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第14章 统计
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．某区创建全国文明城市指挥部办公室对所辖街道当月文明城市创建工作进行考评，工作人员在本区选取了甲，乙两个街道，并在这两个街道各随机抽取10个实地点位进行现场测评，下面的茎叶图是两个街道的测评分数（满分100分），下列说法正确的是（ ）
A．甲，乙两个街道的测评分数的极差相等
B．甲，乙两个街道的测评分数的平均数相等
C．街道乙的测评分数的众数为87
D．甲、乙两个街道测评分数的中位数中，乙的中位数比较大
2．某高中学校开展学生对宿舍管理员满意度的调查活动，已知该校高一年级有学生1100人，高二年级有学生1000人，高三年级有学生900人.现从全校学生中用分层抽样的方法抽取60人进行调查，则抽取的高一年级学生人数为（ ）
A．18 B．20 C．22 D．30
3．一个公司有8名员工，其中6位员工的月工资分别为6200、6300、6500、7100、7500、7600，另两位员工的月工资数据不清楚，那么8位员工月工资的中位数不可能是（ ）
A．6800 B．7000 C．7200 D．7400
4．已知10个数据： ，则这组数据第40百分位数是（ ）
A．8.5 B．8 C．7.5 D．7
5．一组数据按从小到大排列为2，3，3，x，7，10，若这组数据的平均数是中位数的 倍，则下列说法错误的是（ ）
A． B．众数为3 C．中位数为4 D．方差为
6．央视热播剧《人世间》，描述了50年蜿蜒曲折中国家的发展和老百姓生活的磅礴变迁，其中良好家风的传承及流淌在人与人之间的良善真义，深深打动并温暖了观众之心，堪称一部当代中国的影像心灵史诗．某高中社团调查了100名观众，将这100名观众对该剧的评分绘制成了如图所示的频率分布直方图，则评分的中位数约为（ ）
A．8.15 B．8.24 C．8.33 D．8.42
7．某校为了解学生体能素质，随机抽取了50名学生，进行体能测试.并将这50名学生成绩整理得如下频率分布直方图.根据此频率分布直方图.下列结论中不正确的是（ ）
A．这50名学生中成绩在内的人数占比为20%
B．这50名学生中成绩在内的人数有26人
C．这50名学生成绩的中位数为70
D．这50名学生的平均成绩（同一组中的数据用该组区间的中点值做代表）
8．深圳是一座志愿者之城、爱心之城．深圳市卫健委为了解防疫期间志愿者的服务时长（单位：小时），对参加过防疫的志愿者随机抽样调查，将样本中个体的服务时长进行整理，得到如图所示的频率分布直方图．据此估计，7.2万名参加过防疫的志愿者中服务时长超过32小时的约有（ ）
A．3.3万人 B．3.4万人 C．3.8万人 D．3.9万人
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．甲、乙两班举行电脑汉字录入比赛，参赛学生每分钟录入汉字的个数经统计计算后填入下表，某同学根据表中数据分析得出的结论正确的是（ ）
班级 参加人数 中位数 方差 平均数
甲 55 149 191 135
乙 55 151 110 135
A．甲、乙两班学生成绩的平均数相同
B．甲班的成绩波动比乙班的成绩波动大
C．乙班优秀的人数多于甲班优秀的人数（每分钟输入汉字数≥150个为优秀）
D．甲班成绩的众数小于乙班成绩的众数
10．为了提高全市市民的疫情防控意识，某市抽取了名市民进行常态化防控知识问卷调查，根据问卷得分制成的频率分布直方图如图所示，问卷得分分组区间是，，，，，根据图中信息，下列说法正确的是（ ）
A．图中的值为0.01
B．得分在80分及以上的人数为250
C．这组数据的极差为50
D．这组数据中位数的估计值（精确到0.1）为71.7
11．某学校组建了合唱 朗诵 脱口秀 舞蹈 太极拳五个社团，该校共有2000名同学，每名同学依据自己兴趣爱好最多可参加其中一个，各个社团的人数比例的饼状图如图所示，其中参加朗诵社团的同学有8名，参加太极拳社团的有12名，则（ ）
A．这五个社团的总人数为100
B．脱口秀社团的人数占五个社团总人数的20%
C．这五个社团总人数占该校学生人数的4%
D．从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为40%
12．如图是国家统计局于2021年3月10日发布的2020年2月到2021年2月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图，其中同比是指本期与同期作对比，如2020年10月与2019年10月相比；环比是指本期与上期作对比，如2020年12月与2020年11月相比.下列关于“居民消费价格涨跌幅”图表的理解，正确的选项是（ ）
注：，
A．2020年10月，全国居民消费价格同比下降
B．2020年11月，全国居民消费价格环比下降
C．2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅最高
D．2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．3月12日是植树节，某地组织青年志愿者进行植树活动，植树的树种及其数量的折线图，如图所示．后期，该地区农业局根据树种采用分层抽样的方法抽取150棵树，请专业人士查看树种的成活情况，则被抽取的梧桐树的棵数为 ．
14．如图是调查某学校高一年级男、女学生是否喜欢徒步运动而得到的等高条形图，阴影部分表示喜欢徒步的频率.已知该年级男生500人、女生400名（假设所有学生都参加了调查），现从所有喜欢徒步的学生中按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为 ．
15．某高中学校为了促进学生个体的全面发展，针对学生发展要求，开设了富有地方特色的“泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团的学生共有800人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表：
高一年级 高二年级 高三年级
泥塑
剪纸
其中 ，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，为了了解学生对两个社团活动的满意程度，从中抽取一个50人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取的人数 ．
16．样本容量为200的频率分布直方图如图所示，根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在[6，10)内的频数为 ，样本数据落在[2，10)内的频率约为 .
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．某高校从大三学生中随机抽取100名小语种学生，将其参加考试的小语种成绩（均为整数）分成六组 后，得到如图频率分布直方图，已知 ．
（1）求 ， 的值；
（2）根据频率分布直方图，估计样本中100名大三小语种学生的小语种成绩的众数、中位数（结果保留到0.1）．
18．我国是一个水资源严重缺乏的国家，2021年全国约有60％的城市供水不足，严重缺水的城市高达16.4％．某市政府为了减少水资源的浪费，计划通过阶梯式水价制度鼓励居民节约用水，即确定一户居民月均用水量标准x（单位：t），用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费．现通过简单随机抽样获得了100户居民用户的月均用水量数据（单位：t），并将数据按照，，…，分成5组，制成了如下频率分布直方图．
（1）设该市共有20万户居民用户，试估计全市居民用户月均用水量不高于12（t）的用户数；
（2）若该市政府希望使85％的居民用户月均用水量不超过标准x（t），试估计x的值（精确到0.01）；
（3）假设该市最终确定三级阶梯价制如下：
级差 水量基数x（单位：t） 水费价格（元/t）
第一阶梯 1.4
第二阶梯 2.1
第三阶梯 2.8
小明家上个月需支付水费共28元，试求小明家上个月的用水量．
19．某学校为了对该校老师的思想道德进行教育指导，对该校120名老师进行考试，并将考试的分值（百分制）按照[50，60），[60，70），…，[90，100]分成5组，制成如图所示频率分布直方图．已知a，b，c成等差数列，分值在[90，100]的人数为12．
（1）求图中a，b，c的值；
（2）若思想道德分值的平均数、中位数均超过75，则认为该学校老师思想道德良好，试判断该学校老师的思想道德是否良好．
20．从某城市抽取100户居民进行月用电量调查，发现他们的用电量都在50到350度之间，将数据按照 分成6组，画出的频率分布直方图如下图所示.
（1）求直方图中的 值和月平均用电量的众数；
（2）已知该市有200万户居民，估计居民中用电量落在区间 内的总户数，并说明理由.
21．为了了解高二段1000名学生的一周课外活动情况，随机抽取了若干学生的一周课外活动时间，时间全部介于10分钟与110分钟之间，将课外活动时间按如下方式分成五组：第一组 ，第二组 ，…，第五组 ．按上述分组方法得到的频率分布直方图如图所示，已知图中从左到右前3个组的频率之比为3∶8∶19，且第二组的频数为8．
（1）求第一组数据的频率并计算调查中随机抽取了多少名学生的一周课外活动时间；
（2）求这组数据的平均数．
22．为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项可供选择（ ）
A．1.5小时以上 B．1~1.5小时 C．0.5~1小时 D．0.5小时以下
下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题.
（1）求本次一共调查了多少名学生，并在图①中将选项对应的部分补充完整；
（2）采用分层抽样的方法在组和组中共抽取8人，求组，组各抽取的人数；
（3）在（2）中抽取的8人中采用简单随机抽样的方法抽取2人，求这2人中至少有1人来自组的概率.
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第14章 统计
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】D
【解析】【解答】街道甲的测评分数的极差是，街道乙的测评分数的的极差是，两者不相等，A不符合题意；
街道甲的测评分数的平均数为 ，街道乙的测评分数的平均数为，B不符合题意；
街道乙的测评分数的众数为81，C不符合题意；
街道甲的测评分数的中位数为，街道乙的测评分数的中位数为，D符合题意，
故答案为：D．
【分析】利用已知条件结合茎叶图中的数据，再结合极差公式、平均数公式、众数公式、中位数公式，进而找出说法正确的选项。
2．【答案】C
【解析】【解答】该校高一年级学生、高二年级学生、高三年级学生之比为，
所以抽取的高一年级学生人数为。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合分层抽样的方法，进而求出抽取的高一年级学生人数。
3．【答案】D
【解析】【解答】∵一个公司有8名员工，其中6名员工的月工资分别为6200，6300，6500，7100，7500，7600，
∴当另外两名员工的工资都小于6300时，中位数为(6300+6500)÷2=6400，
当另外两名员工的工资都大于7500时，中位数为(7100+7500)÷2=7300，
∴8位员工月工资的中位数的取值区间为[6400，7300]，
∴8位员工月工资的中位数不可能是7400.
故答案为：D.
【分析】根据中位数的定义，由已知数据确定中位数的范围，由此可得答案。
4．【答案】C
【解析】【解答】解：因为从小到大排列为4，5，6，7，8，8.5，9，10，11，11.5，共10个数据，10×40%=4 ，
所以这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，即 .
故选：C
【分析】将数据从小到大排列，计算10×40%=4，这组数据的第40百分位数是第4项与第5项数据的平均数，由此计算可得选项.
5．【答案】D
【解析】【解答】这组数据的平均数为 ，而中位数为 ，
故 ，解得 ，A正确，不符合题意，
此时该组数据的众数为3，B正确，不符合题意，
而中位数为 ，C正确，不符合题意，
方差为 ，
D错误，符合题意，
故答案为：D.
【分析】 由一组数据的平均数是中位数的 倍，列方程求出x=5，由此求出众数、中位数、方差，从而能求出答案.
6．【答案】C
【解析】【解答】根据直方图可得，前4个矩形块的面积为：
，于是中位数必然落在区间上，设中位数为，则，解得.
故答案为：C.
【分析】中位数即估计频率在0.5处的数值，据此计算即可得出答案。
7．【答案】C
【解析】【解答】根据此频率分布直方图，成绩在内的频率为，所以A符合题意；
这50名学生中成绩在内的人数为所以B符合题意；
根据此频率分布直方图，，，
可得这50名学生成绩的中位数，所以C不符合题意﹔
根据频率分布直方图的平均数的计算公式，可得：所以D符合题意.
故答案为：C.
【分析】对于A，结合频率与频数的关系，即可求解；对于B，这50名学生中成绩在[40, 60)内的频率为0.2 + 0.08 = 0.28，即可求解；对于C，结合中位数的公式，即可求解；对于D，结合平均数公式，即可求解.
8．【答案】A
【解析】【解答】依题意样本中服务时长超过32小时的个体频率为；
由样本估计总体，可得总体中服务时长超过32小时的个体数为（万人）；
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的频率等于各小组的矩形的面积，再结合对立事件求概率公式得出样本中服务时长超过32小时的个体频率，再利用频数等于频率乘以样本容量，进而得出总体中服务时长超过32小时的个体数。
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．【答案】A,B,C
【解析】【解答】甲、乙两班学生成绩的平均数都是35，故两班成绩的平均数相同，A符合题意； ，甲班成绩不如乙班稳定，即甲班的成绩波动较大，B符合题意.
甲、乙两班人数相同，但甲班的中位数为149，乙班的中位数为151，从而易知乙班不少于150个的人数要多于甲班，C符合题意；由题表看不出两班学生成绩的众数，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】根据图表直接计算平均数、方差和众数与甲、乙两班学生每分钟输入汉字数 ≥150 个的人数分析即可得答案。
10．【答案】B,D
【解析】【解答】A选项，因为，解得，A不符合题意；
B选项，得分在80分及以上的人数为，则B符合题意；
C选项，因为这组数据的最大值与最小值无法确定，所以C不符合题意；
D选项，由，，所以中位数，
所以，解得，所以D符合题意，
故答案为：BD.
【分析】利用频率分布直方图的性质直接逐项求解.
11．【答案】B,C
【解析】【解答】由于参加朗诵社团的同学有8名，该社团人数占比为 ，
故社团总人数为80人，A不符合题意；
合唱团人数为 ，舞蹈社团人数为人，
故脱口秀社团的人数为 ，
故脱口秀社团的人数占五个社团总人数的，B符合题意；
五个社团总人数占该校学生人数的 ，C符合题意；
脱口秀社团人数占五个社团总人数的20%，
舞蹈社团的人数占五个社团总人数的 ，因此这两个社团人数占五个社团总人数的45%，
故从这五个社团中任选一人，其来自脱口秀社团或舞蹈社团的概率为45%，D不符合题意，
故答案为：BC
【分析】根据题意由已知图表中的数据，结合题意对选项逐一判断即可得出答案。
12．【答案】B,C,D
【解析】【解答】从图中可以看出2020年10月，全国居民消费价格同比为，故全国居民消费价格同比上升，A不符合题意；
2020年11月，全国居民消费价格环比为，故全国居民消费价格环比下降，B符合题意；
2020年2月至2021年2月，全国居民消费价格环比在2021年1月涨幅为1.0，最高，C符合题意；
设2019年4月的全国居民消费价格为，则2020年4月的全国居民消费价格为，则2020年5月的全国居民消费价格为，故2019年5月的全国居民消费价格为，而，故2020年4月的全国居民消费价格高于2019年5月的全国居民消费价格，D符合题意.
故答案为：BCD
【分析】利用已知的折线图中的数据，以及折线图的性质由此对选项逐一判断即可得出答案。
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】10
【解析】【解答】由分层抽样法，被抽取的梧桐树的棵数为： ．
故答案为：10．
【分析】利用分层抽样法即可求出被抽取的梧桐树的棵数．
14．【答案】15
【解析】【解答】根据等高条形图可知： 喜欢徒步的男生人数为，喜欢徒步的女生人数为，
所以喜欢徒步的总人数为，
按分层抽样的方法抽取23人，则抽取的男生人数为人。
故答案为：15。
【分析】利用条形图中的数据，再结合分层抽样的方法，进而得出抽取的男生的人数。
15．【答案】6
【解析】【解答】解：因为“泥塑’社团的人数占总人数的 ，故“剪纸"社团的人数占总人数的 ，
所以“剪纸"社团的人数为,，
因为“剪纸社 团中高二年级人数比例为，
所以“剪纸’社团中高二年级人数为320×= 96，
由题意知,抽样比为，
所以从高二年级“剪纸'社团中抽取的人数为96×= 6.
故答案为：6
【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解.
16．【答案】64；0.4
【解析】【解答】由于组距为4，因此在[6，10)内的频率为0.08×4＝0.32，其频数为0.32×200＝64，落在[2，10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4.
【分析】由图可知，组距为4，根据先计算频率再计算频数即可；根据图计算落在[2，10)内的频率即可.
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．【答案】（1）解：由题意，
解得
（2）解：由频率分布直方图可知众数为75分．
由（1）知 ，
因为前3组的频率和为 ，前4组的频率和为 ，
所以中位数在 内，
设中位数为 分，则有 ，
解得 ，所以中位数为73.3分
所以样本中100名大三小语种学生的小语种成绩的众数为75分，中位数为73.3分．
【解析】【分析】 （1）由频率分布直方图 可求得 ， 的值；
（2） 根据频率分布直方图，计算样本大三小语种学生的小语种成绩的众数、中位数即可.
18．【答案】（1）解：由频率分布直方图可得，
解得．
居民用户月均用水量不超过的频率为，
所以估计全市20万居民用户中月均用水量不高于的用户数为：（万）．
（2）解：由频率分布直方图知，居民用户月均用水量不超过的频率为：0.80．
月均用水量不超过的频率为0.92．
则85％的居民用户月均用水量不超过的标准，
故．
解得，即x的值为．
（3）解：因为．
所以小明家上个月的用水量达到第二阶梯收费．
设小明家上个月的用水量为，由．
得，所以小明家上个月的用水量为．
【解析】【分析】(1)由频率分布直方图中的数据以及性质计算出a的取值，在意频率的定义计算出结果即可。
(2)由频率的定义结合已知的公式，代入数值计算出结果即可。
(3)根据题意由已知条件结合阶梯水费的定义，计算出结果即可。
19．【答案】（1）解：因为分值在[90，100]的人数为12，
所以[90，100]的频率为，所以．
因为a，b，c成等差数列．所以，
又，
所以，
解得，．
（2）解：这组数据的平均数为，
这组数据的中位数m满足，
解得，
所以该学校老师思想道德良好．
【解析】【分析】(1)根据a, b, c成等差数列，可得a+c= 2b，再结合各个小矩形面积之和为1，即可求出 a，b，c的值；
(2)每组的区间中点值乘以该组的频率，依次相加即可求出平均值的估计值，利用中位数左侧的面积之和为0.5,可求出中位数的估计值.
20．【答案】（1）解：根据频率和为1，可知 ，计算得 .
由图可知，最高矩形的数据组为 ，所以众数为 度.
（2）解：由频率分布直方图知：用电量落在区间 内的频率为
，
所以用电量落在区间 内的总户数为 万户.
【解析】【分析】(1)由频率分布直方图列方程能求出值和月平均用电量的众数；
(2)根据频率分布直方图求出用电量落在区间[100, 250)内的频率，由此能估计用电量落在区间[100, 250)内的户数.
21．【答案】（1）解：设图中从左到右前3个组的频率分别为3x，8x，19x．
依题意，得
所以 ．所以第一组数据的频率为 ，
设调查中随机抽取了n名学生的课外活动时间，则 ，得 ，
所以调查中随机抽取了50名学生的课外活动时间．
（2）解：由题意，这组数据的平均数 (分钟)．
【解析】【分析】(1)根据直方图的性质，结合频率的定义求解即可；
(2)根据直方图的性质，结合平均数的解法求解即可.
22．【答案】（1）由题图①知，选的人数为，而图②显示，选的人数占总人数的，故本次调查的总人数为.由题图②知，选的人数占总人数的，因此其人数为.
图①补充如图所示
（2）由图②可知，组与组的比值为，所以组人，组人.
（3）设组抽取的人为，组抽取的人为，则抽取的8人中采用简单随机抽样的方法抽取2人的所有情况为，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共种情况；其中这2人中至少有1人来自组的情况为，，，，，，，，，，，，，共13种情况，所以所求概率为.
【解析】【分析】(1) 由题图①知，选的人数为，而图②显示，选的人数占总人数的， 由此能求出本次一共调查学生数， 由题图②知，求出选的人数，由此能补充完整的条形统计图 ；
(2) 由图②可知，组与组的比值为 ，由此可求出 组，组各抽取的人数；
(3)利用列举法即可求出这2人中至少有1人来自组的概率.
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