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第13章 立体几何初步
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．如图，已知圆锥的母线长 ，一只蚂蚁从 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 的最短距离为 ，则该圆锥的底面半径为（ ）
A．1 B．2 C． D．
2．某正四棱锥的侧棱与底面所成的角为45°，则该正四棱锥的侧面与底面的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
3．在正方体 中，设直线 与直线AD所成的角为 ，直线 与平面 所成的角为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．已知 为球 的球面上两点，过弦 的平面截球 所得截面面积的最小值为 ，且 为等边三角形，则球 的表面积为（ ）
A．36π B．54π C．108π D．144π
5．已知圆台上、下底面的面积分别为π，4π，侧面积为6π，则这个圆台的体积为（ ）．
A．14π B． C． D．
6．已知在如图所示的等腰梯形ABCD中， ， ， ，用斜二测画法画出该梯形的直观图，则该梯形的直观图的面积为（ ）
A． B． C．2 D．
7．如图，已知扇环的内弧长为 ，外弧长为 ，扇环的宽为3，将该扇环卷成圆台，则该圆台的高为（ ）
A． B．3 C． D．
8．在四棱锥 中， 面 ，底面 为正方形，且 ，过点A作 的垂面分别交 ， ， 于点E，F，G，则四边形 的面积为（ ）
A． B． C． D．
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．已知 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，则（ ）
A．若 ， ，则
B．若 ， ，则
C．若 ， ，则
D． ， ， ，则
10．如图，已知正方体 的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ）
A．直线 与 为异面直线
B． 平面
C．
D．正方体 外接球体积为
11．已知圆台 上 下底面的半径分别为2和4，母线长为4.正四棱台上底面 的四个顶点在圆台上底面圆周上，下底面 的四个顶点在圆台下底面圆周上，则（ ）
A． 与底面所成的角为60°
B．二面角 小于60°
C．正四棱台 的外接球的表面积为
D．设圆台 的体积为 ，正四棱台 的体积为 ，则
12．如图所示，在正方体中，点F是棱上的一个动点，平面交棱于点E，则下列命题中正确的是（ ）
A．存在点F，使得平面
B．存在点F，使得平面
C．对于任意点F，四边形均为平行四边形
D．对于任意的点F，三棱锥的体积均不变
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．已知点A，B，C，D均在表面积为16π的球面上，且 ， ， 是边长为3的等边三角形，则四面体ABCD的体积为 .
14．已知四棱锥P﹣ABCD的顶点都在球O的球面上，底面ABCD是边长为2的正方形，且PA⊥平面ABCD.若四棱锥P﹣ABCD的体积为，则球O的表面积为 .
15．若一个正四棱台的上底面边长为2，下底面边长为4，侧棱长为3，则这个正四棱台的体积为 .
16．将边长为2的正方形ABCD沿对角线AC折起，使得BD=2，则四面体ABCD的外接球的半径为 ，四面体ABCD的内切球与外接球的球心距为 .
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．如图，在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形，且 ， ．
（1）求该直三棱柱的表面积；
（2）若把两个这样的直三棱柱拼成一个大棱柱，求大棱柱表面积的最小值，并求出此时大棱柱的外接球的直径
18．如图，四棱锥 的底面 是平行四边形， 底面 ， ，
（1）证明：AC⊥CD；
（2）若E是棱PC的中点，求直线AD与平面PCD所成的角
19．如图，平面四边形 ，其中 ．将 沿 折起，使 在面 上的投影即为 在线段 上，且 ， 为 中点，过 作平面 ，使 平行于平面 ，且平面 与直线 分别交于 ，与 交于 ．
（1）求 的值；
（2）求多面体 的体积．
20．如图1，在平行四边形ABCD中，AB＝2， ，∠ABC＝30°，AE⊥BC，垂足为E．以AE为折痕把△ABE折起，使点B到达点P的位置，且平面PAE与平面AECD所成的角为90°（如图2）．
（1）求证：PE⊥CD；
（2）若点F在线段PC上，且二面角F－AD－C的大小为30°，求三棱锥F－ACD的体积．
21．如图，三棱锥 中， ， ， ， ， 是 的中点，点 在线段 上.
（1）求证： ；
（2）若 平面 ， 求四棱锥 的体积.
(参考公式：锥体的体积公式 ，其中 是底面积， 是高.)
22．如图， 为圆锥的顶点， 为圆锥底面的圆心， 为底面直径， 为底面圆周上一点， ，四边形 为矩形.
（1）若点 在 上，且 平面 ，请确定点 的位置并说明理由；
（2）求二面角 的余弦值.
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第13章 立体几何初步
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】A
【解析】【解答】已知圆锥的侧面展开图为半径是3的扇形，如图
一只蚂蚁从 点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点 的最短距离为 ，则
由 ，所以 ，则
设底面半径为 ，扇形半径为 ，则 .所以 .
故答案为：A.
【分析】根据蚂蚁从点出发绕着圆锥侧面爬行一圈回到点的最短距离，结合圆锥的侧面展开图，求出展开图扇形的圆心角，根据弧长与底面圆的周长建立方程，求出底面半径.
2．【答案】D
【解析】【解答】如图， 是正四棱锥 的高，
设底面边长为 ，则底面积为 ，
因为正四棱锥的侧棱与底面所成的角为 ，
所以 ，又 ，所以 ，
所以 是正三角形，面积为 ，
所以 ，即正四棱锥的侧面与底面的面积之比为
故答案为：D.
【分析】设底面边长为，由线面角的定义可得侧棱长，然后分别求侧面的面积和底面的面积即可得解.
3．【答案】C
【解析】【解答】解：在正方体 中，
因为 ，所以直线 与直线AD所成的角 ，
因为 平面 ，所以 为 在平面 上的射影，
所以直线 与平面 所成的角 ，
又 平面 ，所以 ，
所以 ，即 ，
故答案为：C.
【分析】根据异面直线所成角及线面角的定义，可得直线与直线AD所成的角，直线与平面所成的角，从而即可求解.
4．【答案】D
【解析】【解答】过弦 的平面截球 所得截面面积的最小值为 ，
则以 为直径的截面面积为最小值，则 ，
为等边三角形，
球 的半径为6，
则球 的表面积为144π。
故答案为：D.
【分析】过弦 的平面截球 所得截面面积的最小值为 ，则以 为直径的截面面积为最小值，再利用圆的面积公式得出AB的长，再结合三角形 为等边三角形，进而得出球 的半径，再结合球的表面积公式得出球 的表面积。
5．【答案】C
【解析】【解答】依题意知圆台上底面半径为 ，下底面半径为 ，
如图所示圆台展开为一个圆环的一部分即ABCD，其小扇形弧长 ，
大扇形弧长 ， 由 知道 ，则圆台的侧面积 ，
所以高 ，
圆台的体积 。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合圆台的底面的面积公式和侧面积公式得出上、下底面圆的半径长和母线的长，再结合勾股定理得出圆台的高，再利用圆台的体积公式得出这个圆台的体积。
6．【答案】B
【解析】【解答】依题意， ， ， ，所以 ，可知等腰梯形ABCD的面积为 ，根据斜二测画法规则知，其直观图的面积为原图形面积的 ，所以该梯形的直观图的面积为 。
故答案为：B.
【分析】依题意， ， ， ，进而得出 的值 ，从而结合等腰梯形的面积公式得出等腰梯形ABCD的面积 ，根据斜二测画法规则知其直观图的面积为原图形面积，进而得出该梯形的直观图的面积。
7．【答案】A
【解析】【解答】设圆台的上下底面的半径分别为r，R，
则 ，所以 ，
，所以 ，
作出圆台的轴截面，设圆台的高为h，根据题意圆台的母线长为3，
所以 ，
即该圆台的高为 。
故答案为：A.
【分析】设圆台的上下底面的半径分别为r，R，再利用圆的面积公式得出R和r的值，作出圆台的轴截面，设圆台的高为h，根据题意得出圆台的母线长，再利用勾股定理得出h的值，从而得出该圆台的高。
8．【答案】B
【解析】【解答】根据题目中的条件可将四棱锥 补成正方体 ，
因为 平面 ，所以 ，又因为 ， ，
所以 平面 ，所以 ，同理 ，
因为 ，所以 平面 ，则 为 的中点， 为 的中点，
因为 ，且 平面 ，所以 为正三角形 的中心，
如图：
， ，
所以 ，
，
所以 ．
故答案为：B
【分析】将四棱锥 补成正方体 ，在等边三角形中可求出答案。
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．【答案】C,D
【解析】【解答】对于A，若 ， ，则 或 ，A不符合题意；
对于B，需要m垂直于平面 里的两条相交直线才可得到 ，B不符合题意；
对于C，若 ， ，则 ，C符合题意；
对于D，如图所示，过分 别作平面 ，平面 ，与平面 ，平面 分别交于直线 ，直线 ，
平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，
同理可证： ，所以 ，
因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，所以 ，
， ，所以 D符合题意。
故答案为：CD
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理、线线垂直的判断方法、线线平行的判断方法，进而找出正确的选项。
10．【答案】A,B
【解析】【解答】对于A，因为AD1平面ADD1A1 ，A1C1∩平面ADD1A1=A1，A1AD1 ，
所以直线A1C1与AD1为异面直线，所以A正确，
对于B，因为在正方体中，A1C1∥AC，A1C1平面ACD1 ，AC平面ACD1 ，所以A1C1∥平面ACD1，所以B正确，
对于C，连接A1B，则由正方体的性质可得△A1BC1为等边三角形，所以∠A1C1B=60° ，所以C错误，
对于D，因为正方体的棱长为2，所以其体对角线长为 ，所以正方体外接球的半径为 ，
所以正方体外接球体积为 ，所以D错误，
故选：AB
【分析】对于A，利用异面直线的定义判断即可，对于B，由线面平行的判定定理判断，对于C，连接A1B ，可得△A1BC1为等边三角形，从而可判断，对于D，正方体的体对角线的长等于其外接球的直径，从而可求出外接球的体积
11．【答案】A,C
【解析】【解答】如图，过 作 ，作出截面 的平面图，易知 为等腰梯形，且 为 中点，
易得 ， ，故 ，即圆台的高 ，
，即四棱台的上下底边长分别为 和 ，
选项A：易得 即为 与底面所成角，则 ，故 ，正确；
选项B：过 作 于 ，连接 ，由 ， ，故 面 ， 面 ，故 ，
即为二面角 的平面角， ， ，又 ，
故 ，即 ，B错误；
选项C：设外接球半径为 ，球心到下底距离为 ，在 的平面图中， 为球心，
则 ， ， ，故 ，
故表面积 ，正确；
选项D： ， ，显然 ，错误.
故答案为：AC.
【分析】根据圆台的结构特征，结合球的表面积、棱台的体积公式，逐项进行分析判断，可得答案。
12．【答案】A,C,D
【解析】【解答】对于A，当F为的中点时，则E也为的中点，，平面，
平面，平面，A为真命题；
对于B，因为平面，所以平面不可能，B为假命题；
对于C，由面面平行的性质，可知，因此四边形一定为平行四边形，C是真命题；
对于D，平面，所以点F到平面的距离为定值，三棱锥的体积为定值，D是真命题.
故答案为：ACD
【分析】利用已知条件结合线面平行的判定定理、平行四边形的定义、三棱锥的体积公式，进而找出真命题的选项。
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】
【解析】【解答】设该球的半径为 ，则 ，得 ，
依题意可将四面体补形为正三棱柱，如图：
则四面体ABCD与该正三棱柱共一个外接球，
设正三棱柱的上下底面中心为 、 ，则 的中点 是外接球的球心，
则 ，因为 是边长为 的正三角形，所以 ，
所以 ，所以 ，
所以四面体ABCD的体积为 .
故答案为：
【分析】根据球的表面积求出半径，将四面体补形为正三棱柱，则四面体ABCD与该正三棱柱共一个外接球，则正三棱柱的上下底面中心的连线段的中点为球心，通过勾股定理可求出四面体ABCD的高，根据体积公式可求出四面体ABCD的体积。
14．【答案】24π
【解析】【解答】由题意，画出示意图如图：
则正方形ABCD面积S=4，
∵ 四棱锥P﹣ABCD的体积，∴，
，，
球O的半径，
球O的表面积：。
故答案为：24π。
【分析】由题意，再结合正方形的面积公式得出正方形ABCD面积，再利用四棱锥的体积公式得出PA的长，再利用勾股定理得出PC的长，进而得出球O的半径长，再结合球的表面积公式得出球O的表面积。
15．【答案】
【解析】【解答】上底面的对角线长为，下底面的对角线长为，侧棱长为3，
所以正四棱台的高为，
正四棱台的体积为。
故答案为：。
【分析】利用上底面的对角线长为，下底面的对角线长为，侧棱长为3，再结合勾股定理得出正四棱台的高，再利用正四棱台的体积公式得出这个正四棱台的体积。
16．【答案】；
【解析】【解答】如图（1）（2），在四面体ABCD中，与是边长为2的等边三角形，与是斜边为的等腰直角三角形，设AC中点为
则，即为四面体的外接球球心，外接球．
设BD的中点为E，则，又
所以平面ACE，所以四面体ABCD关于平面ACE对称，同理，
所以四面体ABCD关于平面对称，从而其内切球的球心必在线段上，
设内切球的半径为r，中，，．
由等体积法，
即，得，
如图（3），作出截面，设内切球与平面ACD、平面ABC分别相切于点G、H，
由对称性知点G、H分别在线段、上，且，，
由，可知三角形为等腰直角三角形，从而是等腰直角三角形，所以．
故答案为：，.
【分析】根据翻折后得到四面体ABCD是由两个等边三角形和两个直角三角形组成，根据直线三角形斜边的中线定理得出四面体ABCD的外接球球心，再利用多面体内切球的半径得出四面体ABCD的内切球的半径，作出截面，利用对称性得为等腰直角三角形，进而得到是等腰直角三角形，从而可求出答案。
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．【答案】（1）解：在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形，且 ， ，
该几何体有5个面，两个底面的面积均为 ，
三个侧面面积之和为 ，
所以该直三棱柱的表面积为 ；
（2）解：设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为 ，
则组合后的直棱柱的表面积为 ，
所以当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的大棱柱的表面积最小，
又侧面 的面积最大，
此时拼得的大棱柱为长方体，其表面积最小，最小值为 ，
大棱柱为长方体，其外接球的直径即为长方体的体对角线，
所以外接球的直径长为 ．
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合在直三棱柱 中，底面是等腰直角三角形，且 ， ，再利用三角形的面积公式的和矩形的面积公式，再结合求和法得出该直三棱柱的表面积。
（2） 设两个这样的直三棱柱重合的面的面积为 ，则组合后的直棱柱的表面积为 ，所以当且仅当重合的面的面积最大时，拼得的大棱柱的表面积最小，再利用侧面 的面积最大，此时拼得的大棱柱为长方体，其表面积最小，再结合作差法和四边形的面积公式，进而得出其表面积的最小值，再利用大棱柱为长方体，其外接球的直径即为长方体的体对角线，从而利用勾股定理得出此时大棱柱的外接球的直径长。
18．【答案】（1）证明：因为 底面 ， 底面 ，所以 ，
因为 ，所以 ， ， 平面 ，
所以 平面 ，因为 平面 ，
所以 ．
（2）解：由（1） 平面 ， 平面 ，所以 ， ，
因为 ， 为 的中点，所以 ，因为 ， 平面 ，所以 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，因为 ，所以 ， ，所以 ，所以 ，因为 ，所以 ，即直线 与平面 所成的角为 ；
【解析】【分析】（1） 利用 底面 结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ，再利用 ，所以 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以直线 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2） 由（1）得出 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ， ，再利用 ， 为 的中点结合等腰三角形三线合一得出 ，再利用线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，所以 即为直线 与平面 所成的角，再利用 ，再结合勾股定理得出AD和PC的长，再利用中点的性质得出AE的长，再结合正弦函数的定义得出 的值 ，再利用线面角的取值范围，得出 ，进而得出的值 ，从而得出直线 与平面 所成的角。
19．【答案】（1）解：∵ 面 ，且 面 ，面 面 ，
∴ ，
过 做 ，交 于M．
得 ，而 ，
∴ ， ，即
∴ ．
（2）解：连接 与 ，
由题意知： ， 到面 的距离 ，而 ，且 ，
又△ 、△ 分别在 、 上的高均为 .
∴ ， ，则 .
∴ ，且 ，而 ，
∴综上： ．
【解析】【分析】（1）由线面平行的性质可得BC//DE，过A1做A1M//AB ，交PB于M，易得BD=2A1M ，AB=4A1M ，即可求 ；
（2）连接B1C与B1E ，可知 且 ，结合已知条件分别求出 、 ，即可求多面体 的体积．
20．【答案】（1）证明：∵平面PAE与平面AECD所成的角为90°，
∴平面 平面AECD，平面 平面 ，
又 ， 平面PAE，
∴ 平面AECD，
平面AECD，
∴ ．
（2）解：∵ 平面AECD，
∴ ， ，
又∵ ，
∴EA，EC，EP两两垂直，
以E为坐标原点，分别以EA，EC，EP为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系E-xyz，
Rt△ABE中， ， ，
∴ ， ，
则 ，
∴ ， ， ， ，
设 ，
∴ ，
∴ ，
设平面AFD的一个法向量为 ，
， ，
则 ，∴ ，
不妨设 ，则 ， ，
∴ ，
∵y轴⊥平面ACD，
∴平面ACD的一个法向量
∵二面角F-AD-C为30°，
∴ ，即 ，
∴ ，
∴ ，
∴F到平面AECD的距离 ，
，
∴ ．
【解析】【分析】（1）利用平面PAE与平面AECD所成的角为90°，得出平面 平面AECD，再利用 结合面面垂直的性质定理证出线面垂直，所以 平面AECD，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2）利用 平面AECD结合线面垂直的定义证出线线垂直，所以 ， ，再利用 ，所以EA，EC，EP两两垂直，以E为坐标原点，分别以EA，EC，EP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系E-xyz，从而得出点的坐标， 设 ， 再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积求向量夹角公式得出二面角F－AD－C的大小，再结合二面角F－AD－C的大小为30°，进而得出实数的值，再利用三棱锥的体积公式得出三棱锥F－ACD的体积。
21．【答案】（1）证明：∵ ， ， 平面 ， 平面 ， ，∴ 平面 .
又 平面 ，∴ .
（2）解：∵ 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，∴ .
又 为 的中点，∴ 为 的中点.
∴ .
∵ ， ，∴ .
∴ .
由(1)得 平面 ，
∴ 是四棱锥 的高.
∴ .
【解析】【分析】（1）利用 ， 结合线线垂直证出线面垂直，所以 平面 ，再利用线面垂直的定义证出线线垂直，从而证出 。
（2） 利用 平面 结合线面平行的性质定理证出线线平行，所以 ，再利用 为 的中点，得出 为 的中点，再结合三角形的面积结合作差法得出四边形APEF的面积，再利用 ， ，再结合三角形的面积公式得出 的值，进而得出 的值，由(1)得 平面 ，所以 是四棱锥 的高，再利用四棱锥的体积公式得出 的值。
22．【答案】（1）解：当点 的位置为 的中点时， 平面 .
证明： 取 的中点 ，连接
由 分别为 的中点，则 ，且 ，即
又四边形 为矩形，则 ，且
所以 ，且 ，故四边形 为平行四边形.
所以 ，又 平面 ， 平面
所以 平面
（2）解：由 为底面直径， 为底面圆周上一点，则
四边形 为矩形，则
根据题意 为圆锥的高，则 平面 ，所以 平面
由 平面 ，则 ，且
所以 平面 ， 平面
所以
设 ，连接
由 且 为 的中点，则 为 的中点，所以
所以
在圆锥中， ，所以
所以 为二面角 的平面角.
，
则 ，
所以
【解析】【分析】（1） 取 的中点 ，连接 ，即可推出，，再由四边形 为矩形，得出且，推出四边形为平行四边形，由推出平面 ；
（2）由已知条件可得，， 根据题意 为圆锥的高 ，得 平面 ，由平面 ，则 的得 平面 ，从而得证， 设 ，连接 ，即可推出，为二面角 的平面角，利用余弦定理即可求得二面角 的余弦值.
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