2022高考数学终极押题密卷（上海卷）（含答案解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（上海卷）（含答案解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 426.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 09:49:35 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷3（上海卷）
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 黄浦区校级三模）已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为 ．
2．（4分）（2022 宝山区校级二模）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝ ．
3．（4分）（2008 宝山区二模）圆x2+y2+4x+3＝0的面积是 ．
4．（4分）（2021春 天津期中）等边△ABC边长为1，则 ．
5．（4分）（2021 宝山区二模）已知常数m∈R，若函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则m＝ ．
6．（4分）（2020 松江区二模）若（x+a）8的展开式中x5项的系数为56，则实数a＝ ．
7．（5分）（2019 浦东新区校级模拟）已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是
8．（5分）（2015 浦东新区三模）已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，且a5＝2S4+3，a6＝2S5+3，则此数列的公比q＝ ．
9．（5分）（2010 青浦区二模）[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均相等，且圆锥和圆柱的体积也相等，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 ．
10．（5分）（2021 黄浦区校级三模）从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中任取3个不同的数，则所取的3个数从小到大能构成等差数列的概率等于 （用最简分数作答）．
11．（5分）（2015 普陀区三模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|＝ ．
12．（5分）（2021 奉贤区二模）设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1＝qSn+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有Sn+1≤4an，则q的取值为 ．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2003 上海）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）
A．y＝tan|x| B．y＝cos（﹣x）
C． D．y＝|cot|
14．（5分）（2017 上海模拟）图中曲线的方程可以是（ ）
A．（x+y﹣1） （x2+y2﹣1）＝0 B．
C． D．
15．（5分）（2009 上海一模）对于任意实数a，要使函数在区间[a，a+3]上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2
16．（5分）（2021 团风县校级模拟）已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣1）＝2，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．13
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 浦东新区校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1．
（1）证明：A1C⊥BD；
（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．
18．（14分）（2020 闵行区校级三模）设a、b、c分别是△ABC内角A、B、C所对的边，．
（1）求角A的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．（14分）（2021 嘉定区三模）数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段AB上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设AC＝x米．
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数k（k＞0），测得数据：当x＝1时，；当x＝2时，y＝3k，求A，B两处的光强度，并写出函数y＝f（x）的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数k（k＞0），测得数据：当x＝1时，；当x＝2时，y＝2k，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度．
20．（16分）（2022 青浦区校级模拟）已知椭圆C：1，过动点M（0，m）（m＞0）的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（1）求椭圆C的焦距和短轴长；
（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k'，证明：为定值；
（3）求直线AB倾斜角的最小值．
21．（18分）（2017 浦东新区校级三模）若定义在R上的函数y＝f（x）满足：对于任意实数x，y，总有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）恒成立，我们称f（x）为“类余弦型”函数．
（1）已知f（x）为“类余弦型”函数，且，求f（0）和f（2）的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列an＝2f（n+1）﹣f（n）（n＝1，2，3…），求的值；
（3）若f（x）为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有f（t）＞1，证明：函数f（x）为偶函数；设有理数x1，x2满足|x1|＜|x2|，判断f（x1）和f（x2）的大小关系，并证明你的结论．
2022高考数学终极押题密卷3（上海卷）
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 黄浦区校级三模）已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为 ．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z＝i3，
∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（﹣i），
∴2z＝﹣1﹣i，化为：zi，
∴复数z的虚部为，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（4分）（2022 宝山区校级二模）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝ {1，4} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】把A中元素代入y＝3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：把x＝1，2，3，4分别代入y＝3x﹣2得：y＝1，4，7，10，即B＝{1，4，7，10}，
∵A＝{1，2，3，4}，
∴A∩B＝{1，4}，
故答案为：{1，4}，
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（4分）（2008 宝山区二模）圆x2+y2+4x+3＝0的面积是 π ．
【考点】圆的一般方程．
【专题】计算题．
【分析】要求圆x2+y2+4x+3＝0的面积，只要把圆的方程化为标准方程，求出圆的半径，进而可求出圆的面积
【解答】解：圆x2+y2+4x+3＝0的标准方程为：（x+2）2+y2＝1
圆的半径r＝1
圆的面积S＝π
故答案为：π
【点评】本题主要考查了圆的面积的求解，解题的关键是由圆的方程求出圆的半径，属于基础试题
4．（4分）（2021春 天津期中）等边△ABC边长为1，则 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据数量积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：如图，cos120°+cos120°+cos120°．
故答案为：．
【点评】考查向量数量积的计算公式，要注意向量的夹角不要弄错．
5．（4分）（2021 宝山区二模）已知常数m∈R，若函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则m＝ 0 ．
【考点】反函数．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用反函数的定义可知，函数f（x）经过点（2，4），代入求解即可．
【解答】解：由反函数的定义可知，函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），
则函数f（x）经过点（2，4），
所以22﹣m＝4，解得m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了反函数的理解和应用，主要考查了反函数和原函数之间关系的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
6．（4分）（2020 松江区二模）若（x+a）8的展开式中x5项的系数为56，则实数a＝ 1 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；转化法；二项式定理；数学运算．
【分析】先写出展开式的通项公式，然后令x的指数为55，解方程求出a的值．
【解答】解：由题意，通项为，
令8﹣k＝5得，k＝3．∴，解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二项式展开式的通项及其应用，同时考查学生利用方程思想解决问题的意识和运算能力．属于基础题．
7．（5分）（2019 浦东新区校级模拟）已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式．
【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
的几何意义为阴影部分的动点（x，y）
到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围．
由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，
当点位于A时，直线的斜率最小，
由A（1，0），
∴OB的斜率k＝1
AP的斜率k，
∴w≤1．
则的取值范围是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
8．（5分）（2015 浦东新区三模）已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，且a5＝2S4+3，a6＝2S5+3，则此数列的公比q＝ 3 ．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．
【解答】解：∵a5＝2S4+3，a6＝2S5+3，
∴两式相减可得a6﹣a5＝2（S5﹣S4），
∴a6﹣a5＝2a5，∴a6＝3a5，
∴公比q3
故答案为：3．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，属基础题．
9．（5分）（2010 青浦区二模）[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均相等，且圆锥和圆柱的体积也相等，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题．
【分析】设圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均是d，圆柱的高为h，依据题意直接求出圆锥的全面积，圆柱的全面积，即可求出它们的比值．
【解答】解：设圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均是d，圆柱的高为h，
圆锥的体积为：π（）2×d，圆柱的体积为：π（）2×h，
∵π（）2×d＝π（）2×h， hd
圆锥的表面积为：
圆柱的表面积为：
圆锥的全面积与圆柱的全面积之比：
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥、圆柱的表面积之比，考查计算能力，是基础题．
10．（5分）（2021 黄浦区校级三模）从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中任取3个不同的数，则所取的3个数从小到大能构成等差数列的概率等于 （用最简分数作答）．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】基本事件总数n84，所取的3个数从小到大能构成等差数列包含的基本事件有16个，由此能求出所取的3个数从小到大能构成等差数列的概率．
【解答】解：从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中任取3个不同的数，
基本事件总数n84，
所取的3个数从小到大能构成等差数列包含的基本事件有：
（1，2，3），（1，3，5），（1，4，7），（1，5，9），（2，3，4），（2，4，6），（2，5，8），
（3，4，5），（3，5，7），（3，6，9），（4，5，6），（4，6，8），（5，6，7），（5，7，9），（6，7，8），（7，8，9），共16个，
则所取的3个数从小到大能构成等差数列的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
11．（5分）（2015 普陀区三模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|＝ 4 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线y2＝4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1．由直线EF的一个方向向量为（1，），可得kl，进而得到直线EF的方程为：y（x﹣1），与抛物线方程联立，可得解得yE．由于PE⊥l于E，可得yP＝yE，代入抛物线的方程可解得xP．再利用|PF|＝|PE|＝xP+1即可得出．
【解答】解：由抛物线y2＝4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1．
∵直线EF的一个方向向量为（1，），∴kl．
∴直线EF的方程为：y（x﹣1），联立，解得y＝﹣2．
∴E（﹣1，﹣2）．
∵PE⊥l于E，∴yP＝2，代入抛物线的方程可得12＝4xp，解得xP＝3．
∴|PF|＝|PE|＝xP+1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．
12．（5分）（2021 奉贤区二模）设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1＝qSn+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有Sn+1≤4an，则q的取值为 2 ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；极限思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】先证出数列{an}为等比数列，再用通项公式和求和公式化简不等式，求出q的取值即可．
【解答】解：∵Sn+1＝qSn+S1，∴Sn＝qSn﹣1+S1（n≥2），
∴an+1＝qan，q（n≥2），
把n＝1代入Sn+1＝qSn+S1得，S2＝qa1+a1＝a1+a2，∴a2＝qa1，满足上式，
∴{an}是首相为a1，公比为q的等比数列，
∵Sn+1≤4an，∴4a1qn﹣1，∵a1＞0，q＞1，
∴qn+1﹣4qn+4qn﹣1≤1，∴qn﹣1（q﹣2）2≤1，∴（q﹣2）2≤（）min，
∵当q＞1，n→+∞时，→0，∴（q﹣2）2≤0，
又∵（q﹣2）2≥0，∴（q﹣2）2＝0，即q＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，合理化简不等式是解决问题的关键，考查了转化思想，属中档题．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2003 上海）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）
A．y＝tan|x| B．y＝cos（﹣x）
C． D．y＝|cot|
【考点】奇函数、偶函数；函数单调性的性质与判断．
【分析】化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．
【解答】解：y＝sin（x）＝﹣sin（x）＝﹣cosx故选C．
【点评】本题考查了三角函数的性质与图象，属于基本知识的考查，是常见题型．要熟练掌握各种三角函数的图象及性质．
14．（5分）（2017 上海模拟）图中曲线的方程可以是（ ）
A．（x+y﹣1） （x2+y2﹣1）＝0 B．
C． D．
【考点】平面直角坐标系与曲线方程．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；推理和证明．
【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2＝1或x+y﹣1＝0（x2+y2≥1），即可得出结论．
【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2＝1或x+y﹣1＝0（x2+y2≥1），
故选：C．
【点评】本题考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想，比较基础．
15．（5分）（2009 上海一模）对于任意实数a，要使函数在区间[a，a+3]上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2
【考点】余弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性．
【专题】计算题．
【分析】根据函数一个周期有且只有2个不同的自变量使其函数值为，故出现的次数不小于4次，又不多于8次，得到该函数在此区间上至少2个周期，至多4个周期，由区间的长度为3，列出关于周期T的不等式组，再找出ω的值，代入周期公式求出函数的周期T，将求出的T代入不等式组得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集中的正整数解即可得到k的值．
【解答】解：函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为，
因此该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期，
因此 3＞2T，且3＜4T，即，
又∵ω，∴T，
∴，
解得，又k∈N，
则k＝2或3．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查了转化的数学思想．根据题意得出该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期是本题的突破点，将所求的k的值进行转化与化归，列出关于k的不等式是解决本题的关键，充分利用函数的周期性和区间长度的关系，注意不等式思想的运用．
16．（5分）（2021 团风县校级模拟）已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣1）＝2，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．13
【考点】基本不等式及其应用；对数函数的图象与性质．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设g（x）＝ln（x），由奇偶性的概念可推出g（x）为奇函数，进而得f（﹣x）+f（x）＝2，故有4a+b﹣1＝0，再将变形为（） （4a+b），展开后，利用基本不等式，得解．
【解答】解：设g（x）＝ln（x），定义域为R，
则g（﹣x）＝ln（﹣x）＝lnln（x）＝﹣g（x），
即g（﹣x）+g（x）＝0，
∴f（﹣x）+f（x）＝2，
又正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣1）＝2，
∴4a+b﹣1＝0，
∴（） （4a+b）＝4+15+29，
当且仅当，即b＝2a时，等号成立，
∴的最小值为9．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的应用，对数的运算，熟练掌握“乘1法”和对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 浦东新区校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1．
（1）证明：A1C⊥BD；
（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）证明BD⊥AC，A1O⊥BD，然后证明A1C⊥平面ACC1A1，得到A1C⊥BD．
（2）取B1D1中点O1，联结OO1，说明∠COO1即为所求角，然后求解即可．
【解答】（1）证明：由题意易得：BD⊥AC，又A1O⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，∴A1O⊥BD，又A1O∩AC＝O，
∴BD⊥平面ACC1A1，又A1C⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD．
（2）解：取B1D1中点O1，联结OO1，则由四棱柱的性质可知，四边形A1O1OA为平行四边形，
又∵A1A＝A1C，AC＝2，∴A1A⊥A1C，∴A1A⊥O1O，又A1C⊥BD．所以A1C⊥平面DBB1D1．
∴∠COO1即为所求角，直线AC与平面BB1D1D所成的角，
∵A1A＝A1C，所以直线AC与平面BB1D1D所成的角的大小为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．
18．（14分）（2020 闵行区校级三模）设a、b、c分别是△ABC内角A、B、C所对的边，．
（1）求角A的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）结合已知及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A；
（2）由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后由余弦定理可求．
【解答】解：（1）由题意可得：，
因为A为三角形的内角，
∴
（2）由，
又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣18＝18，
∴b+c＝6，
∴周长为
【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，属于中档试题．
19．（14分）（2021 嘉定区三模）数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段AB上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设AC＝x米．
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数k（k＞0），测得数据：当x＝1时，；当x＝2时，y＝3k，求A，B两处的光强度，并写出函数y＝f（x）的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数k（k＞0），测得数据：当x＝1时，；当x＝2时，y＝2k，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）利用题中的条件列出函数关系式，利用题中的数据数量即可解出；
（2）利用题中的条件列出等式关系，再利用题中的数据即可解出．
【解答】解：（1）由已知，得，
所以，故．
（2）由已知，得，
所以，
故．
因为，
当且仅当，
所以当时的C处，光强度最弱为．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
20．（16分）（2022 青浦区校级模拟）已知椭圆C：1，过动点M（0，m）（m＞0）的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（1）求椭圆C的焦距和短轴长；
（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k'，证明：为定值；
（3）求直线AB倾斜角的最小值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）利用椭圆C的标准方程可得a，b，c，即可推出椭圆C的焦距，短轴长．
（2）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由M（0，m）（m＞0）可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m），求出直线PM的斜率，QM的斜率，推出为定值．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx+m直线QB的方程为y＝﹣3kx+m，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB坐标，然后求解AB的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB倾斜角的最小值．
【解答】解：（1）因为椭圆C的标准方程为，可得，
所以椭圆C的焦距为，短轴长为．
（2）证明：设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由M（0，m）（m＞0）可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m），
所以直线PM的斜率，QM的斜率，所以，
所以为定值．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx+m，直线QB的方程为y＝﹣3kx+m，
联立方程，整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4＝0，
根据根与系数可得，可得，所以，
同理，
所以，
，
所以．由m＞0，x0＞0，可得k＞0，
所以，当且仅当6k，即时，取得等号，
所以，解得，
所以直线AB倾斜角的最小值为arctan．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题，
21．（18分）（2017 浦东新区校级三模）若定义在R上的函数y＝f（x）满足：对于任意实数x，y，总有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）恒成立，我们称f（x）为“类余弦型”函数．
（1）已知f（x）为“类余弦型”函数，且，求f（0）和f（2）的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列an＝2f（n+1）﹣f（n）（n＝1，2，3…），求的值；
（3）若f（x）为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有f（t）＞1，证明：函数f（x）为偶函数；设有理数x1，x2满足|x1|＜|x2|，判断f（x1）和f（x2）的大小关系，并证明你的结论．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）令x＝1，y＝0计算f（0），再令x＝y＝1计算f（2）；
（2）判断{an}是等比数列，求出an的通项公式，代入计算即可；
（3）由t≠0时，f（t）＞1，则f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y）＞2f（y），即f（x+y）﹣f（y）＞f（y）﹣f（x﹣y）令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[（k+1）x]﹣f（kx）＞f（kx）﹣f[（k﹣1）x]，再由递推即可得到对于k为正整数，总有f[（k+1）x]＞f（kx）成立，即有n＜m，则有f（nx）＜f（mx）成立，可设|x1|，|x2|，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论，即可得到大小．
【解答】解：（1）令x＝1，y＝0，得f（1）+f（1）＝2f（1）f（0），∴f（0）＝1；
令x＝y＝1得f（2）+f（0）＝2f2（1），∴f（2）＝2f2（1）﹣f（0）．
（2）令x＝n+1，y＝1，得2f（n+1）f（1）＝f（n+2）+f（n）．
∴f（n+2）f（n+1）﹣f（n），
∴an+1＝2f（n+2）﹣f（n+1）＝2[f（n+1）﹣f（n）]﹣f（n+1）
＝4f（n+1）﹣2f（n）＝2[2f（n+1）﹣f（n）]＝2an（n≥1）．
又a1＝2f（2）﹣f（1）＝3
∴{an}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
所以an＝3 2n﹣1＝3 2n﹣1，∴log2log22n﹣1＝n﹣1，
∴{log2}是以0为首项，以1为公差的等差数列，
∴0+1+2+…+20162033136．
（3）令x＝0，得f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y）＝2f（y），
∴f（﹣y）＝f（y），即f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）是偶函数．
∵f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），又∵t≠0时f（t）＞1，
∴2f（x）f（y）＞2f（y），即f（x+y）﹣f（y）＞f（y）﹣f（x﹣y）
∴令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[（k+1）x]﹣f（kx）＞f（kx）﹣f[（k﹣1）x]，
则f[（k+1）x]﹣f（kx）＞f（kx）﹣f[（k﹣1）x]＞…＞f（x）﹣f（0）＞0
∴对于k为正整数，总有f[（k+1）x]＞f（kx）成立．
∴对于m，n为正整数，若n＜m，则有f（nx）＜f[（n+1）x]＜…＜f（mx）成立．
∵x1，x2为有理数，所以可设|x1|，|x2|，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，
则|x1|，|x2|，令x，t＝q1p2，s＝p1q2，则t，s为正整数．
∵|x1|＜|x2|，∴t＜s，∴f（tx）＜f（sx），即f（|x1|）＜f（|x2|）．
∵函数f（x）为偶函数，∴f（|x1|）＝f（x1），f（|x2|）＝f（x2），
∴f（x1）＜f（x2）．
【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查不等式的证明方法：递推法，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
4．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
5．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】
6．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
7．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
11．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
12．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
15．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
16．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
17．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
18．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
19．余弦函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
20．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
21．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
23．直线与椭圆的综合
v．
24．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
25．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
26．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
27．平面直角坐标系与曲线方程
【知识点的认识】
平面直角坐标系与曲线方程．
在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实解有如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．
1．平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系．
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上．
2．求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P＝{M|p（M）}；
（3）用坐标表示条件p（M），列出方程 f（x，y）＝0
（4）化方程 f（x，y）＝0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
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一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 黄浦区校级三模）已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为 ．
2．（4分）（2022 宝山区校级二模）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝ ．
3．（4分）（2008 宝山区二模）圆x2+y2+4x+3＝0的面积是 ．
4．（4分）（2021春 天津期中）等边△ABC边长为1，则 ．
5．（4分）（2021 宝山区二模）已知常数m∈R，若函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则m＝ ．
6．（4分）（2020 松江区二模）若（x+a）8的展开式中x5项的系数为56，则实数a＝ ．
7．（5分）（2019 浦东新区校级模拟）已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是
8．（5分）（2015 浦东新区三模）已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，且a5＝2S4+3，a6＝2S5+3，则此数列的公比q＝ ．
9．（5分）（2010 青浦区二模）[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均相等，且圆锥和圆柱的体积也相等，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 ．
10．（5分）（2021 黄浦区校级三模）从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中任取3个不同的数，则所取的3个数从小到大能构成等差数列的概率等于 （用最简分数作答）．
11．（5分）（2015 普陀区三模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|＝ ．
12．（5分）（2021 奉贤区二模）设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1＝qSn+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有Sn+1≤4an，则q的取值为 ．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2003 上海）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）
A．y＝tan|x| B．y＝cos（﹣x）
C． D．y＝|cot|
14．（5分）（2017 上海模拟）图中曲线的方程可以是（ ）
A．（x+y﹣1） （x2+y2﹣1）＝0 B．
C． D．
15．（5分）（2009 上海一模）对于任意实数a，要使函数在区间[a，a+3]上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2
16．（5分）（2021 团风县校级模拟）已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣1）＝2，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．13
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 浦东新区校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1．
（1）证明：A1C⊥BD；
（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．
18．（14分）（2020 闵行区校级三模）设a、b、c分别是△ABC内角A、B、C所对的边，．
（1）求角A的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
19．（14分）（2021 嘉定区三模）数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段AB上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设AC＝x米．
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数k（k＞0），测得数据：当x＝1时，；当x＝2时，y＝3k，求A，B两处的光强度，并写出函数y＝f（x）的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数k（k＞0），测得数据：当x＝1时，；当x＝2时，y＝2k，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度．
20．（16分）（2022 青浦区校级模拟）已知椭圆C：1，过动点M（0，m）（m＞0）的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（1）求椭圆C的焦距和短轴长；
（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k'，证明：为定值；
（3）求直线AB倾斜角的最小值．
21．（18分）（2017 浦东新区校级三模）若定义在R上的函数y＝f（x）满足：对于任意实数x，y，总有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）恒成立，我们称f（x）为“类余弦型”函数．
（1）已知f（x）为“类余弦型”函数，且，求f（0）和f（2）的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列an＝2f（n+1）﹣f（n）（n＝1，2，3…），求的值；
（3）若f（x）为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有f（t）＞1，证明：函数f（x）为偶函数；设有理数x1，x2满足|x1|＜|x2|，判断f（x1）和f（x2）的大小关系，并证明你的结论．
2022高考数学终极押题密卷3（上海卷）
参考答案与试题解析
一．填空题（共12小题，满分54分）
1．（4分）（2021 黄浦区校级三模）已知i为虚数单位，且（1+i）z＝i3，则复数z的虚部为 ．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出．
【解答】解：∵（1+i）z＝i3，
∴（1﹣i）（1+i）z＝（1﹣i）（﹣i），
∴2z＝﹣1﹣i，化为：zi，
∴复数z的虚部为，
故答案为：．
【点评】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2．（4分）（2022 宝山区校级二模）已知集合A＝{1，2，3，4}，B＝{y|y＝3x﹣2，x∈A}，则A∩B＝ {1，4} ．
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题；集合思想；定义法；集合．
【分析】把A中元素代入y＝3x﹣2中计算求出y的值，确定出B，找出A与B的交集即可．
【解答】解：把x＝1，2，3，4分别代入y＝3x﹣2得：y＝1，4，7，10，即B＝{1，4，7，10}，
∵A＝{1，2，3，4}，
∴A∩B＝{1，4}，
故答案为：{1，4}，
【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键．
3．（4分）（2008 宝山区二模）圆x2+y2+4x+3＝0的面积是 π ．
【考点】圆的一般方程．
【专题】计算题．
【分析】要求圆x2+y2+4x+3＝0的面积，只要把圆的方程化为标准方程，求出圆的半径，进而可求出圆的面积
【解答】解：圆x2+y2+4x+3＝0的标准方程为：（x+2）2+y2＝1
圆的半径r＝1
圆的面积S＝π
故答案为：π
【点评】本题主要考查了圆的面积的求解，解题的关键是由圆的方程求出圆的半径，属于基础试题
4．（4分）（2021春 天津期中）等边△ABC边长为1，则 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据数量积的计算公式进行计算即可．
【解答】解：如图，cos120°+cos120°+cos120°．
故答案为：．
【点评】考查向量数量积的计算公式，要注意向量的夹角不要弄错．
5．（4分）（2021 宝山区二模）已知常数m∈R，若函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），则m＝ 0 ．
【考点】反函数．
【专题】函数思想；定义法；函数的性质及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用反函数的定义可知，函数f（x）经过点（2，4），代入求解即可．
【解答】解：由反函数的定义可知，函数f（x）＝2x﹣m反函数的图像经过点（4，2），
则函数f（x）经过点（2，4），
所以22﹣m＝4，解得m＝0．
故答案为：0．
【点评】本题考查了反函数的理解和应用，主要考查了反函数和原函数之间关系的运用，考查了逻辑推理能力，属于基础题．
6．（4分）（2020 松江区二模）若（x+a）8的展开式中x5项的系数为56，则实数a＝ 1 ．
【考点】二项式定理．
【专题】计算题；方程思想；转化法；二项式定理；数学运算．
【分析】先写出展开式的通项公式，然后令x的指数为55，解方程求出a的值．
【解答】解：由题意，通项为，
令8﹣k＝5得，k＝3．∴，解得a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查二项式展开式的通项及其应用，同时考查学生利用方程思想解决问题的意识和运算能力．属于基础题．
7．（5分）（2019 浦东新区校级模拟）已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；综合法；不等式．
【分析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论．
【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．
的几何意义为阴影部分的动点（x，y）
到定点P（﹣1，1）连线的斜率的取值范围．
由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，
当点位于A时，直线的斜率最小，
由A（1，0），
∴OB的斜率k＝1
AP的斜率k，
∴w≤1．
则的取值范围是：．
故答案为：．
【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法．
8．（5分）（2015 浦东新区三模）已知数列{an}为等比数列，前n项和为Sn，且a5＝2S4+3，a6＝2S5+3，则此数列的公比q＝ 3 ．
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】已知两式相减结合等比数列的求和公式可得．
【解答】解：∵a5＝2S4+3，a6＝2S5+3，
∴两式相减可得a6﹣a5＝2（S5﹣S4），
∴a6﹣a5＝2a5，∴a6＝3a5，
∴公比q3
故答案为：3．
【点评】本题考查等比数列的求和公式和通项公式，属基础题．
9．（5分）（2010 青浦区二模）[理科]已知一圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均相等，且圆锥和圆柱的体积也相等，那么，圆锥的全面积与圆柱的全面积之比为 ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】计算题．
【分析】设圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均是d，圆柱的高为h，依据题意直接求出圆锥的全面积，圆柱的全面积，即可求出它们的比值．
【解答】解：设圆锥的底面直径、高和一圆柱的底面直径均是d，圆柱的高为h，
圆锥的体积为：π（）2×d，圆柱的体积为：π（）2×h，
∵π（）2×d＝π（）2×h， hd
圆锥的表面积为：
圆柱的表面积为：
圆锥的全面积与圆柱的全面积之比：
故答案为：．
【点评】本题考查圆锥、圆柱的表面积之比，考查计算能力，是基础题．
10．（5分）（2021 黄浦区校级三模）从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中任取3个不同的数，则所取的3个数从小到大能构成等差数列的概率等于 （用最简分数作答）．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】基本事件总数n84，所取的3个数从小到大能构成等差数列包含的基本事件有16个，由此能求出所取的3个数从小到大能构成等差数列的概率．
【解答】解：从1、2、3、4、5、6、7、8、9这9个数中任取3个不同的数，
基本事件总数n84，
所取的3个数从小到大能构成等差数列包含的基本事件有：
（1，2，3），（1，3，5），（1，4，7），（1，5，9），（2，3，4），（2，4，6），（2，5，8），
（3，4，5），（3，5，7），（3，6，9），（4，5，6），（4，6，8），（5，6，7），（5，7，9），（6，7，8），（7，8，9），共16个，
则所取的3个数从小到大能构成等差数列的概率为P．
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、列举法等基础知识，考查运算求解能力等数学核心素养，是基础题．
11．（5分）（2015 普陀区三模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，过抛物线上一点P作PE⊥l于E，若直线EF的一个方向向量为（1，），则|PF|＝ 4 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
【分析】由抛物线y2＝4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1．由直线EF的一个方向向量为（1，），可得kl，进而得到直线EF的方程为：y（x﹣1），与抛物线方程联立，可得解得yE．由于PE⊥l于E，可得yP＝yE，代入抛物线的方程可解得xP．再利用|PF|＝|PE|＝xP+1即可得出．
【解答】解：由抛物线y2＝4x方程，可得焦点F（1，0），准线l的方程为：x＝﹣1．
∵直线EF的一个方向向量为（1，），∴kl．
∴直线EF的方程为：y（x﹣1），联立，解得y＝﹣2．
∴E（﹣1，﹣2）．
∵PE⊥l于E，∴yP＝2，代入抛物线的方程可得12＝4xp，解得xP＝3．
∴|PF|＝|PE|＝xP+1＝4．
故答案为：4．
【点评】本题考查了抛物线的定义标准方程及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立，属于中档题．
12．（5分）（2021 奉贤区二模）设Sn为正数列{an}的前n项和，Sn+1＝qSn+S1，q＞1，对任意的n≥1，n∈N均有Sn+1≤4an，则q的取值为 2 ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；极限思想；转化法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】先证出数列{an}为等比数列，再用通项公式和求和公式化简不等式，求出q的取值即可．
【解答】解：∵Sn+1＝qSn+S1，∴Sn＝qSn﹣1+S1（n≥2），
∴an+1＝qan，q（n≥2），
把n＝1代入Sn+1＝qSn+S1得，S2＝qa1+a1＝a1+a2，∴a2＝qa1，满足上式，
∴{an}是首相为a1，公比为q的等比数列，
∵Sn+1≤4an，∴4a1qn﹣1，∵a1＞0，q＞1，
∴qn+1﹣4qn+4qn﹣1≤1，∴qn﹣1（q﹣2）2≤1，∴（q﹣2）2≤（）min，
∵当q＞1，n→+∞时，→0，∴（q﹣2）2≤0，
又∵（q﹣2）2≥0，∴（q﹣2）2＝0，即q＝2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查数列通项公式的求解，合理化简不等式是解决问题的关键，考查了转化思想，属中档题．
二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2003 上海）下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）
A．y＝tan|x| B．y＝cos（﹣x）
C． D．y＝|cot|
【考点】奇函数、偶函数；函数单调性的性质与判断．
【分析】化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．
【解答】解：y＝sin（x）＝﹣sin（x）＝﹣cosx故选C．
【点评】本题考查了三角函数的性质与图象，属于基本知识的考查，是常见题型．要熟练掌握各种三角函数的图象及性质．
14．（5分）（2017 上海模拟）图中曲线的方程可以是（ ）
A．（x+y﹣1） （x2+y2﹣1）＝0 B．
C． D．
【考点】平面直角坐标系与曲线方程．
【专题】综合题；数形结合；数形结合法；推理和证明．
【分析】由图象可知曲线的方程可以是x2+y2＝1或x+y﹣1＝0（x2+y2≥1），即可得出结论．
【解答】解：由图象可知曲线的方程可以是x2+y2＝1或x+y﹣1＝0（x2+y2≥1），
故选：C．
【点评】本题考查曲线与方程，考查数形结合的数学思想，比较基础．
15．（5分）（2009 上海一模）对于任意实数a，要使函数在区间[a，a+3]上的值出现的次数不小于4次，又不多于8次，则k可以取（ ）
A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．2
【考点】余弦函数的定义域和值域；三角函数的周期性．
【专题】计算题．
【分析】根据函数一个周期有且只有2个不同的自变量使其函数值为，故出现的次数不小于4次，又不多于8次，得到该函数在此区间上至少2个周期，至多4个周期，由区间的长度为3，列出关于周期T的不等式组，再找出ω的值，代入周期公式求出函数的周期T，将求出的T代入不等式组得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集中的正整数解即可得到k的值．
【解答】解：函数在一个周期内有且只有2个不同的自变量使其函数值为，
因此该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期，
因此 3＞2T，且3＜4T，即，
又∵ω，∴T，
∴，
解得，又k∈N，
则k＝2或3．
故选：B．
【点评】本题考查三角函数的周期性及其求法，考查了转化的数学思想．根据题意得出该函数在区间[a，a+3]（该区间的长度为3）上至少有2个周期，至多有4个周期是本题的突破点，将所求的k的值进行转化与化归，列出关于k的不等式是解决本题的关键，充分利用函数的周期性和区间长度的关系，注意不等式思想的运用．
16．（5分）（2021 团风县校级模拟）已知函数，若正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣1）＝2，则的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．13
【考点】基本不等式及其应用；对数函数的图象与性质．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】设g（x）＝ln（x），由奇偶性的概念可推出g（x）为奇函数，进而得f（﹣x）+f（x）＝2，故有4a+b﹣1＝0，再将变形为（） （4a+b），展开后，利用基本不等式，得解．
【解答】解：设g（x）＝ln（x），定义域为R，
则g（﹣x）＝ln（﹣x）＝lnln（x）＝﹣g（x），
即g（﹣x）+g（x）＝0，
∴f（﹣x）+f（x）＝2，
又正实数a，b满足f（4a）+f（b﹣1）＝2，
∴4a+b﹣1＝0，
∴（） （4a+b）＝4+15+29，
当且仅当，即b＝2a时，等号成立，
∴的最小值为9．
故选：C．
【点评】本题考查基本不等式的应用，对数的运算，熟练掌握“乘1法”和对数的运算法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分76分）
17．（14分）（2022 浦东新区校级二模）如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1．
（1）证明：A1C⊥BD；
（2）求直线AC与平面BB1D1D所成的角θ的大小．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】计算题；数形结合；转化思想；空间位置关系与距离；空间角．
【分析】（1）证明BD⊥AC，A1O⊥BD，然后证明A1C⊥平面ACC1A1，得到A1C⊥BD．
（2）取B1D1中点O1，联结OO1，说明∠COO1即为所求角，然后求解即可．
【解答】（1）证明：由题意易得：BD⊥AC，又A1O⊥平面ABCD，
BD 平面ABCD，∴A1O⊥BD，又A1O∩AC＝O，
∴BD⊥平面ACC1A1，又A1C⊥平面ACC1A1，∴A1C⊥BD．
（2）解：取B1D1中点O1，联结OO1，则由四棱柱的性质可知，四边形A1O1OA为平行四边形，
又∵A1A＝A1C，AC＝2，∴A1A⊥A1C，∴A1A⊥O1O，又A1C⊥BD．所以A1C⊥平面DBB1D1．
∴∠COO1即为所求角，直线AC与平面BB1D1D所成的角，
∵A1A＝A1C，所以直线AC与平面BB1D1D所成的角的大小为．
【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，直线与平面所成角的求法，考查转化思想以及计算能力．
18．（14分）（2020 闵行区校级三模）设a、b、c分别是△ABC内角A、B、C所对的边，．
（1）求角A的大小；
（2）若，且△ABC的面积为，求△ABC的周长．
【考点】两角和与差的三角函数．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）结合已知及和差角公式进行化简可求cosA，进而可求A；
（2）由已知结合三角形的面积公式可求bc，然后由余弦定理可求．
【解答】解：（1）由题意可得：，
因为A为三角形的内角，
∴
（2）由，
又a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣18＝18，
∴b+c＝6，
∴周长为
【点评】本题主要考查了和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了余弦定理，三角形的面积公式的简单应用，属于中档试题．
19．（14分）（2021 嘉定区三模）数学建模小组检测到相距3米的A，B两光源的强度分别为a，b，异于A，B的线段AB上任意一点C处的光强度y等于两光源到该处的强度之和，设AC＝x米．
（1）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离的平方成反比，比例系数为常数k（k＞0），测得数据：当x＝1时，；当x＝2时，y＝3k，求A，B两处的光强度，并写出函数y＝f（x）的解析式；
（2）假设某处的光强度与光源的强度成正比，与到光源的距离成反比，比例系数为常数k（k＞0），测得数据：当x＝1时，；当x＝2时，y＝2k，问何处的光强度最弱？并求最弱处的光强度．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】（1）利用题中的条件列出函数关系式，利用题中的数据数量即可解出；
（2）利用题中的条件列出等式关系，再利用题中的数据即可解出．
【解答】解：（1）由已知，得，
所以，故．
（2）由已知，得，
所以，
故．
因为，
当且仅当，
所以当时的C处，光强度最弱为．
【点评】本题考查了函数模型的实际应用，学生的数学运算能力，属于基础题．
20．（16分）（2022 青浦区校级模拟）已知椭圆C：1，过动点M（0，m）（m＞0）的直线l交x轴于点N，交C于点A、P（P在第一象限），且M是线段PN的中点，过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长QM交C于点B．
（1）求椭圆C的焦距和短轴长；
（2）设直线PM的斜率为k，QM的斜率为k'，证明：为定值；
（3）求直线AB倾斜角的最小值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）利用椭圆C的标准方程可得a，b，c，即可推出椭圆C的焦距，短轴长．
（2）设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由M（0，m）（m＞0）可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m），求出直线PM的斜率，QM的斜率，推出为定值．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx+m直线QB的方程为y＝﹣3kx+m，联立方程椭圆与椭圆方程，利用韦达定理，求解AB坐标，然后求解AB的斜率的表达式，利用基本不等式求解斜率的最小值，即可得到直线AB倾斜角的最小值．
【解答】解：（1）因为椭圆C的标准方程为，可得，
所以椭圆C的焦距为，短轴长为．
（2）证明：设P（x0，y0）（x0＞0，y0＞0），由M（0，m）（m＞0）可得P（x0，2m），Q（x0，﹣2m），
所以直线PM的斜率，QM的斜率，所以，
所以为定值．
（3）设A（x1，y1），B（x2，y2）．直线PA的方程为y＝kx+m，直线QB的方程为y＝﹣3kx+m，
联立方程，整理得（2k2+1）x2+4mkx+2m2﹣4＝0，
根据根与系数可得，可得，所以，
同理，
所以，
，
所以．由m＞0，x0＞0，可得k＞0，
所以，当且仅当6k，即时，取得等号，
所以，解得，
所以直线AB倾斜角的最小值为arctan．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是难题，
21．（18分）（2017 浦东新区校级三模）若定义在R上的函数y＝f（x）满足：对于任意实数x，y，总有f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y）恒成立，我们称f（x）为“类余弦型”函数．
（1）已知f（x）为“类余弦型”函数，且，求f（0）和f（2）的值；
（2）在（1）的条件下，定义数列an＝2f（n+1）﹣f（n）（n＝1，2，3…），求的值；
（3）若f（x）为“类余弦型”函数，且对于任意非零实数t，总有f（t）＞1，证明：函数f（x）为偶函数；设有理数x1，x2满足|x1|＜|x2|，判断f（x1）和f（x2）的大小关系，并证明你的结论．
【考点】抽象函数及其应用．
【专题】函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（1）令x＝1，y＝0计算f（0），再令x＝y＝1计算f（2）；
（2）判断{an}是等比数列，求出an的通项公式，代入计算即可；
（3）由t≠0时，f（t）＞1，则f（x+y）+f（x﹣y）＝f（x）f（y）＞2f（y），即f（x+y）﹣f（y）＞f（y）﹣f（x﹣y）令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[（k+1）x]﹣f（kx）＞f（kx）﹣f[（k﹣1）x]，再由递推即可得到对于k为正整数，总有f[（k+1）x]＞f（kx）成立，即有n＜m，则有f（nx）＜f（mx）成立，可设|x1|，|x2|，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，再由偶函数的结论和前面的结论，即可得到大小．
【解答】解：（1）令x＝1，y＝0，得f（1）+f（1）＝2f（1）f（0），∴f（0）＝1；
令x＝y＝1得f（2）+f（0）＝2f2（1），∴f（2）＝2f2（1）﹣f（0）．
（2）令x＝n+1，y＝1，得2f（n+1）f（1）＝f（n+2）+f（n）．
∴f（n+2）f（n+1）﹣f（n），
∴an+1＝2f（n+2）﹣f（n+1）＝2[f（n+1）﹣f（n）]﹣f（n+1）
＝4f（n+1）﹣2f（n）＝2[2f（n+1）﹣f（n）]＝2an（n≥1）．
又a1＝2f（2）﹣f（1）＝3
∴{an}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
所以an＝3 2n﹣1＝3 2n﹣1，∴log2log22n﹣1＝n﹣1，
∴{log2}是以0为首项，以1为公差的等差数列，
∴0+1+2+…+20162033136．
（3）令x＝0，得f（y）+f（﹣y）＝2f（0）f（y）＝2f（y），
∴f（﹣y）＝f（y），即f（﹣x）＝f（x），
∴f（x）是偶函数．
∵f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x）f（y），又∵t≠0时f（t）＞1，
∴2f（x）f（y）＞2f（y），即f（x+y）﹣f（y）＞f（y）﹣f（x﹣y）
∴令y＝kx（k为正整数），对任意的k为正整数，有f[（k+1）x]﹣f（kx）＞f（kx）﹣f[（k﹣1）x]，
则f[（k+1）x]﹣f（kx）＞f（kx）﹣f[（k﹣1）x]＞…＞f（x）﹣f（0）＞0
∴对于k为正整数，总有f[（k+1）x]＞f（kx）成立．
∴对于m，n为正整数，若n＜m，则有f（nx）＜f[（n+1）x]＜…＜f（mx）成立．
∵x1，x2为有理数，所以可设|x1|，|x2|，其中q1，q2是非负整数，p1，p2都是正整数，
则|x1|，|x2|，令x，t＝q1p2，s＝p1q2，则t，s为正整数．
∵|x1|＜|x2|，∴t＜s，∴f（tx）＜f（sx），即f（|x1|）＜f（|x2|）．
∵函数f（x）为偶函数，∴f（|x1|）＝f（x1），f（|x2|）＝f（x2），
∴f（x1）＜f（x2）．
【点评】本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，考查不等式的证明方法：递推法，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
4．抽象函数及其应用
【知识点的认识】
抽象函数是指没有给出函数的具体解析式，只给出了一些体现函数特征的式子的一类函数．由于抽象函数表现形式的抽象性，使得这类问题成为函数内容的难点之一．
【解题方法点拨】
①尽可能把抽象函数与我们数学的具体模型联系起来，如f（x+y）＝f（x）+f（y），它的原型就是y＝kx；
②可通过赋特殊值法使问题得以解决
例：f（xy）＝f（x）+f（y），求证f（1）＝f（﹣1）＝0
令x＝y＝1，则f（1）＝2f（1） f（1）＝0
令x＝y＝﹣1，同理可推出f（﹣1）＝0
③既然是函数，也可以运用相关的函数性质推断它的单调性；
【命题方向】抽象函数及其应用．
抽象函数是一个重点，也是一个难点，解题的主要方法也就是我上面提到的这两种．高考中一般以中档题和小题为主，要引起重视．
5．对数函数的图象与性质
【知识点归纳】
6．反函数
【知识点归纳】
【定义】一般地，设函数y＝f（x）（x∈A）的值域是C，根据这个函数中x，y 的关系，用y把x表示出，得到x＝g（y）．若对于y在中的任何一个值，通过x＝g（y），x在A中都有唯一的值和它对应，那么，x＝g（y）就表示y是自变量，x是因变量是y的函数，这样的函数y＝g（x）（y∈C）叫做函数y＝f（x）（x∈A）的反函数，记作y＝f（﹣1）（x） 反函数y＝f（﹣1）（x）的定义域、值域分别是函数y＝f（x）的值域、定义域．
【性质】
反函数其实就是y＝f（x）中，x和y互换了角色
（1）函数f（x）与他的反函数f﹣1（x）图象关于直线y＝x对称；函数及其反函数的图形关于直线y＝x对称
（2）函数存在反函数的重要条件是，函数的定义域与值域是一一映射；
（3）一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致；
（4）大部分偶函数不存在反函数（当函数y＝f（x），定义域是{0} 且 f（x）＝C （其中C是常数），则函数f（x）是偶函数且有反函数，其反函数的定义域是{C}，值域为{0} ）．奇函数不一定存在反函数，被与y轴垂直的直线截时能过2个及以上点即没有反函数．若一个奇函数存在反函数，则它的反函数也是奇函数．
（5）一切隐函数具有反函数；
（6）一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性；
（7）严格增（减）的函数一定有严格增（减）的反函数【反函数存在定理】；
（8）反函数是相互的且具有唯一性；
（9）定义域、值域相反对应法则互逆（三反）；
（10）原函数一旦确定，反函数即确定（三定）（在有反函数的情况下，即满足（2））．
7．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
11．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
12．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
13．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
14．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
15．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
16．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
17．两角和与差的三角函数
【知识点的认识】
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
18．三角函数的周期性
【知识点的认识】
周期性
①一般地，对于函数f（x），如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有f（x+T）＝f（x），那么函数f（x）就叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期．
②对于一个周期函数f（x），如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f（x）的最小正周期．
③函数y＝Asin（ωx+φ），x∈R及函数y＝Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T．
【解题方法点拨】
1．一点提醒
求函数y＝Asin（ωx+φ）的单调区间时，应注意ω的符号，只有当ω＞0时，才能把ωx+φ看作一个整体，代入y＝sin t的相应单调区间求解，否则将出现错误．
2．两类点
y＝sin x，x∈[0，2π]，y＝cos x，x∈[0，2π]的五点是：零点和极值点（最值点）．
3．求周期的三种方法
①利用周期函数的定义．f（x+T）＝f（x）
②利用公式：y＝Asin（ωx+φ）和y＝Acos（ωx+φ）的最小正周期为，y＝tan（ωx+φ）的最小正周期为．
③利用图象．图象重复的x的长度．
19．余弦函数的定义域和值域
三角函数的定义域和值域的规律方法
1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法．
（1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）；
（2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）；
（3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解．
20．圆的一般方程
【知识点的认识】
1．圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合（轨迹）叫做圆．定点叫做圆心，定长就是半径．
2．圆的一般方程：
x2+y2+Dx+Ey+F＝0（D2+E2﹣4F＞0）
其中圆心坐标为（，），半径r．
3．圆的一般方程的特点：
（1）x2和y2系数相同，且不等于0；
（2）没有xy这样的二次项．
以上两点是二元二次方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F＝0表示圆的必要非充分条件．
21．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
23．直线与椭圆的综合
v．
24．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
25．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
26．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
27．平面直角坐标系与曲线方程
【知识点的认识】
平面直角坐标系与曲线方程．
在直角坐标系中，如果曲线C上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实解有如下关系：
①曲线上的点的坐标都是这个方程的解；
②以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么，这条曲线叫做方程的曲线，这个方程叫做曲线的方程．
1．平面直角坐标系建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系．
（1）如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
（2）如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
（3）使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上．
2．求曲线方程的一般步骤：
（1）建立适当的坐标系，用（x，y）表示曲线上任意一点M的坐标
（2）写出适合条件P的点M的集合 P＝{M|p（M）}；
（3）用坐标表示条件p（M），列出方程 f（x，y）＝0
（4）化方程 f（x，y）＝0为最简形式
（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
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