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第15章 概率
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．设 为正六边形 的中心，在O，A，B，C，D，E，F中任取三点，则取到的三点构成等边三角形的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．已知1，2，4，5，m这五个数据的中位数是m，则这五个数据的平均数大于 的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．盒中装有形状大小相同的球6个，其中红球3个，编号为1、2、3，蓝球3个，编号为4、5、6，从中取2球，则两球颜色不同，且编号之和不小于7的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．《周牌算经》中对圆周率有“径一而周三”的记载，已知两周率小数点后20位数字分别为14159 26535 89793 23846．若从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，则这两个数字均为奇数的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1和元件2同时正常工作，或元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件正常工作的概率均为，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件正常工作的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．某校为落实“双减”政策.在课后服务时间开展了丰富多彩的体育兴趣小组活动，现有甲 乙 丙 丁四名同学拟参加篮球 足球 乒乓球 羽毛球四项活动，由于受个人精力和时间限制，每人只能等可能的选择参加其中一项活动，则恰有两人参加同一项活动的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．将4个A和2个B随机排成一行，则2个B相邻且不排在两端的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．先后两次抛掷一枚质地均匀的骰子，观察它落地时朝上的面的点数，则第一次点数大于第二次点数的概率为（ ）．
A． B． C． D．
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．盒中有10只螺丝钉，其中有3只是坏的，现从盒中随机地抽取4个，那么概率不是 的事件为（ ）。
A．恰有1只是坏的 B．4只全是好的
C．恰有2只是好的 D．至多2只是坏的
10．已知集合，m，n∈A，若向量=(-3，6)，=(m，n)，则（ ）
A．A={1，2，4} B．的样本空间共有36个样本点
C．||>|| D．//的概率为
11．甲、乙两名射击运动员进行射击比赛，若甲的中靶概率为 0.8，乙的中靶概率为 0.9，且两个人射击的结果互不影响，则下列结论正确的是（ ）
A．两人都中靶的概率为 0.72 B．至少一人中靶的概率为 0.88
C．至多一人中靶的概率为 0.26 D．恰好有一人脱靶的概率为 0.26
12．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数.用x表示红色骰子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.定义事件：“”，事件“为奇数”，事件“”，则下列结论正确的是（ ）
A．A与B互斥 B．A与B对立
C． D．A与C相互独立
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．甲和乙两个箱子中各装有10个球，其中甲箱中有5个白球、5个红球，乙箱中有8个红球、2个白球.掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为5或6，从甲箱子随机摸出1个球；如果点数为 ，从乙箱子中随机摸出1个球.则摸到红球的概率为 .
14．袋中装有五个除颜色外完全相同的球，其中2个白球，3个黑球，从中任取两球，则取出的两球颜色相同的概率是 .
15．甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用“5局3胜制”，即先胜3局为胜方，比赛结束．已知甲每局获胜的概率均为0.6，则甲开局获胜并且最终以取胜的概率为 ．
16．高三某位同学参加物理、化学科目的等级考，已知这位同学在物理、化学科目考试中达A的概率分别为、，这两门科目考试成绩的结果互不影响，则这位考生至少得1个A的概率为 .
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．某班50名学生在一次百米测试中，成绩（单位：秒）全部介于13与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13，14)，第二组[14，15)，…，第五组[17，18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．若从第一、第五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩一个在第一组，一个在第五组的概率．
18．2021年7月24日，在奥运会女子个人重剑决赛中，中国选手孙一文在最后关头一剑封喉，斩获金牌，掀起了新一轮“击剑热潮”．甲、乙、丙三位重剑爱好者决定进行一场比赛，每局两人对战，没有平局，已知每局比赛甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，丙赢乙的概率为．因为甲是最弱的，所以让他决定第一局的两个比赛者（甲可以选定自己比赛，也可以选定另外两个人比赛），每局获胜者与此局未比赛的人进行下一局的比赛，在比赛中某人首先获胜两局就成为整个比赛的冠军，比赛结束．
（1）若甲指定第一局由乙丙对战，求“只进行三局甲就成为冠军”的概率；
（2）请帮助甲进行第一局的决策（甲乙、甲丙或乙丙比赛），使得甲最终获得冠军的概率最大．
19．家用自来水水龙头由于使用频繁，很容易损坏，受水龙头在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件水龙头的利润与该水龙头首次出现损坏的时间有关，某阀门厂生产尺寸都为4分（指的是英制尺寸）的甲（不锈钢阀芯），乙（黄铜阀芯）两种品牌的家用水龙头，保修期均为1年（4个季度），现从该厂已售出的这两种水龙头中各随机抽取200件，统计数据如下表，
品牌 甲 乙
首次出现损坏时间x（季度）
水龙头数量（件） 20 180 8 16 176
每件的利润（元） 3.6 5.8 2 4 6
将频率视为概率，解答下列问题：
（1）从该厂生产的甲、乙两种品牌水龙头中各随机抽取一件，试比较首次出现损坏发生在保修期内的概率的大小；
（2）由于资金限制，只能生产其中一种品牌的水龙头，若从水龙头的利润的平均值考虑，你认为应选择生产哪种品牌的水龙头比较合理？
20．根据上级要求，某市人民医院要选出呼吸，护理，心理治疗方面的专家支援X城市抗疫，该院有3名呼吸专家，，，4名护理专家，，，，2名心理专家，．
（1）从中选出4人组成支援团，求4人中至少有1名心理专家的概率；
（2）从中选出4人组成支援团，求呼吸，护理，心理专家都有的概率．
21．黄石新华书店为了了解销售单价（单位：元）在内的图书销售情况，从年已经销售的图书中随机抽取 100本，用分层抽样的方法获得的所有样本数据按照、、 、、、 分成6组，制成如图所示的频率分布直方图，已知样本中销售单价在内的图书数是销售单价在内的图书数的 2倍.
（1）求出与；
（2）根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数、中位数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（3）根据频率分布直方图从销售单价价格低于12元的书中任取2本，求这2本书价格至少有本低于10元的概率.
22．甲、乙、丙、丁4名棋手进行象棋比赛，赛程如下面的框图所示，其中编号为的方框表示第场比赛，方框中是进行该场比赛的两名棋手，第场比赛的胜者称为“胜者”，负者称为“负者”，第6场为决赛，获胜的人是冠军.已知甲每场比赛获胜的概率均为 ，而乙、丙、丁相互之间胜负的可能性相同.
（Ⅰ）求甲获得冠军的概率；
（Ⅱ）求乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率.
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第15章 概率
1．单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
1．【答案】C
【解析】【解答】解：从O，A，B，C，D，E，F中任取三点有 种取法；
要使三点组成的三角形为等边三角形，
若取 点则有 种情况（ 、 、 、 、 、 ）；
若不取 点则有 种情况（ 、 ）；
故取到的三点构成等边三角形的概率
故答案为：C
【分析】先求出基本事件总数，再列出使三点为等边三角形的情况，最后利用古典概型概率公式计算可得答案。
2．【答案】A
【解析】【解答】因为1，2，4，5，m这五个数据的中位数是m，所以 .
若这五个数据的平均数大于 ，则 .
所以 ，故所求概率 .
故答案为：A.
【分析】根据中位数的定义确定，根据平均数大于，所以，结合概率计算公式即可求得答案.
3．【答案】B
【解析】【解答】记“从盒中取2球，两球颜色不同，且编号之和不小于7”为事件A
则
故答案为：B
【分析】由古典概型概率计算公式及组合数即可求解。
4．【答案】D
【解析】【解答】因为从这20个数字的前10个数字中有7个奇数，后10个数字中有5个奇数，
所以从这20个数字的前10个数字和后10个数字中各随机抽取一个数字，这两个数字均为奇数的概率为.
故答案为：D.
【分析】利用古典概型概率公式即得.
5．【答案】D
【解析】【解答】讨论元件3正常与不正常，
第一类，元件3正常，上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作，则正常工作的概率为．
第二类，元件3不正常，上部分必须正常，则正常工作的概率为，
故概率为．
故答案为：D．
【分析】根据题意可知，讨论原件3正常与不正常，若元件3正常，上部分正常或不正常都不影响该部件正常工作，若元件3不正常，上部分必须正常，再根据相互独立的概率乘法公式，即可求出答案。
6．【答案】C
【解析】【解答】每人有种选择，四人共有种选择，
其中恰有两人参加同一项活动共有种选择，
所以四人中恰有两人参加同一项活动的概率为：
故答案为：C.
【分析】根据排列组合知识计算出事件发生的种类数，再利用古典概型的概率公式求出答案。
7．【答案】D
【解析】【解答】由4个A不区分顺序、2个B不区分顺序，可得总情况有种，先排4个A有1种排法，在形成的3个中间的空中插入B即可，
故2个B相邻且不排在两端的情况有种，故概率为：.
故答案为：D.
【分析】先通过倍缩法求出总情况数，再通过插空法求得满足题意的情况数，由古典概率的计算公式即可求出答案。
8．【答案】B
【解析】【解答】不妨用表示两次投掷的基本事件，其中x代表第一次投掷的点数，y代表第二次投掷的点数．故所有投掷的结果所包含的基本事件有：
，，，，，，，，，，，，……，，，，，，，共36种，
其中满足第一次点数大于第二次点数基本事件，，，，，，，，，，，，，，，共15种．
所以第一次点数大于第二次点数的概率．
故答案为：B．
【分析】首先由已知条件求出所有基本事件的个数，结合掷骰子的性质计算出满足题意的事件的个数，并把结果代入到概率公式计算出答案即可。
2．多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）
温馨提示：每一题的四个答案中只有一个是正确的，请将正确的答案选择出来！
9．【答案】A,B,D
【解析】【解答】 解：∵盒中有10只螺丝钉 ，
∴ 从盒中随机地抽取4只的总数为： ，
∵其中有3只是坏的，
∴ 恰有1只坏的，恰有2只好的， 4只全是好的，至多2只坏的取法数分别为：
， ， ， ++，
∴恰有1只坏的概率分别为 ，
恰有2只好的概率为 ，
4只全是好的概率为 ，
至多2只坏的概率为 ；
故选： A B D ．
【分析】根据古典概型概率的计算公式，分别求得基本事件的总数，与各事件包含的基本事件个数，再代入公式求解判断即可.
10．【答案】B,C,D
【解析】【解答】对于A：由题意得A={-4，-2，-1，1，2，4}，A不符合题意．
对于B：的样本空间Ω={(-4，-4)，(-4，-2)，(-4，-1)，(-4，1)，(-4，2)，(-4，4)，(-2，-4)，(-2，-2)，(-2，-1)，(-2，1)，(-2，2)，(-2，4)，(-1，-4)，(-1，-2)，(-1，-1)，(-1，1)，(-1，2)，(-1，4)，(1，-4)，(1，-2)，(1，-1)，(1，1)，(1，2)，(1，4)，(2，-4)，(2，-2)，(2，-1)，(2，1)，(2，2)，(2，4)，(4，-4)，(4，-2)，(4，-1)，(4，1)，(4，2)，(4，4)}，共有36个样本点.B符合题意；
对于C：，的最大值为4，3>4.C符合题意．
对于D：由//，得n=-2m，设事件A：//，则A={(-2，4)，(-1，2)，(1，-2)，(2，-4)}，A包含的样本点个数为4，所以P（A）==.D符合题意．
故答案为：BCD.
【分析】 对于A，运用列举法表示出集合A，即可求解；对于B，由题意可得m, n均有6种选择，即可求解；对于C，结合向量模公式，即可求解；对于D，结合向量平行的性质，以及古典概型的概率公式，即可求解.
11．【答案】A,D
【解析】【解答】设事件A为：“甲中靶”，设事件B为：“乙中靶”，这两个事件相互独立
A选项：都中靶的概率为 ，A项对；
B选项：至少一人中靶，其对立事件为：两人都不中靶
故至少一人中靶的概率为 ，B项不对；
C选项：至多一人中靶的对立事件为：两人都中靶
至多一人中靶的概率为 ，C不符合题意；
D选项：恰好有一人脱靶的概率为 ，D对.
故答案为：AD
【分析】 根据独立事件的概率计算公式和对立事件的概率计算公式求解即可得出答案.
12．【答案】A,D
【解析】【解答】因，则x与y必是一奇一偶，而为奇数时，x与y都是奇数，因此，事件A和B不能同时发生，即A与B互斥，A符合题意；
因事件A和B不能同时发生，但它们可以同时不发生，如，即A与B不对立，B不正确；
的所有可能结果如下表：
1 2 3 4 5 6
1 (1，1) (1，2) (1，3) (1，4) (1，5) (1，6)
2 (2，1) (2，2) (2，3) (2，4) (2，5) (2，6)
3 (3，1) (3，2) (3，3) (3，4) (3，5) (3，6)
4 (4，1) (4，2) (4，3) (4，4) (4，5) (4，6)
5 (5，1) (5，2) (5，3) (5，4) (5，5) (5，6)
6 (6，1) (6，2) (6，3) (6，4) (6，5) (6，6)
，，，C不正确；
，，，则有，A与C相互独立，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】 利用对立事件、互斥事件、相互独立事件的定义直接求解可得答案.
3．填空题（本题共4小题，每题5分，共20分）
温馨提示：填空题必须是最简洁最正确的答案！
13．【答案】
【解析】【解答】解：从甲箱中摸红球：掷到点数为5或6的概率为 ，再从甲箱中摸到红球的概率为 ，
故从甲箱中摸到红球的概率为 ；
从乙箱中摸红球：掷到点数为1，2，3，4的概率为 ，再从乙箱中摸到红球的概率为 ，
故从乙箱中摸到红球的概率为 ；
综上所述：摸到红球的概率为 .
故答案为：
【分析】分别计算出从甲箱中摸到红球的概率和从乙箱中摸到红球的概率，然后利用概率的加法公式即可.
14．【答案】
【解析】【解答】记2个白球分别为 ，3个黑球分别为 ，从这5个球中任取两球，所有的取法有 ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，共10种.其中取出的两球颜色相同取法的有4种，所以所求概率为 。
故答案为 。
【分析】利用已知条件结合古典概型求概率公式，进而得出取出的两球颜色相同的概率。
15．【答案】0.1728
【解析】【解答】据题意可知甲开局获胜并且最终以取胜的情况为开局和第四局甲赢，中间两局赢一局输一局，
故所求概率为 ，
故答案为：0.1728
【分析】根据题意可知甲开局获胜并且最终以取胜的情况为开局和第四局甲赢，中间两局赢一局输一局，由此可得答案.
16．【答案】
【解析】【解答】这位考生1个A没得的概率为，所以这位考生至少得1个A的概率为，
故答案为：.
【分析】根据独立事件的乘法公式求出考生至少得1个A的概率.
四．解答题（共6题，共70分，17-19每题10分，20-21每题12分,22题16分）
温馨提示：解答题应将必要的解答过程呈现出来！
17．【答案】解：由频率分布直方图知
成绩在第一组[13，14)的人数为50×0.06=3人，
设这3人的成绩分别为a，b，c．
成绩在第五组[17，18]的人数为50×0.04=2人，
设这2人的成绩分别为x，y．
用(m，n)表示从第一、五组随机取出两个成绩的基本事件，
当m，n∈[13，14)时，有（a，b），(a，c)，(b，c)，共3种情况
当m，n∈[17，18]时，有(x，y)1种情况
当m，n分别在[13，14)和[17，18]时，有(a，x)，(a，y)，(b，x)，(b，y)，(c，x)，(c，y)，共6种情况，
所以基本事件总数为10，所求事件所包含的基本事件数为6，
所以，所求事件的概率为P= .
【解析】【分析】利用已知条件结合频率分布直方图中各小组的矩形的面积等于各小组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量，进而得出成绩在第一组[13，14)的人数和成绩在第五组[17，18]的人数，再利用古典概型求概率公式得出这两个成绩一个在第一组，一个在第五组的概率。
18．【答案】（1）解：若甲指定第一局由乙丙对战，“只进行三局甲就成为冠军”共有两种情况：
①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜，其概率为；
②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，其概率为．
所以“只进行三局甲就成为冠军”的概率为．
（2）解：若第一局甲乙比，甲获得冠军的情况有三种：甲乙比甲胜，甲丙比甲胜；甲乙比甲胜甲丙比丙胜，乙丙比乙胜，甲乙比甲胜；甲乙比乙胜；乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜，
所以甲能获得冠军的概率为．
若第一局为甲丙比，则同上可得甲获得冠军的概率为．
若第一局为乙丙比，那么甲获得冠军只能是连赢两局，则甲获得冠军的概率即第（1）问的结果．
因为，所以甲第一局选择和丙比赛，最终获得冠军的概率最大．
【解析】【分析】（1）分①乙丙比乙胜，甲乙比甲胜，甲丙比甲胜和②乙丙比丙胜，甲丙比甲胜，甲乙比甲胜两种情况求解即可；
（2）根据题意，分析首局三种情况所有甲能首先胜两局的情况，再比较概率的大小判断即可.
19．【答案】（1）解：设“甲、乙两种品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内”为事件，
，，.
即乙品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内的概率大于甲品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内的概率.
（2）解：由题意，甲水龙头的利润的平均值，
乙水龙头的利润的平均值，
因为，所以应生产乙品牌的水龙头.
【解析】【分析】 (1)利用古典概型概率计算公式分别求出甲、乙两种品牌水龙头首次出现损坏发生在保修期内 的概率，比较它们的大小，即可求出结果；
(2)分别求出甲乙两种品牌水龙头的利润的平均值 ，比较它们的大小，即可求出结果。
20．【答案】（1）解：设4人中至少有一名心理专家为事件A，
∵从该院9名医生中选4人共种选法，
支援团中没有心理专家共种选法，
∴
（2）解：记呼吸、护理、心理专家都有为事件B，
①当呼吸、护理专家各一名，心理专家两名时，共种选法；
②当护理、心理专家各一名，呼吸专家两名时，共种选法；
③当呼吸、心理专家各一名，护理专家两名时，共种选法，
∴
【解析】【分析】（1） 设4人中至少有一名心理专家为事件A， 利用古典概型的概率公式即可求出 4人中至少有1名心理专家的概率；
（2） 记呼吸、护理、心理专家都有为事件B， 利用古典概型的概率公式即可求出呼吸，护理，心理专家都有的概率．
21．【答案】（1）解：样本中图书的销售单价在内的图书数是，
样本中图书的销售单价在内的图书数是，
依据题意，有，即，①
根据频率分布直方图可知，②
由①②得，；
（2）解：根据频率分布直方图估计这100本图书销售单价的平均数为
（元），
，故可判断中位数在之间，
设中位数为，则，
解得，故中位数为15；
（3）解：销售单价价格低于12元的书共有本，
其中销售单价价格低于10元的书共有本，
从销售单价价格低于12元的书中任取2本，这2本书价格都不低于10元共有种，
因此，所求事件的概率为.
【解析】【分析】（1）由频率分布直方图可得到，再结合所有矩形面积和为1，即可求解；
（2）由频率分布直方图即可直接求平均数，再结合中位数的概念， 设中位数为，可列出方程，即可求解；
（3）借助频率分布直方图先得到低于12元的书与价格低于10元的书各有多少本，再结合组合数与古典概型概率计算公式即可求解。
22．【答案】解：（Ⅰ）甲获得冠军，则甲参加的比赛结果有三种情况：
1胜3胜6胜；1负4胜5胜6胜；1胜3负5胜6胜.
所以甲获得冠军的概率为.
（Ⅱ）若乙的决赛对手是甲，则两人参加的比赛结果有两种情况：
甲：1胜3胜，乙：1负4胜5胜；
甲：1负4胜5胜，乙：1胜3胜.
所以甲与乙在决赛相遇的概率为.
若乙的决赛对手是丙，则两人只可能在第3场和第6场相遇，两人参加的比赛的结果有两种情况：
乙：1胜3胜，丙：2胜3负5胜；
乙：1胜3负5胜，丙：2胜3胜.
同时考虑甲在第4场和第5场的结果，乙与丙在第3场和第6场相遇的概率为
.
丁与丙的情况相同，所以乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率为
.
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出甲获得冠军的概率。
（2）利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出乙进入决赛，且乙与其决赛对手是第二次相遇的概率。
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