2022高考数学终极押题密卷（天津卷）（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022高考数学终极押题密卷（天津卷）（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 510.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 09:54:54 | ||
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文档简介
2022高考数学终极押题密卷3（天津卷）
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）已知集合，则A∪B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．（0，+∞） D．[0，+∞）
2．（5分）（2022 天津模拟）设p：x＞0，q：2x＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）函数y的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）（2021春 河北区期末）某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），将所得数据分为5组．[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，并整理得到如图频率分布直方图．则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
5．（5分）（2021秋 南开区期末）设a＝log32，b＝ln2，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
6．（5分）（2020秋 凉州区期末）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（ ）
A．1：3 B．1：（1） C．1：9 D．：2
7．（5分）（2014 和平区二模）已知3x＝5y＝a，且2，则a的值为（ ）
A． B．15 C．± D．225
8．（5分）（2022 天津模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），斜率为k且过F1的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若|F2A|＝|F2B|，（表示△AF1F2的面积），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
9．（5分）（2022 天津模拟）已知函数若函数y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有4个零点，分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）（2022 天津模拟）复数 ．
11．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）二项式的展开式中常数项为，则a＝ ．
12．（5分）（2019 和平区二模）过点P（3，﹣4）作圆C：x2+y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则点P到直线AB的距离为 ．
13．（5分）（2021 南开区二模）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+4b2的最小值是 ．
14．（5分）（2020 天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
15．（5分）（2022 天津模拟）在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝3，CD＝6，AD＝2，点E是线段AD上一点，且，，则cos∠ADC＝ ，若点P为线段AB上的动点，则的取值范围为 ．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）（2021 和平区二模）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB＝1，a，b＝3．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）求cos（2A﹣B）；
（Ⅲ）求c的长．
17．（15分）（2022 天津模拟）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P为棱DF的中点．
（1）求证：BF∥平面APC；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值．
18．（15分）（2021 天津二模）已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．
19．（15分）（2021 天津模拟）已知数列{an}的各项均不为零，设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Sn2﹣4Sn+Tn＝0（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值；
（2）设bn＝（2n﹣1）2n，求数列{bn}前n项和Bn；
（3）证明：数列{an}是等比数列．
20．（16分）（2020 滨海新区模拟）设函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝ex﹣1．
（Ⅰ）求函数g（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求证：方程f（x）＝g（x）有一个实数根；
（Ⅲ）求证：．
2022高考数学终极押题密卷3（天津卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）已知集合，则A∪B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．（0，+∞） D．[0，+∞）
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：B＝{x|y}＝{x|x＞0}，A＝{0，1，2}，
则A∪B＝[0，+∞），
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）（2022 天津模拟）设p：x＞0，q：2x＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；方程思想；定义法；简易逻辑．
【分析】q p，但p不能推导出q，从而p是q的必要不充分条件
【解答】解：∵p：x＞0，
q：2x＞2，即x＞1，
∴q p，但p不能推导出q，
∴p是q的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）函数y的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先判断函数的奇偶性，再看函数的变化趋势．
【解答】解：函数的定义域为R，
∵f（﹣x）f（x），
∴函数y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD，
当x→+∞时，y＝f（x）→0，故排除B．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值得变化趋势是关键，属于基础题．
4．（5分）（2021春 河北区期末）某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），将所得数据分为5组．[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，并整理得到如图频率分布直方图．则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
【考点】频率分布直方图．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算；数据分析．
【分析】先求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，再求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数．
【解答】解：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：
（0.16+0.08+0.04）×2.5＝0.7，
∴这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140．
故选：D．
【点评】本题考查频率的求法，频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）（2021秋 南开区期末）设a＝log32，b＝ln2，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵a＝log32，且ln3＞1，
∴，即a＜b，
又∵clog32，即c＜a，
∴c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
6．（5分）（2020秋 凉州区期末）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（ ）
A．1：3 B．1：（1） C．1：9 D．：2
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去的小圆锥与大圆锥为相似体，结合截面面积与底面面积的比是1：3，求出相似比，可得答案．
【解答】解：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去的小圆锥与大圆锥为相似体，
∵截面面积与底面面积的比是1：3，
故小圆锥和大圆锥的相似比为：1：，
故小圆锥和大圆锥的母线长比为：1：，
故小圆锥和所得圆台的母线长比为：1：（1），
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是圆台与圆锥，熟练掌握圆台的几何特征，将问题转化为相似问题，是解答的关键．
7．（5分）（2014 和平区二模）已知3x＝5y＝a，且2，则a的值为（ ）
A． B．15 C．± D．225
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵3x＝5y＝a，
∴xlg3＝ylg5＝lga，
∴，，
∴2，
∴lga2＝lg15，
∵a＞0，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题．
8．（5分）（2022 天津模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），斜率为k且过F1的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若|F2A|＝|F2B|，（表示△AF1F2的面积），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用点差法可得，列方程可得a，b关系，由此可求离心率．
【解答】解：直线斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），AB中点M（x0，y0），
当M在x轴上方时，由，得，则，
因为|F2A|＝|F2B|，所以F2M⊥F1M，故△F1MF2为直角三角形，O为F1F2的中点，
所以，所以．
由得，即．
当时，，，
，所以，所以．
当时，，，
，矛盾，舍去，
当M在x轴下方时，同理可求得．
综上所述．
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解，点差法的应用等知识，属于中等题．
9．（5分）（2022 天津模拟）已知函数若函数y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有4个零点，分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】作出函数f（x）的图象，利用数形结合法即可求解结论．
【解答】解：函数作出f（x）的图象如图所示，
因为x1＜x2＜x3＜x4，
当0＜x＜4时，f（x）＝|log2x|与y＝a的交点横坐标为x1，x2，
所以|log2x1|＝|log2x2|，即log2x1＝﹣log2x2，
所以x1x2＝1；且0＜x1＜1＜x2＜4，
当4≤x≤10时，f（x）＝2sin（x）与y＝a交点的横坐标为x3，x4，
又f（x）＝2sin（x）的对称轴方程为x＝3k+4，k∈Z，
所以x3，x4关于直线x＝7对称，
故x3+x4＝14，
则x1+x2+x3+x4＝14+x2，
根据对勾函数的单调性可得14+x2∈（14+1+1，14+4），
所以x1+x2+x3+x4，的取值范围为（16，）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）（2022 天津模拟）复数 2+i ．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：2+i．
故答案为：2+i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）二项式的展开式中常数项为，则a＝ ±1 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，建立方程即可求解．
【解答】解：展开式的通项公式为T（）r＝C，r＝0，1，2，3，4，5，6，
令12﹣3r＝0，解得r＝4，
所以展开式的常数项为C，解得a＝±1，
故答案为：±1．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12．（5分）（2019 和平区二模）过点P（3，﹣4）作圆C：x2+y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则点P到直线AB的距离为 ．
【考点】圆的切线方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆．
【分析】写出以P（3，﹣4）、C（0，0）为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立可得公共弦AB得方程，再由点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：圆C：x2+y2＝9的圆心为C（0，0），半径为3，
以P（3，﹣4）、C（0，0）为直径的圆的方程为（x）2+（y+2）2，
即x2+y2﹣3x+4y＝0，
将两圆的方程相减可得公共弦AB的方3x﹣4y﹣9＝0，
∴点P到直线AB的距离为d．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
13．（5分）（2021 南开区二模）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+4b2的最小值是 ．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】令ab＝t，由a+2b＝1得t 的范围，把所求代数式转化为关于t的表达式，再用函数解决．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴1＝a+2b≥2，∴ab．
令ab＝t，则t∈（0，]，∴a2+4b2＝1﹣4t，
∴a2+4b21﹣4t．
令f（t）＝1﹣4t，0＜t．
可知函数f（t）在（0，]是减函数，
∴f（）≤f（t）＜f（0），
解得：f（t）．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式应用、函数思想，考查数学运算能力，属于中档题．
14．（5分）（2020 天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式计算即可．
【解答】解：设“甲球落入盒子”为事件A，“乙球落入盒子”为事件B，
由题意可知事件A与事件B相互独立，且P（A），P（B），
则甲、乙两球都落入盒子的概率为P（AB）＝P（A）P（B），
事件“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件为“甲、乙两球都没有落入盒子”
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
1﹣P（）＝1﹣P（）P（）＝1﹣（1﹣P（A））（1﹣P（B））＝1﹣（1）（1）＝1，
故答案为：，．
【点评】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）（2022 天津模拟）在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝3，CD＝6，AD＝2，点E是线段AD上一点，且，，则cos∠ADC＝ ，若点P为线段AB上的动点，则的取值范围为 [，1]． ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】选择、为基底，由向量的线性运算及数量积运算可求得cos∠ADC的值；设k，0≤k≤1，由向量的线性运算将与用基底表示，再利用向量的数量积及二次函数的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，
四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝3，CD＝6，AD＝2，，
选择、为基底，则，
，
所以 （） （） 42×6×cos∠ADC36，
解得cos∠ADC，
若点P为线段AB上的动点，则设k，0≤k≤1，
则，
（1），
||||cos∠ADC＝2×63，
所以 [（1）] （）
2+（k﹣1） （1）2
＝4+3（k﹣1）+36 （1）
＝9k2﹣15k+1，0≤k≤1，
对称轴为k，
所以当k时， 取得最小值为，
当k＝0时， 取得最大值为1，
所以 的取值范围是[，1]．
故答案为：；[，1]．
【点评】本题主要考查向量的线性运算及数量积运算，考查转化思想与函数思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）（2021 和平区二模）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB＝1，a，b＝3．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）求cos（2A﹣B）；
（Ⅲ）求c的长．
【考点】正弦定理；二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（Ⅰ）由tanB＝1，结合范围B∈（0，π），可得B，由正弦定理可得sinA的值．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而根据两角差的余弦公式即可求解cos（2A﹣B）的值．
（Ⅲ）由题意利用两角和的正弦公式可求sinC的值，进而根据正弦定理可求c的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为tanB＝1，a，b＝3，
所以由B∈（0，π），可得B，
所以由正弦定理，可得sinA．
（Ⅱ）因为sinA，a＜b，可得A为锐角，
所以cosA，可得sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1，
所以cos（2A﹣B）＝cos2AcosB+sin2AsinB．
（Ⅲ）因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以由，可得c1+2．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦公式，两角和的正弦公式等知识的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17．（15分）（2022 天津模拟）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P为棱DF的中点．
（1）求证：BF∥平面APC；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．
【专题】转化思想；向量法；立体几何；直观想象；数学运算．
【分析】（1）只要证明BF平行于平面ACP内直线PO即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，连接OP，
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点，
因为点P为棱DF的中点，所以BF∥OP，
因为OP 平面APC，BF 平面APC，
所以BF∥平面APC．
（2）解：因为四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，所以AB、AD、AF两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
D（0，2，0），E（，0，1），B（1，0，0），F（0，0，1），C（1，2，0），
（0，2，0），（﹣1，0，1），（，﹣2，1），
令（1，0，1），
因为，，
所以（1，0，1）是平面BCF的法向量，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值为．
（3）解：因为P（0，1，），再由（2）知（0，1，），（1，2，0），
设平面ACP的法向量为（x，y，z），
，令y＝﹣1，（2，﹣1，2），
因为平面ACP与平面BCF的夹角是锐角，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．
18．（15分）（2021 天津二模）已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（Ⅰ）判断当M为椭圆的短轴端点时，取得最大值，结合椭圆的离心率，求解a，b，得到椭圆方程．（Ⅱ）设直线，B（x0，y0），联立，得，求出B、C坐标，然后求解AC方程，利用向量的数量积转化求解k，得到直线方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）当M为椭圆的短轴端点时，取得最大值，
即，
又因为，a2＝b2+c2，
解得：，b＝1，c＝1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ），根据题意，直线l斜率存在且不为0，
设直线，B（x0，y0），
联立，
得，，
即，
由题意得：，，
所以直线，令x＝0，则，
，
即8k4+18k2﹣5＝0，
解得：（舍），
所以：，
直线或．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（15分）（2021 天津模拟）已知数列{an}的各项均不为零，设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Sn2﹣4Sn+Tn＝0（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值；
（2）设bn＝（2n﹣1）2n，求数列{bn}前n项和Bn；
（3）证明：数列{an}是等比数列．
【考点】数列的求和．
【专题】综合题；对应思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，令n＝1，可得a1＝1，令n＝2，得a2；
（2）利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn；
（3）由3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，得3Sn+12﹣4Sn+1+Tn+1＝0，两式作差得3（Sn+1+Sn）﹣4+an+1＝0，有3（Sn+Sn﹣1）﹣4+an＝0，进一步得到an+1an，得数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列．
【解答】解（1）：∵3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，令n＝1，
得3a12﹣4a1+a12＝0
∵a1≠0，∴a1＝1．
令n＝2，得2（1+a2）2﹣4（1+a2）+（1+a22）＝0
即2a22+a2＝0
∵a2≠0，
∴a2；
（2）∵bn＝（2n﹣1）2n，
∴Bn＝1 2+3 22+5 23+…+（2n﹣1）n 2n，①
2Bn＝1 22+3 23+5 24+…+（2n﹣1） 2n+1，②
①﹣②，得﹣Bn＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1） 2n+1＝2+2 （2n﹣1） 2n+1＝﹣6+2n+2﹣（2n﹣1） 2n+1＝﹣6﹣（2n﹣3） 2n+1，
∴Bn＝（2n﹣3） 2n+1+6．
证明（3）∵3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，①
∴3Sn+12﹣4Sn+1+Tn+1＝0，②
②﹣①得：3（Sn+1+Sn）an+1﹣4an+1+an+12＝0，
∵an+1≠0，∴3（Sn+1+Sn）﹣4+an+1＝0，③
3（Sn+Sn﹣1）﹣4+an＝0，④
当n≥2时，③﹣④得：3（an+1+an）+an+1﹣an＝0，
即an+1an，
∵an≠0，∴．
又由（1）知，a1＝1，a2，
∴．
∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列．
【点评】本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，数列的前n项和的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于中档题．
20．（16分）（2020 滨海新区模拟）设函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝ex﹣1．
（Ⅰ）求函数g（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求证：方程f（x）＝g（x）有一个实数根；
（Ⅲ）求证：．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（II）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系及函数的性质，函数的零点判定定理即可求解．
（III）结合已知构造函数，原不等式等价于q（x）≥q（ex﹣1），结合导数与单调性的关系可证．
【解答】解：（Ⅰ）g'（x）＝ex，k＝g'（1）＝e，
g（1）＝e﹣1，
所以g（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝ex﹣1．
（Ⅱ）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ln（x+1）﹣ex+1，定义域为（﹣1，+∞），
则，
设p（x）＝1﹣（x+1）ex，p'（x）＝﹣（x+2）ex，
因为x∈（﹣1，+∞），所以p'（x）＜0，因此p（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，
又p（0）＝0，所以x∈（﹣1，0）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，h（h（x）在（﹣1，0）上单调递增，
x∈（0，+∞）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，
因此h（x）max＝h（0）＝0，
所以h（x）在[0，+∞）上有一个零点，
取，
所以h（x）在（﹣1，0）上没有零点，故方程f（x）﹣g（x）＝0有1个实数根．
（Ⅲ）设，则，
不等式，即为q（x）≥q（ex﹣1），
因为x≤ex﹣1恒成立，所以只需证q（x）为单调递减函数．
，
因为lnx≤x﹣1恒成立，
所以，即q'（x）≤0，所以q（x）为单调递减函数，
因此．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数证明方程的根的个数及利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．
考点卡片
1．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪ ＝A．③A∪A＝A．④A∪B A，A∪B B．⑤A∪B＝B A B．⑥A∪B＝ ，两个集合都是空集．⑦A∪（ UA）＝U．⑧ U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； logalogaM．
5．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
14．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
15．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
16．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【实例解析】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即2，
解得：k，
此时切线的方程为y﹣5（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【考点分析】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
19．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
20．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
21．直线与椭圆的综合
v．
22．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
23．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
第1页（共1页）
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）已知集合，则A∪B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．（0，+∞） D．[0，+∞）
2．（5分）（2022 天津模拟）设p：x＞0，q：2x＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）函数y的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（5分）（2021春 河北区期末）某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），将所得数据分为5组．[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，并整理得到如图频率分布直方图．则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
5．（5分）（2021秋 南开区期末）设a＝log32，b＝ln2，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
6．（5分）（2020秋 凉州区期末）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（ ）
A．1：3 B．1：（1） C．1：9 D．：2
7．（5分）（2014 和平区二模）已知3x＝5y＝a，且2，则a的值为（ ）
A． B．15 C．± D．225
8．（5分）（2022 天津模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），斜率为k且过F1的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若|F2A|＝|F2B|，（表示△AF1F2的面积），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
9．（5分）（2022 天津模拟）已知函数若函数y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有4个零点，分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）（2022 天津模拟）复数 ．
11．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）二项式的展开式中常数项为，则a＝ ．
12．（5分）（2019 和平区二模）过点P（3，﹣4）作圆C：x2+y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则点P到直线AB的距离为 ．
13．（5分）（2021 南开区二模）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+4b2的最小值是 ．
14．（5分）（2020 天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
15．（5分）（2022 天津模拟）在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝3，CD＝6，AD＝2，点E是线段AD上一点，且，，则cos∠ADC＝ ，若点P为线段AB上的动点，则的取值范围为 ．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）（2021 和平区二模）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB＝1，a，b＝3．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）求cos（2A﹣B）；
（Ⅲ）求c的长．
17．（15分）（2022 天津模拟）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P为棱DF的中点．
（1）求证：BF∥平面APC；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值．
18．（15分）（2021 天津二模）已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．
19．（15分）（2021 天津模拟）已知数列{an}的各项均不为零，设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Sn2﹣4Sn+Tn＝0（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值；
（2）设bn＝（2n﹣1）2n，求数列{bn}前n项和Bn；
（3）证明：数列{an}是等比数列．
20．（16分）（2020 滨海新区模拟）设函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝ex﹣1．
（Ⅰ）求函数g（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求证：方程f（x）＝g（x）有一个实数根；
（Ⅲ）求证：．
2022高考数学终极押题密卷3（天津卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题，满分45分，每小题5分）
1．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）已知集合，则A∪B＝（ ）
A．{0，1，2} B．{1，2} C．（0，+∞） D．[0，+∞）
【考点】并集及其运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】根据集合的基本运算进行求解即可．
【解答】解：B＝{x|y}＝{x|x＞0}，A＝{0，1，2}，
则A∪B＝[0，+∞），
故选：D．
【点评】本题主要考查集合的基本运算，比较基础．
2．（5分）（2022 天津模拟）设p：x＞0，q：2x＞2，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；方程思想；定义法；简易逻辑．
【分析】q p，但p不能推导出q，从而p是q的必要不充分条件
【解答】解：∵p：x＞0，
q：2x＞2，即x＞1，
∴q p，但p不能推导出q，
∴p是q的必要不充分条件．
故选：B．
【点评】本题考查充分条件、充要条件、必要条件的判断，考查不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
3．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）函数y的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【考点】函数的图象与图象的变换．
【专题】计算题；函数思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】先判断函数的奇偶性，再看函数的变化趋势．
【解答】解：函数的定义域为R，
∵f（﹣x）f（x），
∴函数y＝f（x）为奇函数，其图象关于原点对称，故排除CD，
当x→+∞时，y＝f（x）→0，故排除B．
故选：A．
【点评】本题考查了函数图象的识别，掌握函数的奇偶性和函数值得变化趋势是关键，属于基础题．
4．（5分）（2021春 河北区期末）某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），将所得数据分为5组．[17.5，20），[20，22.5），[22.5，25），[25，27.5），[27.5，30]，并整理得到如图频率分布直方图．则这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为（ ）
A．56 B．60 C．120 D．140
【考点】频率分布直方图．
【专题】数形结合；数形结合法；概率与统计；数学运算；数据分析．
【分析】先求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率，再求出这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数．
【解答】解：这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的频率为：
（0.16+0.08+0.04）×2.5＝0.7，
∴这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140．
故选：D．
【点评】本题考查频率的求法，频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
5．（5分）（2021秋 南开区期末）设a＝log32，b＝ln2，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵a＝log32，且ln3＞1，
∴，即a＜b，
又∵clog32，即c＜a，
∴c＜a＜b，
故选：B．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
6．（5分）（2020秋 凉州区期末）用平行于圆锥底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这截面把圆锥母线分成的两段的比是（ ）
A．1：3 B．1：（1） C．1：9 D．：2
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去的小圆锥与大圆锥为相似体，结合截面面积与底面面积的比是1：3，求出相似比，可得答案．
【解答】解：用平行于圆锥底面的平面截圆锥，截去的小圆锥与大圆锥为相似体，
∵截面面积与底面面积的比是1：3，
故小圆锥和大圆锥的相似比为：1：，
故小圆锥和大圆锥的母线长比为：1：，
故小圆锥和所得圆台的母线长比为：1：（1），
故选：B．
【点评】本题考查的知识点是圆台与圆锥，熟练掌握圆台的几何特征，将问题转化为相似问题，是解答的关键．
7．（5分）（2014 和平区二模）已知3x＝5y＝a，且2，则a的值为（ ）
A． B．15 C．± D．225
【考点】对数的运算性质．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】把指数式化为对数式，再利用对数的运算法则即可得出．
【解答】解：∵3x＝5y＝a，
∴xlg3＝ylg5＝lga，
∴，，
∴2，
∴lga2＝lg15，
∵a＞0，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了指数式化为对数式、对数的运算法则，属于基础题．
8．（5分）（2022 天津模拟）已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1（﹣c，0），F2（c，0），斜率为k且过F1的直线l交双曲线C的渐近线于A，B两点，若|F2A|＝|F2B|，（表示△AF1F2的面积），则双曲线C的离心率为（ ）
A． B． C． D．或
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用点差法可得，列方程可得a，b关系，由此可求离心率．
【解答】解：直线斜率存在，设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1≠x2），AB中点M（x0，y0），
当M在x轴上方时，由，得，则，
因为|F2A|＝|F2B|，所以F2M⊥F1M，故△F1MF2为直角三角形，O为F1F2的中点，
所以，所以．
由得，即．
当时，，，
，所以，所以．
当时，，，
，矛盾，舍去，
当M在x轴下方时，同理可求得．
综上所述．
故选：C．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解，点差法的应用等知识，属于中等题．
9．（5分）（2022 天津模拟）已知函数若函数y＝f（x）﹣a（a∈R）恰有4个零点，分别为x1，x2，x3，x4，且x1＜x2＜x3＜x4，则x1+x2+x3+x4的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；数形结合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】作出函数f（x）的图象，利用数形结合法即可求解结论．
【解答】解：函数作出f（x）的图象如图所示，
因为x1＜x2＜x3＜x4，
当0＜x＜4时，f（x）＝|log2x|与y＝a的交点横坐标为x1，x2，
所以|log2x1|＝|log2x2|，即log2x1＝﹣log2x2，
所以x1x2＝1；且0＜x1＜1＜x2＜4，
当4≤x≤10时，f（x）＝2sin（x）与y＝a交点的横坐标为x3，x4，
又f（x）＝2sin（x）的对称轴方程为x＝3k+4，k∈Z，
所以x3，x4关于直线x＝7对称，
故x3+x4＝14，
则x1+x2+x3+x4＝14+x2，
根据对勾函数的单调性可得14+x2∈（14+1+1，14+4），
所以x1+x2+x3+x4，的取值范围为（16，）．
故选：D．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的综合应用，解决函数零点或方程根的问题，常用的方法有：（1）方程法（直接解方程得到函数的零点）；（2）图象法（直接画出函数的图象分析得解）；（3）方程+图象法（令函数为零，再重新构造两个函数，数形结合分析得解）．属于中档题．
二．填空题（共6小题，满分30分，每小题5分）
10．（5分）（2022 天津模拟）复数 2+i ．
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的四则运算，即可求解．
【解答】解：2+i．
故答案为：2+i．
【点评】本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
11．（5分）（2022 滨海新区校级模拟）二项式的展开式中常数项为，则a＝ ±1 ．
【考点】二项式定理．
【专题】转化思想；综合法；二项式定理；数学运算．
【分析】求出展开式的通项公式，然后令x的指数为0，建立方程即可求解．
【解答】解：展开式的通项公式为T（）r＝C，r＝0，1，2，3，4，5，6，
令12﹣3r＝0，解得r＝4，
所以展开式的常数项为C，解得a＝±1，
故答案为：±1．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题．
12．（5分）（2019 和平区二模）过点P（3，﹣4）作圆C：x2+y2＝9的两条切线，切点分别为A，B，则点P到直线AB的距离为 ．
【考点】圆的切线方程．
【专题】方程思想；转化法；直线与圆．
【分析】写出以P（3，﹣4）、C（0，0）为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立可得公共弦AB得方程，再由点到直线的距离公式得答案．
【解答】解：圆C：x2+y2＝9的圆心为C（0，0），半径为3，
以P（3，﹣4）、C（0，0）为直径的圆的方程为（x）2+（y+2）2，
即x2+y2﹣3x+4y＝0，
将两圆的方程相减可得公共弦AB的方3x﹣4y﹣9＝0，
∴点P到直线AB的距离为d．
故答案为：．
【点评】本题考查圆的切线方程，考查数学转化思想方法，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题．
13．（5分）（2021 南开区二模）已知a＞0，b＞0，a+2b＝1，则a2+4b2的最小值是 ．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；函数思想；综合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】令ab＝t，由a+2b＝1得t 的范围，把所求代数式转化为关于t的表达式，再用函数解决．
【解答】解：∵a＞0，b＞0，∴1＝a+2b≥2，∴ab．
令ab＝t，则t∈（0，]，∴a2+4b2＝1﹣4t，
∴a2+4b21﹣4t．
令f（t）＝1﹣4t，0＜t．
可知函数f（t）在（0，]是减函数，
∴f（）≤f（t）＜f（0），
解得：f（t）．
故答案为：．
【点评】本题考查基本不等式应用、函数思想，考查数学运算能力，属于中档题．
14．（5分）（2020 天津）已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为 ；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为 ．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；对应思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据相互独立事件的概率乘法公式及对立事件的概率公式计算即可．
【解答】解：设“甲球落入盒子”为事件A，“乙球落入盒子”为事件B，
由题意可知事件A与事件B相互独立，且P（A），P（B），
则甲、乙两球都落入盒子的概率为P（AB）＝P（A）P（B），
事件“甲、乙两球至少有一个落入盒子”的对立事件为“甲、乙两球都没有落入盒子”
所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为
1﹣P（）＝1﹣P（）P（）＝1﹣（1﹣P（A））（1﹣P（B））＝1﹣（1）（1）＝1，
故答案为：，．
【点评】本题考查了互斥事件的概率公式，考查了运算求解能力，属于基础题．
15．（5分）（2022 天津模拟）在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝3，CD＝6，AD＝2，点E是线段AD上一点，且，，则cos∠ADC＝ ，若点P为线段AB上的动点，则的取值范围为 [，1]． ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；函数思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】选择、为基底，由向量的线性运算及数量积运算可求得cos∠ADC的值；设k，0≤k≤1，由向量的线性运算将与用基底表示，再利用向量的数量积及二次函数的性质求解即可．
【解答】解：如图所示，
四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝3，CD＝6，AD＝2，，
选择、为基底，则，
，
所以 （） （） 42×6×cos∠ADC36，
解得cos∠ADC，
若点P为线段AB上的动点，则设k，0≤k≤1，
则，
（1），
||||cos∠ADC＝2×63，
所以 [（1）] （）
2+（k﹣1） （1）2
＝4+3（k﹣1）+36 （1）
＝9k2﹣15k+1，0≤k≤1，
对称轴为k，
所以当k时， 取得最小值为，
当k＝0时， 取得最大值为1，
所以 的取值范围是[，1]．
故答案为：；[，1]．
【点评】本题主要考查向量的线性运算及数量积运算，考查转化思想与函数思想的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
三．解答题（共5小题，满分75分）
16．（14分）（2021 和平区二模）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanB＝1，a，b＝3．
（Ⅰ）求sinA；
（Ⅱ）求cos（2A﹣B）；
（Ⅲ）求c的长．
【考点】正弦定理；二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（Ⅰ）由tanB＝1，结合范围B∈（0，π），可得B，由正弦定理可得sinA的值．
（Ⅱ）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cosA的值，利用二倍角公式可求sin2A，cos2A的值，进而根据两角差的余弦公式即可求解cos（2A﹣B）的值．
（Ⅲ）由题意利用两角和的正弦公式可求sinC的值，进而根据正弦定理可求c的值．
【解答】解：（Ⅰ）因为tanB＝1，a，b＝3，
所以由B∈（0，π），可得B，
所以由正弦定理，可得sinA．
（Ⅱ）因为sinA，a＜b，可得A为锐角，
所以cosA，可得sin2A＝2sinAcosA，cos2A＝2cos2A﹣1，
所以cos（2A﹣B）＝cos2AcosB+sin2AsinB．
（Ⅲ）因为sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
所以由，可得c1+2．
【点评】本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角差的余弦公式，两角和的正弦公式等知识的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
17．（15分）（2022 天津模拟）如图所示的几何体中，四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，EF∥AB，AD＝2，AB＝AF＝2EF＝1，点P为棱DF的中点．
（1）求证：BF∥平面APC；
（2）求直线DE与平面BCF所成角的正弦值；
（3）求平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面所成的角．
【专题】转化思想；向量法；立体几何；直观想象；数学运算．
【分析】（1）只要证明BF平行于平面ACP内直线PO即可；（2）用向量数量积计算直线与平面成角正弦值；（2）用向量数量积计算二面角的余弦值．
【解答】（1）证明：连接BD，交AC于O，连接OP，
因为四边形ABCD为矩形，所以O为BD中点，
因为点P为棱DF的中点，所以BF∥OP，
因为OP 平面APC，BF 平面APC，
所以BF∥平面APC．
（2）解：因为四边形ABCD为矩形，AF⊥平面ABCD，所以AB、AD、AF两两垂直，
建立如图所示的空间直角坐标系，
D（0，2，0），E（，0，1），B（1，0，0），F（0，0，1），C（1，2，0），
（0，2，0），（﹣1，0，1），（，﹣2，1），
令（1，0，1），
因为，，
所以（1，0，1）是平面BCF的法向量，
所以直线DE与平面BCF所成角的正弦值为．
（3）解：因为P（0，1，），再由（2）知（0，1，），（1，2，0），
设平面ACP的法向量为（x，y，z），
，令y＝﹣1，（2，﹣1，2），
因为平面ACP与平面BCF的夹角是锐角，
所以平面ACP与平面BCF的夹角的余弦值为．
【点评】本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角问题，考查了二面角计算问题，属于中档题．
18．（15分）（2021 天津二模）已知椭圆的离心率为，F1、F2分别为椭圆E的左、右焦点，M为E上任意一点，的最大值为1，椭圆右顶点为A．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若过A的直线l交椭圆于另一点B，过B作x轴的垂线交椭圆于C（C异于B点），连接AC交y轴于点P．如果时，求直线l的方程．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（Ⅰ）判断当M为椭圆的短轴端点时，取得最大值，结合椭圆的离心率，求解a，b，得到椭圆方程．（Ⅱ）设直线，B（x0，y0），联立，得，求出B、C坐标，然后求解AC方程，利用向量的数量积转化求解k，得到直线方程即可．
【解答】解：（Ⅰ）当M为椭圆的短轴端点时，取得最大值，
即，
又因为，a2＝b2+c2，
解得：，b＝1，c＝1，
所以椭圆方程为．
（Ⅱ），根据题意，直线l斜率存在且不为0，
设直线，B（x0，y0），
联立，
得，，
即，
由题意得：，，
所以直线，令x＝0，则，
，
即8k4+18k2﹣5＝0，
解得：（舍），
所以：，
直线或．
【点评】本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力．
19．（15分）（2021 天津模拟）已知数列{an}的各项均不为零，设数列{an}的前n项和为Sn，数列{an2}的前n项和为Tn，且3Sn2﹣4Sn+Tn＝0（n∈N*）．
（1）求a1，a2的值；
（2）设bn＝（2n﹣1）2n，求数列{bn}前n项和Bn；
（3）证明：数列{an}是等比数列．
【考点】数列的求和．
【专题】综合题；对应思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，令n＝1，可得a1＝1，令n＝2，得a2；
（2）利用错位相减法求数列{an}的前n项和Sn；
（3）由3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，得3Sn+12﹣4Sn+1+Tn+1＝0，两式作差得3（Sn+1+Sn）﹣4+an+1＝0，有3（Sn+Sn﹣1）﹣4+an＝0，进一步得到an+1an，得数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列．
【解答】解（1）：∵3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，令n＝1，
得3a12﹣4a1+a12＝0
∵a1≠0，∴a1＝1．
令n＝2，得2（1+a2）2﹣4（1+a2）+（1+a22）＝0
即2a22+a2＝0
∵a2≠0，
∴a2；
（2）∵bn＝（2n﹣1）2n，
∴Bn＝1 2+3 22+5 23+…+（2n﹣1）n 2n，①
2Bn＝1 22+3 23+5 24+…+（2n﹣1） 2n+1，②
①﹣②，得﹣Bn＝2+2（22+23+…+2n）﹣（2n﹣1） 2n+1＝2+2 （2n﹣1） 2n+1＝﹣6+2n+2﹣（2n﹣1） 2n+1＝﹣6﹣（2n﹣3） 2n+1，
∴Bn＝（2n﹣3） 2n+1+6．
证明（3）∵3Sn2﹣4Sn+Tn＝0，①
∴3Sn+12﹣4Sn+1+Tn+1＝0，②
②﹣①得：3（Sn+1+Sn）an+1﹣4an+1+an+12＝0，
∵an+1≠0，∴3（Sn+1+Sn）﹣4+an+1＝0，③
3（Sn+Sn﹣1）﹣4+an＝0，④
当n≥2时，③﹣④得：3（an+1+an）+an+1﹣an＝0，
即an+1an，
∵an≠0，∴．
又由（1）知，a1＝1，a2，
∴．
∴数列{an}是以1为首项，以为公比的等比数列．
【点评】本题考查数列递推式，考查数列的函数特性，数列的前n项和的求法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，属于中档题．
20．（16分）（2020 滨海新区模拟）设函数f（x）＝ln（x+1），g（x）＝ex﹣1．
（Ⅰ）求函数g（x）的图象在x＝1处的切线方程；
（Ⅱ）求证：方程f（x）＝g（x）有一个实数根；
（Ⅲ）求证：．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（I）先对函数求导，然后结合导数的几何意义可求切线的斜率，进而可求切线方程；
（II）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系及函数的性质，函数的零点判定定理即可求解．
（III）结合已知构造函数，原不等式等价于q（x）≥q（ex﹣1），结合导数与单调性的关系可证．
【解答】解：（Ⅰ）g'（x）＝ex，k＝g'（1）＝e，
g（1）＝e﹣1，
所以g（x）的图象在x＝1处的切线方程为y＝ex﹣1．
（Ⅱ）设h（x）＝f（x）﹣g（x）＝ln（x+1）﹣ex+1，定义域为（﹣1，+∞），
则，
设p（x）＝1﹣（x+1）ex，p'（x）＝﹣（x+2）ex，
因为x∈（﹣1，+∞），所以p'（x）＜0，因此p（x）在（﹣1，+∞）上单调递减，
又p（0）＝0，所以x∈（﹣1，0）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，h（h（x）在（﹣1，0）上单调递增，
x∈（0，+∞）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，h（x）在（0，+∞）上单调递减，
因此h（x）max＝h（0）＝0，
所以h（x）在[0，+∞）上有一个零点，
取，
所以h（x）在（﹣1，0）上没有零点，故方程f（x）﹣g（x）＝0有1个实数根．
（Ⅲ）设，则，
不等式，即为q（x）≥q（ex﹣1），
因为x≤ex﹣1恒成立，所以只需证q（x）为单调递减函数．
，
因为lnx≤x﹣1恒成立，
所以，即q'（x）≤0，所以q（x）为单调递减函数，
因此．
【点评】本题主要考查了导数的几何意义及利用导数证明方程的根的个数及利用导数证明不等式，体现了转化思想的应用．
考点卡片
1．并集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A或属于集合B的元素的组成的集合叫做A与B的并集，记作A∪B．
符号语言：A∪B＝{x|x∈A或x∈B}．
图形语言：．
A∪B实际理解为：①x仅是A中元素；②x仅是B中的元素；③x是A且是B中的元素．
运算形状：
①A∪B＝B∪A．②A∪ ＝A．③A∪A＝A．④A∪B A，A∪B B．⑤A∪B＝B A B．⑥A∪B＝ ，两个集合都是空集．⑦A∪（ UA）＝U．⑧ U（A∪B）＝（CUA）∩（CUB）．
【解题方法点拨】解答并集问题，需要注意并集中：“或”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；注意并集中元素的互异性．不能重复．
【命题方向】掌握并集的表示法，会求两个集合的并集，命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数的图象与图象的变换
【函数图象的作法】函数图象的作法：通过如下3个步骤 （1）列表； （2）描点； （3）连线．
解题方法点拨：一般情况下，函数需要同解变形后，结合函数的定义域，通过函数的对应法则，列出表格，然后在直角坐标系中，准确描点，然后连线（平滑曲线）．
命题方向：一般考试是以小题形式出现，或大题中的一问，常见考题是，常见函数的图象，有时结合函数的奇偶性、对称性、单调性知识结合命题．
【图象的变换】
1．利用描点法作函数图象
其基本步骤是列表、描点、连线．
首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质（奇偶性、单调性、周期性、对称性等）．
其次：列表（尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等），描点，连线．
2．利用图象变换法作函数的图象
（1）平移变换：
y＝f（x）a＞0，右移a个单位（a＜0，左移|a|个单位） y＝f（x﹣a）；
y＝f（x）b＞0，上移b个单位（b＜0，下移|b|个单位） y＝f（x）+b．
（2）伸缩变换：
y＝f（x） y＝f（ωx）；
y＝f（x）A＞1，伸为原来的A倍（0＜A＜1，缩为原来的A倍） y＝Af（x）．
（3）对称变换：
y＝f（x）关于x轴对称 y＝﹣f（x）；
y＝f（x）关于y轴对称 y＝f（﹣x）；
y＝f（x）关于原点对称 y＝﹣f（﹣x）．
（4）翻折变换：
y＝f（x）去掉y轴左边图，保留y轴右边图，将y轴右边的图象翻折到左边 y＝f（|x|）；
y＝f（x）留下x轴上方图将x轴下方图翻折上去y＝|f（x）|．
解题方法点拨
1、画函数图象的一般方法
（1）直接法：当函数表达式（或变形后的表达式）是熟悉的基本函数或解析几何中熟悉的曲线时，可根据这些函数或曲线的特征直接作出．
（2）图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉函数的要先变形，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响．
（3）描点法：当上面两种方法都失效时，则可采用描点法．为了通过描少量点，就能得到比较准确的图象，常常需要结合函数的单调性、奇偶性等性质讨论．
2、寻找图象与函数解析式之间的对应关系的方法
（1）知图选式：
①从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；
②从图象的变化趋势，观察函数的单调性；
③从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性；
④从图象的循环往复，观察函数的周期性．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确的选项．
（2）知式选图：
①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置；
②从函数的单调性，判断图象的变化 趋势；
③从函数的奇偶性，判断图象的对称性．
④从函数的周期性，判断图象的循环往复．
利用上述方法，排除错误选项，筛选正确选项．
注意联系基本函数图象和模型，当选项无法排除时，代特殊值，或从某些量上寻找突破口．
3、（1）利有函数的图象研究函数的性质
从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性，分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势，分析函数的单调性、周期性等．
（2）利用函数的图象研究方程根的个数
有关方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数；利用此法也可由解的个数求参数值．
4、方法归纳：
（1）1个易错点﹣﹣图象变换中的易错点
在解决函数图象的变换问题时，要遵循“只能对函数关系式中的x，y变换”的原则，写出每一次的变换所得图象对应的解析式，这样才能避免出错．
（2）3个关键点﹣﹣正确作出函数图象的三个关键点
为了正确地作出函数图象，必须做到以下三点：
①正确求出函数的定义域；
②熟练掌握几种基本函数的图象，如二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、幂函数、形如y＝x+的函数；
③掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．
（3）3种方法﹣﹣识图的方法
对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面来获取图中所提供的信息，解决这类问题的常用方法有：
①定性分析法，也就是通过对问题进行定性的分析，从而得出图象的上升（或下降）的趋势，利用这一特征来分析解决问题；
②定量计算法，也就是通过定量的计算来分析解决问题；
③函数模型法，也就是由所提供的图象特征，联想相关函数模型，利用这一函数模型来分析解决问题．
4．对数的运算性质
【知识点的认识】
对数的性质：①N；②logaaN＝N（a＞0且a≠1）．
loga（MN）＝logaM+logaN； logalogaM﹣logaN；
logaMn＝nlogaM； logalogaM．
5．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
14．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
15．二项式定理
【二项式定理】又称牛顿二项式定理．公式（a+b）n nian﹣i bi．通过这个定理可以把一个多项式的多次方拆开．
例1：用二项式定理估算1.0110＝ 1.105 ．（精确到0.001）
解：1.0110＝（1+0.01）10＝110+C101 19×0.01+C102 18 0.012≈1+0.1+0.0045≈1.105．
故答案为：1.105．
这个例题考查了二项式定理的应用，也是比较常见的题型．
例2：把把二项式定理展开，展开式的第8项的系数是．
解：由题意T8＝C107120×3i＝360i．
故答案为：360i．
通过这两个例题，大家可以看到二项式定理的重点是在定理，这类型的题都是围着这个定理运作，解题的时候一定要牢记展开式的形式，能正确求解就可以了．
【性质】
1、二项式定理
一般地，对于任意正整数n，都有
这个公式就叫做二项式定理，右边的多项式叫做（a+b）n的二项展开式．其中各项的系数叫做二项式系数．
注意：
（1）二项展开式有n+1项；
（2）二项式系数与二项展开式系数是两个不同的概念；
（3）每一项的次数是一样的，即为n次，展开式依a的降幂排列，b的升幂排列展开；
（4）二项式定理通常有如下变形：
①；
②；
（5）要注意逆用二项式定理来分析问题、解决问题．
2、二项展开式的通项公式
二项展开式的第n+1项叫做二项展开式的通项公式．它体现了二项展开式的项数、系数、次数的变化规律，是二项式定理的核心，它在求展开式的某些特定的项及其系数方面有着广泛的应用．
注意：
（1）通项公式表示二项展开式的第r+1项，该项的二项式系数是 nr；
（2）字母b的次数和组合数的上标相同；
（3）a与b的次数之和为n．
3、二项式系数的性质．
（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即；
（2）增减性与最大值：当k时，二项式系数是逐渐增大的．由对称性知，它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取最大值．当n为偶数时，则中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，则中间的两项，相等，且同时取得最大值．
16．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【实例解析】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即2，
解得：k，
此时切线的方程为y﹣5（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【考点分析】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
19．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
20．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
21．直线与椭圆的综合
v．
22．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
23．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
24．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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