2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅱ)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅱ)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 501.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:04:40 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷1 (新高考Ⅱ)
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 云南模拟）已知i为虚数单位，设，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2022 山西二模）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（ UA）∩B＝（ ）
A．{0，4，5} B．{0，1，3，4，5} C．{4，5} D．{0}
3．（5分）（2022 萍乡二模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且|AF|＝4，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2021 绵阳模拟）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力．某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧．设∠MON＝2α（α），当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cosα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022春 郑州期中）一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（5分）（2022 张掖模拟）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间X～N（8，1），则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数）
（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤+3σ）≈0.9973．）
A．163 B．51 C．26 D．20
7．（5分）（2022 云南模拟）若a，b＝log32，c＝log54，则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
8．（5分）（2022 河南三模）已知f（x﹣1）为定义在R上的奇函数，f（1）＝0，且f（x）在[﹣1，0）上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，则不等式f（2x﹣5）＜0的解集为（ ）
A．（2，log26） B．（﹣∞，1）∪（2，log26）
C．（log26，+∞） D．（1，2）∪（log26，+∞）
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 海安市模拟）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：中位数为2，众数为3；
乙地：平均数为2，方差为3；
丙地：平均数为3，极差为5；
丁地：平均数为5，众数为6．
则可能发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
（多选）10．（5分）（2022 深圳模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有（ ）
A．F为AA1的中点 B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点 D．F为A1D1的中点
（多选）11．（5分）（2022 锦州模拟）关于直线l：y＝kx+m与圆C：x2+y2＝4，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相切，则m2﹣4k2为定值
B．若m2﹣k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若k＝m+1，则直线l与圆C相离
D．﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件
（多选）12．（5分）（2021秋 淄博月考）1202年意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，著作中收录了一个关于兔子繁殖的有趣问题：如果一对兔子每月能生1对小兔（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？这便是“不死神兔的繁衍生息一一神奇的斐波那契数列”，其定义是递推方式给出的，即满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*）的数列{an}．针对数列{an}，下列说法正确的是（ ）
A．a1+a2+…+an＝an+2﹣1
B．a1+a3+…+a2n﹣1＝a2n
C．a1a2+a2a3+…+anan+1＝an+12
D．3an＝an﹣2+an+2（n≥3）
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 惠州一模）已知双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的标准方程可以是 ．（写出一个正确的方程即可．）
14．（5分）（2022 香坊区校级三模）写出一个同时满足下列性质①②③的函数： ．
①对定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），都有f（x1x2）＝f（x1） f（x2）；
②对任意的x1＞x2＞0，都有；
③f（x）的导函数f'（x）为奇函数．
15．（5分）（2021春 沈阳期末）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，则（2） ．
16．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝ax+bcosx+csinx，其中a，b，c∈R，b2+c2＝1．若f（x）的图象上存在两点处的切线互相垂直，则a+b﹣c的最大值为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 全国卷模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，正项等比数列{bn}的首项为a1，且a1b3+a2b2+a3b1＝15．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求使不等式bn≤（）2成立的所有正整数n组成的集合．
18．（12分）（2022 河南模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2acosC．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若c＝2，7cosC＝2cosB，求△ABC的面积．
19．（12分）（2022 临沭县校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝1，DC＝2，PD＝PC，∠DPC＝90°，∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PDC⊥平面ABCD．
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
20．（12分）（2022 丰台区二模）已知椭圆（a＞b＞0）经过点P（1，2），P到椭圆C的两个焦点的距离和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（4，0），R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．
21．（12分）（2022 合肥二模）通信编码信号利用BEC信道传输，如图1，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．
传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．
华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术（以两个相互独立的BEC信道传输信号为例）：
如图3，信号U2直接从信道2传输；信号U1在传输前先与U2“异或”运算得到信号X1，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号U1或U2．
（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“④”表示：0 0＝0，1 1＝0，1 0＝1，0 1＝1．“异或”运算性质：A B＝C，则A＝C B）．
假设每个信道传输成功的概率均为p（0＜p＜1）．U1，U2＝{0，1}．
（1）在传统传输方案中，设“信号U1和U2均被成功接收”为事件A，求P（A）；
（2）对于极化码技术：
①求信号U1被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定U1的值）的概率；
②若对输入信号U1赋值（如U1＝0）作为已知信号，接收端只解码信号U2，求信号U2被成功解码的概率．
22．（12分）（2022 青羊区校级模拟）已知函数f（x）＝lnx+a（x﹣1）+b（x﹣1）2，a，b∈R．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝0时，求证：f（x）≤0恒成立；
（Ⅱ）当时，探讨函数f（x）的零点个数．
2022年高考数学终极押题密卷1 (新高考Ⅱ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 云南模拟）已知i为虚数单位，设，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵，
∴1﹣2﹣2i＝﹣1﹣2i，
∴复数z在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）（2022 山西二模）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（ UA）∩B＝（ ）
A．{0，4，5} B．{0，1，3，4，5} C．{4，5} D．{0}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】由已知直接利用交、并、补集的混合运算得答案．
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，
∴ UA＝{x|x＜1或x＞3}，又B＝{0，1，2，3，4，5}，
∴（ UA）∩B＝{0，4，5}．
故选：A．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
3．（5分）（2022 萍乡二模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且|AF|＝4，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|＝a+1＝4，解得A点的坐标，设点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣5，2），由对称性可得|PA|+|PF|＝|PA′|+|PF|≥|A′F|，即可得出答案．
【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）
由抛物线的方程可得焦点F（1，0），
则|AF|＝a+1＝4，解得a＝3，
所以A（3，2），
所以点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣5，2），
故|PA|+|PF|＝|PA′|+|PF|≥|A′F|4，
当且仅当A′，P，F三点共线时，等号成立，
即|PA|+|PO|的最小值为4．
故选：D．
【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
4．（5分）（2021 绵阳模拟）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力．某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧．设∠MON＝2α（α），当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角函数模型的应用．
【专题】函数思想；三角函数的图象与性质；解三角形；数学运算．
【分析】用α表示出△PMN的面积函数S（α），导数S′（α），令S′（α）＝0求得极值点，从而求得△PMN面积最大时对应cosα的值．
【解答】解：如图所示，等腰△PMN中，∠MON＝2α（α），
所以△PMN的面积为：
S（α）＝2×（S△OPN+S△OCN）＝2×[20×10×sin（π﹣α）10×10×sin2α]＝200sinα+50sin2α，α∈（0，）；
求导数S′（α）＝200cosα+2×50cos2α＝200cosα+100cos2α＝200cosα+100（2cos2α﹣1）＝100（2cos2α+2cosα﹣1），
令S′（α）＝0，得2cos2α+2cosα﹣1＝0，
解得cosα±；
所以取cosα，此时三角形面积函数取得唯一的极值，也是最大值；
即△PMN的面积最大时，对应的cosα．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数与三角形的面积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
5．（5分）（2022春 郑州期中）一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】棱台的结构特征．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】由题意画出图形，求得正四棱锥的高，再由平行线截线段成比例得答案．
【解答】解：如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，
PA＝10，AB，则AC＝12，
正四棱锥的高PO，
∵正四棱台的侧棱长为5，∴A1为PA的中点，则O1为PO的中点，
可得正四棱台的高为4．
故选：B．
【点评】本题考查多面体的结构特征，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．
6．（5分）（2022 张掖模拟）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间X～N（8，1），则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数）
（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤+3σ）≈0.9973．）
A．163 B．51 C．26 D．20
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：∵X～N（8，1），
∴μ＝8，σ＝1，
P（5＜X＜6）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ﹣2σ）
μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）﹣P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）]
，
∵高三年级有1200名学生，
∴每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为1200×0.0214＝25.68≈26．
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
7．（5分）（2022 云南模拟）若a，b＝log32，c＝log54，则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵0＝log31，
∴0＜b＜c＜1，
又∵，
∴a＞c＞b，
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
8．（5分）（2022 河南三模）已知f（x﹣1）为定义在R上的奇函数，f（1）＝0，且f（x）在[﹣1，0）上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，则不等式f（2x﹣5）＜0的解集为（ ）
A．（2，log26） B．（﹣∞，1）∪（2，log26）
C．（log26，+∞） D．（1，2）∪（log26，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由奇函数的定义推得f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（﹣1）＝0，由f（x）的单调性可得f（x）＜0的解集，结合指数不等式的解法可得所求解集．
【解答】解：由f（x﹣1）为定义在R上的奇函数，可得f（﹣x﹣1）+f（x﹣1）＝0，
即f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（﹣1）＝0，
由f（1）＝0，且f（x）在[﹣1，0）上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
可得f（﹣3）＝﹣f（1）＝0，f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，（﹣2，﹣1）递增，
当x＜﹣3或﹣1＜x＜1时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣1或x＞1时，f（x）＜0．
则不等式f（2x﹣5）＜0等价为﹣3＜2x﹣5＜﹣1或2x﹣5＞1，
解得1＜x＜2或x＞log26，
即所求解集为（1，2）∪（log26，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的对称性和奇偶性的定义和运用，以及指数不等式的解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 海安市模拟）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：中位数为2，众数为3；
乙地：平均数为2，方差为3；
丙地：平均数为3，极差为5；
丁地：平均数为5，众数为6．
则可能发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】应用题；对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，中位数和众数也不能限定；当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小；当总体平均数是2，若有一个数据超过7，其方差就超过3，由此得出符合要求的选项．
【解答】解：甲地，中位数是2，众数是3，如：0，0，0，0，1，3，3，3，3，10，
某天新增疑似病例超过7人，故A正确；
乙地，假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据x，x≥8，
而总体平均数为2，则总体方差S2（x﹣2）2≥3.6＞3，所以假设不成立，
所以符合没有发生大规模群体感染的标志，一定没有发生大规模群体感染，故B错误；
丙地，平均数为3，极差为5，如：0，0，0，0，4，4，4，4，5，9，
不能限制某天新增病例超过7人，故C正确；
丁地，平均数为5，众数为6；如：0，0，3，5，6，6，6，7，7，10，
不能限制某天新增病例超过7人，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了数据的分析与应用问题，也考查了推理与应用能力，是基础题．
（多选）10．（5分）（2022 深圳模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有（ ）
A．F为AA1的中点 B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点 D．F为A1D1的中点
【考点】直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】取棱BC，CC1，D1A1，A1A的中点M，G，H，I，J，说明E与M，G，H，I，J共面，证明平面EMGHIJ∥平面ACD1，即可得，
【解答】解：如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面，
由EM∥AC，AC 平面ACD1，EM 平面ACD1，则EM∥平面ACD1，
同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ内相交直线，
则得平面EMGHIJ∥平面ACD，EF∥平面ACD1，则F∈平面MGHIJ，
观察各选项，ACD满足，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，解题的关键是熟练掌握正方体性质，属于中档题
（多选）11．（5分）（2022 锦州模拟）关于直线l：y＝kx+m与圆C：x2+y2＝4，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相切，则m2﹣4k2为定值
B．若m2﹣k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若k＝m+1，则直线l与圆C相离
D．﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用圆心到直线的距离d＝2，判断A；利用弦长公式，判断B；直线方程与圆的方程联立，利用Δ判断C；利用直线与y轴的交点，判断D．
【解答】解：A．若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，
整理为m2＝4k2+4，即m2﹣4k2＝4，故A正确；
B．弦长，
当m2﹣k2＝1时，，故B正确；
C．联立方程，，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，
Δ＝4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣4），当k＝m+1时，
整理为Δ＝12k2+8k+12＞0恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；
D．直线y＝kx+m与y轴的交点是（0，m），当﹣2＜m＜2时，（0，m）在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，
但反过来，直线与y轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与y轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，
所以﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，命题充分性与必要性的判定等知识，属于中等题．
（多选）12．（5分）（2021秋 淄博月考）1202年意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，著作中收录了一个关于兔子繁殖的有趣问题：如果一对兔子每月能生1对小兔（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？这便是“不死神兔的繁衍生息一一神奇的斐波那契数列”，其定义是递推方式给出的，即满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*）的数列{an}．针对数列{an}，下列说法正确的是（ ）
A．a1+a2+…+an＝an+2﹣1
B．a1+a3+…+a2n﹣1＝a2n
C．a1a2+a2a3+…+anan+1＝an+12
D．3an＝an﹣2+an+2（n≥3）
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用累加法可判断选项A，B，举反例可判断选项C，由an＝an﹣2+an﹣1，an＝an+2﹣an+1可判断选项D．
【解答】解：对于选项A：由an+2＝an+1+an可得an+1＝an+2﹣an，
∴an＝an+1﹣an﹣1，
……
a3＝a4﹣a2，
a2＝a3﹣a1，
将上式累加得：a2＝an+2﹣（a1+a2+……+an），
即a1+a2+……+an＝an+2﹣1，故选项A正确，
对于选项B：由a1＝a2＝1，a3＝a4﹣a2，a5＝a6﹣a4可得，a2n﹣1＝a2n﹣a2n﹣2，
∴a1＝a2，
a3＝a4﹣a2，
a5＝a6﹣a4，
……
a2n﹣1＝a2n﹣a2n﹣2，
将上式累加得：a1+a3+……+a2n﹣1＝a2n，故选项B正确，
对于选项C：利用反例说明，
由an+2＝an+1+an，a1＝a2＝1，得a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，
显然当n＝2时，a1a2+a2a3＝1×1+1×2＝3≠22，故选项C错误，
对于选项D：∵an＝an﹣2+an﹣1，an＝an+2﹣an+1，
∴3an＝an+an+an＝an﹣2+an﹣1+an+2﹣an+1+an＝an﹣2+an+2+an﹣1+an﹣an+1＝an﹣2+an+2，
故选项D正确，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了学生逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 惠州一模）已知双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的标准方程可以是 （答案不唯一） ．（写出一个正确的方程即可．）
【考点】双曲线的性质；双曲线的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b关系，即可写出一个双曲线方程．
【解答】解：双曲线C的渐近线方程为，取双曲线的焦点坐标在x轴，可得，令a＝2，b，
双曲线方程为：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
14．（5分）（2022 香坊区校级三模）写出一个同时满足下列性质①②③的函数： f（x）＝x2 ．
①对定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），都有f（x1x2）＝f（x1） f（x2）；
②对任意的x1＞x2＞0，都有；
③f（x）的导函数f'（x）为奇函数．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；导数的运算；函数单调性的性质与判断．
【专题】对应思想；定义法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】③导函数为奇函数，原函数为偶函数，②联想函数为下凸函数，①联想对应法则是积的形式，由此联想初等函数．
【解答】解：由三个性质联想f（x）＝x2，
①对定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），；
②对任意的x1＞x2＞0，
，
所以；
③f'（x）＝2x为奇函数．
故答案为：f（x）＝x2（答案不唯一，例如f（x）＝x4也满足）
【点评】本题考查了导函数的求法，函数的奇偶性和单调性的定义，属基础题．
15．（5分）（2021春 沈阳期末）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，则（2） 10 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：∵向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，
∴（2） 2 2×4﹣2×2×（）＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了向量的数量积的运算，模的计算，属于基础题．
16．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝ax+bcosx+csinx，其中a，b，c∈R，b2+c2＝1．若f（x）的图象上存在两点处的切线互相垂直，则a+b﹣c的最大值为 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据b2+c2＝1，可设b＝cosθ，c＝sinθ，则f′（x）＝a+sin（θ﹣x），从而可得a﹣1≤f′（x）≤a+1，根据题意可得存在x1，x2使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1，则（a﹣1）（a+1）≤﹣1，求得a，再根据三角函数的性质即可得出答案．
【解答】解：因为b2+c2＝1，
故设b＝cosθ，c＝sinθ，
f′（x）＝a﹣bsinx+ccosx＝a﹣cosθsinx+sinθcosx＝a+sin（θ﹣x），
所以a﹣1≤f′（x）≤a+1，
若f（x）的图象上存在两点处的切线互相垂直，
即存在x1，x2使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1，
则只需要（a﹣1）（a+1）≤﹣1即可，
则a2≤0，所以a＝0，
所以a+b﹣c＝cosθ﹣sinθcos（θ），
所以a+b﹣c的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 全国卷模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，正项等比数列{bn}的首项为a1，且a1b3+a2b2+a3b1＝15．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求使不等式bn≤（）2成立的所有正整数n组成的集合．
【考点】数列与不等式的综合．
【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由Sn与an的关系可求得an＝2n﹣1，由等比数列的基本量，可得；
（2）根据单调性及不等式的解可求解问题．
【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为，
所以当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，
a1＝1满足上式，故an＝2n﹣1，
所以a2＝3，a3＝5，
从而a1b3+a2b2+a3b1＝15，化为b3+3b2+5b1＝15，
又因为数列{bn}为正项等比数列且b1＝a1＝1，
设公比为q，且q＞0，
又，
解得q＝2或q＝﹣5（舍），
从而．
（2）不等式转化为2n﹣1≤（n﹣1）2，
即，
记，
当n≥5时，，
从而f（n）单调递减，所以f（n）＜1，
因此使不等式成立的所有正整数n组成的集合为{3，4，5}．
【点评】本题考查了数列的递推关系，等比数列的通项公式以及数列与不等式的综合，属于中档题．
18．（12分）（2022 河南模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2acosC．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若c＝2，7cosC＝2cosB，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；三角形的形状判断．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可证明；
（2）由已知结合诱导公式及二倍角公式化简可求cosC，进而可求cosB，sinB，然后结合三角形面积公式可求．
【解答】（1）证明：因为b＝2acosC，由正弦定理可知，sinB＝2sinAcosC，
即sin（A+C）＝2sinAcosC，所以sinCcosA＝sinAcosC，
所以tanA＝tanC，所以A＝C，即a＝c，即△ABC为等腰三角形；
（2）解：由（1）可知，A＝C，所以B＝π﹣2C，
所以7cosC＝2cosB＝2cos（π﹣2C）＝﹣2cos2C＝2﹣4cos2C，
整理得4cos2C+7cosC﹣2＝0，解得，所以，
所以，
所以△ABC的面积．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角及二倍角公式，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
19．（12分）（2022 临沭县校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝1，DC＝2，PD＝PC，∠DPC＝90°，∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PDC⊥平面ABCD．
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】（1）根据平面PDC⊥平面ABCD，得到BC⊥PCD，再根据线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量，代入公式计算即可．
【解答】证明：（1）∵∠DPC＝90°，
∴PD⊥PC，①
∵平面PDC⊥平面ABCD，
又BC⊥CD且平面PDC∩平面ABCD＝CD，
∴BC⊥平面PCD，
∴BC⊥PD，②
由①②可知，PD⊥平面PBC；
解：（2）取CD中点O，∵PD＝PC且O为CD中点，
∴PO⊥CD，又AB＝OC，∴AO⊥CD，
以O为原点，OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴（﹣1，0，1），（0，1，﹣1），
设平面APC法向量（x1，y1，z1），
，∴，
令x1＝1，则y1＝z1＝1，
∴平面APC法向量（1，1，1），
同理平面PCB的法向量为（0，1，1），
∴cos，
因为二面角A﹣PC﹣B的平面角为锐角，
二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
20．（12分）（2022 丰台区二模）已知椭圆（a＞b＞0）经过点P（1，2），P到椭圆C的两个焦点的距离和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（4，0），R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆定义，可求得a值，将P点坐标代入，即可求得b2，即可得答案；
（Ⅱ）由题意可得R点坐标和直线PQ的斜率，即可设直线的方 为，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xm，ym），N（xn，yn），可得直线AQ的方程为，与椭圆联立，即可求得ym，xm表达式，同理可得n，xn表达式，即可求导直线MN的斜率，再求得直线MR的斜率，分析即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆的定义可得，解得，
又过点P（2，1），所以，解得b2＝2，
所以椭圆C的方程为；
证明：（Ⅱ）因为P（2，1），Q（4，0），
所以，
设直线的方程为，
所以，
所以直线AQ的方程为，直线BQ的方程为，
联立直线AQ与椭圆，消去x可得，
所以，又代入，
整理可得，代入直线AQ，可得，
同理可得，
所以，
又，
所以M，N，R三点共线．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于难题．
21．（12分）（2022 合肥二模）通信编码信号利用BEC信道传输，如图1，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．
传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．
华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术（以两个相互独立的BEC信道传输信号为例）：
如图3，信号U2直接从信道2传输；信号U1在传输前先与U2“异或”运算得到信号X1，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号U1或U2．
（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“④”表示：0 0＝0，1 1＝0，1 0＝1，0 1＝1．“异或”运算性质：A B＝C，则A＝C B）．
假设每个信道传输成功的概率均为p（0＜p＜1）．U1，U2＝{0，1}．
（1）在传统传输方案中，设“信号U1和U2均被成功接收”为事件A，求P（A）；
（2）对于极化码技术：
①求信号U1被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定U1的值）的概率；
②若对输入信号U1赋值（如U1＝0）作为已知信号，接收端只解码信号U2，求信号U2被成功解码的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得答案；
（2）（1）当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由U2、X1的值可确定U1的值；
（2）若信道2传输失败、信道1传输成功，U2被成功解码的概率为（1﹣p）p；若信道2、信道1都传输失败，此时信号U2无法成功解码；由此可求得答案．
【解答】解：（1）设“信号U和U2均被成功接收”为事件A，则P（A）＝p p＝p2；
（2）①∵U1 U2＝X1，∴U1＝U2 X1，
当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由U2、X1的值可确定U1的值，所以信号U1被成功解码的概率为p2；
②若信道2传输成功，则信号U2被成功解码，概率为p，
若信道2传输失败、信道1传输成功，则U2＝U1 X1，因为U1为已知信号，信号U2仍然可以被成功解码，此时U2被成功解码的概率为（1﹣p）p，
若信道2、信道1都传输失败，此时信号U2无法成功解码，
综上可得，信号U2被成功解码的概率为p+p（1﹣p）＝2p﹣p2．
【点评】本题考查了独立事件的概率乘法，属于中档题．
22．（12分）（2022 青羊区校级模拟）已知函数f（x）＝lnx+a（x﹣1）+b（x﹣1）2，a，b∈R．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝0时，求证：f（x）≤0恒成立；
（Ⅱ）当时，探讨函数f（x）的零点个数．
【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的最值．
【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；直观想象；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意，求得解析式，求导，令f′（x）＝0，求得极值点，分析可得x∈（0，1）和（1，+∞）时，f（x）的单调性，分析即可得证
（Ⅱ）分别讨论a＞0、a＝0和a＜0三种情况，根据对数函数、二次函数的性质，利用导数判断函数单调性和极最值，分析即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：当a＝﹣1，b＝0时，f（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），
所以f′（x）1，
令f′（x）＝0，解得x＝1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
所以f（x）max＝f（1）＝0，即f（x）≤0恒成立．
（Ⅱ）当时，f（x）＝lnx+a（x﹣1）（x﹣1）2＝lnx（x﹣1）（3﹣x），（x＞0），
令f（x）＝lnx（x﹣1）（3﹣x）＝0，则lnx（x﹣1）（x﹣3），
当a＞0时，函数g（x）（x﹣1）（x﹣3）为开口向上的抛物线，且g（1）＝g（3）＝0，
所以y＝lnx与g（x）图象有2个交点，如图所示
当a＝0时，f（x）＝lnx＝0，解得x＝1，故只有1个零点；
当a＜0时，f′（x）[1×（3﹣x）+（﹣1）（x﹣1）]a（2﹣x），
令h（x）＝1+a（2x﹣x2）＝﹣ax2+2ax+1，为开口向上的抛物线，
令Δ＝（2a）2﹣4（﹣a）×1＝4a2+4a≤0，解得﹣1≤a＜0，
此时f′（x）≥0恒成立，所以f（x）为单调递增函数，又f（1）＝0，
所以f（x）＝0有唯一根x＝1，即f（x）有1个零点；
令Δ＞0时，解得a＜﹣1或a＞0（舍），
此时令h（x）＝0，解得x1＝1，x2＝1，
因为a＜﹣1，所以∈（﹣1，0），
所以x1∈（0，1），x2∈（1，2），
所以当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）为增函数，
当x∈（x1，x2）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）为减函数，
又f（1）＝0，
所以f（x）极大值＝f（x1）＝ln（1）（2）＞0，
当x→0时，f（x）＝lnx（x﹣1）（3﹣x）→﹣∞，
所以x∈（0，x1）时，存在唯一x，使f（x）＝0，
f（x）极小值＝f（x2）＝ln（1）（2）＜0，且f（3）＝ln3＞0，
所以x∈（x2，+∞）时，存在唯一x，使f（x）＝0，
所以f（x）＝0有三个根，即f（x）有3个零点
综上：当a＞0时，f（x）有2个零点，
当﹣1≤a≤时，f（x）有1个零点，
当a＜﹣1时，f（x）有3个零点．
【点评】本题考查了函数的零点、利用导数求函数的极值及分类讨论思想，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）f（﹣x） a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
5．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
7．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b 20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．数列与不等式的综合
【知识点的知识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
【解题方法点拨】
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；
（2）将分子或分母放大（或缩小）；
（3）利用基本不等式；；
（4）二项式放缩；
（5）利用常用结论；
（6）利用函数单调性．
（7）常见模型：
①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．
【典型例题分析】
题型一：等比模型
典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足n+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对于n≥2，．
解答：（Ⅰ）由①，
当n≥2时，得②，
①﹣②得．
∴．
又，得a1＝7不适合上式．
综上得；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，．
∴．
∴当n≥2时，．
题型二：裂项相消模型
典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．
（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．
解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+an2①成立
∴（n≥2）②
①﹣②得2an＝an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）
∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）
（2）解：由（1）可知∵
∴
【解题方法点拨】
（1）放缩的方向要一致．
（2）放与缩要适度．
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．
12．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
13．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z0且z≠0．
14．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
15．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x），则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.50.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝ ．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
18．三角形的形状判断
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
19．三角函数模型的应用
【知识点的知识】
1． 三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2． 解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
20．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
22．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
23．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
24．双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2
离心率 e（e＞1） e（e＞1）
渐近线 即y＝±x 即y＝±x
准线 x＝± y＝±
25．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
26．直线与椭圆的综合
v．
27．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
28．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
29．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
30．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
第2页（共2页）
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 云南模拟）已知i为虚数单位，设，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．（5分）（2022 山西二模）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（ UA）∩B＝（ ）
A．{0，4，5} B．{0，1，3，4，5} C．{4，5} D．{0}
3．（5分）（2022 萍乡二模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且|AF|＝4，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2021 绵阳模拟）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力．某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧．设∠MON＝2α（α），当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cosα＝（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022春 郑州期中）一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．（5分）（2022 张掖模拟）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间X～N（8，1），则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数）
（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤+3σ）≈0.9973．）
A．163 B．51 C．26 D．20
7．（5分）（2022 云南模拟）若a，b＝log32，c＝log54，则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
8．（5分）（2022 河南三模）已知f（x﹣1）为定义在R上的奇函数，f（1）＝0，且f（x）在[﹣1，0）上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，则不等式f（2x﹣5）＜0的解集为（ ）
A．（2，log26） B．（﹣∞，1）∪（2，log26）
C．（log26，+∞） D．（1，2）∪（log26，+∞）
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 海安市模拟）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：中位数为2，众数为3；
乙地：平均数为2，方差为3；
丙地：平均数为3，极差为5；
丁地：平均数为5，众数为6．
则可能发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
（多选）10．（5分）（2022 深圳模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有（ ）
A．F为AA1的中点 B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点 D．F为A1D1的中点
（多选）11．（5分）（2022 锦州模拟）关于直线l：y＝kx+m与圆C：x2+y2＝4，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相切，则m2﹣4k2为定值
B．若m2﹣k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若k＝m+1，则直线l与圆C相离
D．﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件
（多选）12．（5分）（2021秋 淄博月考）1202年意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，著作中收录了一个关于兔子繁殖的有趣问题：如果一对兔子每月能生1对小兔（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？这便是“不死神兔的繁衍生息一一神奇的斐波那契数列”，其定义是递推方式给出的，即满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*）的数列{an}．针对数列{an}，下列说法正确的是（ ）
A．a1+a2+…+an＝an+2﹣1
B．a1+a3+…+a2n﹣1＝a2n
C．a1a2+a2a3+…+anan+1＝an+12
D．3an＝an﹣2+an+2（n≥3）
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 惠州一模）已知双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的标准方程可以是 ．（写出一个正确的方程即可．）
14．（5分）（2022 香坊区校级三模）写出一个同时满足下列性质①②③的函数： ．
①对定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），都有f（x1x2）＝f（x1） f（x2）；
②对任意的x1＞x2＞0，都有；
③f（x）的导函数f'（x）为奇函数．
15．（5分）（2021春 沈阳期末）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，则（2） ．
16．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝ax+bcosx+csinx，其中a，b，c∈R，b2+c2＝1．若f（x）的图象上存在两点处的切线互相垂直，则a+b﹣c的最大值为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 全国卷模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，正项等比数列{bn}的首项为a1，且a1b3+a2b2+a3b1＝15．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求使不等式bn≤（）2成立的所有正整数n组成的集合．
18．（12分）（2022 河南模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2acosC．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若c＝2，7cosC＝2cosB，求△ABC的面积．
19．（12分）（2022 临沭县校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝1，DC＝2，PD＝PC，∠DPC＝90°，∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PDC⊥平面ABCD．
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
20．（12分）（2022 丰台区二模）已知椭圆（a＞b＞0）经过点P（1，2），P到椭圆C的两个焦点的距离和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（4，0），R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．
21．（12分）（2022 合肥二模）通信编码信号利用BEC信道传输，如图1，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．
传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．
华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术（以两个相互独立的BEC信道传输信号为例）：
如图3，信号U2直接从信道2传输；信号U1在传输前先与U2“异或”运算得到信号X1，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号U1或U2．
（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“④”表示：0 0＝0，1 1＝0，1 0＝1，0 1＝1．“异或”运算性质：A B＝C，则A＝C B）．
假设每个信道传输成功的概率均为p（0＜p＜1）．U1，U2＝{0，1}．
（1）在传统传输方案中，设“信号U1和U2均被成功接收”为事件A，求P（A）；
（2）对于极化码技术：
①求信号U1被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定U1的值）的概率；
②若对输入信号U1赋值（如U1＝0）作为已知信号，接收端只解码信号U2，求信号U2被成功解码的概率．
22．（12分）（2022 青羊区校级模拟）已知函数f（x）＝lnx+a（x﹣1）+b（x﹣1）2，a，b∈R．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝0时，求证：f（x）≤0恒成立；
（Ⅱ）当时，探讨函数f（x）的零点个数．
2022年高考数学终极押题密卷1 (新高考Ⅱ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 云南模拟）已知i为虚数单位，设，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的乘除法原则和复数的几何意义，即可求解．
【解答】解：∵，
∴1﹣2﹣2i＝﹣1﹣2i，
∴复数z在复平面内对应的点（﹣1，﹣2）位于第三象限．
故选：C．
【点评】本题考查了复数的几何意义，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
2．（5分）（2022 山西二模）设全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{0，1，2，3，4，5}，则（ UA）∩B＝（ ）
A．{0，4，5} B．{0，1，3，4，5} C．{4，5} D．{0}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】由已知直接利用交、并、补集的混合运算得答案．
【解答】解：∵全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤3}，
∴ UA＝{x|x＜1或x＞3}，又B＝{0，1，2，3，4，5}，
∴（ UA）∩B＝{0，4，5}．
故选：A．
【点评】本题考查交、并、补集的混合运算，是基础题．
3．（5分）（2022 萍乡二模）抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，点P是准线l上的动点，若点A在抛物线C上，且|AF|＝4，则|PA|+|PF|的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b），由抛物线的定义可得|AF|＝a+1＝4，解得A点的坐标，设点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣5，2），由对称性可得|PA|+|PF|＝|PA′|+|PF|≥|A′F|，即可得出答案．
【解答】解：不妨设A为第一象限内的点，坐标为（a，b）
由抛物线的方程可得焦点F（1，0），
则|AF|＝a+1＝4，解得a＝3，
所以A（3，2），
所以点A关于直线x＝﹣1的对称点为A′（﹣5，2），
故|PA|+|PF|＝|PA′|+|PF|≥|A′F|4，
当且仅当A′，P，F三点共线时，等号成立，
即|PA|+|PO|的最小值为4．
故选：D．
【点评】本题考查图形的对称性，抛物线的定义，解题中注意数形结合思想的应用，属于中档题．
4．（5分）（2021 绵阳模拟）某城市要在广场中央的圆形地面设计一块浮雕，以彰显城市积极向上的活力．某公司设计方案如图，等腰△PMN的顶点P在半径为20m的大⊙O上，点M，N在半径为10m的小⊙O上，点O，点P在弦MN的同侧．设∠MON＝2α（α），当△PMN的面积最大时，对于其它区域中的某材料成本最省，则此时cosα＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角函数模型的应用．
【专题】函数思想；三角函数的图象与性质；解三角形；数学运算．
【分析】用α表示出△PMN的面积函数S（α），导数S′（α），令S′（α）＝0求得极值点，从而求得△PMN面积最大时对应cosα的值．
【解答】解：如图所示，等腰△PMN中，∠MON＝2α（α），
所以△PMN的面积为：
S（α）＝2×（S△OPN+S△OCN）＝2×[20×10×sin（π﹣α）10×10×sin2α]＝200sinα+50sin2α，α∈（0，）；
求导数S′（α）＝200cosα+2×50cos2α＝200cosα+100cos2α＝200cosα+100（2cos2α﹣1）＝100（2cos2α+2cosα﹣1），
令S′（α）＝0，得2cos2α+2cosα﹣1＝0，
解得cosα±；
所以取cosα，此时三角形面积函数取得唯一的极值，也是最大值；
即△PMN的面积最大时，对应的cosα．
故选：C．
【点评】本题考查了三角函数与三角形的面积计算问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
5．（5分）（2022春 郑州期中）一个正四棱锥的侧棱长为10，底面边长为，该四棱锥截去一个小四棱锥后得到一个正四棱台，正四棱台的侧棱长为5，则正四棱台的高为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【考点】棱台的结构特征．
【专题】转化思想；数形结合法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】由题意画出图形，求得正四棱锥的高，再由平行线截线段成比例得答案．
【解答】解：如图，在正四棱锥P﹣ABCD中，
PA＝10，AB，则AC＝12，
正四棱锥的高PO，
∵正四棱台的侧棱长为5，∴A1为PA的中点，则O1为PO的中点，
可得正四棱台的高为4．
故选：B．
【点评】本题考查多面体的结构特征，考查空间想象能力与运算求解能力，是基础题．
6．（5分）（2022 张掖模拟）良好的睡眠是保证高中学生良好学习状态的基础，为了解某校高三学生的睡眠状况，该校调查了高三年级1200名学生的睡眠时间（单位：小时），经调查发现，这1200名学生每天的睡眠时间X～N（8，1），则每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为（ ）（结果四舍五入保留整数）
（附：若X～N（μ，σ2），则P（μ﹣σ≤X≤μ+σ）≈0.6827，P（μ﹣2σ≤X≤μ+2σ）≈0.9545，P（μ﹣3σ≤X≤+3σ）≈0.9973．）
A．163 B．51 C．26 D．20
【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
【解答】解：∵X～N（8，1），
∴μ＝8，σ＝1，
P（5＜X＜6）＝P（μ﹣3σ＜X＜μ﹣2σ）
μ﹣3σ＜X＜μ+3σ）﹣P（μ﹣2σ＜X＜μ+2σ）]
，
∵高三年级有1200名学生，
∴每天的睡眠时间为5～6小时的学生人数约为1200×0.0214＝25.68≈26．
故选：C．
【点评】本题主要考查正态分布的对称性，以及频率与频数的关系，属于基础题．
7．（5分）（2022 云南模拟）若a，b＝log32，c＝log54，则（ ）
A．c＞a＞b B．b＞a＞c C．a＞b＞c D．a＞c＞b
【考点】对数值大小的比较．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解．
【解答】解：∵0＝log31，
∴0＜b＜c＜1，
又∵，
∴a＞c＞b，
故选：D．
【点评】本题考查三个数的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用．
8．（5分）（2022 河南三模）已知f（x﹣1）为定义在R上的奇函数，f（1）＝0，且f（x）在[﹣1，0）上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，则不等式f（2x﹣5）＜0的解集为（ ）
A．（2，log26） B．（﹣∞，1）∪（2，log26）
C．（log26，+∞） D．（1，2）∪（log26，+∞）
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】转化思想；综合法；函数的性质及应用；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由奇函数的定义推得f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（﹣1）＝0，由f（x）的单调性可得f（x）＜0的解集，结合指数不等式的解法可得所求解集．
【解答】解：由f（x﹣1）为定义在R上的奇函数，可得f（﹣x﹣1）+f（x﹣1）＝0，
即f（x）的图象关于点（﹣1，0）对称，且f（﹣1）＝0，
由f（1）＝0，且f（x）在[﹣1，0）上单调递增，在[0，+∞）上单调递减，
可得f（﹣3）＝﹣f（1）＝0，f（x）在（﹣∞，﹣2）递减，（﹣2，﹣1）递增，
当x＜﹣3或﹣1＜x＜1时，f（x）＞0；当﹣3＜x＜﹣1或x＞1时，f（x）＜0．
则不等式f（2x﹣5）＜0等价为﹣3＜2x﹣5＜﹣1或2x﹣5＞1，
解得1＜x＜2或x＞log26，
即所求解集为（1，2）∪（log26，+∞）．
故选：D．
【点评】本题考查函数的对称性和奇偶性的定义和运用，以及指数不等式的解法，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 海安市模拟）在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有发生大规模群体感染的标志为：“连续10日，每天新增疑似病例不超过7人”．过去10日，甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据信息如下：
甲地：中位数为2，众数为3；
乙地：平均数为2，方差为3；
丙地：平均数为3，极差为5；
丁地：平均数为5，众数为6．
则可能发生大规模群体感染的是（ ）
A．甲地 B．乙地 C．丙地 D．丁地
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】应用题；对应思想；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】平均数和中位数不能限制某一天的病例超过7人，中位数和众数也不能限定；当总体方差大于0，不知道总体方差的具体数值，因此不能确定数据的波动大小；当总体平均数是2，若有一个数据超过7，其方差就超过3，由此得出符合要求的选项．
【解答】解：甲地，中位数是2，众数是3，如：0，0，0，0，1，3，3，3，3，10，
某天新增疑似病例超过7人，故A正确；
乙地，假设过去10天新增疑似病例数据存在一个数据x，x≥8，
而总体平均数为2，则总体方差S2（x﹣2）2≥3.6＞3，所以假设不成立，
所以符合没有发生大规模群体感染的标志，一定没有发生大规模群体感染，故B错误；
丙地，平均数为3，极差为5，如：0，0，0，0，4，4，4，4，5，9，
不能限制某天新增病例超过7人，故C正确；
丁地，平均数为5，众数为6；如：0，0，3，5，6，6，6，7，7，10，
不能限制某天新增病例超过7人，故D正确．
故选：ACD．
【点评】本题考查了数据的分析与应用问题，也考查了推理与应用能力，是基础题．
（多选）10．（5分）（2022 深圳模拟）如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为AB的中点，则下列条件中，能使直线EF∥平面ACD1的有（ ）
A．F为AA1的中点 B．F为BB1的中点
C．F为CC1的中点 D．F为A1D1的中点
【考点】直线与平面平行．
【专题】转化思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】取棱BC，CC1，D1A1，A1A的中点M，G，H，I，J，说明E与M，G，H，I，J共面，证明平面EMGHIJ∥平面ACD1，即可得，
【解答】解：如图，M，G，H，I，J分别是棱BC，CC1，D1A1，A1A的中点，易证E与M，G，H，I，J共面，
由EM∥AC，AC 平面ACD1，EM 平面ACD1，则EM∥平面ACD1，
同理EJ∥平面ACD1，而EM，EJ是平面EMGHIJ内相交直线，
则得平面EMGHIJ∥平面ACD，EF∥平面ACD1，则F∈平面MGHIJ，
观察各选项，ACD满足，
故选：ACD．
【点评】本题主要考查了直线与平面平行的判定，解题的关键是熟练掌握正方体性质，属于中档题
（多选）11．（5分）（2022 锦州模拟）关于直线l：y＝kx+m与圆C：x2+y2＝4，下列说法正确的是（ ）
A．若直线l与圆C相切，则m2﹣4k2为定值
B．若m2﹣k2＝1，则直线l被圆C截得的弦长为定值
C．若k＝m+1，则直线l与圆C相离
D．﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件
【考点】直线与圆的位置关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；直线与圆；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用圆心到直线的距离d＝2，判断A；利用弦长公式，判断B；直线方程与圆的方程联立，利用Δ判断C；利用直线与y轴的交点，判断D．
【解答】解：A．若直线l与圆C相切，则圆心到直线的距离，
整理为m2＝4k2+4，即m2﹣4k2＝4，故A正确；
B．弦长，
当m2﹣k2＝1时，，故B正确；
C．联立方程，，得（1+k2）x2+2kmx+m2﹣4＝0，
Δ＝4k2m2﹣4（1+k2）（m2﹣4），当k＝m+1时，
整理为Δ＝12k2+8k+12＞0恒成立，所以直线与圆相交，故C错误；
D．直线y＝kx+m与y轴的交点是（0，m），当﹣2＜m＜2时，（0，m）在圆内，过圆内的点的直线一定与圆有交点，
但反过来，直线与y轴的交点在圆上的直线也与圆有交点，或直线与y轴的交点在圆外，也有直线与圆相交，
所以﹣2＜m＜2是直线l与圆C有公共点的充分不必要条件，故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题主要考查直线与圆的位置关系，圆的弦长公式，命题充分性与必要性的判定等知识，属于中等题．
（多选）12．（5分）（2021秋 淄博月考）1202年意大利数学家斐波那契出版了他的《算盘全书》，著作中收录了一个关于兔子繁殖的有趣问题：如果一对兔子每月能生1对小兔（一雌一雄），而每1对小兔子在它出生后的第3个月里，又能生1对小兔子，假定在不发生死亡的情况下，由1对初生的小兔子开始，50个月后会有多少对兔子？这便是“不死神兔的繁衍生息一一神奇的斐波那契数列”，其定义是递推方式给出的，即满足：a1＝a2＝1，an+2＝an+1+an（n∈N*）的数列{an}．针对数列{an}，下列说法正确的是（ ）
A．a1+a2+…+an＝an+2﹣1
B．a1+a3+…+a2n﹣1＝a2n
C．a1a2+a2a3+…+anan+1＝an+12
D．3an＝an﹣2+an+2（n≥3）
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用累加法可判断选项A，B，举反例可判断选项C，由an＝an﹣2+an﹣1，an＝an+2﹣an+1可判断选项D．
【解答】解：对于选项A：由an+2＝an+1+an可得an+1＝an+2﹣an，
∴an＝an+1﹣an﹣1，
……
a3＝a4﹣a2，
a2＝a3﹣a1，
将上式累加得：a2＝an+2﹣（a1+a2+……+an），
即a1+a2+……+an＝an+2﹣1，故选项A正确，
对于选项B：由a1＝a2＝1，a3＝a4﹣a2，a5＝a6﹣a4可得，a2n﹣1＝a2n﹣a2n﹣2，
∴a1＝a2，
a3＝a4﹣a2，
a5＝a6﹣a4，
……
a2n﹣1＝a2n﹣a2n﹣2，
将上式累加得：a1+a3+……+a2n﹣1＝a2n，故选项B正确，
对于选项C：利用反例说明，
由an+2＝an+1+an，a1＝a2＝1，得a3＝2，a4＝3，a5＝5，a6＝8，
显然当n＝2时，a1a2+a2a3＝1×1+1×2＝3≠22，故选项C错误，
对于选项D：∵an＝an﹣2+an﹣1，an＝an+2﹣an+1，
∴3an＝an+an+an＝an﹣2+an﹣1+an+2﹣an+1+an＝an﹣2+an+2+an﹣1+an﹣an+1＝an﹣2+an+2，
故选项D正确，
故选：ABD．
【点评】本题主要考查了数列的递推式，考查了学生逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 惠州一模）已知双曲线C的渐近线方程为，则双曲线C的标准方程可以是 （答案不唯一） ．（写出一个正确的方程即可．）
【考点】双曲线的性质；双曲线的标准方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用双曲线的渐近线方程，推出a，b关系，即可写出一个双曲线方程．
【解答】解：双曲线C的渐近线方程为，取双曲线的焦点坐标在x轴，可得，令a＝2，b，
双曲线方程为：．
故答案为：（答案不唯一）．
【点评】本题考查双曲线的简单性质，渐近线方程的应用，双曲线方程的求法，是基础题．
14．（5分）（2022 香坊区校级三模）写出一个同时满足下列性质①②③的函数： f（x）＝x2 ．
①对定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），都有f（x1x2）＝f（x1） f（x2）；
②对任意的x1＞x2＞0，都有；
③f（x）的导函数f'（x）为奇函数．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；导数的运算；函数单调性的性质与判断．
【专题】对应思想；定义法；导数的综合应用；逻辑推理．
【分析】③导函数为奇函数，原函数为偶函数，②联想函数为下凸函数，①联想对应法则是积的形式，由此联想初等函数．
【解答】解：由三个性质联想f（x）＝x2，
①对定义域内任意的x1，x2（x1≠x2），；
②对任意的x1＞x2＞0，
，
所以；
③f'（x）＝2x为奇函数．
故答案为：f（x）＝x2（答案不唯一，例如f（x）＝x4也满足）
【点评】本题考查了导函数的求法，函数的奇偶性和单调性的定义，属基础题．
15．（5分）（2021春 沈阳期末）已知向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，则（2） 10 ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据向量的数量积公式计算即可．
【解答】解：∵向量和的夹角为120°，且||＝2，||＝2，
∴（2） 2 2×4﹣2×2×（）＝10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了向量的数量积的运算，模的计算，属于基础题．
16．（5分）（2022 河南模拟）已知函数f（x）＝ax+bcosx+csinx，其中a，b，c∈R，b2+c2＝1．若f（x）的图象上存在两点处的切线互相垂直，则a+b﹣c的最大值为 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】根据b2+c2＝1，可设b＝cosθ，c＝sinθ，则f′（x）＝a+sin（θ﹣x），从而可得a﹣1≤f′（x）≤a+1，根据题意可得存在x1，x2使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1，则（a﹣1）（a+1）≤﹣1，求得a，再根据三角函数的性质即可得出答案．
【解答】解：因为b2+c2＝1，
故设b＝cosθ，c＝sinθ，
f′（x）＝a﹣bsinx+ccosx＝a﹣cosθsinx+sinθcosx＝a+sin（θ﹣x），
所以a﹣1≤f′（x）≤a+1，
若f（x）的图象上存在两点处的切线互相垂直，
即存在x1，x2使得f′（x1）f′（x2）＝﹣1，
则只需要（a﹣1）（a+1）≤﹣1即可，
则a2≤0，所以a＝0，
所以a+b﹣c＝cosθ﹣sinθcos（θ），
所以a+b﹣c的最大值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查导数的几何意义，考查转化思想与运算求解能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 全国卷模拟）已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2，正项等比数列{bn}的首项为a1，且a1b3+a2b2+a3b1＝15．
（1）求数列{an}和{bn}的通项公式；
（2）求使不等式bn≤（）2成立的所有正整数n组成的集合．
【考点】数列与不等式的综合．
【专题】计算题；函数思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）由Sn与an的关系可求得an＝2n﹣1，由等比数列的基本量，可得；
（2）根据单调性及不等式的解可求解问题．
【解答】解：（1）因为数列{an}的前n项和为，
所以当n＝1时，a1＝1，
当n≥2时，an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣1，
a1＝1满足上式，故an＝2n﹣1，
所以a2＝3，a3＝5，
从而a1b3+a2b2+a3b1＝15，化为b3+3b2+5b1＝15，
又因为数列{bn}为正项等比数列且b1＝a1＝1，
设公比为q，且q＞0，
又，
解得q＝2或q＝﹣5（舍），
从而．
（2）不等式转化为2n﹣1≤（n﹣1）2，
即，
记，
当n≥5时，，
从而f（n）单调递减，所以f（n）＜1，
因此使不等式成立的所有正整数n组成的集合为{3，4，5}．
【点评】本题考查了数列的递推关系，等比数列的通项公式以及数列与不等式的综合，属于中档题．
18．（12分）（2022 河南模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b＝2acosC．
（1）证明：△ABC为等腰三角形；
（2）若c＝2，7cosC＝2cosB，求△ABC的面积．
【考点】正弦定理；三角形的形状判断．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简可证明；
（2）由已知结合诱导公式及二倍角公式化简可求cosC，进而可求cosB，sinB，然后结合三角形面积公式可求．
【解答】（1）证明：因为b＝2acosC，由正弦定理可知，sinB＝2sinAcosC，
即sin（A+C）＝2sinAcosC，所以sinCcosA＝sinAcosC，
所以tanA＝tanC，所以A＝C，即a＝c，即△ABC为等腰三角形；
（2）解：由（1）可知，A＝C，所以B＝π﹣2C，
所以7cosC＝2cosB＝2cos（π﹣2C）＝﹣2cos2C＝2﹣4cos2C，
整理得4cos2C+7cosC﹣2＝0，解得，所以，
所以，
所以△ABC的面积．
【点评】本题主要考查了正弦定理，和差角及二倍角公式，三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
19．（12分）（2022 临沭县校级模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB＝BC＝1，DC＝2，PD＝PC，∠DPC＝90°，∠DCB＝∠CBA＝90°，平面PDC⊥平面ABCD．
（1）证明：PD⊥平面PBC；
（2）求二面角A﹣PC﹣B的余弦值．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】（1）根据平面PDC⊥平面ABCD，得到BC⊥PCD，再根据线面垂直的判定定理即可证明；（2）建立如图空间直角坐标系后，分别求出两个平面的法向量，代入公式计算即可．
【解答】证明：（1）∵∠DPC＝90°，
∴PD⊥PC，①
∵平面PDC⊥平面ABCD，
又BC⊥CD且平面PDC∩平面ABCD＝CD，
∴BC⊥平面PCD，
∴BC⊥PD，②
由①②可知，PD⊥平面PBC；
解：（2）取CD中点O，∵PD＝PC且O为CD中点，
∴PO⊥CD，又AB＝OC，∴AO⊥CD，
以O为原点，OA，OC，OP所在直线为x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），P（0，0，1），
∴（﹣1，0，1），（0，1，﹣1），
设平面APC法向量（x1，y1，z1），
，∴，
令x1＝1，则y1＝z1＝1，
∴平面APC法向量（1，1，1），
同理平面PCB的法向量为（0，1，1），
∴cos，
因为二面角A﹣PC﹣B的平面角为锐角，
二面角A﹣PC﹣B的余弦值为．
【点评】本题考查了线面垂直的证明和二面角的计算，属于中档题．
20．（12分）（2022 丰台区二模）已知椭圆（a＞b＞0）经过点P（1，2），P到椭圆C的两个焦点的距离和为4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设Q（4，0），R为PQ的中点，作PQ的平行线l与椭圆C交于不同的两点A，B，直线AQ与椭圆C交于另一点M，直线BQ与椭圆C交于另一点N，求证：M，N，R三点共线．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据椭圆定义，可求得a值，将P点坐标代入，即可求得b2，即可得答案；
（Ⅱ）由题意可得R点坐标和直线PQ的斜率，即可设直线的方 为，A（x1，y1），B（x2，y2），M（xm，ym），N（xn，yn），可得直线AQ的方程为，与椭圆联立，即可求得ym，xm表达式，同理可得n，xn表达式，即可求导直线MN的斜率，再求得直线MR的斜率，分析即可得证．
【解答】解：（Ⅰ）根据椭圆的定义可得，解得，
又过点P（2，1），所以，解得b2＝2，
所以椭圆C的方程为；
证明：（Ⅱ）因为P（2，1），Q（4，0），
所以，
设直线的方程为，
所以，
所以直线AQ的方程为，直线BQ的方程为，
联立直线AQ与椭圆，消去x可得，
所以，又代入，
整理可得，代入直线AQ，可得，
同理可得，
所以，
又，
所以M，N，R三点共线．
【点评】本题考查了直线与椭圆的综合应用，属于难题．
21．（12分）（2022 合肥二模）通信编码信号利用BEC信道传输，如图1，若BEC信道传输成功，则接收端收到的信号与发来的信号完全相同；若BEC信道传输失败，则接收端收不到任何信号．
传统通信传输技术采用多个信道各自独立传输信号（以两个信道为例，如图2）．
华为公司5G信道编码采用土耳其通讯技术专家ErdalArikan教授的极化码技术（以两个相互独立的BEC信道传输信号为例）：
如图3，信号U2直接从信道2传输；信号U1在传输前先与U2“异或”运算得到信号X1，再从信道1传输．接收端对收到的信号，运用“异或”运算性质进行解码，从而得到或得不到发送的信号U1或U2．
（注：“异或”是一种2进制数学逻辑运算．两个相同数字“异或”得到0，两个不同数字“异或”得到1，“异或”运算用符号“④”表示：0 0＝0，1 1＝0，1 0＝1，0 1＝1．“异或”运算性质：A B＝C，则A＝C B）．
假设每个信道传输成功的概率均为p（0＜p＜1）．U1，U2＝{0，1}．
（1）在传统传输方案中，设“信号U1和U2均被成功接收”为事件A，求P（A）；
（2）对于极化码技术：
①求信号U1被成功解码（即根据BEC信道1与2传输的信号可确定U1的值）的概率；
②若对输入信号U1赋值（如U1＝0）作为已知信号，接收端只解码信号U2，求信号U2被成功解码的概率．
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】计算题；分类讨论；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据独立事件的概率乘法公式可求得答案；
（2）（1）当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由U2、X1的值可确定U1的值；
（2）若信道2传输失败、信道1传输成功，U2被成功解码的概率为（1﹣p）p；若信道2、信道1都传输失败，此时信号U2无法成功解码；由此可求得答案．
【解答】解：（1）设“信号U和U2均被成功接收”为事件A，则P（A）＝p p＝p2；
（2）①∵U1 U2＝X1，∴U1＝U2 X1，
当且仅当信道1、信道2都传输成功时，由U2、X1的值可确定U1的值，所以信号U1被成功解码的概率为p2；
②若信道2传输成功，则信号U2被成功解码，概率为p，
若信道2传输失败、信道1传输成功，则U2＝U1 X1，因为U1为已知信号，信号U2仍然可以被成功解码，此时U2被成功解码的概率为（1﹣p）p，
若信道2、信道1都传输失败，此时信号U2无法成功解码，
综上可得，信号U2被成功解码的概率为p+p（1﹣p）＝2p﹣p2．
【点评】本题考查了独立事件的概率乘法，属于中档题．
22．（12分）（2022 青羊区校级模拟）已知函数f（x）＝lnx+a（x﹣1）+b（x﹣1）2，a，b∈R．
（Ⅰ）当a＝﹣1，b＝0时，求证：f（x）≤0恒成立；
（Ⅱ）当时，探讨函数f（x）的零点个数．
【考点】函数的零点与方程根的关系；利用导数研究函数的最值．
【专题】分类讨论；综合法；导数的综合应用；直观想象；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意，求得解析式，求导，令f′（x）＝0，求得极值点，分析可得x∈（0，1）和（1，+∞）时，f（x）的单调性，分析即可得证
（Ⅱ）分别讨论a＞0、a＝0和a＜0三种情况，根据对数函数、二次函数的性质，利用导数判断函数单调性和极最值，分析即可得答案．
【解答】解：（Ⅰ）证明：当a＝﹣1，b＝0时，f（x）＝lnx﹣x+1，（x＞0），
所以f′（x）1，
令f′（x）＝0，解得x＝1，
当x∈（0，1）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数，
当x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数，
所以f（x）max＝f（1）＝0，即f（x）≤0恒成立．
（Ⅱ）当时，f（x）＝lnx+a（x﹣1）（x﹣1）2＝lnx（x﹣1）（3﹣x），（x＞0），
令f（x）＝lnx（x﹣1）（3﹣x）＝0，则lnx（x﹣1）（x﹣3），
当a＞0时，函数g（x）（x﹣1）（x﹣3）为开口向上的抛物线，且g（1）＝g（3）＝0，
所以y＝lnx与g（x）图象有2个交点，如图所示
当a＝0时，f（x）＝lnx＝0，解得x＝1，故只有1个零点；
当a＜0时，f′（x）[1×（3﹣x）+（﹣1）（x﹣1）]a（2﹣x），
令h（x）＝1+a（2x﹣x2）＝﹣ax2+2ax+1，为开口向上的抛物线，
令Δ＝（2a）2﹣4（﹣a）×1＝4a2+4a≤0，解得﹣1≤a＜0，
此时f′（x）≥0恒成立，所以f（x）为单调递增函数，又f（1）＝0，
所以f（x）＝0有唯一根x＝1，即f（x）有1个零点；
令Δ＞0时，解得a＜﹣1或a＞0（舍），
此时令h（x）＝0，解得x1＝1，x2＝1，
因为a＜﹣1，所以∈（﹣1，0），
所以x1∈（0，1），x2∈（1，2），
所以当x∈（0，x1）∪（x2，+∞）时，h（x）＞0，即f′（x）＞0，所以f（x）为增函数，
当x∈（x1，x2）时，h（x）＜0，即f′（x）＜0，所以f（x）为减函数，
又f（1）＝0，
所以f（x）极大值＝f（x1）＝ln（1）（2）＞0，
当x→0时，f（x）＝lnx（x﹣1）（3﹣x）→﹣∞，
所以x∈（0，x1）时，存在唯一x，使f（x）＝0，
f（x）极小值＝f（x2）＝ln（1）（2）＜0，且f（3）＝ln3＞0，
所以x∈（x2，+∞）时，存在唯一x，使f（x）＝0，
所以f（x）＝0有三个根，即f（x）有3个零点
综上：当a＞0时，f（x）有2个零点，
当﹣1≤a≤时，f（x）有1个零点，
当a＜﹣1时，f（x）有3个零点．
【点评】本题考查了函数的零点、利用导数求函数的极值及分类讨论思想，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．函数单调性的性质与判断
【知识点的认识】
一般地，设函数f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x1，x2，
当x1＜x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是增函数；当x1＞x2时，都有f（x1）＜f（x2），那么就说函数f（x）在区间D上是减函数．
若函数f（x）在区间D上是增函数或减函数，则称函数f（x）在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y＝f（x）的单调区间．
【解题方法点拨】
证明函数的单调性用定义法的步骤：①取值；②作差；③变形；④确定符号；⑤下结论．
利用函数的导数证明函数单调性的步骤：
第一步：求函数的定义域．若题设中有对数函数一定先求定义域，若题设中有三次函数、指数函数可不考虑定义域．
第二步：求函数f（x）的导数f′（x），并令f′（x）＝0，求其根．
第三步：利用f′（x）＝0的根和不可导点的x的值从小到大顺次将定义域分成若干个小开区间，并列表．
第四步：由f′（x）在小开区间内的正、负值判断f（x）在小开区间内的单调性；求极值、最值．
第五步：将不等式恒成立问题转化为f（x）max≤a或f（x）min≥a，解不等式求参数的取值范围．
第六步：明确规范地表述结论
【命题方向】
从近三年的高考试题来看，函数单调性的判断和应用以及函数的最值问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度中等偏高；客观题主要考查函数的单调性、最值的灵活确定与简单应用，主观题在考查基本概念、重要方法的基础上，又注重考查函数方程、等价转化、数形结合、分类讨论的思想方法．预测明年高考仍将以利用导数求函数的单调区间，研究单调性及利用单调性求最值或求参数的取值范围为主要考点，重点考查转化与化归思想及逻辑推理能力．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．奇偶性与单调性的综合
【知识点的认识】
对于奇偶函数综合，其实也并谈不上真正的综合，一般情况下也就是把它们并列在一起，所以说关键还是要掌握奇函数和偶函数各自的性质，在做题时能融会贯通，灵活运用．在重复一下它们的性质 ①奇函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），其图象特点是关于（0，0）对称．②偶函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
参照奇偶函数的性质那一考点，有：
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反
例题：如果f（x）为奇函数，那么a＝ ．
解：由题意可知，f（x）的定义域为R，
由奇函数的性质可知，f（x）f（﹣x） a＝1
【命题方向】奇偶性与单调性的综合．
不管出什么样的题，能理解运用奇偶函数的性质是一个基本前提，另外做题的时候多多总结，一定要重视这一个知识点．
5．对数值大小的比较
【知识点归纳】
1、若两对数的底数相同，真数不同，则利用对数函数的单调性来比较．
2、若两对数的底数和真数均不相同，通常引入中间变量（1，﹣1，0）进行比较
3、若两对数的底数不同，真数也不同，则利用函数图象或利用换底公式化为同底的再进行比较．（画图的方法：在第一象限内，函数图象的底数由左到右逐渐增大）
6．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
7．导数的运算
【知识点的知识】
1、基本函数的导函数
①C′＝0（C为常数）
②（xn）′＝nxn﹣1 （n∈R）
③（sinx）′＝cosx
④（cosx）′＝﹣sinx
⑤（ex）′＝ex
⑥（ax）′＝（ax）*lna（a＞0且a≠1）⑦[logax）]′*（logae）（a＞0且a≠1）⑧[lnx]′．
2、和差积商的导数
①[f（x）+g（x）]′＝f′（x）+g′（x）
②[f（x）﹣g（x）]′＝f′（x）﹣g′（x）
③[f（x）g（x）]′＝f′（x）g（x）+f（x）g′（x）
④[]′．
3、复合函数的导数
设 y＝u（t），t＝v（x），则 y′（x）＝u′（t）v′（x）＝u′[v（x）]v′（x）
【典型例题分析】
题型一：和差积商的导数
典例1：已知函数f（x）＝asinx+bx3+4（a∈R，b∈R），f′（x）为f（x）的导函数，则f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝（ ）
A．0 B．2014 C．2015 D．8
解：f′（x）＝acosx+3bx2，
∴f′（﹣x）＝acos（﹣x）+3b（﹣x）2
∴f′（x）为偶函数；
f′（2015）﹣f′（﹣2015）＝0
∴f（2014）+f（﹣2014）
＝asin（2014）+b 20143+4+asin（﹣2014）+b（﹣2014）3+4＝8；
∴f（2014）+f（﹣2014）+f′（2015）﹣f（﹣2015）＝8
故选D．
题型二：复合函数的导数
典例2：下列式子不正确的是（ ）
A．（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx B．（lnx﹣2x）′ln2
C．（2sin2x）′＝2cos2x D．（）′
解：由复合函数的求导法则
对于选项A，（3x2+cosx）′＝6x﹣sinx成立，故A正确；
对于选项B，成立，故B正确；
对于选项C，（2sin2x）′＝4cos2x≠2cos2x，故C不正确；
对于选项D，成立，故D正确．
故选C．
【解题方法点拨】
1．由常数函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘运算得到的简单的函数均可利用求导法则与导数公式求导，而不需要回到导数的定义去求此类简单函数的导数．
2．对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．在实施化简时，首先要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误．
8．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
9．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
10．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
11．数列与不等式的综合
【知识点的知识】
证明与数列求和有关的不等式基本方法：
（1）直接将数列求和后放缩；
（2）先将通项放缩后求和；
（3）先将通项放缩后求和再放缩；
（4）尝试用数学归纳法证明．
常用的放缩方法有：
，，，
[]
（n≥2），
（）（n≥2），
，
2（）2（）．
．
【解题方法点拨】
证明数列型不等式，因其思维跨度大、构造性强，需要有较高的放缩技巧而充满思考性和挑战性，能全面而综合地考查学生的潜能与后继学习能力，因而成为高考压轴题及各级各类竞赛试题命题的极好素材．这类问题的求解策略往往是：通过多角度观察所给数列通项的结构，深入剖析其特征，抓住其规律进行恰当地放缩；其放缩技巧主要有以下几种：
（1）添加或舍去一些项，如：|a|；n；
（2）将分子或分母放大（或缩小）；
（3）利用基本不等式；；
（4）二项式放缩；
（5）利用常用结论；
（6）利用函数单调性．
（7）常见模型：
①等差模型；②等比模型；③错位相减模型；④裂项相消模型；⑤二项式定理模型；⑥基本不等式模型．
【典型例题分析】
题型一：等比模型
典例1：对于任意的n∈N*，数列{an}满足n+1．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）求证：对于n≥2，．
解答：（Ⅰ）由①，
当n≥2时，得②，
①﹣②得．
∴．
又，得a1＝7不适合上式．
综上得；
（Ⅱ）证明：当n≥2时，．
∴．
∴当n≥2时，．
题型二：裂项相消模型
典例2：数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设，数列{bn}的前n项和为Tn，求证：．
分析：（1）根据an＝Sn﹣Sn﹣1，整理得an﹣an﹣1＝1（n≥2）进而可判断出数列{an}是公差为1的等差数列，根据等差数列的通项公式求得答案．
（2）由（1）知，因为，所以，从而得证．
解答：（1）由已知：对于n∈N*，总有2Sn＝an+an2①成立
∴（n≥2）②
①﹣②得2an＝an+an2﹣an﹣1﹣an﹣12，∴an+an﹣1＝（an+an﹣1）（an﹣an﹣1）
∵an，an﹣1均为正数，∴an﹣an﹣1＝1（n≥2）∴数列{an}是公差为1的等差数列
又n＝1时，2S1＝a1+a12，解得a1＝1，∴an＝n．（n∈N*）
（2）解：由（1）可知∵
∴
【解题方法点拨】
（1）放缩的方向要一致．
（2）放与缩要适度．
（3）很多时候只对数列的一部分进行放缩法，保留一些项不变（多为前几项或后几项）．
（4）用放缩法证明极其简单，然而，用放缩法证不等式，技巧性极强，稍有不慎，则会出现放缩失当的现象．所以对放缩法，只需要了解，不宜深入．
12．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
13．复数的代数表示法及其几何意义
【知识点的知识】
1、复数的代数表示法
建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴，x轴的单位是1，y轴的单位是i，实轴与虚轴的交点叫做原点，且原点（0，0），对应复数0．即复数z＝a+bi→复平面内的点z（a，b）→平面向量．
2、除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意：
（1）|z|＝|z﹣0|＝a（a＞0）表示复数z对应的点到原点的距离为a；
（2）|z﹣z0|表示复数z对应的点与复数z0对应的点之间的距离．
3、复数中的解题策略：
（1）证明复数是实数的策略：
①z＝a+bi∈R b＝0（a，b∈R）；②z∈R z．
（2）证明复数是纯虚数的策略：
①z＝a+bi为纯虚数 a＝0，b≠0（a，b∈R）；
②b≠0时，z2bi为纯虚数；③z是纯虚数 z0且z≠0．
14．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
15．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
16．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
17．正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义
【知识点的知识】
1．正态曲线及性质
（1）正态曲线的定义
函数φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞），其中实数μ和σ（σ＞0）为参数，我们称φμ，σ（x）的图象（如图）为正态分布密度曲线，简称正态曲线．
（2）正态曲线的解析式
①指数的自变量是x定义域是R，即x∈（﹣∞，+∞）．
②解析式中含有两个常数：π和e，这是两个无理数．
③解析式中含有两个参数：μ和σ，其中μ可取任意实数，σ＞0这是正态分布的两个特征数．
④解析式前面有一个系数为，后面是一个以e为底数的指数函数的形式，幂指数为．
2．正态分布
（1）正态分布的定义及表示
如果对于任何实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）φμ，σ（x）dx，则称X的分布为正态分布，记作N（μ，σ2）．
（2）正态总体在三个特殊区间内取值的概率值
①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826；
②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9544；
③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9974．
3．正态曲线的性质
正态曲线φμ，σ（x），x∈R有以下性质：
（1）曲线位于x轴上方，与x轴不相交；
（2）曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；
（3）曲线在x＝μ处达到峰值；
（4）曲线与x轴围成的图形的面积为1；
（5）当σ一定时，曲线随着μ的变化而沿x轴平移；
（6）当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散．
4．三个邻域
会用正态总体在三个特殊区间内取值的概率值结合正态曲线求随机变量的概率．落在三个邻域之外是小概率事件，这也是对产品进行质量检测的理论依据．
【典型例题分析】
题型一：概率密度曲线基础考察
典例1：设有一正态总体，它的概率密度曲线是函数f（x）的图象，且f（x），则这个正态总体的平均数与标准差分别是（ ）
A．10与8 B．10与2 C．8与10 D．2与10
解析：由，可知σ＝2，μ＝10．
答案：B．
典例2：已知随机变量ξ服从正态分布N（2，σ2），且P（ξ＜4）＝0.8，则P（0＜ξ＜2）等于（ ）
A．0.6 B．0.4 C．0.3 D．0.2
解析：由P（ξ＜4）＝0.8知P（ξ＞4）＝P（ξ＜0）＝0.2，
故P（0＜ξ＜2）＝0.3．故选C．
典例3：已知随机变量X服从正态分布N（3，1），且P（2≤X≤4）＝0.682 6，则P（X＞4）等于（ ）
A．0.158 8 B．0.158 7 C．0.158 6 D．0.158 5
解析 由正态曲线性质知，其图象关于直线x＝3对称，∴P（X＞4）＝0.5﹣P（2≤X≤4）＝0.50.682 6＝0.1587．故选B．
题型二：正态曲线的性质
典例1：若一个正态分布的概率密度函数是一个偶函数，且该函数的最大值为．
（1）求该正态分布的概率密度函数的解析式；
（2）求正态总体在（﹣4，4]的概率．
分析：要确定一个正态分布的概率密度函数的解析式，关键是求解析式中的两个参数μ，σ的值，其中μ决定曲线的对称轴的位置，σ则与曲线的形状和最大值有关．
解 （1）由于该正态分布的概率密度函数是一个偶函数，所以其图象关于y轴对称，即μ＝0．由，得σ＝4，故该正态分布的概率密度函数的解析式是
φμ，σ（x），x∈（﹣∞，+∞）．
（2）P（﹣4＜X≤4）＝P（0﹣4＜X≤0+4）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6826．
点评：解决此类问题的关键是正确理解函数解析式与正态曲线的关系，掌握函数解析式中参数的取值变化对曲线的影响．
典例2：设两个正态分布N（μ1，）（σ1＞0）和N（μ2，）（σ2＞0）的密度函数图象如图所示，则有（ ）
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2
B．μ1＜μ2，σ1＞σ2
C．μ1＞μ2，σ1＜σ2
D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
解析：根据正态分布N（μ，σ2）函数的性质：正态分布曲线是一条关于直线x＝μ对称，在x＝μ处取得最大值的连续钟形曲线；σ越大，曲线的最高点越低且较平缓；反过来，σ越小，曲线的最高点越高且较陡峭，故选A．
答案：A．
题型三：服从正态分布的概率计算
典例1：设X～N（1，22），试求
（1）P（﹣1＜X≤3）；
（2）P（3＜X≤5）；
（3）P（X≥5）．
分析：将所求概率转化到（μ﹣σ，μ+σ]．（μ﹣2σ，μ+2σ]或[μ﹣3σ，μ+3σ]上的概率，并利用正态密度曲线的对称性求解．
解析：∵X～N（1，22），∴μ＝1，σ＝2．
（1）P（﹣1＜X≤3）＝P（1﹣2＜X≤1+2）
＝P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.682 6．
（2）∵P（3＜X≤5）＝P（﹣3＜X≤﹣1），
∴P（3＜X≤5）[P（﹣3＜X≤5）﹣P（﹣1＜X≤3）]
[P（1﹣4＜X≤1+4）﹣P（1﹣2＜X≤1+2）]
[P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）﹣P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）]
（0.954 4﹣0.682 6）
＝0.1359．
（3）∵P（X≥5）＝P（X≤﹣3），
∴P（X≥5）[1﹣P（﹣3＜X≤5）]
[1﹣P（1﹣4＜X≤1+4）]
[1﹣P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）]
（1﹣0.954 4）＝0.0228．
求服从正态分布的随机变量在某个区间取值的概率，只需借助正态曲线的性质，把所求问题转化为已知概率的三个区间上．
典例2：随机变量ξ服从正态分布N（1，σ2），已知P（ξ＜0）＝0.3，则P（ξ＜2）＝ ．
解析：由题意可知，正态分布的图象关于直线x＝1对称，所以P（ξ＞2）＝P（ξ＜0）＝0.3，P（ξ＜2）＝1﹣0.3＝0.7．
答案：0.7．
题型4：正态分布的应用
典例1：2011年中国汽车销售量达到1 700万辆，汽车耗油量对汽车的销售有着非常重要的影响，各个汽车制造企业积极采用新技术降低耗油量，某汽车制造公司为调查某种型号的汽车的耗油情况，共抽查了1 200名车主，据统计该种型号的汽车的平均耗油为百公里8.0升，并且汽车的耗油量ξ服从正态分布N（8，σ2），已知耗油量ξ∈[7，9]的概率为0.7，那么耗油量大于9升的汽车大约有 辆．
解析：由题意可知ξ～N（8，σ2），故正态分布曲线以μ＝8为对称轴，又因为P（7≤ξ≤9）＝0.7，故P（7≤ξ≤9）＝2P（8≤ξ≤9）＝0.7，所以P（8≤ξ≤9）＝0.35，而P（ξ≥8）＝0.5，所以P（ξ＞9）＝0.15，故耗油量大于9升的汽车大约有1 200×0.15＝180辆．
点评：服从正态分布的随机变量在一个区间上的概率就是这个区间上，正态密度曲线和x轴之间的曲边梯形的面积，根据正态密度曲线的对称性，当P（ξ＞x1）＝P（ξ＜x2）时必然有μ，这是解决正态分布类试题的一个重要结论．
典例2：工厂制造的某机械零件尺寸X服从正态分布N（4，），问在一次正常的试验中，取1 000个零件时，不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有多少个？
解∵X～N（4，），∴μ＝4，σ．
∴不属于区间（3，5]的概率为
P（X≤3）+P（X＞5）＝1﹣P（3＜X≤5）
＝1﹣P（4﹣1＜X≤4+1）
＝1﹣P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）
＝1﹣0.9974＝0.0026≈0.003，
∴1 000×0.003＝3（个），
即不属于区间（3，5]这个尺寸范围的零件大约有3个．
【解题方法点拨】
正态分布是高中阶段唯一连续型随机变量的分布，这个考点虽然不是高考的重点，但在近几年新课标高考中多次出现，其中数值计算是考查的一个热点，考生往往不注意对这些数值的记忆而导致解题无从下手或计算错误．对正态分布N（μ，σ2）中两个参数对应的数值及其意义应该理解透彻并记住，且注意第二个数值应该为σ2而不是σ，同时，记住正态密度曲线的六条性质．
18．三角形的形状判断
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin A＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
19．三角函数模型的应用
【知识点的知识】
1． 三角函数模型的简单应用：1）在生活中的应用；2）；在建筑学中的应用；3）在航海中的应用；4）在物理学中的应用．
2． 解三角函数应用题的一般步骤：
（1）阅读理解材料：将文字语言转化为符号语言；
（2）建立变量关系：抽象成数学问题，建立变量关系；
（3）讨论变量性质：根据函数性质讨论变量性质；
（4）作出结论．
【解题方法点拨】
1、方法与技巧：
（1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决．
（2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词．
（3）要能根据题意，画出符合题意的图形．
（4）对计算结果，可根据实际情况进行处理．
2、注意：
（1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量．
（2）解决应用问题要注重检验．
（3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围．
20．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
22．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
23．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
24．双曲线的标准方程
【知识点的认识】
双曲线标准方程的两种形式：
（1）（a＞0，b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞0，b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞0，b＞0；c2＝b2+a2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞0，b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 （a，0）和（﹣a，0） （0，a）和（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上 x轴、y轴，实轴长2a，虚轴长2b 焦点在实轴上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2+b2
离心率 e（e＞1） e（e＞1）
渐近线 即y＝±x 即y＝±x
准线 x＝± y＝±
25．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
26．直线与椭圆的综合
v．
27．棱台的结构特征
【知识点的认识】
1．棱台：棱锥被平行于底面的平面所截，截面和底面间的部分叫做棱台．
2．认识棱台
棱台的上底面：原棱锥的截面叫做棱台的上底面．
棱台的下底面：原棱锥的底面叫做棱台的下底面．
棱台的侧面：棱台中除上、下底面外的所有面叫做棱台的侧面．
棱台的侧棱：相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱．
棱台的高：当棱台的底面水平放置时，铅垂线与两底面交点间的线段或距离叫做棱台的高．
棱台的斜高：棱台的各个侧面的高叫做棱台的斜高．
3．棱台的结构特征
正棱台的性质：
（1）侧棱相等，侧面是全等的等腰梯形，斜高相等．
（2）两底面中心连线、相应的边心距和斜高组成一个直角梯形；两底面中心连线、侧棱和两底面相应的半径也组成一个直角梯形．
（3）棱台各棱的反向延长线交于一点．
4．棱台的分类
由三棱锥，四棱锥，五棱锥，…等截得的棱台，分别叫做三棱台，四棱台，五棱台，…等．
正棱台：由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．
5．棱台的体积公式
设棱台上底面面积为S，下底面面积为S′，高为h，
V棱台．
28．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
29．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
30．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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