2022高考数学终极押题密卷（浙江卷）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（浙江卷）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 531.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 09:59:26 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷2（浙江卷）
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 嘉兴二模）已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝{x|﹣1≤x≤6}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，6] B．[﹣1，6] C．[﹣1，3] D．（0，6]
2．（4分）（2021 浙江模拟）已知a∈R，复数z＝（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2022 浙江模拟）设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），则“logab＝logba”是“a＝b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）（2022 贵州模拟）如图是某几何体的三视图，每个小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为（ ）
A． B．π C．π D．2π
5．（4分）（2022 金华模拟）已知x，y满足不等式组，若ax+y中有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤1 B．0≤a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥1
6．（4分）（2020 浙江模拟）已知m，n，1是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则n∥β的一个充分条件（ ）
A．m⊥β，m⊥n
B．α∩β＝1，m⊥n⊥1，m∥α
C．α⊥β，n⊥α，m β，m与n不相交
D．α∩β＝1，n∥l，m α，m与n相交
7．（4分）（2022 金华模拟）已知函数f（x）＝x，g（x）＝sinx，t（x）＝cosx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）（2021 浙江模拟）已知实数x，y满足x2+y2＝1，0＜x＜1，0＜y＜1，当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．1
9．（4分）（2018秋 平罗县校级期末）双曲线的右焦点F，过点F的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣5＝0相交于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4
C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
10．（4分）（2022 嘉兴二模）已知数列{an}满足为数列的前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）（2022春 润州区校级期中）如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为 米．
12．（4分）（2019秋 兴宁区校级期中）已知函数f（x），则f（f（﹣1））＝ ．
13．（6分）（2022 苍南县校级模拟）若二项展开式（2x+1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a5＝ ， ．
14．（6分）（2022 苍南县校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，，sin2B﹣cos2C，则A＝ ，△ABC的面积是 ．
15．（6分）（2022 宁波二模）一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球（m∈N*），从中任取3个球．记取出的白球个数为ξ，若，则m＝ ，E（ξ）＝ ．
16．（6分）（2022 浙江模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线x＝c与双曲线C的一个交点为P，Q为双曲线的渐近线上在第一象限内的一点，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率的取值范围为 ，离心率取得最大值时，双曲线C的渐近线方程为 ．
17．（4分）（2022 浙江二模）已知平面向量，，满足|，，|，则|的最小值是 ．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）（2022 苍南县校级模拟）设函数f（x）x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心和单调增区间；
（Ⅱ）函数f（x）在[，]上满足﹣f（x）≤λ≤f（x）+3，求λ的取值范围．
19．（15分）（2022 杭州模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，M为棱AP的中点，且AB＝2AD＝2BC＝2CD＝4，DM．
（Ⅰ）求证：DM∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
20．（15分）（2022 浙江二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a3＝6，S4＝20．数列{bn}满足b1＝1，，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足，n∈N*，记数列{cn}的前n项和为Tn，若，求n的最小值．
21．（15分）（2022 浙江二模）如图，抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（1，m）（m＞0）到其准线的距离为2．过点M（3，2）作直线l交抛物线于B，C两点，直线AB与直线y＝x+3交于点P．
（Ⅰ）求证：直线PC⊥y轴；
（Ⅱ）记△ABC，△PBC的面积分别为S1，S2．若S1 S2＝54，求直线AB的方程．
22．（15分）（2022 绍兴二模）已知a∈R，函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且0＜x1＜x2＜1，
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）当a＜﹣9时，证明：．
（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）
2022高考数学终极押题密卷2（浙江卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 嘉兴二模）已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝{x|﹣1≤x≤6}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，6] B．[﹣1，6] C．[﹣1，3] D．（0，6]
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】化简集合A，再求并集即可．
【解答】解：∵A＝{x|2x≤8}＝（﹣∞，3]，B＝{x|﹣1≤x≤6}，
∴A∪B＝（﹣∞，6]，
故选：A．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属基础题．
2．（4分）（2021 浙江模拟）已知a∈R，复数z＝（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．
【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】由纯虚数的概念可得a的值，计算即可得结果．
【解答】解：因为z＝（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，
所以，解得a＝2，即z＝i，
，其虚部为，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（4分）（2022 浙江模拟）设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），则“logab＝logba”是“a＝b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】a，b∈（0，1）∪（1，+∞），logab＝logba lgb＝±lga，可得a＝b，或ab＝1．即可判断出结论．
【解答】解：a，b∈（0，1）∪（1，+∞），logab＝logba lgb＝±lga，可得a＝b，或ab＝1．
∴“logab＝logba”是“a＝b”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了对数运算性质、方程思想方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（4分）（2022 贵州模拟）如图是某几何体的三视图，每个小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为（ ）
A． B．π C．π D．2π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算．
【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆锥，半球的半径为1，圆锥的底面半径为1，高为2，再由球与圆锥的体积公式求解．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆锥，
半球的半径为1，圆锥的底面半径为1，高为2，
则该几何体的体积V13π×12×2．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．
5．（4分）（2022 金华模拟）已知x，y满足不等式组，若ax+y中有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤1 B．0≤a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥1
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，令z＝ax+y，化为直线方程的斜截式，数形结合可得满足条件的a的范围．
【解答】解：不等式组所表示的平面区域如图，
令z＝ax+y，化为y＝﹣ax+z，
由图可知，若z＝ax+y有最大值，则﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
6．（4分）（2020 浙江模拟）已知m，n，1是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则n∥β的一个充分条件（ ）
A．m⊥β，m⊥n
B．α∩β＝1，m⊥n⊥1，m∥α
C．α⊥β，n⊥α，m β，m与n不相交
D．α∩β＝1，n∥l，m α，m与n相交
【考点】直线与平面平行；充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；空间位置关系与距离；简易逻辑；数学抽象．
【分析】根据题意，由线面平行的判断方法，结合充分必要条件的定义依次分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，m⊥β，m⊥n，直线n可能在平面β内，不能得到n∥β，A错误；
对于B，n可能与平面β相交，不能得到n∥β，B错误，
对于C，α⊥β，n⊥α，m∈β，m与n不相交，直线n可能在平面β内，不能得到n∥β，C错误；
对于D，α∩β＝1，n∥l，m∈α，m与n相交，则有，则有n∥β，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查线面平行的判断，涉及充分必要条件的定义，属于基础题．
7．（4分）（2022 金华模拟）已知函数f（x）＝x，g（x）＝sinx，t（x）＝cosx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】由x＝0时，y＝0，函数y的值域中存在负值，函数y的图象不关于原点对称，即不是奇函数，由排除法可得结论．
【解答】解：由图象可得x＝0时，y＝0，可排除选项B：y；
由函数y的值域中存在负值，可排除选项A：y；
由已知图象可得函数y的图象不关于原点对称，函数y不是奇函数，
而y为奇函数，可排除选项D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
8．（4分）（2021 浙江模拟）已知实数x，y满足x2+y2＝1，0＜x＜1，0＜y＜1，当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理．
【分析】令z，由x2+y2＝1和“1”的代换，得到z2的关于的表达式，然后利用换元法构造函数f（t），结合题中给出的选项进行判断即可．
【解答】解：令z，由x2+y2＝1，
所以
，
令，则，
所以，
通过题中选项给出的数据，可得当t时，f'（t）＝0，
故当t时，f（t）取得最小值，即当的值为时，取最小值．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式中“1”的代换的应用，同时考查利用导数求解函数最值的应用，解题的关键是利用“1”的代换将z进行变形，属于难题．
9．（4分）（2018秋 平罗县校级期末）双曲线的右焦点F，过点F的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣5＝0相交于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4
C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】求出右焦点F的坐标，设出A，B，M的坐标，利用点差法结合斜率相等列式得答案．
【解答】解：由双曲线的右焦点F（2，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x，y），
则x12+y12﹣4y1﹣5＝0，x22+y22﹣4y2﹣5＝0
两式作差得：，
可得：，
整理得：x2+y2﹣2x﹣2y＝0．
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，训练了“点差法”求与中点弦有关的问题，是中档题．
10．（4分）（2022 嘉兴二模）已知数列{an}满足为数列的前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】先判断出an＞an﹣1，通过放缩得到，再通过分析法证得，结合裂项相消即可证得，又由an＞an﹣1证得即可．
【解答】解：当n∈N*，n≥2时，因为，所以an＞an﹣1，
又因为，
且，
下证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
令，即证，
当t≥2，an﹣1≥1时，不等式恒成立，
因此，，
所以
，
又因为，
故选：D．
【点评】本题考查了放缩法和裂项相消求和的应用，属于难题．
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）（2022春 润州区校级期中）如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为 30 米．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；对应思想；定义法；解三角形；数学运算．
【分析】由直角三角形求得AM，在△ACM中利用正弦定理求得CM的值，再利用Rt△CDM求出CD的值．
【解答】解：在Rt△ABM中，sin15°，解得AM30，
在△ACM中，∠CAM＝30°+15°＝45°，∠AMC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，
所以∠ACM＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
由正弦定理得，，
故CM AM60．
在Rt△CDM中，∠CMD＝60°，
所以CD＝CMsin60°＝6030，
估算该雕像的高度为30米．
故答案为：30．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了方程思想和运算求解能力，是中档题．
12．（4分）（2019秋 兴宁区校级期中）已知函数f（x），则f（f（﹣1））＝ ﹣3 ．
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出f（﹣1），然后再求解f（f（﹣1））即可．
【解答】解：函数f（x），则f（﹣1）＝2，
所以f（f（﹣1））＝f（2）＝﹣2×2+1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分段函数的求值问题，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
13．（6分）（2022 苍南县校级模拟）若二项展开式（2x+1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a5＝ 672 ， 128 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；定义法；二项式定理；数学运算．
【分析】根据二项展开式中各项系数特点，即可求出结果．
【解答】解：二项展开式（2x+1）7＝（1+2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，
a5 25 32＝672，
＝2（7+35+21+1）
＝128．
故答案为：672；128．
【点评】本题考查了二项式展开式各项系数特征应用问题，是基础题．
14．（6分）（2022 苍南县校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，，sin2B﹣cos2C，则A＝ ，△ABC的面积是 ．
【考点】正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知结合同角基本关系进行化简，然后结合正弦定理及余弦定理进行化简可求sinA，进而可求A，然后求出bc，结合三角形面积公式可求．
【解答】解：因为，
所以，
所以cosA，
所以b2+c2＝3a2，即sin2B+sin2C＝3sin2A，
因为sin2B﹣cos2C＝sin2B+sin2C﹣1，
所以sin2B+sin2C＝3sin2A，
所以sinA，
由可知A为锐角，A，
又bc6，
所以S△ABC．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
15．（6分）（2022 宁波二模）一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球（m∈N*），从中任取3个球．记取出的白球个数为ξ，若，则m＝ 2 ，E（ξ）＝ 2 ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率，可求出m的值，分别求出取出的白球为1，2，3时的概率，进而求出E（ξ）即可．
【解答】解：根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为：，解得 m＝2；
所以袋中有2个红球，4个白球，
则取出的三个球中白球的个数ξ的可能取值为：1，2，3，
所以，
所以，
故答案为：2；2．
【点评】本题考查了离散型随机变量的概率和期望的计算，属于中档题．
16．（6分）（2022 浙江模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线x＝c与双曲线C的一个交点为P，Q为双曲线的渐近线上在第一象限内的一点，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率的取值范围为 （1，] ，离心率取得最大值时，双曲线C的渐近线方程为 y＝±x ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由已知可得λ，进而可得λ（0），从而e2，运算求解即可．
【解答】解：由可得λ（），
∴λ，∴Q，P，F2共线，Q为双曲线的渐近线上在第一象限内的一点，
∴P也在第一象限内，又点P，Q在直线x＝c上，所以点P（c，），Q（c，），
∴λ（0），∴b﹣c＝﹣λc，∴（1﹣λ）c＝b，∴（1﹣λ）2c2＝b2＝c2﹣a2，
∴[1﹣（1﹣λ）2]c2＝a2，∴e2，
又，∴e2∈（1，]，∴e∈（1，]，
∴λ时，离心率取得最大值时，此时c＝b，∴c2＝b2，∴a2+b2＝4b2，∴，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x．
故答案为：（1，]；y＝±x．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，以及分析能力和运算能力，属中档题．
17．（4分）（2022 浙江二模）已知平面向量，，满足|，，|，则|的最小值是 ．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】建立平面直线坐标系，使（1，0），（0，1），求出向量（x，y）满足1，设（1，0），（0，1），（x，y），（1﹣λ），（），得到A，B，C，D，E的坐标，求出E关于直线AB的对称点F，把|转化为|CD|+|ED|＝|CD|+|FD|，利用几何意义得到当点C位于短轴上顶点时，|CF|最小．
【解答】解：由||＝||＝1，，不妨建立平面直角坐标系，使（1，0），（0，1），
设（x，y），则4，整理得1，
设（1，0），（0，1），（x，y），则A（1，0），B（0，1），C（x，y），如图，
∵|
＝||+||
＝|[（1﹣λ）]|+||，
记（1﹣λ）（1﹣λ），
∴A，B，C三点共线，
由A（1，0），B（0，1）得直线AB为x+y﹣1＝0，∴点D落在直线AB上，
设（），则E（ ，1），
∴|[（1﹣λ）]|表示CD间的距离，
||表示DE间的距离，
∴||+||表示|CD|+|ED|，
设F（x，y）为E关于直线AB的对称点，则，
解得，∴F（0，），
∴|ED|＝|FD|，
∴|CD|+|ED|＝|CD|+|FD|≥|CF|，
如图，当C位于直线AB右上方的椭圆上时，|CD|+|ED|能取得最小值，
由椭圆的几何性质得当C位于短轴上顶点时，|CF|最小，
∴|的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的运算，考查平面向量坐标运算、椭圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）（2022 苍南县校级模拟）设函数f（x）x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心和单调增区间；
（Ⅱ）函数f（x）在[，]上满足﹣f（x）≤λ≤f（x）+3，求λ的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）＝sin（2x），从而求对称中心和单调增区间；
（Ⅱ）利用整体思想求f（x）的取值范围，从而求解恒成立问题．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）x
sin2xcos2x
＝sin（2x），
令2xkπ，k∈Z，
则x，k∈Z，
故函数f（x）的对称中心为（，）（k∈Z）；
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z；
解得kπ≤x≤kπ，k∈Z；
故函数f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[，]，
∴2x∈[，]，
∴sin（2x）∈[，]，
∴sin（2x）∈[，0]，
∴﹣f（x）∈[0，]，f（x）+3∈[，3]，
∵﹣f（x）≤λ≤f（x）+3恒成立，
∴λ．
【点评】本题考查了三角函数的化简与应用，属于中档题．
19．（15分）（2022 杭州模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，M为棱AP的中点，且AB＝2AD＝2BC＝2CD＝4，DM．
（Ⅰ）求证：DM∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）取PB中点为N，连接MN，CN，证明DM∥CN，再利用线面平行的判定定理能证明DM∥平面PBC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值
【解答】解：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD＝2，取PB中点N，连接MN，CN，如图，
∵M是棱AP的中点，则MN∥AB∥CD，且MN2＝CD，
即四边形MNCD为平行四边形，
∴DM∥CN，而CN 平面PBC，DM 平面PBC，
∴DM∥平面PBC．
（Ⅱ）取AB中点Q，AQ中点O，连接DQ，PQ，OD，OM，则CD∥BQ，且CD＝BQ，
四边形BCDQ是平行四边形，则DQ＝BC＝AD＝AQ＝2，则OD，且OM⊥AB，
而OM∩OD＝O，OM，OD 平面DOM，则AB⊥平面DOM，AB 平面ABCD，
则平面DOM⊥平面ABCD，
由DM，得∠DOM＝60°，
在平面DOM内作Oz⊥OD，平面DOM∩平面ABCD＝OD，则Oz⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，Oz所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（﹣1，0，0），M（0，，），P（1，，3），C（2，，0），B（3，0，0），
则（2，，3），（2，，﹣3），（1，，0），
设平面PBC的法向量为（x，y，z），
则，取z＝1，得（3，，1），
设直线AP与平面PBC所成角为θ，
则sinθ＝|cos|，
∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．
20．（15分）（2022 浙江二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a3＝6，S4＝20．数列{bn}满足b1＝1，，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足，n∈N*，记数列{cn}的前n项和为Tn，若，求n的最小值．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式与前n项和公式即可得an，利用累乘法，可得bn；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中结论和裂项法，推出cn[]，再根据等比数列的前n项和公式与分组求和法，可得Tn＝1，然后利用数列的单调性，得解．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
由a3＝6，S4＝20，得，解得a1＝2，d＝2，
所以an＝2+（n﹣1）×2＝2n，
因为2 ，
所以bn …… b1＝2 2 …… 2 2 1＝2n﹣1 （n≥2），
当n＝1时，b1＝1满足上式，
所以bn，
综上所述，an＝2n，bn．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得Snn（n+1），
所以[]，
所以Tn[（）+（）+…+（）]
[]（1）1，
若，则1，即，
令f（n），
所以f（n+1）﹣f（n） 0恒成立，
所以f（n）单调递减，
而f（6），
所以f（n）f（6），所以n≥6，
故n的最小值为6．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，累乘法，裂项求和法与分组求和法是解题的基础，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
21．（15分）（2022 浙江二模）如图，抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（1，m）（m＞0）到其准线的距离为2．过点M（3，2）作直线l交抛物线于B，C两点，直线AB与直线y＝x+3交于点P．
（Ⅰ）求证：直线PC⊥y轴；
（Ⅱ）记△ABC，△PBC的面积分别为S1，S2．若S1 S2＝54，求直线AB的方程．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（Ⅰ）先求出抛物线方程为y2＝4x，设直线AB的方程为t（y﹣2）＝x﹣1，则由，解得B（（2t﹣1）2，4t﹣2），由，解得P（，），又B，M，C共线，所以，求出，即可证明．
（Ⅱ）分别求出S1，S2，由S1 S2＝54，解得t＝0或t＝2，即可求出直线AB的方程．
【解答】证明：（Ⅰ）由题意可知12，解得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，
∴m＝2，即A（1，2），
设直线AB的方程为t（y﹣2）＝x﹣1，则由得：y2﹣4ty+8t﹣4＝0，
∴Δ＝16t2﹣4（8t﹣4）＝16（t﹣1）2＞0，yB+2＝4t，
∴yB＝4t﹣2，xB＝（2t﹣1）2，即B（（2t﹣1）2，4t﹣2），且t≠1，
由，解得P（，），
又∵B，M，C共线，∴，
又∵（4t2﹣4t﹣2，4t﹣4），（，yC﹣2），
∴（4t2﹣4t﹣2）（yC﹣2）﹣（4t﹣4）（）＝0，化简可得（t﹣1）（4t2﹣4t﹣2）yC+（8t2﹣20t+8）＝0，
解得或yC＝4t﹣2（舍去），
∴，即直线PC⊥y轴．
（Ⅱ）由题意可知AM⊥y轴，
∴S1||，S2||，
∴S1 S2＝||＝54，
解得t＝0或t＝2，
∴所求直线AB的方程为x﹣1＝0或y．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
22．（15分）（2022 绍兴二模）已知a∈R，函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且0＜x1＜x2＜1，
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）当a＜﹣9时，证明：．
（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）求出导函数f'（x），计算f'（0）和f（0），利用导数的几何意义即可得出曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）（ⅰ）将已知问题转化为x1，x2是关于x的方程，即的两根，构造函数，利用导数研究其单调性与最值，并结合图象即可求出实数a的取值范围；（ⅱ）结合（ⅰ）可知和，首先通过构造函数并利用导数证明不等式，然后构造函数，，计算其判别式得出函数m（x）有两个不同的零点，记为α，β（α＜β），且0＜α＜t＜β＜1，利用导数即可得出x2﹣x1＞β﹣α，进而得出证明的结论．
【解答】（Ⅰ）解：因为，
所以，又f（0）＝1，
所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为．
（Ⅱ）（ⅰ）解：因为函数f（x）有两个极值点x1，x2，
所以x1，x2是关于x的方程的两根，
也是关于x的方程的两正根．
设，则．
令，则h'（x）＝8xe2x．
当x＞0时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又，所以，当时，h（x）＜0，g'（x）＜0；
当时，h（x）＞0，g'（x）＞0，
所以，函数g（x）在上单调递减，在上单调递增．
又因为0＜x1＜x2＜1，所以，
即，
所以，a的取值范围是．
（ⅱ）证明：结合（ⅰ）可知．
因为x+1≤ex，所以，
所以，所以．
又由（ⅰ）知．所以
下面先证明不等式．
设，则，
所以，当0＜x＜1时，r'（x）＜0，r'（x）在（0，1）上单调递减，
所以，r（x）＜r（0）＝1，所以不等式成立．
因为x1，x2（0＜x1＜x2＜1）是的两个根，
所以f'（xi）＝0（i＝1，2）．
又，所以，
整理构，
设函数，，
因为，
且m（0）＞0，m（1）＞0，，
所以函数m（x）有两个不同的零点，记为α，β（α＜β），且0＜α＜t＜β＜1．
因为，
且f'（0）＞0，f'（1）＞0，所以0＜x1＜x2＜1．
因为m（x）在（0，1）上单调递减，且m（xi）＞m＝m（α）．
所以0＜x1＜α＜t；
因为m（x）在（t，1）上单调递增，且m（x2）＞0＝m（β），
所以t＜β＜x2＜1；
所以0＜x1＜α＜β＜x2＜1，所以x2﹣x1＞β﹣α．
因为，
又，
所以，
所以．
因此，．
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属难题．
考点卡片
1．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪ ＝A．③A∪A＝A．④A∪B A，A∪B B．⑤A∪B＝B A B．⑥A∪B＝ ，两个集合都是空集．⑦A∪（ UA）＝U．⑧ U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．分段函数的应用
【分段函数的应用】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
12．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
13．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
15．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
16．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
17．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
18．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
19．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的知识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
23．直线与抛物线的综合
v．
24．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
25．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
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一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 嘉兴二模）已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝{x|﹣1≤x≤6}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，6] B．[﹣1，6] C．[﹣1，3] D．（0，6]
2．（4分）（2021 浙江模拟）已知a∈R，复数z＝（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
3．（4分）（2022 浙江模拟）设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），则“logab＝logba”是“a＝b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（4分）（2022 贵州模拟）如图是某几何体的三视图，每个小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为（ ）
A． B．π C．π D．2π
5．（4分）（2022 金华模拟）已知x，y满足不等式组，若ax+y中有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤1 B．0≤a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥1
6．（4分）（2020 浙江模拟）已知m，n，1是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则n∥β的一个充分条件（ ）
A．m⊥β，m⊥n
B．α∩β＝1，m⊥n⊥1，m∥α
C．α⊥β，n⊥α，m β，m与n不相交
D．α∩β＝1，n∥l，m α，m与n相交
7．（4分）（2022 金华模拟）已知函数f（x）＝x，g（x）＝sinx，t（x）＝cosx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．（4分）（2021 浙江模拟）已知实数x，y满足x2+y2＝1，0＜x＜1，0＜y＜1，当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．1
9．（4分）（2018秋 平罗县校级期末）双曲线的右焦点F，过点F的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣5＝0相交于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4
C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
10．（4分）（2022 嘉兴二模）已知数列{an}满足为数列的前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）（2022春 润州区校级期中）如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为 米．
12．（4分）（2019秋 兴宁区校级期中）已知函数f（x），则f（f（﹣1））＝ ．
13．（6分）（2022 苍南县校级模拟）若二项展开式（2x+1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a5＝ ， ．
14．（6分）（2022 苍南县校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，，sin2B﹣cos2C，则A＝ ，△ABC的面积是 ．
15．（6分）（2022 宁波二模）一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球（m∈N*），从中任取3个球．记取出的白球个数为ξ，若，则m＝ ，E（ξ）＝ ．
16．（6分）（2022 浙江模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线x＝c与双曲线C的一个交点为P，Q为双曲线的渐近线上在第一象限内的一点，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率的取值范围为 ，离心率取得最大值时，双曲线C的渐近线方程为 ．
17．（4分）（2022 浙江二模）已知平面向量，，满足|，，|，则|的最小值是 ．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）（2022 苍南县校级模拟）设函数f（x）x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心和单调增区间；
（Ⅱ）函数f（x）在[，]上满足﹣f（x）≤λ≤f（x）+3，求λ的取值范围．
19．（15分）（2022 杭州模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，M为棱AP的中点，且AB＝2AD＝2BC＝2CD＝4，DM．
（Ⅰ）求证：DM∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
20．（15分）（2022 浙江二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a3＝6，S4＝20．数列{bn}满足b1＝1，，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足，n∈N*，记数列{cn}的前n项和为Tn，若，求n的最小值．
21．（15分）（2022 浙江二模）如图，抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（1，m）（m＞0）到其准线的距离为2．过点M（3，2）作直线l交抛物线于B，C两点，直线AB与直线y＝x+3交于点P．
（Ⅰ）求证：直线PC⊥y轴；
（Ⅱ）记△ABC，△PBC的面积分别为S1，S2．若S1 S2＝54，求直线AB的方程．
22．（15分）（2022 绍兴二模）已知a∈R，函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且0＜x1＜x2＜1，
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）当a＜﹣9时，证明：．
（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）
2022高考数学终极押题密卷2（浙江卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分）
1．（4分）（2022 嘉兴二模）已知集合A＝{x|2x≤8}，B＝{x|﹣1≤x≤6}，则A∪B＝（ ）
A．（﹣∞，6] B．[﹣1，6] C．[﹣1，3] D．（0，6]
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】化简集合A，再求并集即可．
【解答】解：∵A＝{x|2x≤8}＝（﹣∞，3]，B＝{x|﹣1≤x≤6}，
∴A∪B＝（﹣∞，6]，
故选：A．
【点评】此题考查了并集及其运算，熟练掌握并集的定义是解本题的关键，属基础题．
2．（4分）（2021 浙江模拟）已知a∈R，复数z＝（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i（i为虚数单位）是纯虚数，则复数的虚部是（ ）
A． B． C． D．
【考点】复数的运算；虚数单位i、复数．
【专题】方程思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】由纯虚数的概念可得a的值，计算即可得结果．
【解答】解：因为z＝（a2﹣3a+2）+（a﹣1）i是纯虚数，
所以，解得a＝2，即z＝i，
，其虚部为，
故选：B．
【点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等、纯虚数的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3．（4分）（2022 浙江模拟）设a，b∈（0，1）∪（1，+∞），则“logab＝logba”是“a＝b”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；对应思想；定义法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】a，b∈（0，1）∪（1，+∞），logab＝logba lgb＝±lga，可得a＝b，或ab＝1．即可判断出结论．
【解答】解：a，b∈（0，1）∪（1，+∞），logab＝logba lgb＝±lga，可得a＝b，或ab＝1．
∴“logab＝logba”是“a＝b”的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查了对数运算性质、方程思想方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4．（4分）（2022 贵州模拟）如图是某几何体的三视图，每个小正方形的边长均为1，则该几何体的体积为（ ）
A． B．π C．π D．2π
【考点】由三视图求面积、体积．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；直观想象；数学运算．
【分析】由三视图还原原几何体，可知该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆锥，半球的半径为1，圆锥的底面半径为1，高为2，再由球与圆锥的体积公式求解．
【解答】解：由三视图还原原几何体如图，
可知该几何体为组合体，上半部分为半球，下半部分为圆锥，
半球的半径为1，圆锥的底面半径为1，高为2，
则该几何体的体积V13π×12×2．
故选：C．
【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是基础题．
5．（4分）（2022 金华模拟）已知x，y满足不等式组，若ax+y中有最大值，则实数a的取值范围是（ ）
A．﹣1≤a≤1 B．0≤a≤1 C．a≤﹣1 D．a≥1
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，令z＝ax+y，化为直线方程的斜截式，数形结合可得满足条件的a的范围．
【解答】解：不等式组所表示的平面区域如图，
令z＝ax+y，化为y＝﹣ax+z，
由图可知，若z＝ax+y有最大值，则﹣1≤﹣a≤1，即﹣1≤a≤1．
故选：A．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是中档题．
6．（4分）（2020 浙江模拟）已知m，n，1是三条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，则n∥β的一个充分条件（ ）
A．m⊥β，m⊥n
B．α∩β＝1，m⊥n⊥1，m∥α
C．α⊥β，n⊥α，m β，m与n不相交
D．α∩β＝1，n∥l，m α，m与n相交
【考点】直线与平面平行；充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；空间位置关系与距离；简易逻辑；数学抽象．
【分析】根据题意，由线面平行的判断方法，结合充分必要条件的定义依次分析选项即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，m⊥β，m⊥n，直线n可能在平面β内，不能得到n∥β，A错误；
对于B，n可能与平面β相交，不能得到n∥β，B错误，
对于C，α⊥β，n⊥α，m∈β，m与n不相交，直线n可能在平面β内，不能得到n∥β，C错误；
对于D，α∩β＝1，n∥l，m∈α，m与n相交，则有，则有n∥β，D正确；
故选：D．
【点评】本题考查线面平行的判断，涉及充分必要条件的定义，属于基础题．
7．（4分）（2022 金华模拟）已知函数f（x）＝x，g（x）＝sinx，t（x）＝cosx，则图象为如图的函数可能是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】数形结合；数形结合法；函数的性质及应用；逻辑推理．
【分析】由x＝0时，y＝0，函数y的值域中存在负值，函数y的图象不关于原点对称，即不是奇函数，由排除法可得结论．
【解答】解：由图象可得x＝0时，y＝0，可排除选项B：y；
由函数y的值域中存在负值，可排除选项A：y；
由已知图象可得函数y的图象不关于原点对称，函数y不是奇函数，
而y为奇函数，可排除选项D．
故选：C．
【点评】本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题．
8．（4分）（2021 浙江模拟）已知实数x，y满足x2+y2＝1，0＜x＜1，0＜y＜1，当取最小值时，的值为（ ）
A． B． C． D．1
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理．
【分析】令z，由x2+y2＝1和“1”的代换，得到z2的关于的表达式，然后利用换元法构造函数f（t），结合题中给出的选项进行判断即可．
【解答】解：令z，由x2+y2＝1，
所以
，
令，则，
所以，
通过题中选项给出的数据，可得当t时，f'（t）＝0，
故当t时，f（t）取得最小值，即当的值为时，取最小值．
故选：A．
【点评】本题考查了基本不等式中“1”的代换的应用，同时考查利用导数求解函数最值的应用，解题的关键是利用“1”的代换将z进行变形，属于难题．
9．（4分）（2018秋 平罗县校级期末）双曲线的右焦点F，过点F的直线l与圆C：x2+y2﹣4y﹣5＝0相交于A、B两点，则弦AB的中点M的轨迹方程为（ ）
A．x2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝4
C．（x﹣1）2+y2＝1 D．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2
【考点】圆锥曲线的轨迹问题．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】求出右焦点F的坐标，设出A，B，M的坐标，利用点差法结合斜率相等列式得答案．
【解答】解：由双曲线的右焦点F（2，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），弦AB的中点M（x，y），
则x12+y12﹣4y1﹣5＝0，x22+y22﹣4y2﹣5＝0
两式作差得：，
可得：，
整理得：x2+y2﹣2x﹣2y＝0．
即（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2．
故选：D．
【点评】本题考查轨迹方程的求法，训练了“点差法”求与中点弦有关的问题，是中档题．
10．（4分）（2022 嘉兴二模）已知数列{an}满足为数列的前n项和，则（ ）
A． B．
C． D．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】先判断出an＞an﹣1，通过放缩得到，再通过分析法证得，结合裂项相消即可证得，又由an＞an﹣1证得即可．
【解答】解：当n∈N*，n≥2时，因为，所以an＞an﹣1，
又因为，
且，
下证，
即证，
即证，
即证，
即证，
即证，
令，即证，
当t≥2，an﹣1≥1时，不等式恒成立，
因此，，
所以
，
又因为，
故选：D．
【点评】本题考查了放缩法和裂项相消求和的应用，属于难题．
二、填空题：本大题共7小题，单空题每题4分，多空题每题6分，共36分。
11．（4分）（2022春 润州区校级期中）如图所示，CD是某校园内一标志性雕像，小明同学为了估算该雕像的高度，在学校教学楼AB（高为米）与雕像之间的地面上的点M处（B，M，D三点共线）测得楼顶A及雕像顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处又测得雕塑顶C的仰角为30°，假设AB、CD和点M在同一平面内，则小明估算该雕像的高度为 30 米．
【考点】三角形中的几何计算．
【专题】计算题；对应思想；定义法；解三角形；数学运算．
【分析】由直角三角形求得AM，在△ACM中利用正弦定理求得CM的值，再利用Rt△CDM求出CD的值．
【解答】解：在Rt△ABM中，sin15°，解得AM30，
在△ACM中，∠CAM＝30°+15°＝45°，∠AMC＝180°﹣15°﹣60°＝105°，
所以∠ACM＝180°﹣45°﹣105°＝30°，
由正弦定理得，，
故CM AM60．
在Rt△CDM中，∠CMD＝60°，
所以CD＝CMsin60°＝6030，
估算该雕像的高度为30米．
故答案为：30．
【点评】本题考查了解三角形的应用问题，也考查了方程思想和运算求解能力，是中档题．
12．（4分）（2019秋 兴宁区校级期中）已知函数f（x），则f（f（﹣1））＝ ﹣3 ．
【考点】函数的值；分段函数的应用．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先求出f（﹣1），然后再求解f（f（﹣1））即可．
【解答】解：函数f（x），则f（﹣1）＝2，
所以f（f（﹣1））＝f（2）＝﹣2×2+1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查了分段函数的求值问题，解题的关键是根据自变量的值确定使用哪一段解析式求解，属于基础题．
13．（6分）（2022 苍南县校级模拟）若二项展开式（2x+1）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a5＝ 672 ， 128 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；定义法；二项式定理；数学运算．
【分析】根据二项展开式中各项系数特点，即可求出结果．
【解答】解：二项展开式（2x+1）7＝（1+2x）7＝a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，
a5 25 32＝672，
＝2（7+35+21+1）
＝128．
故答案为：672；128．
【点评】本题考查了二项式展开式各项系数特征应用问题，是基础题．
14．（6分）（2022 苍南县校级模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知a，，sin2B﹣cos2C，则A＝ ，△ABC的面积是 ．
【考点】正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】由已知结合同角基本关系进行化简，然后结合正弦定理及余弦定理进行化简可求sinA，进而可求A，然后求出bc，结合三角形面积公式可求．
【解答】解：因为，
所以，
所以cosA，
所以b2+c2＝3a2，即sin2B+sin2C＝3sin2A，
因为sin2B﹣cos2C＝sin2B+sin2C﹣1，
所以sin2B+sin2C＝3sin2A，
所以sinA，
由可知A为锐角，A，
又bc6，
所以S△ABC．
故答案为：，．
【点评】本题主要考查了同角基本关系，正弦定理，余弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
15．（6分）（2022 宁波二模）一个袋中装有大小质地完全相同的m个红球和2m个白球（m∈N*），从中任取3个球．记取出的白球个数为ξ，若，则m＝ 2 ，E（ξ）＝ 2 ．
【考点】离散型随机变量的期望与方差．
【专题】计算题；整体思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率，可求出m的值，分别求出取出的白球为1，2，3时的概率，进而求出E（ξ）即可．
【解答】解：根据题意，取出的三个球中恰好有一个白球的概率为：，解得 m＝2；
所以袋中有2个红球，4个白球，
则取出的三个球中白球的个数ξ的可能取值为：1，2，3，
所以，
所以，
故答案为：2；2．
【点评】本题考查了离散型随机变量的概率和期望的计算，属于中档题．
16．（6分）（2022 浙江模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，过点F2的直线x＝c与双曲线C的一个交点为P，Q为双曲线的渐近线上在第一象限内的一点，若（O为坐标原点），，则双曲线C的离心率的取值范围为 （1，] ，离心率取得最大值时，双曲线C的渐近线方程为 y＝±x ．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；函数思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由已知可得λ，进而可得λ（0），从而e2，运算求解即可．
【解答】解：由可得λ（），
∴λ，∴Q，P，F2共线，Q为双曲线的渐近线上在第一象限内的一点，
∴P也在第一象限内，又点P，Q在直线x＝c上，所以点P（c，），Q（c，），
∴λ（0），∴b﹣c＝﹣λc，∴（1﹣λ）c＝b，∴（1﹣λ）2c2＝b2＝c2﹣a2，
∴[1﹣（1﹣λ）2]c2＝a2，∴e2，
又，∴e2∈（1，]，∴e∈（1，]，
∴λ时，离心率取得最大值时，此时c＝b，∴c2＝b2，∴a2+b2＝4b2，∴，
∴双曲线C的渐近线方程为y＝±x．
故答案为：（1，]；y＝±x．
【点评】本题考查双曲线的几何性质，以及分析能力和运算能力，属中档题．
17．（4分）（2022 浙江二模）已知平面向量，，满足|，，|，则|的最小值是 ．
【考点】平面向量数量积的坐标表示、模、夹角．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】建立平面直线坐标系，使（1，0），（0，1），求出向量（x，y）满足1，设（1，0），（0，1），（x，y），（1﹣λ），（），得到A，B，C，D，E的坐标，求出E关于直线AB的对称点F，把|转化为|CD|+|ED|＝|CD|+|FD|，利用几何意义得到当点C位于短轴上顶点时，|CF|最小．
【解答】解：由||＝||＝1，，不妨建立平面直角坐标系，使（1，0），（0，1），
设（x，y），则4，整理得1，
设（1，0），（0，1），（x，y），则A（1，0），B（0，1），C（x，y），如图，
∵|
＝||+||
＝|[（1﹣λ）]|+||，
记（1﹣λ）（1﹣λ），
∴A，B，C三点共线，
由A（1，0），B（0，1）得直线AB为x+y﹣1＝0，∴点D落在直线AB上，
设（），则E（ ，1），
∴|[（1﹣λ）]|表示CD间的距离，
||表示DE间的距离，
∴||+||表示|CD|+|ED|，
设F（x，y）为E关于直线AB的对称点，则，
解得，∴F（0，），
∴|ED|＝|FD|，
∴|CD|+|ED|＝|CD|+|FD|≥|CF|，
如图，当C位于直线AB右上方的椭圆上时，|CD|+|ED|能取得最小值，
由椭圆的几何性质得当C位于短轴上顶点时，|CF|最小，
∴|的最小值是．
故答案为：．
【点评】本题考查平面向量的运算，考查平面向量坐标运算、椭圆的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
三．解答题（共5小题，满分74分）
18．（14分）（2022 苍南县校级模拟）设函数f（x）x（x∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的对称中心和单调增区间；
（Ⅱ）函数f（x）在[，]上满足﹣f（x）≤λ≤f（x）+3，求λ的取值范围．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】（Ⅰ）利用三角恒等变换化简f（x）＝sin（2x），从而求对称中心和单调增区间；
（Ⅱ）利用整体思想求f（x）的取值范围，从而求解恒成立问题．
【解答】解：（Ⅰ）f（x）x
sin2xcos2x
＝sin（2x），
令2xkπ，k∈Z，
则x，k∈Z，
故函数f（x）的对称中心为（，）（k∈Z）；
令2kπ≤2x2kπ，k∈Z；
解得kπ≤x≤kπ，k∈Z；
故函数f（x）的单调增区间为[kπ，kπ]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵x∈[，]，
∴2x∈[，]，
∴sin（2x）∈[，]，
∴sin（2x）∈[，0]，
∴﹣f（x）∈[0，]，f（x）+3∈[，3]，
∵﹣f（x）≤λ≤f（x）+3恒成立，
∴λ．
【点评】本题考查了三角函数的化简与应用，属于中档题．
19．（15分）（2022 杭州模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，△PAB为正三角形，四边形ABCD为等腰梯形，M为棱AP的中点，且AB＝2AD＝2BC＝2CD＝4，DM．
（Ⅰ）求证：DM∥平面PBC；
（Ⅱ）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）取PB中点为N，连接MN，CN，证明DM∥CN，再利用线面平行的判定定理能证明DM∥平面PBC；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线AP与平面PBC所成角的正弦值
【解答】解：（Ⅰ）证明：在等腰梯形ABCD中，CD∥AB，CD＝2，取PB中点N，连接MN，CN，如图，
∵M是棱AP的中点，则MN∥AB∥CD，且MN2＝CD，
即四边形MNCD为平行四边形，
∴DM∥CN，而CN 平面PBC，DM 平面PBC，
∴DM∥平面PBC．
（Ⅱ）取AB中点Q，AQ中点O，连接DQ，PQ，OD，OM，则CD∥BQ，且CD＝BQ，
四边形BCDQ是平行四边形，则DQ＝BC＝AD＝AQ＝2，则OD，且OM⊥AB，
而OM∩OD＝O，OM，OD 平面DOM，则AB⊥平面DOM，AB 平面ABCD，
则平面DOM⊥平面ABCD，
由DM，得∠DOM＝60°，
在平面DOM内作Oz⊥OD，平面DOM∩平面ABCD＝OD，则Oz⊥平面ABCD，
以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，Oz所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，
则A（﹣1，0，0），M（0，，），P（1，，3），C（2，，0），B（3，0，0），
则（2，，3），（2，，﹣3），（1，，0），
设平面PBC的法向量为（x，y，z），
则，取z＝1，得（3，，1），
设直线AP与平面PBC所成角为θ，
则sinθ＝|cos|，
∴直线AP与平面PBC所成角的正弦值为．
【点评】本题考查线面平行的证明，考查线面角的正弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查空间想象能力、运算求解能力，是中档题．
20．（15分）（2022 浙江二模）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a3＝6，S4＝20．数列{bn}满足b1＝1，，n∈N*．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）设数列{cn}满足，n∈N*，记数列{cn}的前n项和为Tn，若，求n的最小值．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据等差数列的通项公式与前n项和公式即可得an，利用累乘法，可得bn；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）中结论和裂项法，推出cn[]，再根据等比数列的前n项和公式与分组求和法，可得Tn＝1，然后利用数列的单调性，得解．
【解答】解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
由a3＝6，S4＝20，得，解得a1＝2，d＝2，
所以an＝2+（n﹣1）×2＝2n，
因为2 ，
所以bn …… b1＝2 2 …… 2 2 1＝2n﹣1 （n≥2），
当n＝1时，b1＝1满足上式，
所以bn，
综上所述，an＝2n，bn．
（Ⅱ）由（Ⅰ），可得Snn（n+1），
所以[]，
所以Tn[（）+（）+…+（）]
[]（1）1，
若，则1，即，
令f（n），
所以f（n+1）﹣f（n） 0恒成立，
所以f（n）单调递减，
而f（6），
所以f（n）f（6），所以n≥6，
故n的最小值为6．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，累乘法，裂项求和法与分组求和法是解题的基础，考查逻辑推理能力和运算能力，属于难题．
21．（15分）（2022 浙江二模）如图，抛物线y2＝2px（p＞0）上的点A（1，m）（m＞0）到其准线的距离为2．过点M（3，2）作直线l交抛物线于B，C两点，直线AB与直线y＝x+3交于点P．
（Ⅰ）求证：直线PC⊥y轴；
（Ⅱ）记△ABC，△PBC的面积分别为S1，S2．若S1 S2＝54，求直线AB的方程．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（Ⅰ）先求出抛物线方程为y2＝4x，设直线AB的方程为t（y﹣2）＝x﹣1，则由，解得B（（2t﹣1）2，4t﹣2），由，解得P（，），又B，M，C共线，所以，求出，即可证明．
（Ⅱ）分别求出S1，S2，由S1 S2＝54，解得t＝0或t＝2，即可求出直线AB的方程．
【解答】证明：（Ⅰ）由题意可知12，解得p＝2，
∴抛物线方程为y2＝4x，
∴m＝2，即A（1，2），
设直线AB的方程为t（y﹣2）＝x﹣1，则由得：y2﹣4ty+8t﹣4＝0，
∴Δ＝16t2﹣4（8t﹣4）＝16（t﹣1）2＞0，yB+2＝4t，
∴yB＝4t﹣2，xB＝（2t﹣1）2，即B（（2t﹣1）2，4t﹣2），且t≠1，
由，解得P（，），
又∵B，M，C共线，∴，
又∵（4t2﹣4t﹣2，4t﹣4），（，yC﹣2），
∴（4t2﹣4t﹣2）（yC﹣2）﹣（4t﹣4）（）＝0，化简可得（t﹣1）（4t2﹣4t﹣2）yC+（8t2﹣20t+8）＝0，
解得或yC＝4t﹣2（舍去），
∴，即直线PC⊥y轴．
（Ⅱ）由题意可知AM⊥y轴，
∴S1||，S2||，
∴S1 S2＝||＝54，
解得t＝0或t＝2，
∴所求直线AB的方程为x﹣1＝0或y．
【点评】本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了学生的运算求解能力，属于中档题．
22．（15分）（2022 绍兴二模）已知a∈R，函数．
（Ⅰ）求曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程
（Ⅱ）若函数f（x）有两个极值点x1，x2，且0＜x1＜x2＜1，
（ⅰ）求a的取值范围；
（ⅱ）当a＜﹣9时，证明：．
（注：e＝2.71828…是自然对数的底数）
【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（Ⅰ）求出导函数f'（x），计算f'（0）和f（0），利用导数的几何意义即可得出曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程；
（Ⅱ）（ⅰ）将已知问题转化为x1，x2是关于x的方程，即的两根，构造函数，利用导数研究其单调性与最值，并结合图象即可求出实数a的取值范围；（ⅱ）结合（ⅰ）可知和，首先通过构造函数并利用导数证明不等式，然后构造函数，，计算其判别式得出函数m（x）有两个不同的零点，记为α，β（α＜β），且0＜α＜t＜β＜1，利用导数即可得出x2﹣x1＞β﹣α，进而得出证明的结论．
【解答】（Ⅰ）解：因为，
所以，又f（0）＝1，
所以曲线y＝f（x）在x＝0处的切线方程为．
（Ⅱ）（ⅰ）解：因为函数f（x）有两个极值点x1，x2，
所以x1，x2是关于x的方程的两根，
也是关于x的方程的两正根．
设，则．
令，则h'（x）＝8xe2x．
当x＞0时，h'（x）＞0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递增，
又，所以，当时，h（x）＜0，g'（x）＜0；
当时，h（x）＞0，g'（x）＞0，
所以，函数g（x）在上单调递减，在上单调递增．
又因为0＜x1＜x2＜1，所以，
即，
所以，a的取值范围是．
（ⅱ）证明：结合（ⅰ）可知．
因为x+1≤ex，所以，
所以，所以．
又由（ⅰ）知．所以
下面先证明不等式．
设，则，
所以，当0＜x＜1时，r'（x）＜0，r'（x）在（0，1）上单调递减，
所以，r（x）＜r（0）＝1，所以不等式成立．
因为x1，x2（0＜x1＜x2＜1）是的两个根，
所以f'（xi）＝0（i＝1，2）．
又，所以，
整理构，
设函数，，
因为，
且m（0）＞0，m（1）＞0，，
所以函数m（x）有两个不同的零点，记为α，β（α＜β），且0＜α＜t＜β＜1．
因为，
且f'（0）＞0，f'（1）＞0，所以0＜x1＜x2＜1．
因为m（x）在（0，1）上单调递减，且m（xi）＞m＝m（α）．
所以0＜x1＜α＜t；
因为m（x）在（t，1）上单调递增，且m（x2）＞0＝m（β），
所以t＜β＜x2＜1；
所以0＜x1＜α＜β＜x2＜1，所以x2﹣x1＞β﹣α．
因为，
又，
所以，
所以．
因此，．
【点评】本题考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、最值与极值，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属难题．
考点卡片
1．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪ ＝A．③A∪A＝A．④A∪B A，A∪B B．⑤A∪B＝B A B．⑥A∪B＝ ，两个集合都是空集．⑦A∪（ UA）＝U．⑧ U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．分段函数的应用
【分段函数的应用】
分段函数顾名思义指的是一个函数在不同的定义域内的函数表达式不一样，有些甚至不是连续的．这个在现实当中是很常见的，比如说水的阶梯价，购物的时候买的商品的量不同，商品的单价也不同等等，这里面都涉及到分段函数．
【具体应用】
正如前面多言，分段函数与我们的实际联系比较紧密，那么在高考题中也时常会以应用题的形式出现．下面我们通过例题来分析一下分段函数的解法．
例：市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件元，预计年销售量将减少p万件．
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
解：（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8﹣p）万件，
年销售收入为（11.8﹣p）万元，
政府对该商品征收的税收y（11.8﹣p）p%（万元）
故所求函数为y（11.8﹣p）p
由11.8﹣p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得（11.8﹣p）p≥16
化简得p2﹣12p+20≤0，即（p﹣2）（p﹣10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）（11.8﹣p）（2≤p≤10）
∵在[2，10]是减函数
∴g（p）max＝g（2）＝800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大．
这个典型的例题当中，我们发现分段函数首先还是要有函数的功底，要有一定的建模能力，这个与分不分段其实无关．我们重点看看分段函数要注意的地方．第一，要明确函数的定义域和其相对的函数表达式；第二注意求的是整个一大段的定义域内的值域还是分段函数某段内部的值；第三，注意累加的情况和仅仅某段函数的讨论．
【考查预测】
修炼自己的内功，其实分不分段影响不大，审清题就可以了，另外，最好画个图来解答．
6．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
12．平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
【知识点的知识】
1、向量的夹角概念：
对于两个非零向量，如果以O为起点，作，，那么射线OA，OB的夹角θ叫做向量与向量的夹角，其中0≤θ≤π．
2、向量的数量积概念及其运算：
（1）定义：如果两个非零向量，的夹角为θ，那么我们把||||cosθ叫做与的数量积，记做
即：||||cosθ．规定：零向量与任意向量的数量积为0，即： 0．
注意：
① 表示数量而不表示向量，符号由cosθ决定；
②符号“ ”在数量积运算中既不能省略也不能用“×”代替；
③在运用数量积公式解题时，一定要注意向量夹角的取值范围是：0≤θ≤π．
（2）投影：在上的投影是一个数量||cosθ，它可以为正，可以为负，也可以为0
（3）坐标计算公式：若（x1，y1），（x2，y2），则x1x2+y1y2，
3、向量的夹角公式：
4、向量的模长：
5、平面向量数量积的几何意义：与的数量积等于的长度||与在的方向上的投影||cosθ的积．
13．虚数单位i、复数
【虚数单位i的概念】
i是数学中的虚数单位，i2＝﹣1，所以i是﹣1的平方根．我们把a+bi的数叫做复数，把a＝0且b≠0的数叫做纯虚数，a≠0，且b＝0叫做实数．复数的模为．
【复数的运算】
①复数的加法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M+N＝（a+c）+（b+d）i，即实部与实部相加，虚部与虚部相加．
②复数的乘法，若M＝a+bi，N＝c+di，那么M N＝（ac﹣bd）+（ad+bc）i，与多项式乘法类似，只不过要加上i．
【例题解析】
例：定义运算，则符合条件的复数z为．
解：根据定义，可知1×zi﹣（﹣1）×z＝4+2i，即z（1+i）＝4+2i，∴z3﹣i．
这个题很好地反应了复数的一般考法，也就是考查复数的运算能力，其中常常用到复数与复数相除．这个题的第一步先把复数当做一个整体进行运算，第二部相除，思路就是把分母变成实数，方法就是乘以它的共轭复数（虚数前面的符号变为相反既是）．处理这种方法外，有的时候还需要设出复数的形式为a+bi，然后在求出a和b，这种类型的题一般用待定系数法．
【复数的概念】形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
15．离散型随机变量的期望与方差
【知识点的知识】
1、离散型随机变量的期望
数学期望：一般地，若离散型随机变量ξ的概率分布为
x1 x2 … xn …
P p1 p2 … pn …
则称Eξ＝x1p1+x2p2+…+xnpn+…为ξ的数学期望，简称期望．
数学期望的意义：数学期望离散型随机变量的一个特征数，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．
平均数与均值：一般地，在有限取值离散型随机变量ξ的概率分布中，令p1＝p2＝…＝pn，则有p1＝p2＝…＝pn，Eξ＝（x1+x2+…+xn），所以ξ的数学期望又称为平均数、均值．
期望的一个性质：若η＝aξ+b，则E（aξ+b）＝aEξ+b．
2、离散型随机变量的方差；
方差：对于离散型随机变量ξ，如果它所有可能取的值是x1，x2，…，xn，…，且取这些值的概率分别是p1，p2，…，pn…，那么，
称为随机变量ξ的均方差，简称为方差，式中的Eξ是随机变量ξ的期望．
标准差：Dξ的算术平方根叫做随机变量ξ的标准差，记作．
方差的性质：．
方差的意义：
（1）随机变量 的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
（2）随机变量 的方差、标准差也是随机变量 的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；
（3）标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛．
16．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
17．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
18．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
19．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．三角形中的几何计算
【知识点的知识】
1、几何中的长度计算：
（1）利用正弦定理和三角形内角和定理可以求解：
①已知两角和任一边，求其他两边和一角．
②已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）．
（2）利用余弦定理可以求解：
①解三角形；
②判断三角形的形状；
③实现边角之间的转化．包括：a、已知三边，求三个角；b、已知两边和夹角，求第三边和其他两角．
2、与面积有关的问题：
（1）三角形常用面积公式
①Sa ha（ha表示边a上的高）；
②SabsinCacsinBbcsinA．
③Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
（2）面积问题的解法：
①公式法：三角形、平行四边形、矩形等特殊图形，可用相应面积公式解决．
②割补法：若是求一般多边形的面积，可采用作辅助线的办法，通过分割或补形把不是三角形的几何图形分割成不重叠的几个三角形，再由三角形的面积公式求解．
3、几何计算最值问题：
（1）常见的求函数值域的求法：
①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；
②逆求法（反求法）：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围；
④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想；
⑤三角有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域；
⑥单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域．
⑦数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域．
（2）正弦，余弦，正切函数值在三角形内角范围内的变化情况：
①当角度在0°～90°间变化时，
正弦值随着角度的增大而增大，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且0≤cosα≤1；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＞0．
②当角度在90°～180°间变化时，
正弦值随着角度的增大而减小，且0≤sinα≤1；
余弦值随着角度的增大而减小，且﹣1≤cosα≤0；
正切值随着角度的增大而增大，tanα＜0．
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．圆锥曲线的轨迹问题
【知识点的知识】
1、求曲线的轨迹方程常采用的方法有直接法、定义法、代入法、参数法．
（1）直接法：直接法是将动点满足的几何条件或者等量关系，直接坐标化，列出等式化简即得动点轨迹方程．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．
（3）相关点法：根据相关点所满足的方程，通过转换而求动点的轨迹方程．
（4）参数法：若动点的坐标（x，y）中的x，y分别随另一变量的变化而变化，我们可以以这个变量为参数，建立轨迹的参数方程．
求轨迹方程，一定要注意轨迹的纯粹性和完备性．要注意区别“轨迹”与“轨迹方程”是两个不同的概念．
2、求轨迹方程的一般步骤：
（1）建立适当的直角坐标系（如果已给出，本步骤省略）；
（2）设曲线上任意一点的坐标为（x，y）；
（3）根据曲线上点所适合的条件，写出等式；
（4）用坐标yx、表示这个等式，并化简；
（5）证明已化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
上述五个步骤可简记为：建系；设点；写出集合；列方程、化简；证明．
23．直线与抛物线的综合
v．
24．由三视图求面积、体积
【知识点的认识】
1．三视图：观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形，包括：
（1）主视图：物体前后方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和长度；
（2）左视图：物体左右方向投影所得到的投影图，反映物体的高度和宽度；
（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图，反映物体的长度和宽度．
2．三视图的画图规则：
（1）高平齐：主视图和左视图的高保持平齐；
（2）长对正：主视图和俯视图的长相对应；
（3）宽相等：俯视图和左视图的宽度相等．
3．常见空间几何体表面积、体积公式
（1）表面积公式：
（2）体积公式：
【解题思路点拨】
1．解题步骤：
（1）由三视图定对应几何体形状（柱、锥、球）
（2）选对应公式
（3）定公式中的基本量（一般看俯视图定底面积，看主、左视图定高）
（4）代公式计算
2．求面积、体积常用思想方法：
（1）截面法：尤其是关于旋转体及与旋转体有关的组合体问题，常用轴截面进行分析求解；
（2）割补法：求不规则图形的面积或几何体的体积时常用割补法；
（3）等体积转化：充分利用三棱锥的任意一个面都可以作为底面的特点，灵活求解三棱锥的体积；
（4）还台为锥的思想：这是处理台体时常用的思想方法．
【命题方向】三视图是新课标新增内容之一，是新课程高考重点考查的内容．解答此类问题，必须熟练掌握三视图的概念，弄清视图之间的数量关系：正视图、俯视图之间长相等，左视图、俯视图之间宽相等，正视图、左视图之间高相等（正俯长对正，正左高平齐，左俯宽相等），要善于将三视图还原成空间几何体，熟记各类几何体的表面积和体积公式，正确选用，准确计算．
例：某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A.8﹣2πB.8﹣πC.8 D.8
分析：几何体是正方体切去两个圆柱，根据三视图判断正方体的棱长及切去的圆柱的底面半径和高，把数据代入正方体与圆柱的体积公式计算．
解答：由三视图知：几何体是正方体切去两个圆柱，
正方体的棱长为2，切去的圆柱的底面半径为1，高为2，
∴几何体的体积V＝23﹣2π×12×2＝8﹣π．
故选：B．
点评：本题考查了由三视图求几何体的体积，根据三视图判断几何体的形状及数据所对应的几何量是解题的关键．
25．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
26．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
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