2022高考数学终极押题密卷（北京卷）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（北京卷）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 383.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 09:43:02 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷3（北京卷）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 通州区一模）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2） B．[﹣2，3） C．[1，2） D．[1，2]
2．（4分）（2022 石景山区一模）复数z满足（1+i） z＝1﹣i，则z＝（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
3．（4分）（2022 丰台区一模）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）（2021 昌平区二模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）
A．24 B．36 C．54 D．108
5．（4分）（2016 江门模拟）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．x2﹣y2＝2 C．x2﹣y2 D．x2﹣y2
6．（4分）（2021 昌平区二模）中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则．例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．
二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至．已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（ ）
A．3.4尺 B．4.36尺 C．5.32尺 D．21.64尺
7．（4分）（2021 石景山区一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期T＝π的是（ ）
A． B．f（x）＝x3
C．f（x）＝2sinxcosx D．f（x）＝sinx
8．（4分）（2021秋 海淀区期末）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”．他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2．该小组给出了图1中的相关数据：AA1＝13cm，BB1＝12cm，CC1＝20cm，A1B1＝15cm，B1C1＝48cm，其中B是双曲线的一个顶点．小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如表所示．
学生 甲 乙 丙 丁
估算结果（cm3） 25200π 17409π 14889π 13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）
（参考公式：V圆柱＝πR2h，V圆锥πR2h，V圆台πh（r2+rR+R2））
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（4分）（2012 房山区一模）直线y＝kx+3与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2018 大兴区一模）设S＝2n+2n﹣1×3+2n﹣2×32+…+2×3n﹣1+3n，n∈N*，则S＝（ ）
A．2n B．2×3n﹣2n+1 C．3n+2n D．3n+1﹣2n+1
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2021秋 临淄区校级期中）（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为 ．（用数字作答）
12．（5分）（2021 东城区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），那么抛物线C的准线方程为 ，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为 ．
13．（5分）（2019 海淀区二模）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为BC的中点，点F在线段DC上．若，且点P在直线AC上，则
14．（5分）（2015 江西一模）已知，则值为 ．
15．（5分）（2021 海淀区校级模拟）已知函数f（x），若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 ．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2022 房山区一模）在△ABC中，bsinA＝acosB．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：AB边上的高为．
17．（13分）（2022 石景山区一模）如图1，在平面四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD．将△PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示．
（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为，请说明理由．
18．（14分）（2021 北京模拟）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期．记随机变量x1、x2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，x1和x2的分布列如表所示：
x1 1 2 3 4
P 0.1 0.4 0.4 0.1
x2 1 2 3 4
P 0.4 0.1 0.1 0.4
（Ⅰ）若某位顾客购买H型和V手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；
（Ⅱ）电商平台销售一部V型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元．记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X（单位：元），求X的分布列；
（Ⅲ）比较D（x1）与D（x2）的大小．（只需写出结论）
19．（15分）（2022 丰台区一模）已知函数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
20．（15分）（2021 昌平区二模）已知椭圆C：过点P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m与椭圆C有两个不同的交点A，B，当|PA|＝|PB|时，求实数k的取值范围．
21．（15分）（2022 房山区一模）若无穷数列{an}满足如下两个条件，则称{an}为无界数列：
①an＞0（n＝1，2，3， ）；
②对任意的正数δ，都存在正整数N，使得aN＞δ．
（Ⅰ）若an＝2n+1，bn＝2+cos（n）（n＝1，2，3， ），判断数列{an}，{bn}是否是无界数列；
（Ⅱ）若an＝2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若数列{an}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得．
2022高考数学终极押题密卷3（北京卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 通州区一模）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2） B．[﹣2，3） C．[1，2） D．[1，2]
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；对应思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】利用交集的定义求解即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，
∴A∩B＝[1，2），
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（4分）（2022 石景山区一模）复数z满足（1+i） z＝1﹣i，则z＝（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵（1+i） z＝1﹣i，
∴i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（4分）（2022 丰台区一模）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．
【分析】z为纯虚数 a＝0且b≠0，以此可解决此题．
【解答】解：因为z为纯虚数 a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查复数定义及充分、必要条件的判断．考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
4．（4分）（2021 昌平区二模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）
A．24 B．36 C．54 D．108
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用体积公式的应用求出结果．
【解答】解：根据三视图和直观图之间的转换：该几何体为底面边长为6，高为3的正四棱锥；
如图所示：
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（4分）（2016 江门模拟）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．x2﹣y2＝2 C．x2﹣y2 D．x2﹣y2
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】待定系数法．
【分析】由题意，设双曲线方程为 1（a＞0），利用焦点到渐近线的距离等于，求出待定系数 a2．
【解答】解：由题意，设双曲线方程为1（a＞0），
则ca，渐近线y＝x，∴，∴a2＝2．
∴双曲线方程为x2﹣y2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用．
6．（4分）（2021 昌平区二模）中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则．例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．
二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至．已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（ ）
A．3.4尺 B．4.36尺 C．5.32尺 D．21.64尺
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由题意可得等差数列的a1＝13，a13＝1.48，求解公差，再由通项公式求a10．
【解答】解：由题意，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至的晷影长
构成以a1＝13，a13＝1.48的等差数列，设公差为d，则d，
立夏的晷影长为a10＝a1+9d＝13+9×（﹣0.96）＝4.36．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
7．（4分）（2021 石景山区一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期T＝π的是（ ）
A． B．f（x）＝x3
C．f（x）＝2sinxcosx D．f（x）＝sinx
【考点】三角函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数据分析．
【分析】由题意利用函数的奇偶性和周期性，三角函数的性质，得出结论．
【解答】解：由于函数f（x）不是周期函数，故排除A；
由于f（x）＝x3不是周期函数，故排除B；
由于f（x）＝2sinxcosx＝sin2x为奇函数，且是周期函数，周期为π，故C满足条件；
由于f（x）＝sinx是奇函数，且周期为2π，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，三角函数的性质，属于中档题．
8．（4分）（2021秋 海淀区期末）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”．他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2．该小组给出了图1中的相关数据：AA1＝13cm，BB1＝12cm，CC1＝20cm，A1B1＝15cm，B1C1＝48cm，其中B是双曲线的一个顶点．小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如表所示．
学生 甲 乙 丙 丁
估算结果（cm3） 25200π 17409π 14889π 13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）
（参考公式：V圆柱＝πR2h，V圆锥πR2h，V圆台πh（r2+rR+R2））
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；立体几何；数学运算．
【分析】以BB1为分界线，把花瓶看作近似两个圆台的组合体，设上半部分圆台体积为V1，下半部分圆台体积为V2，
再结合圆台的面积公式，即可求解．
【解答】解：以BB1为分界线，把花瓶看作近似两个圆台的组合体，
设上半部分圆台体积为V1，下半部分圆台体积为V2，
以C1C为半径的圆面面积为，
以B1B为半径的圆面面积为，
以A1A为半径的圆面面积为169π，
所以12544π，2345π，
故V总＝V1+V2＝12544π+2345＝14889π，
故最接近的是丙同学的估算，
故选：C．
【点评】本题考查有关柱体、锥体体积的有关计算，属于中档题．
9．（4分）（2012 房山区一模）直线y＝kx+3与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离d≤1，利用点到直线的距离公式即可求解斜率k的范围
【解答】解：由弦长公式得，圆心到直线的距离d≤1
即d1，
∴10k+24≤0
∴k
故选：B．
【点评】本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．
10．（4分）（2018 大兴区一模）设S＝2n+2n﹣1×3+2n﹣2×32+…+2×3n﹣1+3n，n∈N*，则S＝（ ）
A．2n B．2×3n﹣2n+1 C．3n+2n D．3n+1﹣2n+1
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知可得：S＝2n，再利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵S＝2n+2n﹣1×3+2n﹣2×32+…+2×3n﹣1+3n，n∈N*，
∴S＝2n2n3n+1﹣2n+1．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2021秋 临淄区校级期中）（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为 ﹣48 ．（用数字作答）
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；二项式定理．
【分析】根据x2y7的来由分析两种可能，结合二项展开式求系数．
【解答】解：当因式x﹣2y取x，则二项式（x+y）8则取xy7，此时系数为8；
当因式x﹣2y取﹣2y，则二项式（x+y）8则取x2y6，此时系数为56；
所以（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为8﹣56＝﹣48；
故答案为：﹣48．
【点评】本题考查了二项式定理的运用；关键是明确所求项的由来．
12．（5分）（2021 东城区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），那么抛物线C的准线方程为 x＝﹣1 ，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为 5 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】将M的坐标代入抛物线的方程，求得p，可得抛物线的方程和准线方程；再由线段的垂直平分线的性质和两点的距离公式，可得所求长度．
【解答】解：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），
可得42＝8p，解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣1，
由线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F（1，0），
可得|FN|＝|FM|5．
故答案为：x＝﹣1，5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及线段的垂直平分线的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
13．（5分）（2019 海淀区二模）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为BC的中点，点F在线段DC上．若，且点P在直线AC上，则
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由平面向量和差的坐标运算及两向量的坐标运算得：A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），E（2，），设F（x，1），x∈[0，2]，则（2+x，），又（2，1），
又，且点P在直线AC上，所以∥，所以（2+x）×12，解得x＝1，即（1，1），所以2×11，得解．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），
E（2，），
设F（x，1），x∈[0，2]，
则（2+x，），
又（2，1），
又，且点P在直线AC上，
所以∥，
所以（2+x）×12，
解得x＝1，
即（1，1），
所以2×11，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量和差的坐标运算及两向量的坐标运算，属中档题．
14．（5分）（2015 江西一模）已知，则值为 ．
【考点】诱导公式．
【专题】计算题．
【分析】由于π，利用互为补角的诱导公式即可．
【解答】解：∵π，sin（π﹣α）＝sinα，
∴sinsin（π）＝sin，
又，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式的作用，关键在于观察到π，再用互为补角的诱导公式即可，属于基础题．
15．（5分）（2021 海淀区校级模拟）已知函数f（x），若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 （，0）． ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】令函数g（x），由题意可得g（x）＝﹣kx有4个不等实根，作出y＝g（x）的图象和直线y＝﹣kx，数形结合即可得到答案．
【解答】解：令函数g（x），则f（x）＝g（x）+kx，
若f（x）恰有4个零点，
则g（x）＝﹣kx有4个不等实根，
作出y＝g（x）的大致图象如图，
由图可知，当k≥0时，不满足题意，
故考虑k＜0时的情况，此时g（x）与y＝﹣kx在（﹣∞，0）和（0，1）上各有一个交点，
故只需在（1，+∞）上有2个交点即可，
当x＞1时，g（x）＝lnx﹣3
考虑临界情况：y＝﹣kx与g（x）＝lnx﹣3相切时，
切线斜率为g'（x），设切点（x0，lnx0﹣3），
则切线方程为y﹣（lnx0﹣3）（x﹣x0），
因为切线过（0，0），代入可得x0＝e4，
所以此时k，
则要想满足题意，k＜0，
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查导数的几何意义，以及运算能力，属于中档题．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2022 房山区一模）在△ABC中，bsinA＝acosB．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：AB边上的高为．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得 sinAsinB＝sinAcosB，从而得到tanB＝1，即可求解出答案．
（Ⅱ）选择条件①②，△ABC存在且唯一，由cosA可求∠A，由正弦定及b解出a的值，由两角差的余弦公式求出sinC，最后由面积公式计算即可．
选择①③，△ABC存在且唯一，由cosA，可求出∠A，由于AB边上的高，可求出b，再由正弦定理求出解出a的值，以下与选择条件①②相同．
若选择条件②③，由题意可求sinA，结合范围A∈（0，π），可得A或，不满足题意．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，及bsinA＝acosB，
得sinAsinB＝sinAcosB，因为sinA≠0，
所以tanB＝1，
因为0°＜B＜180，所以B＝45°．
（Ⅱ）若选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：
由cos∠A，及0°＜∠A＜135°，得∠A＝120°，
由正弦定理及b，
得，解得a，
由A+B+C＝180°，得∠C＝15°，
可得sinC＝sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45° cos30°﹣cos45° sin30°，
所以S△ABCabsinC．
若选择条件①③，△ABC存在且唯一，解答如下：
由cosA，及0°＜∠A＜135°，得∠A＝120°，
因为AB边上的高为，所以b，
由正弦定理及b，
得，解得a．
以下与选择条件①②相同．
若选择条件②③，△ABC不唯一，解答如下：
b，因为AB边上的高为，所以sinA，因为A∈（0，π），可得A或，故△ABC不唯一．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，属于中档题．
17．（13分）（2022 石景山区一模）如图1，在平面四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD．将△PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示．
（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为，请说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）延长BA，CD相交于点E，连接SE，得到SE为平面SCD与平面SBA的交线l，结合线面垂直的判定定理，证得AD⊥平面SAB，得到BC⊥平面SAB，进而证得BC⊥l．
（2）以A为坐标原点，以AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，求得平面QBD和平面BDC的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解．
【解答】（1）证明：延长BA，CD相交于点E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l．
证明如下：
由平面SAB⊥平面ABCD，BA⊥AD，AD 平面ABCD，
且平面SAB 平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面SAB，
又由AD∥BC，所以BC⊥平面SAB，
因为SE 平面SAB，所以BC⊥SE，所以BC⊥l．
（2）解：由（1）知：SA⊥AB，AD⊥AB，SA⊥AD，
以A为坐标原点，以AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，则，
设（其中0＜λ＜1），则Q（λ，λ，1﹣λ），所以，
设平面QBD的法向量为，则，
令x＝2，可得，所以，
又由SA⊥平面BDC，所以平面BDC的一个法向量为，
则，解得，
所以存在点Q为SC的中点时，使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为．
【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．
18．（14分）（2021 北京模拟）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期．记随机变量x1、x2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，x1和x2的分布列如表所示：
x1 1 2 3 4
P 0.1 0.4 0.4 0.1
x2 1 2 3 4
P 0.4 0.1 0.1 0.4
（Ⅰ）若某位顾客购买H型和V手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；
（Ⅱ）电商平台销售一部V型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元．记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X（单位：元），求X的分布列；
（Ⅲ）比较D（x1）与D（x2）的大小．（只需写出结论）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数据分析．
【分析】（Ⅰ）直接由相互独立事件的概率公式求解；
（Ⅱ）求出X的所有可能取值，再求概率，可得分布列；
（Ⅲ）根据表格中数据的集中与离散程度可得D（x1）与D（x2）的大小．
【解答】解：（Ⅰ）某位顾客购买H型和V手机是相互独立事件，这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率为0.1×0.4＝0.04；
（Ⅱ）X的可能取值为：600，650，700，750，800，850，900，
P（X＝600）＝0.4×0.4＝0.16，
P（X＝650），
P（X＝700）＝0.1，
P（X＝750），
P（X＝800）＝0.1，
P（X＝850），
P（X＝900）＝0.4×0.4＝0.16．
则X的分布列为
X 600 650 700 750 800 850 900
P 0.16 0.08 0.09 0.34 0.09 0.08 0.16
（Ⅲ）D（x1）＜D（x2）．
【点评】本题考查相互独立事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与方差，正确求解概率是关键，是中档题．
19．（15分）（2022 丰台区一模）已知函数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，令导数为1，求得切点，可得所求切线的方程；
（Ⅱ）讨论a＝0，a＞0，a＜0，求得导数，判断单调性和最值，可得所求取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x（x≤1）的导数为f′（x），
由f′（x）＝1（x），解得x＝0或x（舍去），即有切点为（0，0），
则所求切线的方程为y＝x；
（Ⅱ）当a＝0时，f（x）＝﹣x（x≤0），所以函数只有一个零点；
当a≠0时，f（x）的导数为f′（x），
当a＞0时，x＜a，x0时，f（x）有最大值，
当f（）时，g（x）才有可能有两个零点，解得a＞3，
此时函数的图像大致为x0时有最大值，然后f（x）从x0两侧下降，
又因为x≤a，所以要保证f（a），g（x）恰有两个零点，f（a）＝0，显然成立；
当a＜0时，x＜a＜0，x0a，所以取不到x0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以g（x）无两个零点．
综上可得，a＞3时，函数恰有两个不同的零点．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及函数的零点个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（15分）（2021 昌平区二模）已知椭圆C：过点P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m与椭圆C有两个不同的交点A，B，当|PA|＝|PB|时，求实数k的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）求出b，结合离心率求解a，推出椭圆方程．
（Ⅱ）解法1：（1）当k＝0时，显然成立．（2）当k≠0时，①m＝0时，显然不成立．②当m≠0，即mk≠0时，联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合中点坐标，求解直线MP的斜率，通过MP⊥AB．转化求解即可．
解法2：联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2）．结合韦达定理，通过|PA|＝|PB|，推出k（3m+4k2+1）＝0．然后转化求解实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得b2＝1．
由解得a2＝4．
所以椭圆C的方程为．…………（5分）
（Ⅱ）解法1：（1）当k＝0时，显然成立．
（2）当k≠0时，
①m＝0时，显然不成立．
②当m≠0，即mk≠0时，
由
得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．
因为直线l与椭圆C的有两个交点，
所以Δ＝64m2k2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＞0．
即4k2+1﹣m2＞0．（*）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则．
所以．
所以线段AB的中点．
直线MP的斜率，
由|PA|＝|PB|，得MP⊥AB．
所以
解得．
将代入到（*）中，得，
即，
所以8﹣4k2＞0．
解得，且k≠0．
综上所述，实数k的取值范围是．………………（15分）
解法2：由得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．
因为直线l与椭圆C的有两个交点，
所以Δ＝64m2k2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＞0
即4k2+1﹣m2＞0（1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．
由|PA|＝|PB|得，．
即（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）＝0．
即（x1﹣x2）（x1+x2）+k（x1﹣x2）[k（x1+x2）+（2m﹣2）]＝0．
从而．
由x1≠x2得（k2+1）（x1+x2）+2k（m﹣1）＝0．
所以．
即k（3m+4k2+1）＝0．
解得．
将代入到（1）中，得，
即，
所以8﹣4k2＞0．
解得．
所以实数k的取值范围是．………………（15分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
21．（15分）（2022 房山区一模）若无穷数列{an}满足如下两个条件，则称{an}为无界数列：
①an＞0（n＝1，2，3， ）；
②对任意的正数δ，都存在正整数N，使得aN＞δ．
（Ⅰ）若an＝2n+1，bn＝2+cos（n）（n＝1，2，3， ），判断数列{an}，{bn}是否是无界数列；
（Ⅱ）若an＝2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若数列{an}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得．
【考点】数列的应用；数列的求和．
【专题】计算题；对应思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）对任意的正整数δ，取N为大于的一个偶数，有，符合无界数列的定义；取δ＝3，显然bn＝2+cos（n）≤3，不符合无界数列的定义．
（2）讨论n＝1，n＝2，n＝3都不成立，当n≥4时，将变形为：，从而求得k的范围．
（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{an}是单调递增的无界正数列证明．
【解答】解：（1）{an}是无界数列，理由如下：
对任意的正整数δ，取N为大于的一个偶数，有，所以{an}是无界数列．
{bn}不是无界数列，理由如下：
取δ＝3，显然bn＝2+cos（n）≤3，不存在正整数N，满足bN＞3，所以{bn}不是无界数列．
（2）当n＝1时，，不成立．
当n＝2时，，不成立，
当n＝3时，，不成立，
当n≥4时，将，变形为：．
即取k＝4，对于一切n≥k，有成立．
（3）因为数列{an}是单调递增的无界数列，所以an＞0，a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…
所以
．
即，
因为{an}是无界数列，取δ＝2a1，由定义知存在正整数N1，
使所以．
由定义可知{an}是无穷数列，考察数列，显然这仍是一个单调递增的无界数列，
同上理由可知存在正整数N2，使得
，
故存在正整数N2，使得，
故存在正整数m＝N2，使得成立．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
5．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
6．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
9．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
10．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
11．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
12．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
13．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
【例题解析】
例1：tan300°+tan765°的值是 1 ．
解：原式＝tan（360°﹣60°）+tan（2×360°+45°）＝﹣tan60°+tan45°＝1．
故答案为：1．
利用360°﹣60°＝300°，2×360°+45°＝765°，诱导公式化简表达式，然后求出表达式的值．
例2：诱导公式tan（nπ﹣α）＝（ ）（其中n∈Z）
解：∵tan（nπ﹣α）＝tan（﹣α）＝﹣tanα
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α．
公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
14．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
15．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：
解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d，
∴|m|，
即，
∴满足的必要不充分条件均可．
故答案为：满足的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
18．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
19．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
20．双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2
离心率 e（e＞1） e（e＞1）
渐近线 即y＝±x 即y＝±x
准线 x＝± y＝±
21．直线与椭圆的综合
v．
22．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
23．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
24．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
25．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 通州区一模）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2） B．[﹣2，3） C．[1，2） D．[1，2]
2．（4分）（2022 石景山区一模）复数z满足（1+i） z＝1﹣i，则z＝（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
3．（4分）（2022 丰台区一模）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）（2021 昌平区二模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）
A．24 B．36 C．54 D．108
5．（4分）（2016 江门模拟）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．x2﹣y2＝2 C．x2﹣y2 D．x2﹣y2
6．（4分）（2021 昌平区二模）中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则．例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．
二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至．已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（ ）
A．3.4尺 B．4.36尺 C．5.32尺 D．21.64尺
7．（4分）（2021 石景山区一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期T＝π的是（ ）
A． B．f（x）＝x3
C．f（x）＝2sinxcosx D．f（x）＝sinx
8．（4分）（2021秋 海淀区期末）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”．他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2．该小组给出了图1中的相关数据：AA1＝13cm，BB1＝12cm，CC1＝20cm，A1B1＝15cm，B1C1＝48cm，其中B是双曲线的一个顶点．小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如表所示．
学生 甲 乙 丙 丁
估算结果（cm3） 25200π 17409π 14889π 13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）
（参考公式：V圆柱＝πR2h，V圆锥πR2h，V圆台πh（r2+rR+R2））
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
9．（4分）（2012 房山区一模）直线y＝kx+3与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10．（4分）（2018 大兴区一模）设S＝2n+2n﹣1×3+2n﹣2×32+…+2×3n﹣1+3n，n∈N*，则S＝（ ）
A．2n B．2×3n﹣2n+1 C．3n+2n D．3n+1﹣2n+1
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2021秋 临淄区校级期中）（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为 ．（用数字作答）
12．（5分）（2021 东城区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），那么抛物线C的准线方程为 ，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为 ．
13．（5分）（2019 海淀区二模）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为BC的中点，点F在线段DC上．若，且点P在直线AC上，则
14．（5分）（2015 江西一模）已知，则值为 ．
15．（5分）（2021 海淀区校级模拟）已知函数f（x），若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 ．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2022 房山区一模）在△ABC中，bsinA＝acosB．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：AB边上的高为．
17．（13分）（2022 石景山区一模）如图1，在平面四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD．将△PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示．
（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为，请说明理由．
18．（14分）（2021 北京模拟）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期．记随机变量x1、x2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，x1和x2的分布列如表所示：
x1 1 2 3 4
P 0.1 0.4 0.4 0.1
x2 1 2 3 4
P 0.4 0.1 0.1 0.4
（Ⅰ）若某位顾客购买H型和V手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；
（Ⅱ）电商平台销售一部V型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元．记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X（单位：元），求X的分布列；
（Ⅲ）比较D（x1）与D（x2）的大小．（只需写出结论）
19．（15分）（2022 丰台区一模）已知函数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
20．（15分）（2021 昌平区二模）已知椭圆C：过点P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m与椭圆C有两个不同的交点A，B，当|PA|＝|PB|时，求实数k的取值范围．
21．（15分）（2022 房山区一模）若无穷数列{an}满足如下两个条件，则称{an}为无界数列：
①an＞0（n＝1，2，3， ）；
②对任意的正数δ，都存在正整数N，使得aN＞δ．
（Ⅰ）若an＝2n+1，bn＝2+cos（n）（n＝1，2，3， ），判断数列{an}，{bn}是否是无界数列；
（Ⅱ）若an＝2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若数列{an}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得．
2022高考数学终极押题密卷3（北京卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 通州区一模）已知集合A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣2，2） B．[﹣2，3） C．[1，2） D．[1，2]
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；对应思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】利用交集的定义求解即可．
【解答】解：∵A＝{x|﹣2≤x＜2}，B＝{x|1≤x＜3}，
∴A∩B＝[1，2），
故选：C．
【点评】本题考查了交集及其运算，是基础题．
2．（4分）（2022 石景山区一模）复数z满足（1+i） z＝1﹣i，则z＝（ ）
A．﹣i B．i C．﹣1 D．1
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：∵（1+i） z＝1﹣i，
∴i．
故选：A．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（4分）（2022 丰台区一模）已知复数z＝a+bi（a，b∈R），则“a＝0”是“z为纯虚数”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑；数系的扩充和复数；逻辑推理；数学运算．
【分析】z为纯虚数 a＝0且b≠0，以此可解决此题．
【解答】解：因为z为纯虚数 a＝0且b≠0，所以“a＝0”是“z为纯虚数”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查复数定义及充分、必要条件的判断．考查数学运算能力及推理能力，属于基础题．
4．（4分）（2021 昌平区二模）某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥的体积是（ ）
A．24 B．36 C．54 D．108
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；数学运算．
【分析】首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用体积公式的应用求出结果．
【解答】解：根据三视图和直观图之间的转换：该几何体为底面边长为6，高为3的正四棱锥；
如图所示：
所以．
故选：B．
【点评】本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的体积公式，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
5．（4分）（2016 江门模拟）中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双曲线方程为（ ）
A．x2﹣y2＝1 B．x2﹣y2＝2 C．x2﹣y2 D．x2﹣y2
【考点】双曲线的标准方程．
【专题】待定系数法．
【分析】由题意，设双曲线方程为 1（a＞0），利用焦点到渐近线的距离等于，求出待定系数 a2．
【解答】解：由题意，设双曲线方程为1（a＞0），
则ca，渐近线y＝x，∴，∴a2＝2．
∴双曲线方程为x2﹣y2＝2．
故选：B．
【点评】本题考查用待定系数法求双曲线的标准方程，以及点到直线的距离公式的应用．
6．（4分）（2021 昌平区二模）中国历法推测遵循以测为辅，以算为主的原则．例如《周髀算经》里对二十四节气的晷影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其它节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．
二十四节气中，从冬至到夏至的十三个节气依次为：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至．已知《周髀算经》中记录某年的冬至的晷影长为13尺，夏至的晷影长是1.48尺，按照上述规律，那么《周髀算经》中所记录的立夏的晷影长应为（ ）
A．3.4尺 B．4.36尺 C．5.32尺 D．21.64尺
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】方程思想；数学模型法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】由题意可得等差数列的a1＝13，a13＝1.48，求解公差，再由通项公式求a10．
【解答】解：由题意，冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种、夏至的晷影长
构成以a1＝13，a13＝1.48的等差数列，设公差为d，则d，
立夏的晷影长为a10＝a1+9d＝13+9×（﹣0.96）＝4.36．
故选：B．
【点评】本题考查等差数列的通项公式，是基础的计算题．
7．（4分）（2021 石景山区一模）下列函数中，是奇函数且最小正周期T＝π的是（ ）
A． B．f（x）＝x3
C．f（x）＝2sinxcosx D．f（x）＝sinx
【考点】三角函数的周期性．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数据分析．
【分析】由题意利用函数的奇偶性和周期性，三角函数的性质，得出结论．
【解答】解：由于函数f（x）不是周期函数，故排除A；
由于f（x）＝x3不是周期函数，故排除B；
由于f（x）＝2sinxcosx＝sin2x为奇函数，且是周期函数，周期为π，故C满足条件；
由于f（x）＝sinx是奇函数，且周期为2π，故D错误，
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和周期性，三角函数的性质，属于中档题．
8．（4分）（2021秋 海淀区期末）某综合实践小组设计了一个“双曲线型花瓶”．他们的设计思路是将某双曲线的一部分（图1中A，C之间的曲线）绕其虚轴所在直线l旋转一周，得到花瓶的侧面，花瓶底部是平整的圆面，如图2．该小组给出了图1中的相关数据：AA1＝13cm，BB1＝12cm，CC1＝20cm，A1B1＝15cm，B1C1＝48cm，其中B是双曲线的一个顶点．小组中甲、乙、丙、丁四位同学分别用不同的方法估算了该花瓶的容积（忽略瓶壁和底部的厚度），结果如表所示．
学生 甲 乙 丙 丁
估算结果（cm3） 25200π 17409π 14889π 13809π
其中估算结果最接近花瓶的容积的同学是（ ）
（参考公式：V圆柱＝πR2h，V圆锥πR2h，V圆台πh（r2+rR+R2））
A．甲 B．乙 C．丙 D．丁
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；对应思想；数形结合法；立体几何；数学运算．
【分析】以BB1为分界线，把花瓶看作近似两个圆台的组合体，设上半部分圆台体积为V1，下半部分圆台体积为V2，
再结合圆台的面积公式，即可求解．
【解答】解：以BB1为分界线，把花瓶看作近似两个圆台的组合体，
设上半部分圆台体积为V1，下半部分圆台体积为V2，
以C1C为半径的圆面面积为，
以B1B为半径的圆面面积为，
以A1A为半径的圆面面积为169π，
所以12544π，2345π，
故V总＝V1+V2＝12544π+2345＝14889π，
故最接近的是丙同学的估算，
故选：C．
【点评】本题考查有关柱体、锥体体积的有关计算，属于中档题．
9．（4分）（2012 房山区一模）直线y＝kx+3与圆（x﹣1）2+（y+2）2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】直线与圆相交的性质．
【专题】计算题；直线与圆．
【分析】由弦长公式得，当圆心到直线的距离d≤1，利用点到直线的距离公式即可求解斜率k的范围
【解答】解：由弦长公式得，圆心到直线的距离d≤1
即d1，
∴10k+24≤0
∴k
故选：B．
【点评】本题考查圆心到直线的距离公式的应用，以及弦长公式的应用．
10．（4分）（2018 大兴区一模）设S＝2n+2n﹣1×3+2n﹣2×32+…+2×3n﹣1+3n，n∈N*，则S＝（ ）
A．2n B．2×3n﹣2n+1 C．3n+2n D．3n+1﹣2n+1
【考点】数列的求和．
【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．
【分析】由已知可得：S＝2n，再利用等比数列的求和公式即可得出．
【解答】解：∵S＝2n+2n﹣1×3+2n﹣2×32+…+2×3n﹣1+3n，n∈N*，
∴S＝2n2n3n+1﹣2n+1．
故选：D．
【点评】本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）
11．（5分）（2021秋 临淄区校级期中）（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为 ﹣48 ．（用数字作答）
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；二项式定理．
【分析】根据x2y7的来由分析两种可能，结合二项展开式求系数．
【解答】解：当因式x﹣2y取x，则二项式（x+y）8则取xy7，此时系数为8；
当因式x﹣2y取﹣2y，则二项式（x+y）8则取x2y6，此时系数为56；
所以（x﹣2y）（x+y）8的展开式中，x2y7的系数为8﹣56＝﹣48；
故答案为：﹣48．
【点评】本题考查了二项式定理的运用；关键是明确所求项的由来．
12．（5分）（2021 东城区二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），那么抛物线C的准线方程为 x＝﹣1 ，设N为平面直角坐标系xOy内一点，若线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F，那么线段FN的长度为 5 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】将M的坐标代入抛物线的方程，求得p，可得抛物线的方程和准线方程；再由线段的垂直平分线的性质和两点的距离公式，可得所求长度．
【解答】解：由抛物线C：y2＝2px（p＞0）过点M（4，4），
可得42＝8p，解得p＝2，
则抛物线的方程为y2＝4x，准线方程为x＝﹣1，
由线段MN的垂直平分线过抛物线C的焦点F（1，0），
可得|FN|＝|FM|5．
故答案为：x＝﹣1，5．
【点评】本题考查抛物线的方程和性质，以及线段的垂直平分线的性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．
13．（5分）（2019 海淀区二模）在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝1，点E为BC的中点，点F在线段DC上．若，且点P在直线AC上，则
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；平面向量及应用．
【分析】由平面向量和差的坐标运算及两向量的坐标运算得：A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），E（2，），设F（x，1），x∈[0，2]，则（2+x，），又（2，1），
又，且点P在直线AC上，所以∥，所以（2+x）×12，解得x＝1，即（1，1），所以2×11，得解．
【解答】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则A（0，0），B（2，0），C（2，1），D（0，1），
E（2，），
设F（x，1），x∈[0，2]，
则（2+x，），
又（2，1），
又，且点P在直线AC上，
所以∥，
所以（2+x）×12，
解得x＝1，
即（1，1），
所以2×11，
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量和差的坐标运算及两向量的坐标运算，属中档题．
14．（5分）（2015 江西一模）已知，则值为 ．
【考点】诱导公式．
【专题】计算题．
【分析】由于π，利用互为补角的诱导公式即可．
【解答】解：∵π，sin（π﹣α）＝sinα，
∴sinsin（π）＝sin，
又，
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查诱导公式的作用，关键在于观察到π，再用互为补角的诱导公式即可，属于基础题．
15．（5分）（2021 海淀区校级模拟）已知函数f（x），若f（x）恰有4个零点，则实数k的取值范围为 （，0）． ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】令函数g（x），由题意可得g（x）＝﹣kx有4个不等实根，作出y＝g（x）的图象和直线y＝﹣kx，数形结合即可得到答案．
【解答】解：令函数g（x），则f（x）＝g（x）+kx，
若f（x）恰有4个零点，
则g（x）＝﹣kx有4个不等实根，
作出y＝g（x）的大致图象如图，
由图可知，当k≥0时，不满足题意，
故考虑k＜0时的情况，此时g（x）与y＝﹣kx在（﹣∞，0）和（0，1）上各有一个交点，
故只需在（1，+∞）上有2个交点即可，
当x＞1时，g（x）＝lnx﹣3
考虑临界情况：y＝﹣kx与g（x）＝lnx﹣3相切时，
切线斜率为g'（x），设切点（x0，lnx0﹣3），
则切线方程为y﹣（lnx0﹣3）（x﹣x0），
因为切线过（0，0），代入可得x0＝e4，
所以此时k，
则要想满足题意，k＜0，
故答案为：（，0）．
【点评】本题考查函数方程的转化思想和数形结合思想方法，考查导数的几何意义，以及运算能力，属于中档题．
三．解答题（共6小题，满分85分）
16．（13分）（2022 房山区一模）在△ABC中，bsinA＝acosB．
（Ⅰ）求∠B的大小；
（Ⅱ）再从下列三个条件中，选择两个作为已知，使得△ABC存在且唯一，求△ABC的面积．
条件①：；
条件②：；
条件③：AB边上的高为．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（Ⅰ）由正弦定理可得 sinAsinB＝sinAcosB，从而得到tanB＝1，即可求解出答案．
（Ⅱ）选择条件①②，△ABC存在且唯一，由cosA可求∠A，由正弦定及b解出a的值，由两角差的余弦公式求出sinC，最后由面积公式计算即可．
选择①③，△ABC存在且唯一，由cosA，可求出∠A，由于AB边上的高，可求出b，再由正弦定理求出解出a的值，以下与选择条件①②相同．
若选择条件②③，由题意可求sinA，结合范围A∈（0，π），可得A或，不满足题意．
【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理，及bsinA＝acosB，
得sinAsinB＝sinAcosB，因为sinA≠0，
所以tanB＝1，
因为0°＜B＜180，所以B＝45°．
（Ⅱ）若选择条件①②，△ABC存在且唯一，解答如下：
由cos∠A，及0°＜∠A＜135°，得∠A＝120°，
由正弦定理及b，
得，解得a，
由A+B+C＝180°，得∠C＝15°，
可得sinC＝sin15°＝sin（45°﹣30°）＝sin45° cos30°﹣cos45° sin30°，
所以S△ABCabsinC．
若选择条件①③，△ABC存在且唯一，解答如下：
由cosA，及0°＜∠A＜135°，得∠A＝120°，
因为AB边上的高为，所以b，
由正弦定理及b，
得，解得a．
以下与选择条件①②相同．
若选择条件②③，△ABC不唯一，解答如下：
b，因为AB边上的高为，所以sinA，因为A∈（0，π），可得A或，故△ABC不唯一．
【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换在解三角形中的应用，属于中档题．
17．（13分）（2022 石景山区一模）如图1，在平面四边形PDCB中，PD∥BC，BA⊥PD，PA＝AB＝BC＝1，AD．将△PAB沿BA翻折到△SAB的位置，使得平面SAB⊥平面ABCD，如图2所示．
（1）设平面SDC与平面SAB的交线为l，求证：BC⊥l；
（2）在线段SC上是否存在一点Q（点Q不与端点重合），使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为，请说明理由．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）延长BA，CD相交于点E，连接SE，得到SE为平面SCD与平面SBA的交线l，结合线面垂直的判定定理，证得AD⊥平面SAB，得到BC⊥平面SAB，进而证得BC⊥l．
（2）以A为坐标原点，以AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，求得平面QBD和平面BDC的法向量，利用向量的夹角公式列出方程，即可求解．
【解答】（1）证明：延长BA，CD相交于点E，连接SE，则SE为平面SCD与平面SBA的交线l．
证明如下：
由平面SAB⊥平面ABCD，BA⊥AD，AD 平面ABCD，
且平面SAB 平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面SAB，
又由AD∥BC，所以BC⊥平面SAB，
因为SE 平面SAB，所以BC⊥SE，所以BC⊥l．
（2）解：由（1）知：SA⊥AB，AD⊥AB，SA⊥AD，
以A为坐标原点，以AD，AB，AS所在的直线分别为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，如图所示，
可得，则，
设（其中0＜λ＜1），则Q（λ，λ，1﹣λ），所以，
设平面QBD的法向量为，则，
令x＝2，可得，所以，
又由SA⊥平面BDC，所以平面BDC的一个法向量为，
则，解得，
所以存在点Q为SC的中点时，使得二面角Q﹣BD﹣C的余弦值为．
【点评】本题主要考查空间中的垂直关系，空间向量及其应用，立体几何中的探索性问题等知识，属于中等题．
18．（14分）（2021 北京模拟）某电商平台联合手机厂家共同推出“分期购”服务，付款方式分为四个档次：1期、2期、3期和4期．记随机变量x1、x2分别表示顾客购买H型手机和V型手机的分期付款期数，根据以往销售数据统计，x1和x2的分布列如表所示：
x1 1 2 3 4
P 0.1 0.4 0.4 0.1
x2 1 2 3 4
P 0.4 0.1 0.1 0.4
（Ⅰ）若某位顾客购买H型和V手机各一部，求这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率；
（Ⅱ）电商平台销售一部V型手机，若顾客选择分1期付款，则电商平台获得的利润为300元；若顾客选择分2期付款，则电商平台获得的利润为350元；若顾客选择分3期付款，则电商平台获得的利润为400元；若顾客选择分4期付款，则电商平台获得的利润为450元．记电商平台销售两部V型手机所获得的利润为X（单位：元），求X的分布列；
（Ⅲ）比较D（x1）与D（x2）的大小．（只需写出结论）
【考点】离散型随机变量的期望与方差；离散型随机变量及其分布列．
【专题】对应思想；综合法；概率与统计；数据分析．
【分析】（Ⅰ）直接由相互独立事件的概率公式求解；
（Ⅱ）求出X的所有可能取值，再求概率，可得分布列；
（Ⅲ）根据表格中数据的集中与离散程度可得D（x1）与D（x2）的大小．
【解答】解：（Ⅰ）某位顾客购买H型和V手机是相互独立事件，这位顾客两种手机都选择分4期付款的概率为0.1×0.4＝0.04；
（Ⅱ）X的可能取值为：600，650，700，750，800，850，900，
P（X＝600）＝0.4×0.4＝0.16，
P（X＝650），
P（X＝700）＝0.1，
P（X＝750），
P（X＝800）＝0.1，
P（X＝850），
P（X＝900）＝0.4×0.4＝0.16．
则X的分布列为
X 600 650 700 750 800 850 900
P 0.16 0.08 0.09 0.34 0.09 0.08 0.16
（Ⅲ）D（x1）＜D（x2）．
【点评】本题考查相互独立事件概率的求法，考查离散型随机变量的分布列与方差，正确求解概率是关键，是中档题．
19．（15分）（2022 丰台区一模）已知函数．
（Ⅰ）当a＝1时，求曲线y＝f（x）的斜率为1的切线方程；
（Ⅱ）若函数恰有两个不同的零点，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；综合法；函数的性质及应用；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】（Ⅰ）求得f（x）的导数，令导数为1，求得切点，可得所求切线的方程；
（Ⅱ）讨论a＝0，a＞0，a＜0，求得导数，判断单调性和最值，可得所求取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）当a＝1时，f（x）＝x（x≤1）的导数为f′（x），
由f′（x）＝1（x），解得x＝0或x（舍去），即有切点为（0，0），
则所求切线的方程为y＝x；
（Ⅱ）当a＝0时，f（x）＝﹣x（x≤0），所以函数只有一个零点；
当a≠0时，f（x）的导数为f′（x），
当a＞0时，x＜a，x0时，f（x）有最大值，
当f（）时，g（x）才有可能有两个零点，解得a＞3，
此时函数的图像大致为x0时有最大值，然后f（x）从x0两侧下降，
又因为x≤a，所以要保证f（a），g（x）恰有两个零点，f（a）＝0，显然成立；
当a＜0时，x＜a＜0，x0a，所以取不到x0，f′（x）＞0，f（x）单调递增，所以g（x）无两个零点．
综上可得，a＞3时，函数恰有两个不同的零点．
【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，以及函数的零点个数，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
20．（15分）（2021 昌平区二模）已知椭圆C：过点P（0，1），且离心率为．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设直线l：y＝kx+m与椭圆C有两个不同的交点A，B，当|PA|＝|PB|时，求实数k的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）求出b，结合离心率求解a，推出椭圆方程．
（Ⅱ）解法1：（1）当k＝0时，显然成立．（2）当k≠0时，①m＝0时，显然不成立．②当m≠0，即mk≠0时，联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2），利用韦达定理，结合中点坐标，求解直线MP的斜率，通过MP⊥AB．转化求解即可．
解法2：联立直线与椭圆方程，设A（x1，y1），B（x2，y2）．结合韦达定理，通过|PA|＝|PB|，推出k（3m+4k2+1）＝0．然后转化求解实数k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）依题意得b2＝1．
由解得a2＝4．
所以椭圆C的方程为．…………（5分）
（Ⅱ）解法1：（1）当k＝0时，显然成立．
（2）当k≠0时，
①m＝0时，显然不成立．
②当m≠0，即mk≠0时，
由
得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．
因为直线l与椭圆C的有两个交点，
所以Δ＝64m2k2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＞0．
即4k2+1﹣m2＞0．（*）．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则．
所以．
所以线段AB的中点．
直线MP的斜率，
由|PA|＝|PB|，得MP⊥AB．
所以
解得．
将代入到（*）中，得，
即，
所以8﹣4k2＞0．
解得，且k≠0．
综上所述，实数k的取值范围是．………………（15分）
解法2：由得（4k2+1）x2+8mkx+4m2﹣4＝0．
因为直线l与椭圆C的有两个交点，
所以Δ＝64m2k2﹣16（4k2+1）（m2﹣1）＞0
即4k2+1﹣m2＞0（1）．
设A（x1，y1），B（x2，y2）．则．
由|PA|＝|PB|得，．
即（x1﹣x2）（x1+x2）+（y1﹣y2）（y1+y2﹣2）＝0．
即（x1﹣x2）（x1+x2）+k（x1﹣x2）[k（x1+x2）+（2m﹣2）]＝0．
从而．
由x1≠x2得（k2+1）（x1+x2）+2k（m﹣1）＝0．
所以．
即k（3m+4k2+1）＝0．
解得．
将代入到（1）中，得，
即，
所以8﹣4k2＞0．
解得．
所以实数k的取值范围是．………………（15分）
【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系的应用，考查分析问题解决问题的能力，是难题．
21．（15分）（2022 房山区一模）若无穷数列{an}满足如下两个条件，则称{an}为无界数列：
①an＞0（n＝1，2，3， ）；
②对任意的正数δ，都存在正整数N，使得aN＞δ．
（Ⅰ）若an＝2n+1，bn＝2+cos（n）（n＝1，2，3， ），判断数列{an}，{bn}是否是无界数列；
（Ⅱ）若an＝2n+1，是否存在正整数k，使得对于一切n≥k，都有成立？若存在，求出k的范围；若不存在说明理由；
（Ⅲ）若数列{an}是单调递增的无界数列，求证：存在正整数m，使得．
【考点】数列的应用；数列的求和．
【专题】计算题；对应思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）对任意的正整数δ，取N为大于的一个偶数，有，符合无界数列的定义；取δ＝3，显然bn＝2+cos（n）≤3，不符合无界数列的定义．
（2）讨论n＝1，n＝2，n＝3都不成立，当n≥4时，将变形为：，从而求得k的范围．
（3）观察要证的不等式结构与（2）相似，故应用（2）变形后，再由{an}是单调递增的无界正数列证明．
【解答】解：（1）{an}是无界数列，理由如下：
对任意的正整数δ，取N为大于的一个偶数，有，所以{an}是无界数列．
{bn}不是无界数列，理由如下：
取δ＝3，显然bn＝2+cos（n）≤3，不存在正整数N，满足bN＞3，所以{bn}不是无界数列．
（2）当n＝1时，，不成立．
当n＝2时，，不成立，
当n＝3时，，不成立，
当n≥4时，将，变形为：．
即取k＝4，对于一切n≥k，有成立．
（3）因为数列{an}是单调递增的无界数列，所以an＞0，a1＜a2＜…＜an＜an+1＜…
所以
．
即，
因为{an}是无界数列，取δ＝2a1，由定义知存在正整数N1，
使所以．
由定义可知{an}是无穷数列，考察数列，显然这仍是一个单调递增的无界数列，
同上理由可知存在正整数N2，使得
，
故存在正整数N2，使得，
故存在正整数m＝N2，使得成立．
【点评】本题考查数列的应用，考查学生的运算能力，属于难题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
5．等差数列的通项公式
【知识点的认识】
等差数列是常见数列的一种，数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，已知等差数列的首项a1，公差d，那么第n项为an＝a1+（n﹣1）d，或者已知第m项为am，则第n项为an＝am+（n﹣m）d．
【例题解析】
eg1：已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2+1，求数列{an}的通项公式，并判断{an}是不是等差数列
解：当n＝1时，a1＝S1＝12+1＝2，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝n2+1﹣（n﹣1）2﹣1＝2n﹣1，
∴an，
把n＝1代入2n﹣1可得1≠2，
∴{an}不是等差数列
考察了对概念的理解，除掉第一项这个数列是等差数列，但如果把首项放进去的话就不是等差数列，题中an的求法是数列当中常用到的方式，大家可以熟记一下．
eg2：已知等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7则这个数列的通项公式为
解：∵等差数列{an}的前三项分别为a﹣1，2a+1，a+7，
∴2（2a+1）＝a﹣1+a+7，
解得a＝2．
∴a1＝2﹣1＝1，a2＝2×2+1＝5，a3＝2+7＝9，
∴数列an是以1为首项，4为公差的等差数列，
∴an＝1+（n﹣1）×4＝4n﹣3．
故答案：4n﹣3．
这个题很好的考察了的呢公差数列的一个重要性质，即等差中项的特点，通过这个性质然后解方程一样求出首项和公差即可．
【考点点评】
求等差数列的通项公式是一种很常见的题型，这里面往往用的最多的就是等差中项的性质，这也是学习或者复习时应重点掌握的知识点．
6．数列的应用
【知识点的知识】
1、数列与函数的综合
2、等差数列与等比数列的综合
3、数列的实际应用
数列与银行利率、产品利润、人口增长等实际问题的结合．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
9．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
10．离散型随机变量及其分布列
【考点归纳】
1、相关概念；
（1）随机变量：如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量随机变量常用希腊字母ξ、η等表示．
（2）离散型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变量叫做离散型随机变量．若ξ是随机变量，η＝aξ+b，其中a、b是常数，则η也是随机变量．
（3）连续型随机变量：对于随机变量可能取的值，可以取某一区间内的一切值，这样的变量就叫做连续型随机变量
（4）离散型随机变量与连续型随机变量的区别与联系：离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果；但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出．
2、离散型随机变量
（1）随机变量：在随机试验中，试验可能出现的结果可以用一个变量X来表示，并且X是随着试验结果的不同而变化的，这样的变量X叫做一个随机变量．随机变量常用大写字母X，Y，…表示，也可以用希腊字母ξ，η，…表示．
（2）离散型随机变量：如果随机变量X的所有可能的取值都能一一列举出来，则称X为离散型随机变量．
3、离散型随机变量的分布列．
（1）定义：一般地，设离散型随机变量X的所有可能值为x1，x2，…，xn；X取每一个对应值的概率分别为p1，p2，…，pn，则得下表：
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
该表为随机变量X的概率分布，或称为离散型随机变量X的分布列．
（2）性质：①pi≥0，i＝1，2，3，…，n；②p1+p2+…+pn＝1．
11．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
12．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
13．诱导公式
【概述】
三角函数作为一个类，有着很多共通的地方，在一定条件下也可以互相转化，熟悉这些函数间的关系，对于我们解题大有裨益．
【公式】
①正弦函数：表达式为y＝sinx；
有sin（π+x）＝sin（﹣x）＝﹣sinx； sin（π﹣x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数：表达式为y＝cosx；
有cos（π+x）＝cos（π﹣x）＝﹣cosx，cos（﹣x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数：表达式为y＝tanx；
tan（﹣x）＝﹣tanx，tan（x）＝cotx，tan（π+x）＝tanx
④余切函数：表达式为y＝cotx；
cot（﹣x）＝﹣cotx，cot（x）＝tanx，cot（π+x）＝cotx．
【例题解析】
例1：tan300°+tan765°的值是 1 ．
解：原式＝tan（360°﹣60°）+tan（2×360°+45°）＝﹣tan60°+tan45°＝1．
故答案为：1．
利用360°﹣60°＝300°，2×360°+45°＝765°，诱导公式化简表达式，然后求出表达式的值．
例2：诱导公式tan（nπ﹣α）＝（ ）（其中n∈Z）
解：∵tan（nπ﹣α）＝tan（﹣α）＝﹣tanα
【应用】
1、公式：
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin＝cos_α，cos＝sin α．
公式六：sin＝cos_α，cos＝﹣sin_α
2、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限．
3、在求值与化简时，常用方法有：
（1）弦切互化法：主要利用公式tanα化成正、余弦．
（2）和积转换法：利用（sin θ±cos θ）2＝1±2sin θcosθ的关系进行变形、转化．
（3）巧用“1”的变换：1＝sin2θ+cos2θ＝cos2θ（1+tan2θ）＝tan45°＝…．
4、注意：
（1）利用诱导公式进行化简求值时，先利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负→脱周→化锐．特别注意函数名称和符号的确定．
（2）在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号．
（3）注意求值与化简后的结果一般要尽可能有理化、整式化．
14．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
15．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
16．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
17．直线与圆相交的性质
【知识点的知识】
直线与圆的关系分为相交、相切、相离．判断的方法就是看圆心到直线的距离和圆半径谁大谁小：
①当圆心到直线的距离小于半径时，直线与圆相交；
②当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切；
③当圆心到直线的距离大于半径时，直线与圆相离．
【例题解析】
例：写出直线y＝x+m与圆x2+y2＝1相交的一个必要不充分条件：
解：直线x﹣y+m＝0若与圆x2+y2＝1相交，
则圆心（0，0）到直线的距离d＜1，
即d，
∴|m|，
即，
∴满足的必要不充分条件均可．
故答案为：满足的必要不充分条件均可．
这是一道符合高考命题习惯的例题，对于简单的知识点，高考一般都是把几个知识点结合在一起，这也要求大家知识一定要全面，切不可投机取巧．本题首先根据直线与圆的关系求出满足要求的m的值；然后在考查了考试对逻辑关系的掌握程度，不失为一道好题．
【考点解析】
本知识点内容比较简单，在初中的时候就已经学习过，所以大家要熟练掌握，特别是点到直线的距离怎么求，如何判断直线与圆相切．
18．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
19．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
20．双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2
离心率 e（e＞1） e（e＞1）
渐近线 即y＝±x 即y＝±x
准线 x＝± y＝±
21．直线与椭圆的综合
v．
22．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
23．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
24．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
25．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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