2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷文科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷文科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 472.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 09:56:41 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷1(全国甲卷文科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 安徽模拟）集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣1，3）
2．（5分）（2022 萍乡二模）北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是（ ）
A．2012﹣2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势
B．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快
C．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底
D．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长
3．（5分）（2022 重庆模拟）已知复数z满足z（1﹣i）2＝6+8i，其中i为虚数单位，则|z|（ ）
A．10 B．5 C． D．2
4．（5分）（2019 平谷区一模）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y B．y＝lnx C．y＝sinx D．y＝2﹣x
5．（5分）（2022 香坊区校级三模）双曲线的右焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．y＝±2x C． D．
6．（5分）（2022 广西模拟）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2018 赣州一模）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022 肥东县模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a2＝2b2+bc，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（5分）（2022 郑州模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝27，则公比q等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）（2022 安徽模拟）2021年12月1日，国家发展改革委印发《沪苏浙城市结对合作帮扶皖北城市实施方案》，沪苏浙城市（城区）将与我省部分地市开展“一对一”结对合作帮扶．现有上海市A，B，C三个区，若分别随机结对帮扶皖北D，E，F三座城市，则A区恰好帮扶D市的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 广西模拟）已知，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2021 江西三模）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+4）+f（﹣x）＝0，且当x∈（2，4）时，，若，则m＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021 海南模拟）已知向量，满足，，，则 ．
14．（5分）（2022 青浦区校级模拟）圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为 ．
15．（5分）（2022 周至县一模）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图像如图所示，则 ．
16．（5分）（2021 攀枝花模拟）已知A，F分别是椭圆C：1（a）的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于M点（异于点A），且△FAM的周长为4a，则△FAM的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 黄山模拟）为了解高一年级学生的选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，其中女生与男生人数比是2：3，已知从100人中随机抽取1人，抽到报考物理的学生的概率为．
学科 物理 历史 合计
女生 20
男生
合计
（1）请补全2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选科与性别有关；
（2）为了解选择物理学科意愿的同学的选择原因，从选物理的同学中抽取了6人，其中有2名女生，并从这6名同学选出3人进行“当面交流”，问该组有女生的概率？
附表及公式：
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
K2，n＝a+b+c+d．
18．（12分）（2021秋 阎良区期末）已知公差不为0的等差数列{an}满足：a1＝2且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，求证：是等差数列．
19．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．（12分）（2021春 浦城县期中）已知f（x）＝lgx﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若G（x）＝f（x）+2x在定义域内单调递增，求a的取值范围．
21．（12分）（2020 郴州二模）已知P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线BP交E于另一点Q，△ABP为等腰直角三角形，且．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，总使得∠MON为锐角，求直线l斜率的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 绵阳模拟）已知函数f（x）＝|x|．
（1）求关于x的不等式f（x﹣1）+f（x﹣2）≥x+1的解集；
（2）求证：．
2022年高考数学终极押题密卷1(全国甲卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 安徽模拟）集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣1，3）
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，
集合B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，
则A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 萍乡二模）北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是（ ）
A．2012﹣2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势
B．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快
C．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底
D．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长
【考点】频率分布直方图．
【专题】应用题；数形结合；综合法；概率与统计；逻辑推理．
【分析】根据图形分别分析2012﹣2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量与同比增长率，从而判断即可．
【解答】解：由柱状图可知，
2012﹣2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势，
由折线图可知，
2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底，
在2018年首次出现正增长；
故选项B说法错误；
故选：B．
【点评】本题考查了数据分析能力，属于基础题．
3．（5分）（2022 重庆模拟）已知复数z满足z（1﹣i）2＝6+8i，其中i为虚数单位，则|z|（ ）
A．10 B．5 C． D．2
【考点】复数的模；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵z（1﹣i）2＝6+8i，
∴z（﹣2i）＝6+8i，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．（5分）（2019 平谷区一模）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y B．y＝lnx C．y＝sinx D．y＝2﹣x
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
对于B，y＝lnx，为指数函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于C，y＝sinx，为正弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；
对于D，y＝2﹣x＝（）x，是指数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题．
5．（5分）（2022 香坊区校级三模）双曲线的右焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．y＝±2x C． D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b即可求得．
【解答】解：双曲线的右焦点（c，0）到渐近线：即bx﹣ay＝0的距离为：，
据此可知b＝2，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．
6．（5分）（2022 广西模拟）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A． B． C． D．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】设初始状态为（x1，y1），变化后为（x2，y2），根据x1，x2，y1，y2的关系代入后可求解．
【解答】解：设初始状态为（x1，y1），变化后为（x2，y2），
则x2＝16x1，y2＝8y1，
又∵，，
∴，
∴8＝16α，即α＝log168，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
7．（5分）（2018 赣州一模）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】综合题；函数思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：D．
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
8．（5分）（2022 肥东县模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a2＝2b2+bc，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用余弦定理和关系式的变换的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，2a2＝2b2+bc，
整理得，
由余弦定理：，
整理得．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9．（5分）（2022 郑州模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝27，则公比q等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；对应思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据q3，进而求的q．
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝27，
∴q38，
∴q＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
10．（5分）（2022 安徽模拟）2021年12月1日，国家发展改革委印发《沪苏浙城市结对合作帮扶皖北城市实施方案》，沪苏浙城市（城区）将与我省部分地市开展“一对一”结对合作帮扶．现有上海市A，B，C三个区，若分别随机结对帮扶皖北D，E，F三座城市，则A区恰好帮扶D市的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用排列的意义分别得出：上海市A，B，C三个区，分别随机结对帮扶皖北D，E，F三座城市的方法，A区恰好帮扶D市的方法，利用古典概率计算公式即可得出结论．
【解答】解：上海市A，B，C三个区，分别随机结对帮扶皖北D，E，F三座城市，其总的方法共有种，其中A区恰好帮扶D市的方法共有种．
∴A区恰好帮扶D市的概率，
故选：B．
【点评】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）（2022 广西模拟）已知，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin2α的值．
【解答】解：∵cosα+sinα，
∴1+2sinαcosα＝1+sin2α，
则sin2α，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
12．（5分）（2021 江西三模）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+4）+f（﹣x）＝0，且当x∈（2，4）时，，若，则m＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据已知可得f（x）为奇函数且是周期为4的周期函数，从而可得f（2021）＝f（1），f（﹣1）＝﹣f（1），由，即可求得f（1），再由函数在（2，4）上的解析式，可得关于m的方程，从而可得结论．
【解答】解：因为函数f（x）的图象关于原点对称，
所以f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
因为f（x+4）+f（﹣x）＝0，
所以f（x+4）＝﹣f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）是周期为4的周期函数，
故f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1），又f（﹣1）＝﹣f（1），
所以由，可得，
而，解得．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的综合，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021 海南模拟）已知向量，满足，，，则 1 ．
【考点】向量的概念与向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由，，两式两边平方可解决此题．
【解答】解：根据题意得，，
联立消去得，又，解得．
故答案为：1．
【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．
14．（5分）（2022 青浦区校级模拟）圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为 4π ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】先算出母线长，就可以算圆锥侧面积．
【解答】解：如图，
圆锥的母线，
圆锥的侧面展开图为扇形，
故侧面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，属于基础题．
15．（5分）（2022 周至县一模）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图像如图所示，则 2 ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据图象求出函数的周期，利用五点对应法求出φ的值即可．
【解答】解：由图象知T，
即T＝π，则π，得ω＝2，
由五点对应法得2φ＝π，得φ，
则f（x）＝2sin（2x），则2sin（2）＝2sin2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据图象求出ω 和φ的值是解决本题的关键，是基础题．
16．（5分）（2021 攀枝花模拟）已知A，F分别是椭圆C：1（a）的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于M点（异于点A），且△FAM的周长为4a，则△FAM的面积为 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意画出图形，证明直线l过椭圆右焦点，由直线的倾斜角及斜率的关系列式求得c，可得椭圆方程与直线方程，联立求得M坐标，再由三角形面积公式求解．
【解答】解：如图所示，
设右焦点为F′，A，M在椭圆上，则有|FA|+|F′A|＝2a，|FM|+|F′M|＝2a，
故|FA|+|FM|+|F′A|+|F′M|＝4a，
又△FAM的周长为4a，∴|AM|＝|F′A|+|F′M|，即A、F′、M三点共线，
又直线l的倾斜角为60°，∴直线l的斜率为，
而A（0，），F′（c，0），即，则c＝1．
从而a＝2，则椭圆方程为．
直线l的方程为y．
联立，解得A（0，），M（，），
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 黄山模拟）为了解高一年级学生的选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，其中女生与男生人数比是2：3，已知从100人中随机抽取1人，抽到报考物理的学生的概率为．
学科 物理 历史 合计
女生 20
男生
合计
（1）请补全2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选科与性别有关；
（2）为了解选择物理学科意愿的同学的选择原因，从选物理的同学中抽取了6人，其中有2名女生，并从这6名同学选出3人进行“当面交流”，问该组有女生的概率？
附表及公式：
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
K2，n＝a+b+c+d．
【考点】独立性检验．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）由比例可知，男生有60人，女生40人，报考物理的有人，即可求解列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）由比例可知，男生有60人，女生40人，报考物理的有人，
故2×2列联表如下：
学科 物理 历史 合计
女生 20 20 40
男生 55 5 60
合计 75 25 100
∵22.2＞10.828，
∴有99.9%的把握认为选科与性别有关．
（2）由题意可知，把这6个人中女生记为A，B，男生记为1，2，3，4，
从6人中选出3个人，所有的基本事件为：AB1，AB2，AB3，AB4，A12，A13，A14，A23，A24，A34，B12，B13，B14，B23，B24，B34，123，124，134，234，共20个，其中该组由女生为AB1，AB2，AB3，AB4，A12，A13，A14，A23，A24，A34，B12，B13，B14，B23，B24，B34，共16种，
故该组有女生的概率为．
【点评】本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
18．（12分）（2021秋 阎良区期末）已知公差不为0的等差数列{an}满足：a1＝2且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，求证：是等差数列．
【考点】等差数列的性质．
【专题】应用题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），根据题意可得（2+d）2＝2（2+4d），从而求出d值即可得到{an}的通项公式；
（2）求出，确定其为一个常数即可得证．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
由a1，a2，a5成等比数列，得aa1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝4或d＝0（舍去），
所以an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；
（2）证明：由（1）可知Sn（2+4n﹣2）＝2n2，
所以2n，则2（n+1）﹣2n＝2，又2，
所以{}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
19．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）设M是AC的中点，连接FM，证明PA∥FM，即可证得PA∥平面BDF；
（2）设AD的中点为E，证明PE⊥平面ABCD，即可得到棱锥的高PE，再由棱锥体积求解即可．
【解答】（1）证明：连接AC，设AC BD＝M，连接FM．
∵ABCD是平行四边形，
∴M是AC的中点．
∵F是PC的中点，
∴MF是△ACP的中位线．
∴PA∥FM．
又∵PA 平面BDF，FM 平面BDF，
∴PA∥平面BDF．
（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．
∵E为AD的中点，PA＝PD＝4
∴PE⊥AD，．
∵ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，
∴．
∵PE2+BE2＝15+3＝18＝PB2，
∴BE⊥PE．
∵AD BE＝E，AD 平面ABCD，BE 平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD．
∴PE是点P到平面ABCD的距离．
由已知得平行四边形ABCD的面积．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，锥体体积的计算等知识，属于中等题．
20．（12分）（2021春 浦城县期中）已知f（x）＝lgx﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若G（x）＝f（x）+2x在定义域内单调递增，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）求导得f′（x）a，分两种情况：当a≤0时，当a＞0时，分析f′（x）的正负，进而分析f（x）的单调性
（2）由（1）知G′（x）a+2，又G（x）在定义域上上单调递增，则G′（x）≥0恒成立，即a≤2在（0，+∞）上恒成成立，只需a≤（2）min即可．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lgx﹣ax﹣1（x∈R），
所以f′（x）a，
令f′（x）≥0，得a，
当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
当a＞0时，有x，
综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，]．
（2）由（1）知G′（x）a+2，
因为G（x）在定义域上上单调递增，
所以G′（x）a+2≥0恒成立，
即a≤2在（0，+∞）上恒成成立，
因为x∈（0，+∞）时，22，
所以a≤2，
即a的取值范围是（﹣∞，2]．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
21．（12分）（2020 郴州二模）已知P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线BP交E于另一点Q，△ABP为等腰直角三角形，且．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，总使得∠MON为锐角，求直线l斜率的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意可知a＝2，B（2，0），由|PQ|：|QB|＝3：2，得，可求出点Q的坐标，代入椭圆方程可求出b的值，从而得到椭圆E的方程；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），根据题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y＝kx﹣2，与椭圆方程联立，由Δ＞0得到①，再利用韦达定理代入x1x2+y1y2＞0，得k2＜4 ②，由①②即可求出k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意△ABP是等腰直角三角形，
∴a＝2，B（2，0），
设Q（x0，y0），由|PQ|：|QB|＝3：2，得，
则，代入椭圆方程得b2＝1，
∴椭圆E的方程为：；
（Ⅱ）根据题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y＝kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程，消去y得：（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，
∴Δ＝（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得①，
且，，
∵∠MON为锐角，则cos∠MON＞0，
∴，∴x1x2+y1y2＞0，
∵x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4＞0，
即，
∴k2＜4 ②，
由①②得或，
故直线l斜率的取值范围为：∪．
【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数推出曲线C1的普通方程．利用极坐标与普通坐标的互化，求解曲线C2的极坐标方程化为曲线C2的直角坐标方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组利用韦达定理推出AB的中点坐标求解弦长，即可推出以AB为直径的圆的直角坐标方程，转化为极坐标方程．
【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（t为参数），
所以曲线C1的普通方程为y2＝4x．
因为曲线C2的极坐标方程为，
所以曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣6＝0．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得y2+4y﹣24＝0，
则y1+y2＝﹣4，y1y2＝﹣24．
因为x1+x2＝12﹣（y1+y2）＝16，
所以AB的中点坐标为（8，﹣2），．
所以以AB为直径的圆的直角坐标方程为（x﹣8）2+（y+2）2＝56，
故以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ2﹣16ρcosθ+4ρsinθ+12＝0．
【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 绵阳模拟）已知函数f（x）＝|x|．
（1）求关于x的不等式f（x﹣1）+f（x﹣2）≥x+1的解集；
（2）求证：．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）去绝对值把绝对值的不等式转化为不等式组，求解得答案；
（2）直接利用分析法证明．
【解答】（1）解：f（x﹣1）+f（x﹣2）≥x+1 |x﹣1|+|x﹣2|≥x+1
，或，或，
解得：x或x≥4．
∴不等式f（x﹣1）+f（x﹣2）≥x+1的解集为（﹣∞，]∪[4，+∞）；
（2）证明： ．
要证，需证|a+b|+|a| |a+b|+|b| |a+b|≤|a|+|b|+|a| |a+b|+|b| |a+b|，
即证|a+b|≤|a|+|b|，
此不等式显然成立，故．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用分析法证明不等式，是中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）f（x﹣2） T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
8．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
9．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
10．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
14．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
15．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
18．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
19．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
21．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
23．直线与椭圆的综合
v．
24．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
25．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
26．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的知识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
27．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
28．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
29．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
30．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
31．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
32．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1 a＞b；b＜0，1 a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 安徽模拟）集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣1，3）
2．（5分）（2022 萍乡二模）北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是（ ）
A．2012﹣2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势
B．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快
C．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底
D．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长
3．（5分）（2022 重庆模拟）已知复数z满足z（1﹣i）2＝6+8i，其中i为虚数单位，则|z|（ ）
A．10 B．5 C． D．2
4．（5分）（2019 平谷区一模）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y B．y＝lnx C．y＝sinx D．y＝2﹣x
5．（5分）（2022 香坊区校级三模）双曲线的右焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．y＝±2x C． D．
6．（5分）（2022 广西模拟）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2018 赣州一模）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2022 肥东县模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a2＝2b2+bc，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
9．（5分）（2022 郑州模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝27，则公比q等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
10．（5分）（2022 安徽模拟）2021年12月1日，国家发展改革委印发《沪苏浙城市结对合作帮扶皖北城市实施方案》，沪苏浙城市（城区）将与我省部分地市开展“一对一”结对合作帮扶．现有上海市A，B，C三个区，若分别随机结对帮扶皖北D，E，F三座城市，则A区恰好帮扶D市的概率是（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2022 广西模拟）已知，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2021 江西三模）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+4）+f（﹣x）＝0，且当x∈（2，4）时，，若，则m＝（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021 海南模拟）已知向量，满足，，，则 ．
14．（5分）（2022 青浦区校级模拟）圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为 ．
15．（5分）（2022 周至县一模）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图像如图所示，则 ．
16．（5分）（2021 攀枝花模拟）已知A，F分别是椭圆C：1（a）的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于M点（异于点A），且△FAM的周长为4a，则△FAM的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 黄山模拟）为了解高一年级学生的选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，其中女生与男生人数比是2：3，已知从100人中随机抽取1人，抽到报考物理的学生的概率为．
学科 物理 历史 合计
女生 20
男生
合计
（1）请补全2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选科与性别有关；
（2）为了解选择物理学科意愿的同学的选择原因，从选物理的同学中抽取了6人，其中有2名女生，并从这6名同学选出3人进行“当面交流”，问该组有女生的概率？
附表及公式：
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
K2，n＝a+b+c+d．
18．（12分）（2021秋 阎良区期末）已知公差不为0的等差数列{an}满足：a1＝2且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，求证：是等差数列．
19．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
20．（12分）（2021春 浦城县期中）已知f（x）＝lgx﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若G（x）＝f（x）+2x在定义域内单调递增，求a的取值范围．
21．（12分）（2020 郴州二模）已知P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线BP交E于另一点Q，△ABP为等腰直角三角形，且．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，总使得∠MON为锐角，求直线l斜率的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 绵阳模拟）已知函数f（x）＝|x|．
（1）求关于x的不等式f（x﹣1）+f（x﹣2）≥x+1的解集；
（2）求证：．
2022年高考数学终极押题密卷1(全国甲卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 安徽模拟）集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，集合B＝{x|x2＜4}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣1，2） C．（﹣2，3） D．（﹣1，3）
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|﹣1＜x＜3}，
集合B＝{x|x2＜4}＝{x|﹣2＜x＜2}，
则A∩B＝{x|﹣1＜x＜2}．
故选：B．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 萍乡二模）北京2022年冬奥会的成功举办，带动了我国冰雪产业快速发展，冰雪运动市场需求得到释放．如图是2012﹣2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量（家）与同比增长率（与上一年相比）的统计情况，则下面说法错误的是（ ）
A．2012﹣2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势
B．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速逐渐加快
C．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底
D．2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2018年首次出现正增长
【考点】频率分布直方图．
【专题】应用题；数形结合；综合法；概率与统计；逻辑推理．
【分析】根据图形分别分析2012﹣2019年我国已投入运营的室内滑雪场数量与同比增长率，从而判断即可．
【解答】解：由柱状图可知，
2012﹣2019年，我国室内滑雪场的数量总体呈增长态势，
由折线图可知，
2013﹣2019年，我国室内滑雪场的增速在2017年触底，
在2018年首次出现正增长；
故选项B说法错误；
故选：B．
【点评】本题考查了数据分析能力，属于基础题．
3．（5分）（2022 重庆模拟）已知复数z满足z（1﹣i）2＝6+8i，其中i为虚数单位，则|z|（ ）
A．10 B．5 C． D．2
【考点】复数的模；复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．
【解答】解：∵z（1﹣i）2＝6+8i，
∴z（﹣2i）＝6+8i，
∴，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了复数代数形式的乘除法运算，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
4．（5分）（2019 平谷区一模）下列函数中，在区间（0，+∞）上为增函数的是（ ）
A．y B．y＝lnx C．y＝sinx D．y＝2﹣x
【考点】函数的单调性及单调区间．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；函数的性质及应用．
【分析】根据题意，依次分析选项中函数的单调性，综合即可得答案．
【解答】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y，为反比例函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
对于B，y＝lnx，为指数函数，在区间（0，+∞）上为增函数，符合题意；
对于C，y＝sinx，为正弦函数，在（0，+∞）上不是单调函数，不符合题意；
对于D，y＝2﹣x＝（）x，是指数函数，在（0，+∞）上为减函数，不符合题意；
故选：B．
【点评】本题考查函数的单调性的判断，关键掌握常见函数的单调性，属于基础题．
5．（5分）（2022 香坊区校级三模）双曲线的右焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B．y＝±2x C． D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】根据双曲线的焦点到渐近线的距离为b即可求得．
【解答】解：双曲线的右焦点（c，0）到渐近线：即bx﹣ay＝0的距离为：，
据此可知b＝2，
所以双曲线的渐近线方程为y＝±2x，
故选：B．
【点评】本题考查了双曲线的简单性质，属于基础题．
6．（5分）（2022 广西模拟）异速生长规律描述生物的体重与其它生理属性之间的非线性数量关系通常以幂函数形式表示．比如，某类动物的新陈代谢率y与其体重x满足y＝kxα，其中k和α为正常数，该类动物某一个体在生长发育过程中，其体重增长到初始状态的16倍时，其新陈代谢率仅提高到初始状态的8倍，则α为（ ）
A． B． C． D．
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】设初始状态为（x1，y1），变化后为（x2，y2），根据x1，x2，y1，y2的关系代入后可求解．
【解答】解：设初始状态为（x1，y1），变化后为（x2，y2），
则x2＝16x1，y2＝8y1，
又∵，，
∴，
∴8＝16α，即α＝log168，
故选：D．
【点评】本题主要考查了函数的实际应用，考查了对数的运算性质，属于基础题．
7．（5分）（2018 赣州一模）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如图所示，则相应的侧视图可以为（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】综合题；函数思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【分析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，根据组合体的结构特征，得到组合体的侧视图．
【解答】解：由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体，
是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成，
∴侧视图是一个中间有分界线的三角形，
故选：D．
【点评】本题考查简单空间图形的三视图，考查由三视图看出原几何图形，再得到余下的三视图，本题是一个基础题．
8．（5分）（2022 肥东县模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若2a2＝2b2+bc，，则（ ）
A． B． C．1 D．2
【考点】余弦定理．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；解三角形；逻辑推理；数学运算．
【分析】直接利用余弦定理和关系式的变换的应用求出结果．
【解答】解：在△ABC中，2a2＝2b2+bc，
整理得，
由余弦定理：，
整理得．
故选：C．
【点评】本题考查的知识要点：余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
9．（5分）（2022 郑州模拟）设等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝27，则公比q等于（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】等比数列的前n项和；等比数列的通项公式．
【专题】计算题；对应思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】根据q3，进而求的q．
【解答】解：∵等比数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝3，S6＝27，
∴q38，
∴q＝2．
故选：D．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
10．（5分）（2022 安徽模拟）2021年12月1日，国家发展改革委印发《沪苏浙城市结对合作帮扶皖北城市实施方案》，沪苏浙城市（城区）将与我省部分地市开展“一对一”结对合作帮扶．现有上海市A，B，C三个区，若分别随机结对帮扶皖北D，E，F三座城市，则A区恰好帮扶D市的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】利用排列的意义分别得出：上海市A，B，C三个区，分别随机结对帮扶皖北D，E，F三座城市的方法，A区恰好帮扶D市的方法，利用古典概率计算公式即可得出结论．
【解答】解：上海市A，B，C三个区，分别随机结对帮扶皖北D，E，F三座城市，其总的方法共有种，其中A区恰好帮扶D市的方法共有种．
∴A区恰好帮扶D市的概率，
故选：B．
【点评】本题考查了古典概率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
11．（5分）（2022 广西模拟）已知，则sin2α＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由题意，利用同角三角函数的基本关系、诱导公式，求得sin2α的值．
【解答】解：∵cosα+sinα，
∴1+2sinαcosα＝1+sin2α，
则sin2α，
故选：C．
【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
12．（5分）（2021 江西三模）已知函数f（x）的图象关于原点对称，且满足f（x+4）+f（﹣x）＝0，且当x∈（2，4）时，，若，则m＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的周期性；函数奇偶性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】根据已知可得f（x）为奇函数且是周期为4的周期函数，从而可得f（2021）＝f（1），f（﹣1）＝﹣f（1），由，即可求得f（1），再由函数在（2，4）上的解析式，可得关于m的方程，从而可得结论．
【解答】解：因为函数f（x）的图象关于原点对称，
所以f（x）为奇函数，所以f（﹣x）＝﹣f（x），
因为f（x+4）+f（﹣x）＝0，
所以f（x+4）＝﹣f（﹣x）＝f（x），
所以f（x）是周期为4的周期函数，
故f（2021）＝f（4×505+1）＝f（1），又f（﹣1）＝﹣f（1），
所以由，可得，
而，解得．
故选：C．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性与周期性的综合，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021 海南模拟）已知向量，满足，，，则 1 ．
【考点】向量的概念与向量的模；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由，，两式两边平方可解决此题．
【解答】解：根据题意得，，
联立消去得，又，解得．
故答案为：1．
【点评】本题考查平面向量数量积性质及运算，考查数学运算能力，属于基础题．
14．（5分）（2022 青浦区校级模拟）圆锥的半径为2，高为2，则圆锥的侧面积为 4π ．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．
【专题】计算题；转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】先算出母线长，就可以算圆锥侧面积．
【解答】解：如图，
圆锥的母线，
圆锥的侧面展开图为扇形，
故侧面积为，
故答案为：．
【点评】本题考查了圆锥的侧面积的计算，属于基础题．
15．（5分）（2022 周至县一模）已知函数f（x）＝2sin（ωx+φ）（ω＞0）的部分图像如图所示，则 2 ．
【考点】由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．
【专题】对应思想；定义法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据图象求出函数的周期，利用五点对应法求出φ的值即可．
【解答】解：由图象知T，
即T＝π，则π，得ω＝2，
由五点对应法得2φ＝π，得φ，
则f（x）＝2sin（2x），则2sin（2）＝2sin2，
故答案为：2．
【点评】本题主要考查三角函数值的计算，根据图象求出ω 和φ的值是解决本题的关键，是基础题．
16．（5分）（2021 攀枝花模拟）已知A，F分别是椭圆C：1（a）的下顶点和左焦点，过A且倾斜角为60°的直线l交椭圆C于M点（异于点A），且△FAM的周长为4a，则△FAM的面积为 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】转化思想；数形结合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意画出图形，证明直线l过椭圆右焦点，由直线的倾斜角及斜率的关系列式求得c，可得椭圆方程与直线方程，联立求得M坐标，再由三角形面积公式求解．
【解答】解：如图所示，
设右焦点为F′，A，M在椭圆上，则有|FA|+|F′A|＝2a，|FM|+|F′M|＝2a，
故|FA|+|FM|+|F′A|+|F′M|＝4a，
又△FAM的周长为4a，∴|AM|＝|F′A|+|F′M|，即A、F′、M三点共线，
又直线l的倾斜角为60°，∴直线l的斜率为，
而A（0，），F′（c，0），即，则c＝1．
从而a＝2，则椭圆方程为．
直线l的方程为y．
联立，解得A（0，），M（，），
∴．
故答案为：．
【点评】本题考查椭圆的定义与性质，熟练掌握椭圆中的基本关系式是解题的关键，考查学生的分析能力和运算能力，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 黄山模拟）为了解高一年级学生的选科意愿，某学校随机抽取该校100名高一学生进行调查，其中女生与男生人数比是2：3，已知从100人中随机抽取1人，抽到报考物理的学生的概率为．
学科 物理 历史 合计
女生 20
男生
合计
（1）请补全2×2列联表，并判断是否有99.9%的把握认为选科与性别有关；
（2）为了解选择物理学科意愿的同学的选择原因，从选物理的同学中抽取了6人，其中有2名女生，并从这6名同学选出3人进行“当面交流”，问该组有女生的概率？
附表及公式：
P（K2≥k0） 0.100 0.050 0.010 0.001
k0 2.706 3.841 6.635 10.828
K2，n＝a+b+c+d．
【考点】独立性检验．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）由比例可知，男生有60人，女生40人，报考物理的有人，即可求解列联表，再结合独立性检验公式，即可求解．
（2）根据已知条件，结合列举法和古典概型的概率公式，即可求解．
【解答】解：（1）由比例可知，男生有60人，女生40人，报考物理的有人，
故2×2列联表如下：
学科 物理 历史 合计
女生 20 20 40
男生 55 5 60
合计 75 25 100
∵22.2＞10.828，
∴有99.9%的把握认为选科与性别有关．
（2）由题意可知，把这6个人中女生记为A，B，男生记为1，2，3，4，
从6人中选出3个人，所有的基本事件为：AB1，AB2，AB3，AB4，A12，A13，A14，A23，A24，A34，B12，B13，B14，B23，B24，B34，123，124，134，234，共20个，其中该组由女生为AB1，AB2，AB3，AB4，A12，A13，A14，A23，A24，A34，B12，B13，B14，B23，B24，B34，共16种，
故该组有女生的概率为．
【点评】本题主要考查独立性检验公式，考查转化能力，属于基础题．
18．（12分）（2021秋 阎良区期末）已知公差不为0的等差数列{an}满足：a1＝2且a1，a2，a5成等比数列．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）记Sn为数列{an}的前n项和，求证：是等差数列．
【考点】等差数列的性质．
【专题】应用题；方程思想；定义法；等差数列与等比数列；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）设等差数列{an}的公差为d（d≠0），根据题意可得（2+d）2＝2（2+4d），从而求出d值即可得到{an}的通项公式；
（2）求出，确定其为一个常数即可得证．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d（d≠0），
由a1，a2，a5成等比数列，得aa1a5，即（2+d）2＝2（2+4d），解得d＝4或d＝0（舍去），
所以an＝2+4（n﹣1）＝4n﹣2；
（2）证明：由（1）可知Sn（2+4n﹣2）＝2n2，
所以2n，则2（n+1）﹣2n＝2，又2，
所以{}是以2为首项，以2为公差的等差数列．
【点评】本题主要考查等差数列的通项公式与前n项和公式，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
19．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）设M是AC的中点，连接FM，证明PA∥FM，即可证得PA∥平面BDF；
（2）设AD的中点为E，证明PE⊥平面ABCD，即可得到棱锥的高PE，再由棱锥体积求解即可．
【解答】（1）证明：连接AC，设AC BD＝M，连接FM．
∵ABCD是平行四边形，
∴M是AC的中点．
∵F是PC的中点，
∴MF是△ACP的中位线．
∴PA∥FM．
又∵PA 平面BDF，FM 平面BDF，
∴PA∥平面BDF．
（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．
∵E为AD的中点，PA＝PD＝4
∴PE⊥AD，．
∵ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，
∴．
∵PE2+BE2＝15+3＝18＝PB2，
∴BE⊥PE．
∵AD BE＝E，AD 平面ABCD，BE 平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD．
∴PE是点P到平面ABCD的距离．
由已知得平行四边形ABCD的面积．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，锥体体积的计算等知识，属于中等题．
20．（12分）（2021春 浦城县期中）已知f（x）＝lgx﹣ax﹣1．
（1）求f（x）的单调增区间；
（2）若G（x）＝f（x）+2x在定义域内单调递增，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）求导得f′（x）a，分两种情况：当a≤0时，当a＞0时，分析f′（x）的正负，进而分析f（x）的单调性
（2）由（1）知G′（x）a+2，又G（x）在定义域上上单调递增，则G′（x）≥0恒成立，即a≤2在（0，+∞）上恒成成立，只需a≤（2）min即可．
【解答】解：（1）因为f（x）＝lgx﹣ax﹣1（x∈R），
所以f′（x）a，
令f′（x）≥0，得a，
当a≤0时，f′（x）＞0在（0，+∞）上恒成立，
当a＞0时，有x，
综上，当a≤0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当a＞0时，f（x）的单调递增区间为（0，]．
（2）由（1）知G′（x）a+2，
因为G（x）在定义域上上单调递增，
所以G′（x）a+2≥0恒成立，
即a≤2在（0，+∞）上恒成成立，
因为x∈（0，+∞）时，22，
所以a≤2，
即a的取值范围是（﹣∞，2]．
【点评】本题考查导数的综合应用，解题中需要理清思路，属于中档题．
21．（12分）（2020 郴州二模）已知P（0，﹣2），点A，B分别为椭圆E：1（a＞b＞0）的左、右顶点，直线BP交E于另一点Q，△ABP为等腰直角三角形，且．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）设过点P的直线l与椭圆E交于M，N两点，总使得∠MON为锐角，求直线l斜率的取值范围．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；设而不求法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意可知a＝2，B（2，0），由|PQ|：|QB|＝3：2，得，可求出点Q的坐标，代入椭圆方程可求出b的值，从而得到椭圆E的方程；
（Ⅱ）设M（x1，y1），N（x2，y2），根据题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y＝kx﹣2，与椭圆方程联立，由Δ＞0得到①，再利用韦达定理代入x1x2+y1y2＞0，得k2＜4 ②，由①②即可求出k的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意△ABP是等腰直角三角形，
∴a＝2，B（2，0），
设Q（x0，y0），由|PQ|：|QB|＝3：2，得，
则，代入椭圆方程得b2＝1，
∴椭圆E的方程为：；
（Ⅱ）根据题意，直线l的斜率存在，可设直线l的方程为：y＝kx﹣2，设M（x1，y1），N（x2，y2），
联立方程，消去y得：（1+4k2）x2﹣16kx+12＝0，
∴Δ＝（﹣16k）2﹣4×12×（1+4k2）＞0，解得①，
且，，
∵∠MON为锐角，则cos∠MON＞0，
∴，∴x1x2+y1y2＞0，
∵x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1﹣2）（kx2﹣2）＝（1+k2）x1x2﹣2k（x1+x2）+4＞0，
即，
∴k2＜4 ②，
由①②得或，
故直线l斜率的取值范围为：∪．
【点评】本题主要考查了椭圆方程，以及直线与椭圆的位置关系，是中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数推出曲线C1的普通方程．利用极坐标与普通坐标的互化，求解曲线C2的极坐标方程化为曲线C2的直角坐标方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组利用韦达定理推出AB的中点坐标求解弦长，即可推出以AB为直径的圆的直角坐标方程，转化为极坐标方程．
【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（t为参数），
所以曲线C1的普通方程为y2＝4x．
因为曲线C2的极坐标方程为，
所以曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣6＝0．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得y2+4y﹣24＝0，
则y1+y2＝﹣4，y1y2＝﹣24．
因为x1+x2＝12﹣（y1+y2）＝16，
所以AB的中点坐标为（8，﹣2），．
所以以AB为直径的圆的直角坐标方程为（x﹣8）2+（y+2）2＝56，
故以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ2﹣16ρcosθ+4ρsinθ+12＝0．
【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 绵阳模拟）已知函数f（x）＝|x|．
（1）求关于x的不等式f（x﹣1）+f（x﹣2）≥x+1的解集；
（2）求证：．
【考点】不等式的证明；绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；分析法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）去绝对值把绝对值的不等式转化为不等式组，求解得答案；
（2）直接利用分析法证明．
【解答】（1）解：f（x﹣1）+f（x﹣2）≥x+1 |x﹣1|+|x﹣2|≥x+1
，或，或，
解得：x或x≥4．
∴不等式f（x﹣1）+f（x﹣2）≥x+1的解集为（﹣∞，]∪[4，+∞）；
（2）证明： ．
要证，需证|a+b|+|a| |a+b|+|b| |a+b|≤|a|+|b|+|a| |a+b|+|b| |a+b|，
即证|a+b|≤|a|+|b|，
此不等式显然成立，故．
【点评】本题考查绝对值不等式的解法，训练了利用分析法证明不等式，是中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数的单调性及单调区间
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＜x2时，都有f（x1）＞f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
判断函数的单调性，有四种方法：定义法；导数法；函数图象法；基本函数的单调性的应用；复合函数遵循“同增异减”；证明方法有定义法；导数法．
单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示；如有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“和”或“，”连结．
设任意x1，x2∈[a，b]且x1≠x2，那么
① f（x）在[a，b]上是增函数；
f（x）在[a，b]上是减函数．
②（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＞0 f（x）在[a，b]上是增函数；
（x1﹣x2）[f（x1）﹣f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上是减函数．
函数的单调区间，定义求解求解一般包括端点值，导数一般是开区间．
【命题方向】
函数的单调性及单调区间．是高考的重点内容，一般是压轴题，常与函数的导数相结合，课改地区单调性定义证明考查大题的可能性比较小．从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的周期性
【知识点的认识】
函数的周期性定义为若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x）＝f（x+T） 恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期．常函数为周期函数，但无最小正周期，其周期为任意实数．
【解题方法点拨】
周期函数一般和偶函数，函数的对称性以及它的图象相结合，考查的内容比较丰富．
①求最小正周期的解法，尽量重复的按照所给的式子多写几个，
例：求f（x）的最小正周期．
解：由题意可知，f（x+2）f（x﹣2） T＝4
②与对称函数或者偶函数相结合求函数与x轴的交点个数．如已知函数在某个小区间与x轴有n个交点，求函数在更大的区间与x轴的交点个数．
思路：第一，这一般是个周期函数，所以先求出周期T；第二，结合函数图象判断交点个数；第三，注意端点的值．
【命题方向】
周期函数、奇偶函数都是高考的常考点，学习是要善于总结并进行归类，灵活运用解题的基本方法，为了高考将仍然以小题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．等差数列的性质
【等差数列】
如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d表示．等差数列的通项公式为：an＝a1+（n﹣1）d；前n项和公式为：Sn＝na1n（n﹣1）或Sn （n∈N+），另一重要特征是若p+q＝2m，则有2am＝ap+aq（p，q，m都为自然数）
例：已知等差数列{an}中，a1＜a2＜a3＜…＜an且a3，a6为方程x2﹣10x+16＝0的两个实根．
（1）求此数列{an}的通项公式；
（2）268是不是此数列中的项？若是，是第多少项？若不是，说明理由．
解：（1）由已知条件得a3＝2，a6＝8．
又∵{an}为等差数列，设首项为a1，公差为d，
∴a1+2d＝2，a1+5d＝8，解得a1＝﹣2，d＝2．
∴an＝﹣2+（n﹣1）×2＝2n﹣4（n∈N*）．
∴数列{an}的通项公式为an＝2n﹣4．
（2）令268＝2n﹣4（n∈N*），解得n＝136．
∴268是此数列的第136项．
这是一个很典型的等差数列题，第一问告诉你第几项和第几项是多少，然后套用等差数列的通项公式an＝a1+（n﹣1）d，求出首项和公差d，这样等差数列就求出来了．第二问判断某个数是不是等差数列的某一项，其实就是要你检验看符不符合通项公式，带进去检验一下就是的．
【等差数列的性质】
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
8．等比数列的通项公式
【知识点的认识】
1．等比数列的定义
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）．从等比数列的定义看，等比数列的任意项都是非零的，公比q也是非零常数．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1 qn﹣1
3．等比中项：
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项． G2＝a b （ab≠0）
4．等比数列的常用性质
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则 ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
9．等比数列的前n项和
【知识点的知识】
1．等比数列的前n项和公式等比数列{an}的公比为q（q≠0），其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
当q≠1时，Sn．
2．等比数列前n项和的性质
公比不为﹣1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n﹣Sn，S3n﹣S2n仍成等比数列，其公比为qn．
10．向量的概念与向量的模
【向量概念】
既有大小又有方向的量叫做向量（如物理中的矢量：速度、加速度、力），只有大小没有方向的量叫做数量（物理中的标量：身高、体重、年龄）．在数学中我们把向量的大小叫做向量的模，这是一个标量．
【向量的几何表示】
用有向线段表示向量，有向线段的长度表示有向向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向．即用表示有向线段的起点、终点的字母表示，例如、，…字母表示，用小写字母、，…表示．有向向量的长度为模，表示为||、||，单位向量表示长度为一个单位的向量；长度为0的向量为零向量．
【向量的模】
的大小，也就是的长度（或称模），记作||．
【零向量】
长度为零的向量叫做零向量，记作，零向量的长度为0，方向不确定．
【单位向量】
长度为一个单位长度的向量叫做单位向量（与共线的单位向量是）．
【相等向量】
长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性．
11．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
12．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
13．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
14．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
15．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
18．由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【知识点的知识】
根据图象确定解析式的方法：
在由图象求三角函数解析式时，若最大值为M，最小值为m，则A，k，ω由周期T确定，即由T求出，φ由特殊点确定．
19．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
20．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
21．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
23．直线与椭圆的综合
v．
24．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
25．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
26．棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积
【知识点的知识】
侧面积和全面积的定义：
（1）侧面积的定义：把柱、锥、台的侧面沿着它们的一条侧棱或母线剪开，所得到的展开图的面积，就是空间几何体的侧面积．
（2）全面积的定义：空间几何体的侧面积与底面积的和叫做空间几何体的全面积．
柱体、锥体、台体的表面积公式（c为底面周长，h为高，h′为斜高，l为母线）
S圆柱表＝2πr（r+l），S圆锥表＝πr（r+l），S圆台表＝π（r2+rl+Rl+R2）
27．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
28．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
29．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
30．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
31．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
32．不等式的证明
【知识点的知识】
证明不等式的基本方法：
1、比较法：
（1）作差比较法
①理论依据：a＞b a﹣b＞0；a＜b a﹣b＜0．
②证明步骤：作差→变形→判断符号→得出结论．
注：作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数（或式子）与0的大小关系．
（2）作商比较法
①理论依据：b＞0，1 a＞b；b＜0，1 a＜b；
②证明步骤：作商→变形→判断与1的大小关系→得出结论．
2、综合法
（1）定义：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得到命题成立，这种证明方法叫做综合法．综合法又叫做推证法或由因导果法．
（2）思路：综合法的思索路线是“由因导果”，也就是从一个（组）已知的不等式出发，不断地用必要条件代替前面的不等式，直至推导出要求证明的不等式．
3、分析法
（1）定义：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法．
（2）思路：分析法的思索路线是“执果索因”，即从要证的不等式出发，不断地用充分条件来代替前面的不等式，直到打到已知不等式为止．
注：综合法和分析法的内在联系是综合法往往是分析法的相反过程，其表述简单、条理清楚．当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来使用，以分析法寻找证明的思路，用综合法叙述、表达整个证明过程．
4、放缩法
（1）定义：证明不等式时，通常把不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的，这种证明方法称为放缩法．
（2）思路：分析证明式的形式特点，适当放大或缩小是证题关键．
常用的放缩技巧有：
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