直线与椭圆的综合
v．
25．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
26．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
27．点、线、面间的距离计算
【知识点的知识】
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