2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅰ)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅰ)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 381.8KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:08:21 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷1 (新高考Ⅰ)
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 北辰区校级模拟）设集合A＝{x|y＝log2（1﹣x）}，B＝{﹣1，0，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）（2022 香坊区校级三模）若z，则z（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．（5分）（2021 河南模拟）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022 长治模拟）下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 宣城模拟）设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|PF1| |PF2|的值是（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
6．（5分）（2022 江西模拟）若tan（α﹣π）＝2，则（ ）
A． B．﹣3 C． D．3
7．（5分）（2022 深圳模拟）已知a＞0，若过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则（ ）
A．b＜0 B．0＜b＜a3 C．b＞a3 D．b（b﹣a3）＝0
8．（5分）（2022 常德模拟）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 连云港二模）一组数据x1，x2，…，x10是公差为﹣1的等差数列，若去掉首末两项x1，x10后，则（ ）
A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变
（多选）10．（5分）（2022 玄武区模拟）设m，n是大于零的实数，向量（mcosα，msinα），（ncosβ，nsinβ），其中α，β∈[0，2π），定义向量（）（cos，sin），（）（cos，sin），记θ＝α﹣β，则（ ）
A．（） （）
B．（） （）cos
C．|（）（）|2≥4sin2
D．|（）（）|2≥4cos2
（多选）11．（5分）（2022 湖南模拟）已知点P在圆O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（ ）
A．点P到直线AB的距离最大值为
B．满足AP⊥BP的点P有2个
C．过点B作圆O的两切线，切点分别为M、N，则直线MN的方程为y＝1
D．2|PA|+|PB|的最小值是
（多选）12．（5分）（2022 福州模拟）已知正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O．点E满足λ（0＜λ＜1），过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则（ ）
A．四边形EFGH的周长为定值
B．当λ时，四边形EFGH为正方形
C．当λ时，α截球O所得截面的周长为
D．四棱锥A﹣EFGH的体积的最大值为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 罗湖区校级期中）已知函数f（x）＝x2（a 2x﹣2﹣x）是奇函数，则a＝ ．
14．（5分）（2021春 昆明期末）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，若，则p＝ ．
15．（5分）（2022 重庆模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣a，若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
16．（5分）（2022 香坊区校级三模）设函数，a1＝1，（n∈N*，n≥2）．设数列{an}的前n项和Sn，则的最小值为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 重庆模拟）已知各项均为正数的等差数列{an}的前三项和为12，等比数列{bn}的前三项和为7b1，且a1＝b1，a2＝b2．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前20项和．
18．（12分）（2022 惠州一模）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为．甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
19．（12分）（2022 惠州一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1﹣cos2B＝cos（A﹣C）+cosB，且．
（1）求证：b2＝ac；
（2）当BD＝b时，求cos∠ABC．
20．（12分）（2022 阿勒泰地区模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PB＝PC＝2，CD＝AD＝1，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．
（1）求证：MN⊥PB；
（2）若直线PC与平面CEMN所成的角的余弦值为，求的值．
21．（12分）（2022 海安市模拟）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2的内切圆的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）延长PF1，PF2与椭圆C分别交于点A，B，问：是否为定值？并说明理由．
22．（12分）（2022 如皋市模拟）已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，证明：xf（x）+e﹣x﹣x≥0．
2022年高考数学终极押题密卷1 (新高考Ⅰ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 北辰区校级模拟）设集合A＝{x|y＝log2（1﹣x）}，B＝{﹣1，0，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|y＝log2（1﹣x）}＝{x|x＜1}，B＝{﹣1，0，3}，
则A∩B＝{﹣1，0}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 香坊区校级三模）若z，则z（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵z，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）（2021 河南模拟）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】对应思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由πl＝2πr，得l＝2r，
又S＝πr2+πr 2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝1；
所以圆锥的高为h，
所以圆锥的体积为Vπr2hπ×12π．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的表面积与体积计算问题，是基础题．
4．（5分）（2022 长治模拟）下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据正弦函数的图象与性质，求出函数f（x）的单调递增区间即可得答案．
【解答】解：函数，
令，
解得，
所以函数f（x）的单调递增区间是，
因为，
所以函数单调递增的是，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的单调性，属于基础题．
5．（5分）（2022 宣城模拟）设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|PF1| |PF2|的值是（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，再由a，b，c之间的关系求出c的值，再由椭圆的定义可得PF1+PF2的值，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2表达式，进而求出PF1 PF2 cos∠F1PF2的表达式，再由数量积求出PF1 PF2的值．
【解答】解：由椭圆的方程1可知a2＝25，b2＝16，c2＝a2﹣b2＝25﹣16＝9，
所以a＝5，c＝3，
由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝2×5＝10，|F1F2|＝2c＝6，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2，
所以可得m n cos∠F1PF2＝32﹣m n，
因为9，即|PF1| |PF2|cos∠F1PF2＝9，
所以9＝32﹣PF1 PF2，
解得：PF1 PF2＝23，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，余弦定理的应用和数量积的运算性质的应用，属于中档题．
6．（5分）（2022 江西模拟）若tan（α﹣π）＝2，则（ ）
A． B．﹣3 C． D．3
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用诱导公式化简已知等式可得tanα＝2，进而根据同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式化简所求即可求解．
【解答】解：若tan（α﹣π）＝tanα＝2，
则．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．（5分）（2022 深圳模拟）已知a＞0，若过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则（ ）
A．b＜0 B．0＜b＜a3 C．b＞a3 D．b（b﹣a3）＝0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求出函数y＝x3的导函数，设切点坐标，得到过切点的切线方程，代入已知点的坐标，再由函数求极值，可得关于a与b的不等式组，答案可求．
【解答】解：由y＝x3，得y′＝3x2，设切点为（t，t3），
则过切点的切线方程为y﹣t3＝3t2（x﹣t），
把点（a，b）代入，可得b﹣t3＝3t2（a﹣t），
则2t3﹣3at2+b＝0，
令g（t）＝2t3﹣3at2+b，则g′（t）＝6t2﹣6at，
∵a＞0，∴当t∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，0），（a，+∞）上单调递增；
当t∈（0，a）时，g′（t）＜0，g（t）在（0，a）上单调递减．
∴函数g（t）取得极大值g（0）＝b，函数g（t）取得极小值g（a）＝b﹣a3．
要使过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则，可得0＜b＜a3．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求极值，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）（2022 常德模拟）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；互斥事件与对立事件．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由古典概型概率计算公式求出P（A），P（B），P（C），P（AB），P（AC），再利用相互独立事件的定义能判断AB；利用条件概率公式计算能判断CD．
【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有36个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为12，则P（A），
同理P（B）＝P（C），
事件AB含有的基本事件个数为2，则P（AB），
事件AC含有的基本事件数为5，则P（AC），
对于A，P（A）P（B）P（AB），即事件A与B相互不独立，故A不正确；
对于B，P（A）P（C）P（AC），即事件A与C相互不独立，故B不正确；
对于C，P（B|A），故C不正确；
对于D，P（C|A），故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 连云港二模）一组数据x1，x2，…，x10是公差为﹣1的等差数列，若去掉首末两项x1，x10后，则（ ）
A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】对应思想；定义法；等差数列与等比数列；概率与统计；数据分析．
【分析】根据等差数列的性质，结合平均数、中位数和方差、极差的定义，判断正误即可．
【解答】解：因为数据x1，x2，…，x10是公差为﹣1的等差数列，所以x1+x10＝x2+x9＝...＝x5+x6，
若去掉首末两项x1，x10后，则平均数不变，中位数不变，选项A错误，B正确；
因为x1、x10最偏离平均值，所以去掉x1，x10后，方差变小，极差变小，选项C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了等差数列的性质与平均数、中位数和方差、极差的定义应用问题，是基础题．
（多选）10．（5分）（2022 玄武区模拟）设m，n是大于零的实数，向量（mcosα，msinα），（ncosβ，nsinβ），其中α，β∈[0，2π），定义向量（）（cos，sin），（）（cos，sin），记θ＝α﹣β，则（ ）
A．（） （）
B．（） （）cos
C．|（）（）|2≥4sin2
D．|（）（）|2≥4cos2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由新向量的定义，向量数量积，可分别判断AB，再结合基本不等式，可再分别判断CD．
【解答】解：对A选项，等式左边是向量数量积是个数量，而右边是向量，所以A不正确；
对B选项，∵，∴B正确；
对C，D选项，∵m，n是大于零的实数，∴，当且仅当m＝n时取得等号，
∴，
，∴C正确；
又2，
，∴D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查向量数量积，基本不等式，属基础题．
（多选）11．（5分）（2022 湖南模拟）已知点P在圆O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（ ）
A．点P到直线AB的距离最大值为
B．满足AP⊥BP的点P有2个
C．过点B作圆O的两切线，切点分别为M、N，则直线MN的方程为y＝1
D．2|PA|+|PB|的最小值是
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；
对B，设点P（x，y），根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；
对C，设M（x1，y1），N（x2，y2），进而得到切线方程MB，NB，再根据点B在两条切线上求得答案；
对D，设P（x，y），设存在定点C（0，t），使得点P在圆O上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案．
【解答】解：对，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为，A正确；
对B，设点P（x，y），则x2+y2＝4，且，
由题意，
两圆的圆心距为，
半径和与半径差分别为，
于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个，B正确；
对C，设M（x1，y1），N（x2，y2），则直线MB，NB分别为x1x+y1y＝4，x2x+y2y＝4，
因为点B在两条直线上，所以x1 0+y1 4＝4，x2 0+y2 4＝4，
于是M，N都满足直线方程x 0+y 4＝4，即直线MN的方程为y＝1，C正确；
对D，即求的最小值，
设存在定点C（0，t），使得点P在圆O上任意移动时均有，
设P（x，y），则有，
化简得3x2+3y2+8（1﹣t）y＝16﹣4t2，∵x2+y2＝4，
则有2（1﹣t）y＝1﹣t2，
即（1﹣t）（2y﹣1﹣t）＝0，
∴t＝1，C（0，1），
所以，所以D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题．
（多选）12．（5分）（2022 福州模拟）已知正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O．点E满足λ（0＜λ＜1），过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则（ ）
A．四边形EFGH的周长为定值
B．当λ时，四边形EFGH为正方形
C．当λ时，α截球O所得截面的周长为
D．四棱锥A﹣EFGH的体积的最大值为
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】求得四边形EFGH的周长判断选项A；依据正方形判定标准判断选项B；求得平面α截球O所得截面的周长判断选项C；求得四棱锥A﹣EFGH的体积的最大值判断选项D．
【解答】解：AC∥平面α，平面α∩平面ABC＝EF，平面α∩平面ADC＝GH，
则AC∥EF，AC∥GH，
所以EF∥GH，
又BD∥平面α，平面α∩平面ABD＝EH，平面α∩平面BDC＝GF，
则BD∥EH，BD∥GF，
所以EH∥GF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
由，可得AE：AB＝λ，则HE：DB＝λ，EF：AC＝1﹣λ，
又正四面体ABCD的棱长为3，
则HE＝GF＝3λ，EF＝GH＝3（1﹣λ），
选项A：四边形EFGH的周长为HE+GF+EF+GH＝2[3λ+3（1﹣λ）]＝6．故A正确；
选项B：当时，，
则平行四边形EFGH为菱形，
又正四面体ABCD中，对棱BD⊥AC，则EF⊥EH，
则菱形EFGH为正方形，故B正确；
分别取BD、BC、AC 的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ，
设DN、CM交于K，连接AK，则AK为正四面体的高，
正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O，则O在AK上，连接CO，
，
设球O半径为R，则CO2＝KC2+KO2，
即，解得，
由AM＝CM，AQ＝QC，可得MQ⊥AC，
同理有MQ⊥BD，则MQ为异面直线BD、AC之间的距离，
，
则点K到AC的距离为，球心O到AC的距离为，
选项C：当时，设α与MC交于T，则到AC的距离为，
球心O到平面EFGH的距离为，
则平面α截球O所得截面半径为，
则平面α截球O所得截面的周长为，故C错误；
选项D：由，
可得点A到平面EFGH的距离为，
又平行四边形EFGH为矩形，
则四棱锥A﹣EFGH的体积，
令，
则，
由f′（x）＞0得，
由f′（x）＜0得，
则f（x）在单调递增，在单调递减，
所以在时，f（x）取最大值，
即的最大值为，
故四棱锥A﹣EFGH的体积的最大值为．故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了立体几何的综合，属于难题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 罗湖区校级期中）已知函数f（x）＝x2（a 2x﹣2﹣x）是奇函数，则a＝ 1 ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由奇函数的性质f（﹣x）＝﹣f（x），即可求解a的值．
【解答】解：因为函数f（x）＝x2（a 2x﹣2﹣x）是奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x恒成立，
即x2（a 2﹣x﹣2x）＝﹣x2（a 2x﹣2﹣x），
整理得（a﹣1）x2（2﹣x+2x）＝0，
所以a﹣1＝0，所以a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）（2021春 昆明期末）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，若，则p＝ 2 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用已知条件，列出关系式求解P即可．
【解答】解：设A（，t），
因为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，，
可得，
解得p＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题．
15．（5分）（2022 重庆模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣a，若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是 [﹣1，+∞） ．
【考点】利用导数研究函数的最值．
【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】利用参数分类法，转化求函数的最值问题，构造函数求函数的导数，利用导数法进行求解即可．
【解答】解：若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，
则等价为lnx﹣a＜x2在（1，+∞）上恒成立，
即lnx﹣x2＜a在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）＝lnx﹣x2，
则h′（x）2x，
当x≥1时，h′（x）＜0，即h（x）在[1，+∞）上为减函数，
则当x＞1时，h（x）＜h（1）＝1﹣2＝﹣1，
则a≥﹣1，
故答案为：[﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及构造法是解决本题的关键．综合性较强．
16．（5分）（2022 香坊区校级三模）设函数，a1＝1，（n∈N*，n≥2）．设数列{an}的前n项和Sn，则的最小值为 ．
【考点】数列的求和．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】由f（x）+f（1﹣x）＝4，结合倒序相加法，求得数列{an}的通项公式，再确定Sn的通项公式，进一步求出的最小值．
【解答】解：因为，
所以f（x）+f（1﹣x）＝2+ln2+ln4，
当n≥2时，①，an＝f（）+f（）+…+f（）②，
①+②得，2an＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]＝4+4+…+4＝4（n﹣1），
所以an＝2（n﹣1）（n≥2），
因为a1＝1，所以an，
当n＝1时，21；
当n≥2时，Sn＝1+2+4+…+2（n﹣1）＝1n2﹣n+1，
所以n1，
而函数y＝x1在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以函数y＝x1在x处取得最小值，
因为n∈N*，所以当n＝4时，；当n＝5时，，
显然，所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握倒序相加法，对勾函数的性质是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 重庆模拟）已知各项均为正数的等差数列{an}的前三项和为12，等比数列{bn}的前三项和为7b1，且a1＝b1，a2＝b2．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前20项和．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求解；
（2）利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解．
【解答】解：（1）由题知即q＝2，
故b1＝2，a1＝2，d＝2，
∴；
（2）由题知{cn}的前20项和，
即．
【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式和分组求和，属于中档题．
18．（12分）（2022 惠州一模）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为．甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，即可求解．
（2）结合超几何分布的概率公式，二项分布的概率公式求出概率，再分别求出两种情况的期望与方差，通过比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）∵这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，
∴甲至少答对两个问题的概率P1＝11．
（2）设甲答对题数为X，X所有可能取值为1，2，3，
则P（X＝1），
P（X＝2），
P（X＝3），
故E（X）＝1232，
D（X）＝（1﹣2）2（2﹣2）2（3﹣2）2．
设乙答对题数为Y，由题意可得，随机变量Y～B（3，），
故E（Y）＝32，D（Y）＝3，
∵E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），
∴甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
故选择学生甲．
【点评】本题主要考查了超几何分布和二项分布，数学期望与方差公式，属于中档题．
19．（12分）（2022 惠州一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1﹣cos2B＝cos（A﹣C）+cosB，且．
（1）求证：b2＝ac；
（2）当BD＝b时，求cos∠ABC．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知结合二倍角公式及和差角公式进行化简，然后结合正弦定理可求；
（2）由已知结合向量数量积的性质及余弦定理进行化简可求．
【解答】（1）证明：因为1﹣cos2B＝cos（A﹣C）+cosB，
所以2sin2B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sinAsinC，
由正弦定理得b2＝ac；
（2）因为，即D为AC的中点，
则（），
两边同时平方得，，
即4b2＝c2+a2+2accos∠ABC，
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accos∠ABC，
两式相加得a2+c2，
由余弦定理得cos∠ABC．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
20．（12分）（2022 阿勒泰地区模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PB＝PC＝2，CD＝AD＝1，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．
（1）求证：MN⊥PB；
（2）若直线PC与平面CEMN所成的角的余弦值为，求的值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）说明四边形AECD为矩形，推出CE∥AD，证明CE∥平面PAD，证明PE⊥EC，EC⊥AB，推出EC⊥平面PAB．得到MN⊥平面PAB，即可证明MN⊥PB．
（2）以E为原点，以EC，EB，EP分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系，求出平面CEMN的法向量，利用空间向量的数量积结合PC与平面CEMN所成的角的正弦值为，求解即可．
【解答】（1）证明：∵E为中点，AE＝DC，AE∥DC，∠DAB＝90°，
∴四边形AECD为矩形，∴CE∥AD，CE 平面PAD，
∴CE∥平面PAD．∴CE∥MN，又E为等边三角形PAB边AB的中点，
∴，PC＝2，CE＝1，∴△PEC为直角三角形，
且PE⊥EC，EC⊥AB，∴EC⊥平面PAB．∴MN⊥平面PAB，MN⊥PB．
（2）∵PAB为正三角形，∴PE⊥AB，PE⊥EC，
∴PE⊥平面ABCD．
以E为原点，以EC，EB，EP分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系，
，C（1，0，0），A（0，﹣1，0），∴，，
设，0≤λ≤1，，
设平面CEMN的法向量为，则．
取z＝λ，，，
依题意有PC与平面CEMN所成的角的正弦值为，
即，∴（λ＝2舍去），
∴，∴．
【点评】本题主要考查空间几何体体积、直线与平面位置关系等必备知识与运算能力，是中档题．
21．（12分）（2022 海安市模拟）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2的内切圆的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）延长PF1，PF2与椭圆C分别交于点A，B，问：是否为定值？并说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由题意表示出△PF1F2内切圆的面积，根据其最大值列出等式，求得a2，b2，即得答案；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合椭圆的方程，得到的表达式并化简，同理求得的表达式，化简即可求得答案．
【解答】解：（1）设△PF1F2的内切圆的半径为r，点P的坐标为（x0，y0）．
因为焦距为2，所以|F1F2|＝2，故c＝1．
△PF1F2的面积，故|y0|＝（a+1）r．
对于给定的椭圆，要使△PF1F2的内切圆的面积最大，即r最大，即|y0|最大，
由于△PF1F2的内切圆的面积的最大值为，故此时，
所以|y0|＝b时，有，①
又a2﹣b2＝1．②
由①②，得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程．
（2）由题意知：F1（﹣1，0），F2（1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PF1的方程为x＝my﹣1，
与（1）中所求椭圆联立方程组并消去x得，
（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，Δ＝4（m2+1）＞0，
所以，所以．
因为点P（x0，y0）在直线PF1：x＝my﹣1上，所以，
又点P（x0，y0）在椭圆上，所以，
所以．
同理，可得，
所以（定值）．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22．（12分）（2022 如皋市模拟）已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，证明：xf（x）+e﹣x﹣x≥0．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，进而可求函数的单调性；
（2）要证xf（x）+e﹣x﹣x≥0，问题转化为证x（x+lnx）+e﹣x﹣x≥0，合理进行变形可转化为证ln（xex）1≥0，然后进行换元令t＝xex，t＞0，即证lnt1≥0，结合不等式特点考虑构造函数g（t）＝lnt1，t＞0，结合导数分析函数性质即可证明．
【解答】（1）解：f′（x）＝1，x＞0，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，易得当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，当x＞﹣a时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）证明：当a＝1时，f（x）＝x+lnx，
要证xf（x）+e﹣x﹣x≥0，即证x（x+lnx）+e﹣x﹣x≥0，
即证x+lnx1≥0，
只要证ln（xex）1≥0，
令t＝xex，t＞0，
即证lnt1≥0，
令g（t）＝lnt1，t＞0，
则g′（t），
易得，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
故当t＝1时，函数g（t）取得最小值g（1）＝0，
故g（t）≥0，
所以xf（x）+e﹣x﹣x≥0．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
3．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
4．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
5．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
6．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
7．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
8．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
9．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
10．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
11．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
12．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，
∴D正确
故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
例2：下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，
则，，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）
故答案为：
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（ ）
A.0 B.0.4 C.0.6 D.1
分析：根据对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
13．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
14．条件概率与独立事件
【知识点的知识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（A∩B），得P（B|A），其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）
【解题方法点拨】
典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 ．
解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P
故答案为：
典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A），能求出结果．
解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1）（1）（1），
P（ξ＝1）（1）（1）+（1）（1）+（1）（1），
P（ξ＝2），
P（ξ＝3），
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E（ξ）＝0123．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A），
P（AB），
P（B|A）．
【解题方法点拨】
1、P（B|A）的性质：
（1）非负性：对任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；
（2）规范性：P（Ω|B）＝1；P（ |B）＝0；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．
2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；
（2）区别：
a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生．
b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为Ω．
15．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
16．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【实例解析】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即2，
解得：k，
此时切线的方程为y﹣5（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【考点分析】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
20．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
21．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
23．直线与椭圆的综合
v．
24．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
25．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
26．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
27．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 北辰区校级模拟）设集合A＝{x|y＝log2（1﹣x）}，B＝{﹣1，0，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}
2．（5分）（2022 香坊区校级三模）若z，则z（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
3．（5分）（2021 河南模拟）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022 长治模拟）下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 宣城模拟）设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|PF1| |PF2|的值是（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
6．（5分）（2022 江西模拟）若tan（α﹣π）＝2，则（ ）
A． B．﹣3 C． D．3
7．（5分）（2022 深圳模拟）已知a＞0，若过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则（ ）
A．b＜0 B．0＜b＜a3 C．b＞a3 D．b（b﹣a3）＝0
8．（5分）（2022 常德模拟）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 连云港二模）一组数据x1，x2，…，x10是公差为﹣1的等差数列，若去掉首末两项x1，x10后，则（ ）
A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变
（多选）10．（5分）（2022 玄武区模拟）设m，n是大于零的实数，向量（mcosα，msinα），（ncosβ，nsinβ），其中α，β∈[0，2π），定义向量（）（cos，sin），（）（cos，sin），记θ＝α﹣β，则（ ）
A．（） （）
B．（） （）cos
C．|（）（）|2≥4sin2
D．|（）（）|2≥4cos2
（多选）11．（5分）（2022 湖南模拟）已知点P在圆O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（ ）
A．点P到直线AB的距离最大值为
B．满足AP⊥BP的点P有2个
C．过点B作圆O的两切线，切点分别为M、N，则直线MN的方程为y＝1
D．2|PA|+|PB|的最小值是
（多选）12．（5分）（2022 福州模拟）已知正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O．点E满足λ（0＜λ＜1），过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则（ ）
A．四边形EFGH的周长为定值
B．当λ时，四边形EFGH为正方形
C．当λ时，α截球O所得截面的周长为
D．四棱锥A﹣EFGH的体积的最大值为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 罗湖区校级期中）已知函数f（x）＝x2（a 2x﹣2﹣x）是奇函数，则a＝ ．
14．（5分）（2021春 昆明期末）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，若，则p＝ ．
15．（5分）（2022 重庆模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣a，若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是 ．
16．（5分）（2022 香坊区校级三模）设函数，a1＝1，（n∈N*，n≥2）．设数列{an}的前n项和Sn，则的最小值为 ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 重庆模拟）已知各项均为正数的等差数列{an}的前三项和为12，等比数列{bn}的前三项和为7b1，且a1＝b1，a2＝b2．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前20项和．
18．（12分）（2022 惠州一模）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为．甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
19．（12分）（2022 惠州一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1﹣cos2B＝cos（A﹣C）+cosB，且．
（1）求证：b2＝ac；
（2）当BD＝b时，求cos∠ABC．
20．（12分）（2022 阿勒泰地区模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PB＝PC＝2，CD＝AD＝1，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．
（1）求证：MN⊥PB；
（2）若直线PC与平面CEMN所成的角的余弦值为，求的值．
21．（12分）（2022 海安市模拟）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2的内切圆的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）延长PF1，PF2与椭圆C分别交于点A，B，问：是否为定值？并说明理由．
22．（12分）（2022 如皋市模拟）已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，证明：xf（x）+e﹣x﹣x≥0．
2022年高考数学终极押题密卷1 (新高考Ⅰ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 北辰区校级模拟）设集合A＝{x|y＝log2（1﹣x）}，B＝{﹣1，0，3}，则A∩B＝（ ）
A．{0} B．{﹣1，1} C．{﹣1，0} D．{﹣1，0，1，2}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：集合A＝{x|y＝log2（1﹣x）}＝{x|x＜1}，B＝{﹣1，0，3}，
则A∩B＝{﹣1，0}．
故选：C．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 香坊区校级三模）若z，则z（ ）
A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，即可求解．
【解答】解：∵z，
∴，
∴．
故选：A．
【点评】本题考查了共轭复数的概念，以及复数代数形式的乘除法运算，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．
3．（5分）（2021 河南模拟）已知圆锥的表面积为3π，它的侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】对应思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】求出圆锥的底面半径和圆锥的母线长与高，再计算圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的底面半径为r，圆锥的母线长为l，
由πl＝2πr，得l＝2r，
又S＝πr2+πr 2r＝3πr2＝3π，
所以r2＝1，解得r＝1；
所以圆锥的高为h，
所以圆锥的体积为Vπr2hπ×12π．
故选：A．
【点评】本题考查了圆锥的表面积与体积计算问题，是基础题．
4．（5分）（2022 长治模拟）下列区间中，函数单调递增的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】正弦函数的单调性．
【专题】计算题；函数思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】根据正弦函数的图象与性质，求出函数f（x）的单调递增区间即可得答案．
【解答】解：函数，
令，
解得，
所以函数f（x）的单调递增区间是，
因为，
所以函数单调递增的是，
故选：B．
【点评】本题考查了三角函数的单调性，属于基础题．
5．（5分）（2022 宣城模拟）设椭圆1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上，且满足9，则|PF1| |PF2|的值是（ ）
A．14 B．17 C．20 D．23
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由椭圆的方程可得a，b的值，再由a，b，c之间的关系求出c的值，再由椭圆的定义可得PF1+PF2的值，在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2表达式，进而求出PF1 PF2 cos∠F1PF2的表达式，再由数量积求出PF1 PF2的值．
【解答】解：由椭圆的方程1可知a2＝25，b2＝16，c2＝a2﹣b2＝25﹣16＝9，
所以a＝5，c＝3，
由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝2×5＝10，|F1F2|＝2c＝6，设|PF1|＝m，|PF2|＝n，
在△F1PF2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2，
所以可得m n cos∠F1PF2＝32﹣m n，
因为9，即|PF1| |PF2|cos∠F1PF2＝9，
所以9＝32﹣PF1 PF2，
解得：PF1 PF2＝23，
故选：D．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，余弦定理的应用和数量积的运算性质的应用，属于中档题．
6．（5分）（2022 江西模拟）若tan（α﹣π）＝2，则（ ）
A． B．﹣3 C． D．3
【考点】同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用诱导公式化简已知等式可得tanα＝2，进而根据同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式化简所求即可求解．
【解答】解：若tan（α﹣π）＝tanα＝2，
则．
故选：A．
【点评】本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式，二倍角的正弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
7．（5分）（2022 深圳模拟）已知a＞0，若过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则（ ）
A．b＜0 B．0＜b＜a3 C．b＞a3 D．b（b﹣a3）＝0
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】函数思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】求出函数y＝x3的导函数，设切点坐标，得到过切点的切线方程，代入已知点的坐标，再由函数求极值，可得关于a与b的不等式组，答案可求．
【解答】解：由y＝x3，得y′＝3x2，设切点为（t，t3），
则过切点的切线方程为y﹣t3＝3t2（x﹣t），
把点（a，b）代入，可得b﹣t3＝3t2（a﹣t），
则2t3﹣3at2+b＝0，
令g（t）＝2t3﹣3at2+b，则g′（t）＝6t2﹣6at，
∵a＞0，∴当t∈（﹣∞，0）∪（a，+∞）时，g′（t）＞0，g（t）在（﹣∞，0），（a，+∞）上单调递增；
当t∈（0，a）时，g′（t）＜0，g（t）在（0，a）上单调递减．
∴函数g（t）取得极大值g（0）＝b，函数g（t）取得极小值g（a）＝b﹣a3．
要使过点（a，b）可以作曲线y＝x3的三条切线，则，可得0＜b＜a3．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求极值，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）（2022 常德模拟）将甲、乙、丙、丁4名医生随机派往①，②，③三个村庄进行义诊活动，每个村庄至少派1名医生，A表示事件“医生甲派往①村庄”；B表示事件“医生乙派往①村庄”；C表示事件“医生乙派往②村庄”，则（ ）
A．事件A与B相互独立 B．事件A与C相互独立
C． D．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；条件概率与独立事件；互斥事件与对立事件．
【专题】方程思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由古典概型概率计算公式求出P（A），P（B），P（C），P（AB），P（AC），再利用相互独立事件的定义能判断AB；利用条件概率公式计算能判断CD．
【解答】解：将甲、乙、丙、丁4名医生派往①②③三个村庄义诊的试验有36个基本事件，它们等可能，
事件A含有的基本事件数为12，则P（A），
同理P（B）＝P（C），
事件AB含有的基本事件个数为2，则P（AB），
事件AC含有的基本事件数为5，则P（AC），
对于A，P（A）P（B）P（AB），即事件A与B相互不独立，故A不正确；
对于B，P（A）P（C）P（AC），即事件A与C相互不独立，故B不正确；
对于C，P（B|A），故C不正确；
对于D，P（C|A），故D正确．
故选：D．
【点评】本题考查命题真假的判断，考查相互独立事件的定义、条件概率公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2022 连云港二模）一组数据x1，x2，…，x10是公差为﹣1的等差数列，若去掉首末两项x1，x10后，则（ ）
A．平均数变大 B．中位数没变 C．方差变小 D．极差没变
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】对应思想；定义法；等差数列与等比数列；概率与统计；数据分析．
【分析】根据等差数列的性质，结合平均数、中位数和方差、极差的定义，判断正误即可．
【解答】解：因为数据x1，x2，…，x10是公差为﹣1的等差数列，所以x1+x10＝x2+x9＝...＝x5+x6，
若去掉首末两项x1，x10后，则平均数不变，中位数不变，选项A错误，B正确；
因为x1、x10最偏离平均值，所以去掉x1，x10后，方差变小，极差变小，选项C正确，D错误．
故选：BC．
【点评】本题考查了等差数列的性质与平均数、中位数和方差、极差的定义应用问题，是基础题．
（多选）10．（5分）（2022 玄武区模拟）设m，n是大于零的实数，向量（mcosα，msinα），（ncosβ，nsinβ），其中α，β∈[0，2π），定义向量（）（cos，sin），（）（cos，sin），记θ＝α﹣β，则（ ）
A．（） （）
B．（） （）cos
C．|（）（）|2≥4sin2
D．|（）（）|2≥4cos2
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】由新向量的定义，向量数量积，可分别判断AB，再结合基本不等式，可再分别判断CD．
【解答】解：对A选项，等式左边是向量数量积是个数量，而右边是向量，所以A不正确；
对B选项，∵，∴B正确；
对C，D选项，∵m，n是大于零的实数，∴，当且仅当m＝n时取得等号，
∴，
，∴C正确；
又2，
，∴D正确．
故选：BCD．
【点评】本题考查向量数量积，基本不等式，属基础题．
（多选）11．（5分）（2022 湖南模拟）已知点P在圆O：x2+y2＝4上，点A（3，0），B（0，4），则（ ）
A．点P到直线AB的距离最大值为
B．满足AP⊥BP的点P有2个
C．过点B作圆O的两切线，切点分别为M、N，则直线MN的方程为y＝1
D．2|PA|+|PB|的最小值是
【考点】直线与圆的位置关系；圆的切线方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】对A，求出直线AB的方程，算出圆心到该直线的距离，进而通过圆的性质判断答案；
对B，设点P（x，y），根据得到点P的轨迹方程，进而判断该轨迹与圆的交点个数即可；
对C，设M（x1，y1），N（x2，y2），进而得到切线方程MB，NB，再根据点B在两条切线上求得答案；
对D，设P（x，y），设存在定点C（0，t），使得点P在圆O上任意移动时均有，进而求出点P的轨迹方程，然后结合点P在圆O上求得答案．
【解答】解：对，则圆心到直线的距离，所以点P到该直线距离的最大值为，A正确；
对B，设点P（x，y），则x2+y2＝4，且，
由题意，
两圆的圆心距为，
半径和与半径差分别为，
于是，即两圆相交，满足这样条件的点P有2个，B正确；
对C，设M（x1，y1），N（x2，y2），则直线MB，NB分别为x1x+y1y＝4，x2x+y2y＝4，
因为点B在两条直线上，所以x1 0+y1 4＝4，x2 0+y2 4＝4，
于是M，N都满足直线方程x 0+y 4＝4，即直线MN的方程为y＝1，C正确；
对D，即求的最小值，
设存在定点C（0，t），使得点P在圆O上任意移动时均有，
设P（x，y），则有，
化简得3x2+3y2+8（1﹣t）y＝16﹣4t2，∵x2+y2＝4，
则有2（1﹣t）y＝1﹣t2，
即（1﹣t）（2y﹣1﹣t）＝0，
∴t＝1，C（0，1），
所以，所以D正确．
故选：ABCD．
【点评】本题考查了直线与圆的位置关系，圆与圆的位置关系，属于中档题．
（多选）12．（5分）（2022 福州模拟）已知正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O．点E满足λ（0＜λ＜1），过点E作平面α平行于AC和BD，设α分别与该正四面体的棱BC，CD，DA相交于点F，G，H，则（ ）
A．四边形EFGH的周长为定值
B．当λ时，四边形EFGH为正方形
C．当λ时，α截球O所得截面的周长为
D．四棱锥A﹣EFGH的体积的最大值为
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】计算题；整体思想；综合法；立体几何；数学运算．
【分析】求得四边形EFGH的周长判断选项A；依据正方形判定标准判断选项B；求得平面α截球O所得截面的周长判断选项C；求得四棱锥A﹣EFGH的体积的最大值判断选项D．
【解答】解：AC∥平面α，平面α∩平面ABC＝EF，平面α∩平面ADC＝GH，
则AC∥EF，AC∥GH，
所以EF∥GH，
又BD∥平面α，平面α∩平面ABD＝EH，平面α∩平面BDC＝GF，
则BD∥EH，BD∥GF，
所以EH∥GF，
所以四边形EFGH为平行四边形．
由，可得AE：AB＝λ，则HE：DB＝λ，EF：AC＝1﹣λ，
又正四面体ABCD的棱长为3，
则HE＝GF＝3λ，EF＝GH＝3（1﹣λ），
选项A：四边形EFGH的周长为HE+GF+EF+GH＝2[3λ+3（1﹣λ）]＝6．故A正确；
选项B：当时，，
则平行四边形EFGH为菱形，
又正四面体ABCD中，对棱BD⊥AC，则EF⊥EH，
则菱形EFGH为正方形，故B正确；
分别取BD、BC、AC 的中点M、N、Q，连接DN、CM、MQ，
设DN、CM交于K，连接AK，则AK为正四面体的高，
正四面体ABCD的棱长为3，其外接球的球心为O，则O在AK上，连接CO，
，
设球O半径为R，则CO2＝KC2+KO2，
即，解得，
由AM＝CM，AQ＝QC，可得MQ⊥AC，
同理有MQ⊥BD，则MQ为异面直线BD、AC之间的距离，
，
则点K到AC的距离为，球心O到AC的距离为，
选项C：当时，设α与MC交于T，则到AC的距离为，
球心O到平面EFGH的距离为，
则平面α截球O所得截面半径为，
则平面α截球O所得截面的周长为，故C错误；
选项D：由，
可得点A到平面EFGH的距离为，
又平行四边形EFGH为矩形，
则四棱锥A﹣EFGH的体积，
令，
则，
由f′（x）＞0得，
由f′（x）＜0得，
则f（x）在单调递增，在单调递减，
所以在时，f（x）取最大值，
即的最大值为，
故四棱锥A﹣EFGH的体积的最大值为．故D正确．
故选：ABD．
【点评】本题考查了立体几何的综合，属于难题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 罗湖区校级期中）已知函数f（x）＝x2（a 2x﹣2﹣x）是奇函数，则a＝ 1 ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由奇函数的性质f（﹣x）＝﹣f（x），即可求解a的值．
【解答】解：因为函数f（x）＝x2（a 2x﹣2﹣x）是奇函数，
所以f（﹣x）＝﹣f（x）对任意x恒成立，
即x2（a 2﹣x﹣2x）＝﹣x2（a 2x﹣2﹣x），
整理得（a﹣1）x2（2﹣x+2x）＝0，
所以a﹣1＝0，所以a＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）（2021春 昆明期末）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，若，则p＝ 2 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】利用已知条件，列出关系式求解P即可．
【解答】解：设A（，t），
因为抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，O为坐标原点，点A在E上，且|AF|＝2|OF|，，
可得，
解得p＝2，
故答案为：2．
【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，是中档题．
15．（5分）（2022 重庆模拟）已知函数f（x）＝lnx﹣a，若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，则实数a的取值范围是 [﹣1，+∞） ．
【考点】利用导数研究函数的最值．
【专题】函数思想；转化法；导数的概念及应用．
【分析】利用参数分类法，转化求函数的最值问题，构造函数求函数的导数，利用导数法进行求解即可．
【解答】解：若f（x）＜x2在（1，+∞）上恒成立，
则等价为lnx﹣a＜x2在（1，+∞）上恒成立，
即lnx﹣x2＜a在（1，+∞）上恒成立，
设h（x）＝lnx﹣x2，
则h′（x）2x，
当x≥1时，h′（x）＜0，即h（x）在[1，+∞）上为减函数，
则当x＞1时，h（x）＜h（1）＝1﹣2＝﹣1，
则a≥﹣1，
故答案为：[﹣1，+∞）．
【点评】本题主要考查不等式恒成立问题，利用参数分离法以及构造法是解决本题的关键．综合性较强．
16．（5分）（2022 香坊区校级三模）设函数，a1＝1，（n∈N*，n≥2）．设数列{an}的前n项和Sn，则的最小值为 ．
【考点】数列的求和．
【专题】分类讨论；转化思想；综合法；点列、递归数列与数学归纳法；数学运算．
【分析】由f（x）+f（1﹣x）＝4，结合倒序相加法，求得数列{an}的通项公式，再确定Sn的通项公式，进一步求出的最小值．
【解答】解：因为，
所以f（x）+f（1﹣x）＝2+ln2+ln4，
当n≥2时，①，an＝f（）+f（）+…+f（）②，
①+②得，2an＝[f（）+f（）]+[f（）+f（）]+…+[f（）+f（）]＝4+4+…+4＝4（n﹣1），
所以an＝2（n﹣1）（n≥2），
因为a1＝1，所以an，
当n＝1时，21；
当n≥2时，Sn＝1+2+4+…+2（n﹣1）＝1n2﹣n+1，
所以n1，
而函数y＝x1在（0，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
所以函数y＝x1在x处取得最小值，
因为n∈N*，所以当n＝4时，；当n＝5时，，
显然，所以的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题考查数列的通项公式与前n项和的求法，熟练掌握倒序相加法，对勾函数的性质是解题的关键，考查分类讨论思想，逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 重庆模拟）已知各项均为正数的等差数列{an}的前三项和为12，等比数列{bn}的前三项和为7b1，且a1＝b1，a2＝b2．
（1）求{an}和{bn}的通项公式；
（2）设，求数列{cn}的前20项和．
【考点】数列的求和；等差数列与等比数列的综合．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）设出等差数列、等比数列的基本量，根据题意得到关于基本量的方程组进行求解；
（2）利用分组法和等差数列、等比数列的求和公式进行求解．
【解答】解：（1）由题知即q＝2，
故b1＝2，a1＝2，d＝2，
∴；
（2）由题知{cn}的前20项和，
即．
【点评】本题考查了等差、等比数列的通项公式和分组求和，属于中档题．
18．（12分）（2022 惠州一模）惠州市某高中学校组织航天科普知识竞赛，分小组进行知识问题竞答．甲乙两个小组分别从6个问题中随机抽取3个问题进行回答，答对题目多者为胜．已知这6个问题中，甲组能正确回答其中4个问题，而乙组能正确回答每个问题的概率均为．甲、乙两个小组的选题以及对每题的回答都是相互独立，互不影响的．
（1）求甲小组至少答对2个问题的概率；
（2）若从甲乙两个小组中选拔一组代表学校参加全市决赛，请分析说明选择哪个小组更好？
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，结合超几何分布的概率公式，即可求解．
（2）结合超几何分布的概率公式，二项分布的概率公式求出概率，再分别求出两种情况的期望与方差，通过比较大小，即可求解．
【解答】解：（1）∵这6个问题中，学生甲能正确回答其中的4个问题，
∴甲至少答对两个问题的概率P1＝11．
（2）设甲答对题数为X，X所有可能取值为1，2，3，
则P（X＝1），
P（X＝2），
P（X＝3），
故E（X）＝1232，
D（X）＝（1﹣2）2（2﹣2）2（3﹣2）2．
设乙答对题数为Y，由题意可得，随机变量Y～B（3，），
故E（Y）＝32，D（Y）＝3，
∵E（X）＝E（Y），D（X）＜D（Y），
∴甲与乙的平均水平相当，但甲比乙的成绩更稳定，
故选择学生甲．
【点评】本题主要考查了超几何分布和二项分布，数学期望与方差公式，属于中档题．
19．（12分）（2022 惠州一模）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1﹣cos2B＝cos（A﹣C）+cosB，且．
（1）求证：b2＝ac；
（2）当BD＝b时，求cos∠ABC．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知结合二倍角公式及和差角公式进行化简，然后结合正弦定理可求；
（2）由已知结合向量数量积的性质及余弦定理进行化简可求．
【解答】（1）证明：因为1﹣cos2B＝cos（A﹣C）+cosB，
所以2sin2B＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sinAsinC，
由正弦定理得b2＝ac；
（2）因为，即D为AC的中点，
则（），
两边同时平方得，，
即4b2＝c2+a2+2accos∠ABC，
由余弦定理得，b2＝a2+c2﹣2accos∠ABC，
两式相加得a2+c2，
由余弦定理得cos∠ABC．
【点评】本题主要考查了和差角公式，二倍角公式，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
20．（12分）（2022 阿勒泰地区模拟）在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAB为等边三角形，底面ABCD为直角梯形，AB∥CD，∠DAB＝90°，PB＝PC＝2，CD＝AD＝1，E为线段AB的中点，过直线CE的平面与线段PA，PD分别交于点M，N．
（1）求证：MN⊥PB；
（2）若直线PC与平面CEMN所成的角的余弦值为，求的值．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】计算题；转化思想；综合法；空间位置关系与距离；空间角；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）说明四边形AECD为矩形，推出CE∥AD，证明CE∥平面PAD，证明PE⊥EC，EC⊥AB，推出EC⊥平面PAB．得到MN⊥平面PAB，即可证明MN⊥PB．
（2）以E为原点，以EC，EB，EP分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系，求出平面CEMN的法向量，利用空间向量的数量积结合PC与平面CEMN所成的角的正弦值为，求解即可．
【解答】（1）证明：∵E为中点，AE＝DC，AE∥DC，∠DAB＝90°，
∴四边形AECD为矩形，∴CE∥AD，CE 平面PAD，
∴CE∥平面PAD．∴CE∥MN，又E为等边三角形PAB边AB的中点，
∴，PC＝2，CE＝1，∴△PEC为直角三角形，
且PE⊥EC，EC⊥AB，∴EC⊥平面PAB．∴MN⊥平面PAB，MN⊥PB．
（2）∵PAB为正三角形，∴PE⊥AB，PE⊥EC，
∴PE⊥平面ABCD．
以E为原点，以EC，EB，EP分别为x轴，y轴，z轴建立如图直角坐标系，
，C（1，0，0），A（0，﹣1，0），∴，，
设，0≤λ≤1，，
设平面CEMN的法向量为，则．
取z＝λ，，，
依题意有PC与平面CEMN所成的角的正弦值为，
即，∴（λ＝2舍去），
∴，∴．
【点评】本题主要考查空间几何体体积、直线与平面位置关系等必备知识与运算能力，是中档题．
21．（12分）（2022 海安市模拟）已知椭圆C：1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F1，F2，焦距为2，点P是椭圆C上一动点，△PF1F2的内切圆的面积的最大值为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）延长PF1，PF2与椭圆C分别交于点A，B，问：是否为定值？并说明理由．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由题意表示出△PF1F2内切圆的面积，根据其最大值列出等式，求得a2，b2，即得答案；
（2）设直线方程，联立椭圆方程，得到根与系数的关系式，结合椭圆的方程，得到的表达式并化简，同理求得的表达式，化简即可求得答案．
【解答】解：（1）设△PF1F2的内切圆的半径为r，点P的坐标为（x0，y0）．
因为焦距为2，所以|F1F2|＝2，故c＝1．
△PF1F2的面积，故|y0|＝（a+1）r．
对于给定的椭圆，要使△PF1F2的内切圆的面积最大，即r最大，即|y0|最大，
由于△PF1F2的内切圆的面积的最大值为，故此时，
所以|y0|＝b时，有，①
又a2﹣b2＝1．②
由①②，得a2＝4，b2＝3，
所以椭圆C的方程．
（2）由题意知：F1（﹣1，0），F2（1，0），
设A（x1，y1），B（x2，y2），直线PF1的方程为x＝my﹣1，
与（1）中所求椭圆联立方程组并消去x得，
（3m2+4）y2﹣6my﹣9＝0，Δ＝4（m2+1）＞0，
所以，所以．
因为点P（x0，y0）在直线PF1：x＝my﹣1上，所以，
又点P（x0，y0）在椭圆上，所以，
所以．
同理，可得，
所以（定值）．
【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
22．（12分）（2022 如皋市模拟）已知函数f（x）＝x+alnx（a∈R）．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当a＝1时，证明：xf（x）+e﹣x﹣x≥0．
【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的最值．
【专题】整体思想；综合法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）先对函数求导，然后结合导数与单调性关系对a进行分类讨论，进而可求函数的单调性；
（2）要证xf（x）+e﹣x﹣x≥0，问题转化为证x（x+lnx）+e﹣x﹣x≥0，合理进行变形可转化为证ln（xex）1≥0，然后进行换元令t＝xex，t＞0，即证lnt1≥0，结合不等式特点考虑构造函数g（t）＝lnt1，t＞0，结合导数分析函数性质即可证明．
【解答】（1）解：f′（x）＝1，x＞0，
当a≥0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，易得当0＜x＜﹣a时，f′（x）＜0，f（x）在（0，+∞）上单调递减，当x＞﹣a时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
故当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＜0时，f（x）在（0，+∞）上单调递减，f（x）在（0，+∞）上单调递增；
（2）证明：当a＝1时，f（x）＝x+lnx，
要证xf（x）+e﹣x﹣x≥0，即证x（x+lnx）+e﹣x﹣x≥0，
即证x+lnx1≥0，
只要证ln（xex）1≥0，
令t＝xex，t＞0，
即证lnt1≥0，
令g（t）＝lnt1，t＞0，
则g′（t），
易得，当t＞1时，g′（t）＞0，g（t）单调递增，当0＜t＜1时，g′（t）＜0，g（t）单调递减，
故当t＝1时，函数g（t）取得最小值g（1）＝0，
故g（t）≥0，
所以xf（x）+e﹣x﹣x≥0．
【点评】本题主要考查了导数与单调性关系的应用，体现了转化思想及分类讨论思想的应用，属于中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
3．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
4．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
5．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
6．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
7．等差数列与等比数列的综合
【知识点的知识】
1、等差数列的性质
（1）若公差d＞0，则为递增等差数列；若公差d＜0，则为递减等差数列；若公差d＝0，则为常数列；
（2）有穷等差数列中，与首末两端“等距离”的两项和相等，并且等于首末两项之和；
（3）m，n∈N+，则am＝an+（m﹣n）d；
（4）若s，t，p，q∈N*，且s+t＝p+q，则as+at＝ap+aq，其中as，at，ap，aq是数列中的项，特别地，当s+t＝2p时，有
as+at＝2ap；
（5）若数列{an}，{bn}均是等差数列，则数列{man+kbn}仍为等差数列，其中m，k均为常数．
（6）an，an﹣1，an﹣2，…，a2，a1仍为等差数列，公差为﹣d．
（7）从第二项开始起，每一项是与它相邻两项的等差中项，也是与它等距离的前后两项的等差中项，即2an+1＝an+an+2，
2an＝an﹣m+an+m，（n≥m+1，n，m∈N+）
（8）am，am+k，am+2k，am+3k，…仍为等差数列，公差为kd（首项不一定选a1）．
2、等比数列的性质．
（1）通项公式的推广：an＝am qn﹣m，（n，m∈N*）．
（2）若{an}为等比数列，且k+l＝m+n，（k，l，m，n∈N*），则ak al＝am an
（3）若{an}，{bn}（项数相同）是等比数列，则{λan}（λ≠0），{a}，{an bn}，仍是等比数列．
（4）单调性：或 {an}是递增数列；或 {an}是递减数列；q＝1 {an}是常数列；q＜0 {an}是摆动数列．
8．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
9．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
10．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
11．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
12．互斥事件与对立事件
【知识点的认识】
1．互斥事件
（1）定义：一次试验中，事件A和事件B不能同时发生，则这两个不能同时发生的事件叫做互斥事件．
如果A1，A2，…，An中任何两个都不可能同时发生，那么就说事件A1，A2，…An彼此互斥．
（2）互斥事件的概率公式：
在一个随机试验中，如果随机事件A和B是互斥事件，则有：
P（A+B）＝P（A）+P（B）
注：上式使用前提是事件A与B互斥．
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An彼此互斥，那么事件发生（即A1，A2，…，An中有一个发生）的概率等于这n个事件分别发生的概率之和，即：
P（A1+A2+…+An）＝P（A1）+P（A2）+…+P（An）
2．对立事件
（1）定义：一次试验中，两个事件中必有一个发生的互斥事件叫做对立事件，事件A的对立事件记做．
注：①两个对立事件必是互斥事件，但两个互斥事件不一定是对立事件；
②在一次试验中，事件A与只发生其中之一，并且必然发生其中之一．
（2）对立事件的概率公式：
P（）＝1﹣P（A）
3．互斥事件与对立事件的区别和联系
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件除要求这两个事件不同时发生外，还要求二者之一必须有一个发生．因此，对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，即“互斥”是“对立”的必要但不充分条件，而“对立”则是“互斥”的充分但不必要条件．
【命题方向】
1．考查对知识点概念的掌握
例1：从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（ ）
A．“至少有一个红球”与“都是黑球”
B．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
C．“至少有一个黑球”与“至少有1个红球”
D．“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”
分析：列举每个事件所包含的基本事件，结合互斥事件和对立事件的定义，依次验证即可
解答：对于A：事件：“至少有一个红球”与事件：“都是黑球”，这两个事件是对立事件，∴A不正确
对于B：事件：“至少有一个黑球”与事件：“都是黑球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴B不正确
对于C：事件：“至少有一个黑球”与事件：“至少有1个红球”可以同时发生，如：一个红球一个黑球，∴C不正确
对于D：事件：“恰有一个黑球”与“恰有2个黑球”不能同时发生，∴这两个事件是互斥事件，
又由从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，
得到所有事件为“恰有1个黑球”与“恰有2个黑球”以及“恰有2个红球”三种情况，故这两个事件是不是对立事件，
∴D正确
故选D
点评：本题考查互斥事件与对立事件．首先要求理解互斥事件和对立事件的定义，理解互斥事件与对立事件的联系与区别．同时要能够准确列举某一事件所包含的基本事件．属简单题．
例2：下列说法正确的是（ ）
A．互斥事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件
B．互斥事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件
C．事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大
D．事件A，B同时发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率小．
分析：根据对立事件和互斥事件的概率，得到对立事件一定是互斥事件，两个事件是互斥事件不一定是对立事件，这两者之间的关系是一个包含关系．
解答：根据对立事件和互斥事件的概念，
得到对立事件一定是互斥事件，
两个事件是互斥事件不一定是对立事件，
故选B．
点评：本题考查互斥事件与对立事件之间的关系，这是一个概念辨析问题，这种题目不用运算，只要理解两个事件之间的关系就可以选出正确答案．
2．互斥事件概率公式的应用
例：甲乙两人下棋比赛，两人下成和棋的概率是，乙获胜的概率是，则乙不输的概率是
分析：记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，且，，则乙不输即为事件A+B，由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）可求．
解答：甲乙两人下棋比赛，记“两人下成和棋”为事件A，“乙获胜”为事件B，则A，B互斥，
则，，
则乙不输即为事件A+B，
由互斥事件的概率公式可得，P（A+B）＝P（A）+P（B）
故答案为：
点评：本题主要考查互斥事件的关系，不可能同时发生的两个事件叫做互斥事件，也叫互不相容事件，考查了互斥事件的概率的加法公式在概率计算中的应用．
3．对立事件概率公式的应用
例：若事件A与B是互为对立事件，且P（A）＝0.4，则P（B）＝（ ）
A.0 B.0.4 C.0.6 D.1
分析：根据对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A），解得即可．
解答：因为对立事件的概率公式p（）＝1﹣P（A）＝0.6，
故选C．
点评：本题主要考查对立事件的定义，属于基础题．
13．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
14．条件概率与独立事件
【知识点的知识】
1、条件概率的定义：对于任何两个事件A和B，在已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率叫做条件概率，用符号P（B|A）来表示．
（2）条件概率公式：称为事件A与B的交（或积）．
（3）条件概率的求法：
①利用条件概率公式，分别求出P（A）和P（A∩B），得P（B|A），其中P（A）＞0；
②借助古典概型概率公式，先求出事件A包含的基本事件数n（A），再在事件A发生的条件下求出事件B包含的基本事件数，即n（A∩B），得P（B|A）
【解题方法点拨】
典例1：利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 ．
解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6＝36，即（a，b）的情况有36种，
事件“a+b为偶数”包含基本事件：
（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6），
（3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）
（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个，
“在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件：
（1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个，
故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P
故答案为：
典例2：甲乙两班进行消防安全知识竞赛，每班出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为，，，乙队每人答对的概率都是．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用ξ表示甲队总得分．
（Ⅰ）求随机变量ξ的分布列及其数学期望E（ξ）；
（Ⅱ）求在甲队和乙队得分之和为4的条件下，甲队比乙队得分高的概率．
分析：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出P（ξ＝0），P（ξ＝1），P（ξ＝2），P（ξ＝3），由此能求出随机变量ξ的分布列和数学期望E（ξ）．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，分别求出P（A），P（AB），再由P（B/A），能求出结果．
解答：（Ⅰ）由题设知ξ的可能取值为0，1，2，3，
P（ξ＝0）＝（1）（1）（1），
P（ξ＝1）（1）（1）+（1）（1）+（1）（1），
P（ξ＝2），
P（ξ＝3），
∴随机变量ξ的分布列为：
ξ 0 1 2 3
P
数学期望E（ξ）＝0123．
（Ⅱ）设“甲队和乙队得分之和为4”为事件A，“甲队比乙队得分高”为事件B，
则P（A），
P（AB），
P（B|A）．
【解题方法点拨】
1、P（B|A）的性质：
（1）非负性：对任意的A∈Ω，0≤P（B|A）≤1；
（2）规范性：P（Ω|B）＝1；P（ |B）＝0；
（3）可列可加性：如果是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）+P（C|A）．
2、概率P（B|A）和P（AB）的区别与联系：（1）联系：事件A和B都发生了；
（2）区别：
a、P（B|A）中，事件A和B发生有时间差异，A先B后；在P（AB）中，事件A、B同时发生．
b、样本空间不同，在P（B|A）中，样本空间为A，事件P（AB）中，样本空间仍为Ω．
15．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
16．正弦函数的单调性
【知识点的知识】
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
17．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
18．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
19．圆的切线方程
【知识点的认识】
圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．
圆的切线方程的类型：
（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程
（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．
【实例解析】
例1：已知圆：（x﹣1）2+y2＝2，则过点（2，1）作该圆的切线方程为 ．
解：圆：（x﹣1）2+y2＝2，的圆心为C（1，0），半径r．
①当直线l经过点P（2，1）与x轴垂直时，方程为x＝2，
∵圆心到直线x＝2的距离等于1，∴直线l与圆不相切，即x＝2不符合题意；
②当直线l经过点P（2，1）与x轴不垂直时，设方程为y﹣1＝k（x﹣2），即kx﹣y+1﹣2k＝0．
∵直线l与圆：（x﹣1）2+y2＝2相切，
∴圆心到直线l的距离等于半径，即d，解之得k＝﹣1，
因此直线l的方程为y﹣1＝﹣（x﹣2），化简得x+y﹣3＝0．
综上所述，可得所求切线方程为x+y﹣3＝0．
这里讨论第一种情况是因为k不一定存在，所以单独讨论，用的解题思想就是我上面所说，大家可以对照着看就是．
例2：从点P（4，5）向圆（x﹣2）2+y2＝4引切线，则圆的切线方程为 ．
解：由圆（x﹣2）2+y2＝4，得到圆心坐标为（2，0），半径r＝2，
当过P的切线斜率不存在时，直线x＝4满足题意；
当过P的切线斜率存在时，设为k，
由P坐标为（4，5），可得切线方程为y﹣5＝k（x﹣4），即kx﹣y+5﹣4k＝0，
∴圆心到切线的距离d＝r，即2，
解得：k，
此时切线的方程为y﹣5（x﹣4），即21x﹣20y+16＝0，
综上，圆的切线方程为x＝4或21x﹣20y+16＝0．
这个例题用的方法也是前面所说，但告诉我们一个基本性质，即圆外的点是可以做两条切线的，所以以后解题只求出一条的时候就要想是不是少写了一种．
【考点分析】
本考点也是比较重要的一个知识点，但解题方法很死板，希望大家都能准确的掌握，确保不丢分．
20．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
21．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
22．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
23．直线与椭圆的综合
v．
24．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
25．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
26．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
27．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
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