2022高考数学终极押题密卷（浙江卷）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（浙江卷）（Word版含解析） |
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| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 532.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 00:00:00 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷1（浙江卷）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 苍南县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2．（4分）（2021 海宁市模拟）已知a＞0，若（i为虚数单位），|z|＝1，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（4分）（2022 浙江模拟）已知非零向量（x1，y1），（x2，y2），则“”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）（2021秋 浙江期末）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
5．（4分）（2022 台州模拟）若实数x，y满足则z＝y﹣3x的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（4分）（2022 绍兴二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段CD1上的动点，则（ ）
A．AP∥平面BC1D B．AP∥平面A1BC1
C．AP⊥平面A1BD D．AP⊥平面BB1D1
7．（4分）（2022 嘉兴二模）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）（e≈2.71828是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
8．（4分）（2020 诸暨市模拟）已知，则a+b的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．（4分）（2021秋 平罗县校级期中）已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022 苍南县校级模拟）已知数列{an}满足a1＝1，an+1（n≥1，n∈N*），记数列前n项和为Sn，则（ ）
A．1＜S2022＜3 B．3＜S2022＜4
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）（2021 江苏一模）“康威圆定理”是英国数学家约翰 康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
12．（4分）（2021秋 和平区校级期中）已知函数f（x），若f（x0）＝3，则x0＝ ．
13．（6分）（2022 嘉兴二模）已知多项式（a+x）4+（2x﹣1）5＝a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5（a∈R），则a＝ ，a4+a5＝ ．
14．（6分）（2022 嘉兴二模）在锐角△ABC中，AB＝3，∠B，点D在线段BC上，且DC＝2BD，AD，则sin∠ADC＝ ，AC＝ ．
15．（6分）（2022 嘉兴二模）袋中有大小相同、质地均匀的1个红球、1个绿球和n个黄球．现从袋中每次随机取出一个且不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，若P（ξ＝0），则n＝ ，E（ξ）＝ ．
16．（6分）（2022 定海区校级模拟）已知椭圆1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM，设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，则椭圆的离心率e＝ ；∠F1QF2的取值范围是 ．
17．（4分）（2022 嘉兴二模）已知平面向量，其中为单位向量，若，则的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）（2022 嘉兴二模）设函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈R）．
（1）求函数y＝f（x） f（﹣x）的最小正周期及其对称中心；
（2）求函数在上的值域．
19．（15分）（2022 金华模拟）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PB中点，AB°．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面ADE所成角的正弦值．
20．（15分）（2022 嘉兴二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是首项为1公比为q（q∈N*）的等比数列，其前n项和为Tn，且n2（Tn+1）＝2nSn对任意n∈N恒成立．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an bn，记{cn}的前n项和为Rn，若an2 bn≥λ（Rn﹣3）对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
21．（15分）（2022 宁波二模）已知点A（1，1）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，点P（m，0）（其中m＞1）．如图过点P且斜率为2的直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的上方），直线AP与抛物线交于另一点D．
（Ⅰ）记|PA| |PD|＝λ|PB| |PC|，当m＝3时，求λ的值；
（Ⅱ）若△ACD面积大于27，求m的取值范围．
22．（15分）（2022 浙江模拟）已知，，f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝g（x4）＝m（m＞e），1＜x1＜x2，0＜x3＜x4．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）求证：x2+x3＞x1+x4．
2022高考数学终极押题密卷1（浙江卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 苍南县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，
B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈N|﹣2≤x≤3}＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）（2021 海宁市模拟）已知a＞0，若（i为虚数单位），|z|＝1，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】复数的模．
【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】由已知结合商的模等于模的商求解．
【解答】解：∵，且|z|＝1，
∴||，即，得a，
又a＞0，∴a．
故选：B．
【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
3．（4分）（2022 浙江模拟）已知非零向量（x1，y1），（x2，y2），则“”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】“” “”，“” “”或y1，y2中存在0，但是，λ≠0，由此能求出结果．
【解答】解：非零向量（x1，y1），（x2，y2），
则“” “”，
“” “”或y1，y2中存在0，但是，λ≠0，
∴“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（4分）（2021秋 浙江期末）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算．
【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥P﹣ABCD，AP⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝2，AB＝3，BC＝2，再由棱锥体积公式求解．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为四棱锥P﹣ABCD，AP⊥平面ABCD，
四边形ABCD为矩形，PA＝2，AB＝3，BC＝2．
∴该几何体的体积是V．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
5．（4分）（2022 台州模拟）若实数x，y满足则z＝y﹣3x的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，2），
由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，由图可知，当直线y＝3x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2﹣3×1＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（4分）（2022 绍兴二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段CD1上的动点，则（ ）
A．AP∥平面BC1D B．AP∥平面A1BC1
C．AP⊥平面A1BD D．AP⊥平面BB1D1
【考点】直线与平面平行．
【专题】应用题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】正方体中证明平面AD1C∥平面A1BC1后可得线面平行，从而得正确选项．
【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AA1与CC1平行且相等得平行四边形ACC1A1，
得A1C1∥AC，由AC 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，
所以AC∥平面A1BC1，同理AD1∥平面A1BC1，
而AD1，AC是平面AD1C内两条相交直线，
因此平面AD1C∥平面A1BC1，又AP 平面AD1C，
所以AP∥平面A1BC1，
故选：B．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和性质，属于中档题．
7．（4分）（2022 嘉兴二模）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）（e≈2.71828是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】首先判断f（x）为偶函数，其次考虑函数的定义域，由排除法可得结论．
【解答】解：由已知图象可得f（x）的图象关于y轴对称，即f（x）为偶函数，
而选项A、C表示的是奇函数，故A、C错误；
对于D，f（x）满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，
由x＝±2，±4时，函数值f（x）不存在，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
8．（4分）（2020 诸暨市模拟）已知，则a+b的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；定义法；不等式的解法及应用．
【分析】由对数的性质将原式化简，得到a+4b＝4ab，变形之后利用“1“的代换，结合不等式求出最值，注意需写出最值得取等条件．
【解答】解：∵log2（a+4b）＝2log2（2）＝log2（4ab），
∴a+4b＝4ab，且a＞0，b＞0，
∴4，
则a+b（）（a+b）（5）（25）；
当且仅当即时取＝，
则a+b的最小值是，
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，对数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（4分）（2021秋 平罗县校级期中）已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】连结AP，根据题意，|AP|＝|CP|，可得|PB|+|PA|＝|PB|+|PC|＝4＞|AB|，故P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出AC垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程．
【解答】解：连结AP，根据题意，|AP|＝|CP|，
则|PB|+|PA|＝|PB|+|PC|＝8＞|AB|＝4，
故P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b＝2，
∴点P的轨迹方程为：．
故选：C．
【点评】本题考查曲线轨迹的求解，考查椭圆的标准方程，考查学生分析解决问题的能力，需要一定的基本功．
10．（4分）（2022 苍南县校级模拟）已知数列{an}满足a1＝1，an+1（n≥1，n∈N*），记数列前n项和为Sn，则（ ）
A．1＜S2022＜3 B．3＜S2022＜4
C． D．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；函数思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】分析可知对任意的n∈N*，an＞0，则，推导出数列{an}为单调递减数列，可得出S2022＞a1＝1，再利用不等式的性质推导出，即可求得S2022＜3，由此可得出合适的选项．
【解答】解：因为，
易知对任意的n∈N*，an＞0，则，
所以，，
即an+1＜an，故数列{an}为单调递减数列，则S2022＞a1＝1，
由于，
则，
所以，，
所以，，
因此，1＜S2022＜3．
故选：A．
【点评】本题考查了数列的单调性以及放缩法的应用，属于难题．
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）（2021 江苏一模）“康威圆定理”是英国数学家约翰 康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；新定义；数形结合；数形结合法；解三角形；数学运算．
【分析】由题意康威圆的圆心在∠ACB的平分线上，同时在∠ABC的平分线上，可得圆心为三角形ABC的内心，设三角形ABC的内切圆圆心为r，由r可求康威圆的半径R的值．
【解答】解：因为CC1＝CC2，CA1＝CB2，所以康威圆的圆心在∠ACB的平分线上，同理，康威圆的圆心在∠ABC的平分线上，
所以圆心为三角形ABC的内心，
设三角形ABC的内切圆圆心为r，则r1，
所以康威圆的半径R．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形中的几何计算，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
12．（4分）（2021秋 和平区校级期中）已知函数f（x），若f（x0）＝3，则x0＝ ．
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用分段函数的解析式，分x0≤﹣1和x0＞﹣1两种情况，分别列出方程求解即可．
【解答】解：因为函数f（x），且f（x0）＝3，
当x0≤﹣1时，f（x0）＝x0﹣1＝3，解得x0＝4（舍）；
当x0＞﹣1时，f（x0），解得（舍）或x0．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数的应用，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
13．（6分）（2022 嘉兴二模）已知多项式（a+x）4+（2x﹣1）5＝a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5（a∈R），则a＝ ±1 ，a4+a5＝ ﹣47 ．
【考点】二项式定理．
【专题】整体思想；转化法；二项式定理；数学运算．
【分析】根据多项式（a+x）4+（2x﹣1）5的展开式中常数项为0列方程求出a的值，再求展开式中a4+a5的值．
【解答】解：因为多项式（a+x）4+（2x﹣1）5的常数项为a4+（﹣1）5＝0，
即a4＝1，解得a＝±1；
a＝1时，a4 14 （﹣1） 24＝1﹣80＝﹣79，a5＝25＝32，
所以a4+a5＝﹣79+32＝﹣47；
a＝﹣1时，a4 （﹣1）4 （﹣1） 24＝1﹣80＝﹣79，a5＝25＝32，
所以a4+a5＝﹣79+32＝﹣47．
故答案为：±1，﹣47．
【点评】本题考查了多项式展开式各项系数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14．（6分）（2022 嘉兴二模）在锐角△ABC中，AB＝3，∠B，点D在线段BC上，且DC＝2BD，AD，则sin∠ADC＝ ，AC＝ 3 ．
【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知结合正弦定理可求sin∠ADB，结合诱导公式即可求解sin∠ADC，然后结合余弦定可求．
【解答】解：△ABD中，由正弦定理得，，
所以sin∠ADB，sin∠ADC，
由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB BD cosB，
所以7＝9+BD2﹣3BD，
解得BD＝1或BD＝2，
当BD＝1时，BC＝3，此时AB＝BC且∠B，△ABC为等边三角形，AC＝3符合题意，
当BD＝2时，BC＝6，由余弦定理得AC2＝9+36﹣227，
所以AC＝3，此时AC2+AB2＝BC2，ABC为直角三角形，不符合题意．
故答案为：，3．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
15．（6分）（2022 嘉兴二模）袋中有大小相同、质地均匀的1个红球、1个绿球和n个黄球．现从袋中每次随机取出一个且不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，若P（ξ＝0），则n＝ 3 ，E（ξ）＝ ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】随机变量ξ＝0包含两种情况：第一次取到红球；第一次取到绿球，第二次取到红球，分别求出对应的概率，即可求解n，随机变量ξ所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：ξ＝0表示取到红球后（停止取球），还没有取到黄球，包含两种情况：
第一次取到红球，概率为，
第一次取到绿球，第二次取到红球，概率为P2，
所以P（ξ＝0）＝P1+P2，解得n＝3，
随机变量ξ所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0），
P（ξ＝1），
P（ξ＝2），
P（ξ＝3）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝2），
故随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
故E（ξ）．
故答案为：3；．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
16．（6分）（2022 定海区校级模拟）已知椭圆1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM，设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，则椭圆的离心率e＝ ；∠F1QF2的取值范围是 [0，] ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】根据条件求出直线OM，AB的斜率，根据 AB∥OM，可得，从而得b＝c，结合a，b，c的关系可得离心率；
设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，根据椭圆定义r1+r2＝2a，|F1F2|＝2c，在三角形F1OF2中由余弦定理结合基本不等式可得cosθ的范围，进而可得θ的取值范围．
【解答】解：因为F1（﹣c，0），则，
所以，
因为∥，
所以，
所以b＝c，
故e；
设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
所以r1+r2＝2a，|F1F2|＝2c，
，
当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，
所以，
故答案为：；．
【点评】本题考查了椭圆的定义，离心率，余弦定理和基本不等式的应用，属于中档题．
17．（4分）（2022 嘉兴二模）已知平面向量，其中为单位向量，若，则的取值范围是 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】建立如图所示坐标系，不妨设，由题意，可知，记C（4，0），D（5，0），则，求出点B的轨迹方程，由的几何意义可得即为A点的轨迹上的点到B点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．
【解答】解：建立如图所示坐标系，
不妨设，
由知，点α在直线或上，
由题意，可知，
记C（4，0），D（5，0），则，
由定弦所对的角为顶角可知点B的轨迹是两个关于x轴对称的圆弧，
设B（x，y），则，
因为，
即，
整理得：或，
由对称性不妨只考虑第一象限的情况，
因为的几何意义为：
圆弧的点到直线上的点的距离，
所以最小值为，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查了动点的轨迹以及向量的模的范围问题，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）（2022 嘉兴二模）设函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈R）．
（1）求函数y＝f（x） f（﹣x）的最小正周期及其对称中心；
（2）求函数在上的值域．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；直观想象；数学运算．
【分析】（1）利用二倍角公式将y＝f（x） f（﹣x）的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数y＝f（x） f（﹣x）的对称中心；
（2）将函数的表达式展开，并化简，根据x∈的范围，结合正弦函数的性质可确定答案．
【解答】解：（1）函数y＝f（x） f（﹣x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，
所以最小正周期Tπ；
令2x＝kπ（k∈Z），解得x（k∈Z），
所以对称中心为（，0）（k∈Z）；
（2）函数（sinx﹣cosx）2+[sin（x）﹣cos（x）]2＝1﹣sin2x+1﹣sin（2x）＝2﹣sin2x﹣cos2x＝2sin（2x），
因为x∈，
所以2x∈[，]，
故sin（2x）∈[，1]，
故y∈[2，3]．
【点评】本题考查了三角函数的化简及值域，属于基础题．
19．（15分）（2022 金华模拟）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PB中点，AB°．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面ADE所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】综合题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理结合勾股定理可得出AD⊥PD，利用线面垂直的判定可证得AD⊥平面PCD，结合BC∥AD可证得结论成立；
（Ⅱ）证明出PD⊥平面ABCD，设AD＝1，以点D为坐标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PA与平面ADE所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：不妨设AD＝1，则，
在△PAD中，PD2＝PA2+AD2﹣2PA ADcos60°＝4+1﹣2 2 cos60°＝3，
所以，PD2+AD2＝PA2，即PD⊥AD，
∵∠ADC＝90°，则AD⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊥AD，
PD 平面PAD，∴PD⊥平面ABCD，
又因为∠ADC＝90°，以点D为坐标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x，y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设AD＝1，则，
设平面ADE的法向量为，
则，取x＝1，可得（1，0，﹣1），，
所以，，
因此，直线PA与平面ADE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直和线面角的计算，属于中档题．
20．（15分）（2022 嘉兴二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是首项为1公比为q（q∈N*）的等比数列，其前n项和为Tn，且n2（Tn+1）＝2nSn对任意n∈N恒成立．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an bn，记{cn}的前n项和为Rn，若an2 bn≥λ（Rn﹣3）对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
【考点】数列与不等式的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解；
（2）利用（1）得出{cn}的通项公式，再利用错位相减法求出Rn，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由，得，
即，
由①得a1＝1，
由②得q＝d，由③得q＝d＝2，
所以数列an的通项公式为an＝2n﹣1，
所以数列{bn}的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以，
，
，
两式相减得：，
化简得：，
又因为，
即（2n﹣1）2 2n﹣1≥λ （2n﹣3） 2n，
即（2n﹣1）2≥2λ （2n﹣3），
当n＝1时，1≥﹣2λ，所以；
当n≥2（n∈N*）时，，
令，
则
当时，f（n+1）＜f（n），所以f（n）单调递减；
当时，f（n+1）＞f（n），所以f（n）单调递增；
当n＝3时，f（n）取得最小值为，
即，
所以λ的取值范围是．
【点评】本题考查了数列的递推式以及数列与不等式的综合，属于难题．
21．（15分）（2022 宁波二模）已知点A（1，1）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，点P（m，0）（其中m＞1）．如图过点P且斜率为2的直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的上方），直线AP与抛物线交于另一点D．
（Ⅰ）记|PA| |PD|＝λ|PB| |PC|，当m＝3时，求λ的值；
（Ⅱ）若△ACD面积大于27，求m的取值范围．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（Ⅰ）首先求出抛物线方程，即可求出直线BC，AD的方程，再联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再根据两点的距离公式求出|PB|，|PC|，|PA|，|PD|，即可得解；
（Ⅱ）设，即可得到BC的方程，从而得到D点坐标，即可得到直线AD的方程，联立直线AD与抛物线方程，利用弦长公式求出|AD|，再由点到直线的距离公式求出C到直线AD的距离d，即可得到，再利用导数说明函数的单调性，即可求出y0的取值范围，从而得到m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知：1＝2p，所以，所以抛物线方程为y2＝x，
当m＝3时，
所以，
联立，消去x得2y2﹣y﹣6＝0，
解得y1＝2或，
所以，
所以，
，
∴，
又，消去x整理得y2+2y﹣3＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣3，所以D（9，﹣3），
所以，
，
∴|PA| |PD|＝15，
所以；
（Ⅱ）设，则，
令y＝0，则，即，
所以AD：x＝（1﹣m）y+m，
联立，消元整理得y2﹣（1﹣m）y﹣m＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣m，
∴，
而，
∴
，
因为且y0＜0，所以，
所以，
令，
则，
∴f（y0）在（﹣∞，0）上单调递减，
又当y0＝﹣2时，S△ACD＝27，
所以当S△ACD＞27时，y0＜﹣2，
∴，
所以m的取值范围是（5，+∞）．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于难题．
22．（15分）（2022 浙江模拟）已知，，f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝g（x4）＝m（m＞e），1＜x1＜x2，0＜x3＜x4．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）求证：x2+x3＞x1+x4．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）对f（x）求导，然后判断导函数在各区间上的符号，再得到单调区间即可；
（2）由G（x）在区间（0，+∞）上单调递增，可知在（0，+∞）上，G（x）≥0恒成立，因此只需，构造函数，求出F（x）的最小值，即可得到a的取值范围；
（3）原题即证x2﹣x1＞x4﹣x3，而x1，x2是的两根，故m，然后结合对数平均不等式证明x2+x3＞x1+x4即可．
【解答】解（1）由，得（x＞0且x≠1），
令f'（x）＝0，则x＝e，
当x＞e时，f'（x）＞0；当0＜x＜1或1＜x＜e时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调减区间是（0，1），（1，e），单调增区间是（e，+∞）；
（2）对函数G（x）求导，得．
因为G（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
所以在（0，+∞）上，G（x）≥0恒成立，所以．
设函数，则
令F'（x）＞0，得；令F（x）＜0，得．
故F（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以，即实数a的取值范围为．
（3）证明：原题即证x2﹣x1＞x4﹣x3，，而x1，x2是的两根，
故（*）
∴．
设t＝x1x2，由对数平均不等式．
故x1+x2＞2m，．
∵x1+x2＞2m，∴，∴．
记φ（t）＝（mlnt）2﹣4t，则，．
而，
∴在（e2，m2）上有φ'（t）＞0，即φ（t）单调递增．
∵φ（e2）＝（2m）2﹣4e2＝4（m2﹣e2），
∴．
即证明了x2﹣x1＞x4﹣x3，即x2+x3＞x1+x4．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，根据单调性求参数的范围和不等式的证明，考查了转化思想，属难题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．分段函数的应用
【分段函数的应用】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．数列与不等式的综合
【知识点的知识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
【解题方法点拨】
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；
（2）将分子或分母放大（或缩小）；
（3）利用基本不等式；；
（4）二项式放缩；
（5）利用常用结论；
（6）利用函数单调性．
（7）常见模型：
①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．
【典型例题分析】
题型一：等比模型
典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足n+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对于n≥2，．
解答：（Ⅰ）由①，
当n≥2时，得②，
①﹣②得．
∴．
又，得a1＝7不适合上式．
综上得；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，．
∴．
∴当n≥2时，．
题型二：裂项相消模型
典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．
（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．
解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+an2①成立
∴（n≥2）②
①﹣②得2an＝an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）
∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）
（2）解：由（1）可知∵
∴
【解题方法点拨】
（1）放缩的方向要一致．
（2）放与缩要适度．
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．
12．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
13．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
14．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
15．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
16．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
19．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
20．圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的知识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
21．直线与抛物线的综合
v．
22．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
23．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
24．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
25．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
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一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 苍南县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2．（4分）（2021 海宁市模拟）已知a＞0，若（i为虚数单位），|z|＝1，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．2
3．（4分）（2022 浙江模拟）已知非零向量（x1，y1），（x2，y2），则“”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）（2021秋 浙江期末）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
5．（4分）（2022 台州模拟）若实数x，y满足则z＝y﹣3x的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（4分）（2022 绍兴二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段CD1上的动点，则（ ）
A．AP∥平面BC1D B．AP∥平面A1BC1
C．AP⊥平面A1BD D．AP⊥平面BB1D1
7．（4分）（2022 嘉兴二模）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）（e≈2.71828是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
8．（4分）（2020 诸暨市模拟）已知，则a+b的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
9．（4分）（2021秋 平罗县校级期中）已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
10．（4分）（2022 苍南县校级模拟）已知数列{an}满足a1＝1，an+1（n≥1，n∈N*），记数列前n项和为Sn，则（ ）
A．1＜S2022＜3 B．3＜S2022＜4
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）（2021 江苏一模）“康威圆定理”是英国数学家约翰 康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
12．（4分）（2021秋 和平区校级期中）已知函数f（x），若f（x0）＝3，则x0＝ ．
13．（6分）（2022 嘉兴二模）已知多项式（a+x）4+（2x﹣1）5＝a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5（a∈R），则a＝ ，a4+a5＝ ．
14．（6分）（2022 嘉兴二模）在锐角△ABC中，AB＝3，∠B，点D在线段BC上，且DC＝2BD，AD，则sin∠ADC＝ ，AC＝ ．
15．（6分）（2022 嘉兴二模）袋中有大小相同、质地均匀的1个红球、1个绿球和n个黄球．现从袋中每次随机取出一个且不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，若P（ξ＝0），则n＝ ，E（ξ）＝ ．
16．（6分）（2022 定海区校级模拟）已知椭圆1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM，设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，则椭圆的离心率e＝ ；∠F1QF2的取值范围是 ．
17．（4分）（2022 嘉兴二模）已知平面向量，其中为单位向量，若，则的取值范围是 ．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）（2022 嘉兴二模）设函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈R）．
（1）求函数y＝f（x） f（﹣x）的最小正周期及其对称中心；
（2）求函数在上的值域．
19．（15分）（2022 金华模拟）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PB中点，AB°．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面ADE所成角的正弦值．
20．（15分）（2022 嘉兴二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是首项为1公比为q（q∈N*）的等比数列，其前n项和为Tn，且n2（Tn+1）＝2nSn对任意n∈N恒成立．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an bn，记{cn}的前n项和为Rn，若an2 bn≥λ（Rn﹣3）对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
21．（15分）（2022 宁波二模）已知点A（1，1）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，点P（m，0）（其中m＞1）．如图过点P且斜率为2的直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的上方），直线AP与抛物线交于另一点D．
（Ⅰ）记|PA| |PD|＝λ|PB| |PC|，当m＝3时，求λ的值；
（Ⅱ）若△ACD面积大于27，求m的取值范围．
22．（15分）（2022 浙江模拟）已知，，f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝g（x4）＝m（m＞e），1＜x1＜x2，0＜x3＜x4．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）求证：x2+x3＞x1+x4．
2022高考数学终极押题密卷1（浙江卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 苍南县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，
B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈N|﹣2≤x≤3}＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（4分）（2021 海宁市模拟）已知a＞0，若（i为虚数单位），|z|＝1，则a＝（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】复数的模．
【专题】对应思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】由已知结合商的模等于模的商求解．
【解答】解：∵，且|z|＝1，
∴||，即，得a，
又a＞0，∴a．
故选：B．
【点评】本题考查复数模的求法，考查化归与转化思想，是基础题．
3．（4分）（2022 浙江模拟）已知非零向量（x1，y1），（x2，y2），则“”是“∥”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】“” “”，“” “”或y1，y2中存在0，但是，λ≠0，由此能求出结果．
【解答】解：非零向量（x1，y1），（x2，y2），
则“” “”，
“” “”或y1，y2中存在0，但是，λ≠0，
∴“”是“”的充分不必要条件．
故选：A．
【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（4分）（2021秋 浙江期末）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（ ）
A．12 B．6 C．4 D．2
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算．
【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为四棱锥P﹣ABCD，AP⊥平面ABCD，四边形ABCD为矩形，PA＝2，AB＝3，BC＝2，再由棱锥体积公式求解．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
该几何体为四棱锥P﹣ABCD，AP⊥平面ABCD，
四边形ABCD为矩形，PA＝2，AB＝3，BC＝2．
∴该几何体的体积是V．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题．
5．（4分）（2022 台州模拟）若实数x，y满足则z＝y﹣3x的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，2），
由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，由图可知，当直线y＝3x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2﹣3×1＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（4分）（2022 绍兴二模）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P是线段CD1上的动点，则（ ）
A．AP∥平面BC1D B．AP∥平面A1BC1
C．AP⊥平面A1BD D．AP⊥平面BB1D1
【考点】直线与平面平行．
【专题】应用题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理．
【分析】正方体中证明平面AD1C∥平面A1BC1后可得线面平行，从而得正确选项．
【解答】解：如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，由AA1与CC1平行且相等得平行四边形ACC1A1，
得A1C1∥AC，由AC 平面A1BC1，A1C1 平面A1BC1，
所以AC∥平面A1BC1，同理AD1∥平面A1BC1，
而AD1，AC是平面AD1C内两条相交直线，
因此平面AD1C∥平面A1BC1，又AP 平面AD1C，
所以AP∥平面A1BC1，
故选：B．
【点评】本题考查了线面平行的判定定理和性质，属于中档题．
7．（4分）（2022 嘉兴二模）已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（ ）（e≈2.71828是自然对数的底数）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；综合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】首先判断f（x）为偶函数，其次考虑函数的定义域，由排除法可得结论．
【解答】解：由已知图象可得f（x）的图象关于y轴对称，即f（x）为偶函数，
而选项A、C表示的是奇函数，故A、C错误；
对于D，f（x）满足f（﹣x）＝f（x），可得f（x）为偶函数，
由x＝±2，±4时，函数值f（x）不存在，故D错误．
故选：B．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
8．（4分）（2020 诸暨市模拟）已知，则a+b的最小值是（ ）
A．2 B． C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；定义法；不等式的解法及应用．
【分析】由对数的性质将原式化简，得到a+4b＝4ab，变形之后利用“1“的代换，结合不等式求出最值，注意需写出最值得取等条件．
【解答】解：∵log2（a+4b）＝2log2（2）＝log2（4ab），
∴a+4b＝4ab，且a＞0，b＞0，
∴4，
则a+b（）（a+b）（5）（25）；
当且仅当即时取＝，
则a+b的最小值是，
故选：C．
【点评】本题考查了基本不等式的应用，对数的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
9．（4分）（2021秋 平罗县校级期中）已知圆B：（x+2）2+y2＝64，A（2，0），动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】连结AP，根据题意，|AP|＝|CP|，可得|PB|+|PA|＝|PB|+|PC|＝4＞|AB|，故P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆，即可求出AC垂直平分线与线段BC的交点P的轨迹方程．
【解答】解：连结AP，根据题意，|AP|＝|CP|，
则|PB|+|PA|＝|PB|+|PC|＝8＞|AB|＝4，
故P的轨迹是以A，B为焦点，长轴长为8的椭圆，且a＝4，c＝2，
∴b＝2，
∴点P的轨迹方程为：．
故选：C．
【点评】本题考查曲线轨迹的求解，考查椭圆的标准方程，考查学生分析解决问题的能力，需要一定的基本功．
10．（4分）（2022 苍南县校级模拟）已知数列{an}满足a1＝1，an+1（n≥1，n∈N*），记数列前n项和为Sn，则（ ）
A．1＜S2022＜3 B．3＜S2022＜4
C． D．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；函数思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】分析可知对任意的n∈N*，an＞0，则，推导出数列{an}为单调递减数列，可得出S2022＞a1＝1，再利用不等式的性质推导出，即可求得S2022＜3，由此可得出合适的选项．
【解答】解：因为，
易知对任意的n∈N*，an＞0，则，
所以，，
即an+1＜an，故数列{an}为单调递减数列，则S2022＞a1＝1，
由于，
则，
所以，，
所以，，
因此，1＜S2022＜3．
故选：A．
【点评】本题考查了数列的单调性以及放缩法的应用，属于难题．
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）（2021 江苏一模）“康威圆定理”是英国数学家约翰 康威引以为豪的研究成果之一．定理的内容是这样的：如图，△ABC的三条边长分别为BC＝a，AC＝b，AB＝c．延长线段CA至点A1，使得AA1＝a，以此类推得到点A2，B1，B2，C1和C2，那么这六个点共圆，这个圆称为康威圆．已知a＝4，b＝3，c＝5，则由△ABC生成的康威圆的半径为 ．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；新定义；数形结合；数形结合法；解三角形；数学运算．
【分析】由题意康威圆的圆心在∠ACB的平分线上，同时在∠ABC的平分线上，可得圆心为三角形ABC的内心，设三角形ABC的内切圆圆心为r，由r可求康威圆的半径R的值．
【解答】解：因为CC1＝CC2，CA1＝CB2，所以康威圆的圆心在∠ACB的平分线上，同理，康威圆的圆心在∠ABC的平分线上，
所以圆心为三角形ABC的内心，
设三角形ABC的内切圆圆心为r，则r1，
所以康威圆的半径R．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了三角形中的几何计算，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
12．（4分）（2021秋 和平区校级期中）已知函数f（x），若f（x0）＝3，则x0＝ ．
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用分段函数的解析式，分x0≤﹣1和x0＞﹣1两种情况，分别列出方程求解即可．
【解答】解：因为函数f（x），且f（x0）＝3，
当x0≤﹣1时，f（x0）＝x0﹣1＝3，解得x0＝4（舍）；
当x0＞﹣1时，f（x0），解得（舍）或x0．
故答案为：．
【点评】本题考查了函数的求值问题，主要考查的是分段函数的应用，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
13．（6分）（2022 嘉兴二模）已知多项式（a+x）4+（2x﹣1）5＝a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5（a∈R），则a＝ ±1 ，a4+a5＝ ﹣47 ．
【考点】二项式定理．
【专题】整体思想；转化法；二项式定理；数学运算．
【分析】根据多项式（a+x）4+（2x﹣1）5的展开式中常数项为0列方程求出a的值，再求展开式中a4+a5的值．
【解答】解：因为多项式（a+x）4+（2x﹣1）5的常数项为a4+（﹣1）5＝0，
即a4＝1，解得a＝±1；
a＝1时，a4 14 （﹣1） 24＝1﹣80＝﹣79，a5＝25＝32，
所以a4+a5＝﹣79+32＝﹣47；
a＝﹣1时，a4 （﹣1）4 （﹣1） 24＝1﹣80＝﹣79，a5＝25＝32，
所以a4+a5＝﹣79+32＝﹣47．
故答案为：±1，﹣47．
【点评】本题考查了多项式展开式各项系数的计算问题，也考查了运算求解能力，是基础题．
14．（6分）（2022 嘉兴二模）在锐角△ABC中，AB＝3，∠B，点D在线段BC上，且DC＝2BD，AD，则sin∠ADC＝ ，AC＝ 3 ．
【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知结合正弦定理可求sin∠ADB，结合诱导公式即可求解sin∠ADC，然后结合余弦定可求．
【解答】解：△ABD中，由正弦定理得，，
所以sin∠ADB，sin∠ADC，
由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB BD cosB，
所以7＝9+BD2﹣3BD，
解得BD＝1或BD＝2，
当BD＝1时，BC＝3，此时AB＝BC且∠B，△ABC为等边三角形，AC＝3符合题意，
当BD＝2时，BC＝6，由余弦定理得AC2＝9+36﹣227，
所以AC＝3，此时AC2+AB2＝BC2，ABC为直角三角形，不符合题意．
故答案为：，3．
【点评】本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
15．（6分）（2022 嘉兴二模）袋中有大小相同、质地均匀的1个红球、1个绿球和n个黄球．现从袋中每次随机取出一个且不放回，直到取出红球为止．设此过程中取到黄球的个数为ξ，若P（ξ＝0），则n＝ 3 ，E（ξ）＝ ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】随机变量ξ＝0包含两种情况：第一次取到红球；第一次取到绿球，第二次取到红球，分别求出对应的概率，即可求解n，随机变量ξ所有可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，即可得ξ的分布列，并结合期望公式，即可求解．
【解答】解：ξ＝0表示取到红球后（停止取球），还没有取到黄球，包含两种情况：
第一次取到红球，概率为，
第一次取到绿球，第二次取到红球，概率为P2，
所以P（ξ＝0）＝P1+P2，解得n＝3，
随机变量ξ所有可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0），
P（ξ＝1），
P（ξ＝2），
P（ξ＝3）＝1﹣P（ξ＝0）﹣P（ξ＝1）﹣P（ξ＝2），
故随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
故E（ξ）．
故答案为：3；．
【点评】本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题．
16．（6分）（2022 定海区校级模拟）已知椭圆1（a＞b＞0）的长、短轴端点分别为A、B，从此椭圆上一点M（在x轴上方）向x轴作垂线，恰好通过椭圆的左焦点F1，AB∥OM，设Q是椭圆上任意一点，F1、F2分别是左、右焦点，则椭圆的离心率e＝ ；∠F1QF2的取值范围是 [0，] ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】根据条件求出直线OM，AB的斜率，根据 AB∥OM，可得，从而得b＝c，结合a，b，c的关系可得离心率；
设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，根据椭圆定义r1+r2＝2a，|F1F2|＝2c，在三角形F1OF2中由余弦定理结合基本不等式可得cosθ的范围，进而可得θ的取值范围．
【解答】解：因为F1（﹣c，0），则，
所以，
因为∥，
所以，
所以b＝c，
故e；
设|F1Q|＝r1，|F2Q|＝r2，∠F1QF2＝θ，
所以r1+r2＝2a，|F1F2|＝2c，
，
当且仅当r1＝r2时，cosθ＝0，
所以，
故答案为：；．
【点评】本题考查了椭圆的定义，离心率，余弦定理和基本不等式的应用，属于中档题．
17．（4分）（2022 嘉兴二模）已知平面向量，其中为单位向量，若，则的取值范围是 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】建立如图所示坐标系，不妨设，由题意，可知，记C（4，0），D（5，0），则，求出点B的轨迹方程，由的几何意义可得即为A点的轨迹上的点到B点的轨迹上的点的距离，从而可得出答案．
【解答】解：建立如图所示坐标系，
不妨设，
由知，点α在直线或上，
由题意，可知，
记C（4，0），D（5，0），则，
由定弦所对的角为顶角可知点B的轨迹是两个关于x轴对称的圆弧，
设B（x，y），则，
因为，
即，
整理得：或，
由对称性不妨只考虑第一象限的情况，
因为的几何意义为：
圆弧的点到直线上的点的距离，
所以最小值为，
故．
故答案为：．
【点评】本题考查了动点的轨迹以及向量的模的范围问题，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）（2022 嘉兴二模）设函数f（x）＝sinx﹣cosx（x∈R）．
（1）求函数y＝f（x） f（﹣x）的最小正周期及其对称中心；
（2）求函数在上的值域．
【考点】三角函数的周期性．
【专题】对应思想；综合法；三角函数的图象与性质；直观想象；数学运算．
【分析】（1）利用二倍角公式将y＝f（x） f（﹣x）的表达式化简，即可求得函数的最小正周期，结合余弦函数的对称中心可求得函数y＝f（x） f（﹣x）的对称中心；
（2）将函数的表达式展开，并化简，根据x∈的范围，结合正弦函数的性质可确定答案．
【解答】解：（1）函数y＝f（x） f（﹣x）＝cos2x﹣sin2x＝cos2x，
所以最小正周期Tπ；
令2x＝kπ（k∈Z），解得x（k∈Z），
所以对称中心为（，0）（k∈Z）；
（2）函数（sinx﹣cosx）2+[sin（x）﹣cos（x）]2＝1﹣sin2x+1﹣sin（2x）＝2﹣sin2x﹣cos2x＝2sin（2x），
因为x∈，
所以2x∈[，]，
故sin（2x）∈[，1]，
故y∈[2，3]．
【点评】本题考查了三角函数的化简及值域，属于基础题．
19．（15分）（2022 金华模拟）已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是梯形，AD∥BC，∠ADC＝90°，侧面PAD⊥底面ABCD，E为PB中点，AB°．
（Ⅰ）求证：BC⊥平面PCD；
（Ⅱ）求直线PA与平面ADE所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】综合题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用余弦定理结合勾股定理可得出AD⊥PD，利用线面垂直的判定可证得AD⊥平面PCD，结合BC∥AD可证得结论成立；
（Ⅱ）证明出PD⊥平面ABCD，设AD＝1，以点D为坐标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可求得直线PA与平面ADE所成角的正弦值．
【解答】（Ⅰ）证明：不妨设AD＝1，则，
在△PAD中，PD2＝PA2+AD2﹣2PA ADcos60°＝4+1﹣2 2 cos60°＝3，
所以，PD2+AD2＝PA2，即PD⊥AD，
∵∠ADC＝90°，则AD⊥CD，∵PD∩CD＝D，∴AD⊥平面PCD，
∵BC∥AD，∴BC⊥平面PCD；
（Ⅱ）解：因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PD⊥AD，
PD 平面PAD，∴PD⊥平面ABCD，
又因为∠ADC＝90°，以点D为坐标原点，DC、DA、DP所在直线分别为x，y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
设AD＝1，则，
设平面ADE的法向量为，
则，取x＝1，可得（1，0，﹣1），，
所以，，
因此，直线PA与平面ADE所成角的正弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直和线面角的计算，属于中档题．
20．（15分）（2022 嘉兴二模）设等差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}是首项为1公比为q（q∈N*）的等比数列，其前n项和为Tn，且n2（Tn+1）＝2nSn对任意n∈N恒成立．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）设cn＝an bn，记{cn}的前n项和为Rn，若an2 bn≥λ（Rn﹣3）对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
【考点】数列与不等式的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件及等差等比数列的通项公式及前n项和公式即可求解；
（2）利用（1）得出{cn}的通项公式，再利用错位相减法求出Rn，将不等式恒成立问题转化为最值问题即可求解．
【解答】解：（1）设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，
则由，得，
即，
由①得a1＝1，
由②得q＝d，由③得q＝d＝2，
所以数列an的通项公式为an＝2n﹣1，
所以数列{bn}的通项公式为；
（2）由（1）知，，
所以，
，
，
两式相减得：，
化简得：，
又因为，
即（2n﹣1）2 2n﹣1≥λ （2n﹣3） 2n，
即（2n﹣1）2≥2λ （2n﹣3），
当n＝1时，1≥﹣2λ，所以；
当n≥2（n∈N*）时，，
令，
则
当时，f（n+1）＜f（n），所以f（n）单调递减；
当时，f（n+1）＞f（n），所以f（n）单调递增；
当n＝3时，f（n）取得最小值为，
即，
所以λ的取值范围是．
【点评】本题考查了数列的递推式以及数列与不等式的综合，属于难题．
21．（15分）（2022 宁波二模）已知点A（1，1）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，点P（m，0）（其中m＞1）．如图过点P且斜率为2的直线与抛物线交于B，C两点（点B在点C的上方），直线AP与抛物线交于另一点D．
（Ⅰ）记|PA| |PD|＝λ|PB| |PC|，当m＝3时，求λ的值；
（Ⅱ）若△ACD面积大于27，求m的取值范围．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（Ⅰ）首先求出抛物线方程，即可求出直线BC，AD的方程，再联立直线与抛物线方程，求出交点坐标，再根据两点的距离公式求出|PB|，|PC|，|PA|，|PD|，即可得解；
（Ⅱ）设，即可得到BC的方程，从而得到D点坐标，即可得到直线AD的方程，联立直线AD与抛物线方程，利用弦长公式求出|AD|，再由点到直线的距离公式求出C到直线AD的距离d，即可得到，再利用导数说明函数的单调性，即可求出y0的取值范围，从而得到m的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题可知：1＝2p，所以，所以抛物线方程为y2＝x，
当m＝3时，
所以，
联立，消去x得2y2﹣y﹣6＝0，
解得y1＝2或，
所以，
所以，
，
∴，
又，消去x整理得y2+2y﹣3＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣3，所以D（9，﹣3），
所以，
，
∴|PA| |PD|＝15，
所以；
（Ⅱ）设，则，
令y＝0，则，即，
所以AD：x＝（1﹣m）y+m，
联立，消元整理得y2﹣（1﹣m）y﹣m＝0，
解得y1＝1，y2＝﹣m，
∴，
而，
∴
，
因为且y0＜0，所以，
所以，
令，
则，
∴f（y0）在（﹣∞，0）上单调递减，
又当y0＝﹣2时，S△ACD＝27，
所以当S△ACD＞27时，y0＜﹣2，
∴，
所以m的取值范围是（5，+∞）．
【点评】本题考查了直线与抛物线的综合应用，属于难题．
22．（15分）（2022 浙江模拟）已知，，f（x1）＝f（x2）＝g（x3）＝g（x4）＝m（m＞e），1＜x1＜x2，0＜x3＜x4．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）若在区间（0，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（3）求证：x2+x3＞x1+x4．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）对f（x）求导，然后判断导函数在各区间上的符号，再得到单调区间即可；
（2）由G（x）在区间（0，+∞）上单调递增，可知在（0，+∞）上，G（x）≥0恒成立，因此只需，构造函数，求出F（x）的最小值，即可得到a的取值范围；
（3）原题即证x2﹣x1＞x4﹣x3，而x1，x2是的两根，故m，然后结合对数平均不等式证明x2+x3＞x1+x4即可．
【解答】解（1）由，得（x＞0且x≠1），
令f'（x）＝0，则x＝e，
当x＞e时，f'（x）＞0；当0＜x＜1或1＜x＜e时，f'（x）＜0，
所以f（x）的单调减区间是（0，1），（1，e），单调增区间是（e，+∞）；
（2）对函数G（x）求导，得．
因为G（x）在区间（0，+∞）上单调递增，
所以在（0，+∞）上，G（x）≥0恒成立，所以．
设函数，则
令F'（x）＞0，得；令F（x）＜0，得．
故F（x）在上单调递增，在上单调递减，
所以，即实数a的取值范围为．
（3）证明：原题即证x2﹣x1＞x4﹣x3，，而x1，x2是的两根，
故（*）
∴．
设t＝x1x2，由对数平均不等式．
故x1+x2＞2m，．
∵x1+x2＞2m，∴，∴．
记φ（t）＝（mlnt）2﹣4t，则，．
而，
∴在（e2，m2）上有φ'（t）＞0，即φ（t）单调递增．
∵φ（e2）＝（2m）2﹣4e2＝4（m2﹣e2），
∴．
即证明了x2﹣x1＞x4﹣x3，即x2+x3＞x1+x4．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，根据单调性求参数的范围和不等式的证明，考查了转化思想，属难题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．分段函数的应用
【分段函数的应用】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．数列与不等式的综合
【知识点的知识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
【解题方法点拨】
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；
（2）将分子或分母放大（或缩小）；
（3）利用基本不等式；；
（4）二项式放缩；
（5）利用常用结论；
（6）利用函数单调性．
（7）常见模型：
①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．
【典型例题分析】
题型一：等比模型
典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足n+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对于n≥2，．
解答：（Ⅰ）由①，
当n≥2时，得②，
①﹣②得．
∴．
又，得a1＝7不适合上式．
综上得；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，．
∴．
∴当n≥2时，．
题型二：裂项相消模型
典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．
（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．
解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+an2①成立
∴（n≥2）②
①﹣②得2an＝an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）
∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）
（2）解：由（1）可知∵
∴
【解题方法点拨】
（1）放缩的方向要一致．
（2）放与缩要适度．
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．
12．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
13．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
14．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
15．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
16．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
19．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
20．圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的知识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
21．直线与抛物线的综合
v．
22．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
23．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
24．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
25．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
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