2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷文科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国乙卷文科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 437.1KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:10:51 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷1 (全国乙卷文科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 赤峰模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{0，1}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．[0，1] B．{0，1} C．[0，2] D．{0，1，2}
2．（5分）（2022 安徽模拟）i为虚数单位，复数（ ）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
3．（5分）（2019 绵阳模拟）已知命题p： x0∈R，使得lgcosx0＞0；命题q： x＜0，3x＞0，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
4．（5分）（2020 道里区校级模拟）△ABC中，（cosA，sinA），（cosB，﹣sinB），若 ，则角C为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 台州模拟）若实数x，y满足则z＝y﹣3x的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（5分）（2021 淮安模拟）设a＝sin246°，b＝cos235°﹣sin235°，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
7．（5分）（2022 许昌模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3：2．左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大、小五角星相似，其外接圆的直径之比为3：1，相似图形和相似三角形性质相同．若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2018秋 黄浦区校级期中）下列各式中，最小值为2的是（ ）
A．x（x＜0） B．1（x≥1）
C． D．
9．（5分）（2011 遂川县校级模拟）已知f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0）上递减，若x∈[，1]时，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，2] B．（﹣∞，2] C．[﹣4，+∞） D．[﹣4，﹣2]
10．（5分）（2022 河南模拟）在各面均为正三角形的四面体A﹣BCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2021 河北区二模）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线y2＝1（a＞0）相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则实数a＝（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2022 安康模拟）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 上饶模拟）已知向量，且（）∥（λ），则实数λ的值为 ．
14．（5分）（2021 中卫三模）若点P（x，y）在直线l：x+2y﹣3＝0上运动，则x2+y2的最小值为 ．
15．（5分）（2022 昌吉州模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3bsinC+csinB＝8asinBsinC，b2﹣a2＝8﹣c2，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）（2014秋 辽宁期末）把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C﹣ABD的正视图和俯视图如图所示，则侧视图的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 山西二模）某厂新开设了一条生产线生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10个零件，监测各个零件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
9.7 10.1 9.8 10.2 9.7 9.9 10.2 10.2 10.0 10.2
（1）求上表数据的平均数和方差s2；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
下面是另一天抽检的核心指标数据：
10.1 10.3 9.7 9.8 10.0 9.8 10.3 10.0 10.7 9.8
从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
18．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（12分）（2022 黄山模拟）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足b1＝2，若数列{anbn}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝（2an﹣1）bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．（12分）（2022 安徽一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且λ．
（1）若λ＝1，求点P的坐标；
（2）设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且，若λ＝4μ，求a的值．
21．（12分）（2021 昆明一模）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 昆明一模）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥1；
（2）若|x﹣m|≥f（x），求实数m的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷1 (全国乙卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 赤峰模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{0，1}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．[0，1] B．{0，1} C．[0，2] D．{0，1，2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，再由交集的定义求出（ RA）∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，
∴ RA＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，1}，
∴（ RA）∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 安徽模拟）i为虚数单位，复数（ ）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：1﹣i．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（5分）（2019 绵阳模拟）已知命题p： x0∈R，使得lgcosx0＞0；命题q： x＜0，3x＞0，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
【考点】逻辑联结词“或”、“且”、“非”．
【专题】计算题；对应思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项．
【解答】解：命题p： x0∈R，使得lgcosx0＞0，
∵﹣1≤cosx≤1，
∴lgcosx≤0，
∴命题p为假命题，
命题q： x＜0，3x＞0，是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，p∨q真命题，
故选：D．
【点评】本题考查符合命题真假性的判断．一般化为组成符合命题的基本命题真假性．考查逻辑推理，运算求解能力．
4．（5分）（2020 道里区校级模拟）△ABC中，（cosA，sinA），（cosB，﹣sinB），若 ，则角C为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用数量积和三角形的内角和定理、诱导公式即可化简，再利用三角形内特殊角的三角函数值即可得出．
【解答】解：∵（cosA，sinA），（cosB，﹣sinB），
∴cosAcosB﹣sinAsinB＝cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cosC，
∴，得cosC．
∵0＜C＜π．
∴．
故选：B．
【点评】熟练掌握数量积和三角形的内角和定理、诱导公式、三角形内角的特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．（5分）（2022 台州模拟）若实数x，y满足则z＝y﹣3x的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，2），
由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，由图可知，当直线y＝3x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2﹣3×1＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（5分）（2021 淮安模拟）设a＝sin246°，b＝cos235°﹣sin235°，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由sin45°＜sin46°＜sin60°，可得，利用同角三角函数基本关系式可得b＝1﹣2sin235°，根据sin30°＜sin35°＜sin45°，可求0，即可得解a＞b，又ctan64°，根据tan64°＞tan60°，可得ctan64°，可得c＞a，即可得解c＞a＞b．
【解答】解：因为sin45°＜sin46°＜sin60°，所以sin46°，所以sin246°，可得；
因为b＝cos235°﹣sin235°＝1﹣2sin235°，
又sin30°＜sin35°＜sin45°，
所以sin235°，
所以﹣1＜﹣2sin235°，
所以1﹣2sin235°∈（0，），即0，
所以a＞b，
又 tan64°，
因为tan64°＞tan60°，可得tan64°，
可得ctan64°，
所以c＞a，
综上，可得c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数以及正切函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
7．（5分）（2022 许昌模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3：2．左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大、小五角星相似，其外接圆的直径之比为3：1，相似图形和相似三角形性质相同．若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】转化思想；定义法；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于边长比的平方，
∵相似图形和相似三角形性质相同，大小五角星外接圆的直径之比为3：1，
∴大小五角星的面积之比为9：1，
设大五角星的面积为9a，则小五角星的面积为a，
则五星图案的面积之和为9a+4a＝13a，
则在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据相似图形的面积关系求出对应的面积是解决本题的关键，是基础题．
8．（5分）（2018秋 黄浦区校级期中）下列各式中，最小值为2的是（ ）
A．x（x＜0） B．1（x≥1）
C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；方程思想；定义法；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】由x＜0，可得x0，从而判断选项A；举反例，存在x＝1，使得10＜2，即可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C，D．
【解答】解：由x＜0，得x0，即x（x＜0）的值始终为负数，选项A错误；
存在x＝1，使得10＜2，所以1（x≥1）的最小值不是2，选项B错误；
根据基本不等式，可得22，
但方程没有实数根，故不能取得最小值2，选项C错误；
由0，得22，
当且仅当，即x＝0时等号成立，
所以的最小值为2，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，解题的关键在于把握“一正，二定，三相等”的原则，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
9．（5分）（2011 遂川县校级模拟）已知f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0）上递减，若x∈[，1]时，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，2] B．（﹣∞，2] C．[﹣4，+∞） D．[﹣4，﹣2]
【考点】奇函数、偶函数；函数恒成立问题．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】先利用偶函数的定义把f（ax+1）≤f（x+2） f（|ax+1|）≤f（|x+2|），再利用其单调性转化为|ax+1|≤|x+2|；对其两边平方整理后利用分类讨论的方法分别求出实数a的取值范围最后综合即可．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，故有f（x）＝f（﹣x）＝f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x+2）在 上恒成立 f（|ax+1|）≤f（|x+2|）在 上恒成立 ①；
又因为在[0，+∞）上是增函数，
故①式转化为|ax+1|≤|x+2|在 上恒成立 （a2﹣1）x2+2（a﹣2）x﹣3≤0 ②；
在 上恒成立．
a＝1时，②转化为﹣2x﹣3≤0 x成立；
a＝﹣1时，②转化为2x+1≥0 x成立；
|a|＞1时，得a2﹣1＞0，②转化为，
﹣4≤a≤2（a≠±1）．
综上得：实数a的取值范围为[﹣4，2]．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性．在偶函数的定义应用中，因为其在关于原点对称的区间上单调性相反，所以在作题过程中，一般是利用f（x）＝f（﹣x）＝f（|x|）把变量转化到同一个单调区间内．
10．（5分）（2022 河南模拟）在各面均为正三角形的四面体A﹣BCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】取DN中点O，连结MO，BO，则MO∥AN，∠BMO是异面直线BM与AN所成角，由此能求出异面直线BM与AN所成角的余弦值．
【解答】解：取DN中点O，连结MO，BO，
∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，
∴MO∥AN，∴∠BMO是异面直线BM与AN所成角，
设三棱锥A﹣BCD的所有棱长为2，
则AN＝BM＝DN，
MOAN＝NODN，
BO，
∴cos∠BMO．
∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（5分）（2021 河北区二模）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线y2＝1（a＞0）相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则实数a＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】求出抛物线的准线为x，焦点为F（，0）．根据对称性可得△FAB是等腰直角三角形，从而算出A、B的坐标，将其代入双曲线方程，解关于a的等式即可得到实数a的值．
【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝4x，
∴抛物线的准线为x，焦点为F（，0）．
又∵直线x交双曲线y2＝1于A、B两点，△FAB为直角三角形．
∴△FAB是等腰直角三角形，AB边上的高FF'＝2，
由此可得A（，2）、B（，﹣2），如图所示．
将点A或点B的坐标代入双曲线方程，得，解得a（负值舍去）．
故选：D．
【点评】本题给出抛物线与双曲线满足的条件，在已知抛物线的方程情况下求双曲线的标准方程，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
12．（5分）（2022 安康模拟）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；直观想象；数学运算．
【分析】先求导数，再根据f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点得f′（x）＝0有两个根，最后用导数研究函数零点个数问题求解．
【解答】解：f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a，因为f（x）有两个极值点，所以f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根，
显然a≠0，ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根 有两个根，
令g（x）＝e﹣x（x+1），g′（x）＝﹣xe﹣x，
当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以gmax（x）＝g（0）＝1，
又因为当x→+∞时，g（x）→0，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，
所以ex﹣2ax﹣2ax＝0有两个根 有两个根 01 a，
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数极值问题，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 上饶模拟）已知向量，且（）∥（λ），则实数λ的值为 ﹣1 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量（共线）．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】求出对应向量的坐标，再利用向量平行列式求出实数λ的值．
【解答】解：∵向量，
∴（7，﹣3），（4λ﹣3，﹣2λ+1），
∵（）∥（λ），
∴，
∴λ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标表示，属于基础题．
14．（5分）（2021 中卫三模）若点P（x，y）在直线l：x+2y﹣3＝0上运动，则x2+y2的最小值为 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；直线与圆．
【分析】代数法，由点在直线l上运动，得x＝3﹣2y，代入x2+y2求最小值即可；
几何法，把x2+y2的值看作直线l上的点到原点的距离的平方，最小值是原点到直线的距离的平方．
【解答】解：代数法，∵点P（x，y）在直线l：x+2y﹣3＝0上运动，
∴由x+2y﹣3＝0，得x＝3﹣2y，
∴x2+y2＝（3﹣2y）2+y2＝5y2﹣12y+9＝5
当y时取最小值，最小值为．
几何法，x2+y2的值可以看作直线l：x+2y﹣3＝0上点到原点的距离的平方
它的最小值是原点到直线的距离的平方；
即d2；
故答案为：．
【点评】本题考查了求最值的问题，解题时应用转化思想，寻求合理的解题途径，是基础题．
15．（5分）（2022 昌吉州模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3bsinC+csinB＝8asinBsinC，b2﹣a2＝8﹣c2，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】利用正弦定理可得sinA；再利用余弦定理求得bc，从而可求得△ABC的面积．
【解答】解：在△ABC中，∵3bsinC+csinB＝8asinBsinC，
∴由正弦定理得：3sinBsinC+sinCsinB＝8sinAsinBsinC，
∵sinB＞0，sinC＞0，∴sinBsinC＞0，
∴sinA；
又b2﹣a2＝8﹣c2，即b2+c2﹣a2＝8，
由余弦定理得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，
∴2bccosA＝8，故cosA，
∴bc，
∴S△ABCbcsinA，
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）（2014秋 辽宁期末）把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C﹣ABD的正视图和俯视图如图所示，则侧视图的面积为 ．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形BAD，且一侧面CBD垂直于底面的三棱锥，画出图形，求出它的侧视图的面积来．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为直角三角形BAD，且一侧面CBD垂直于底面的三棱锥，
如图所示；
∴BD＝5，
∴Rt△ABD与Rt△CBD的高相等，
即CE＝AF，
∴侧视图是腰长为的等腰三角形，
面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征是什么．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 山西二模）某厂新开设了一条生产线生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10个零件，监测各个零件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
9.7 10.1 9.8 10.2 9.7 9.9 10.2 10.2 10.0 10.2
（1）求上表数据的平均数和方差s2；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
下面是另一天抽检的核心指标数据：
10.1 10.3 9.7 9.8 10.0 9.8 10.3 10.0 10.7 9.8
从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）由表中数据，利用平均数公式和方差公式直接求解．
（2）求出s＝0.2，则．表中第9个数据10.7＞10.6，从而这天需停止生产并检查设备．
【解答】解：（1）由表中数据，得：
，
．
（2）由（1）可知s＝0.2，故．
因为表中第9个数据10.7＞10.6，故这天需停止生产并检查设备．
【点评】本题考查平均数、方差的运算，考查平均数公式和方差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）设M是AC的中点，连接FM，证明PA∥FM，即可证得PA∥平面BDF；
（2）设AD的中点为E，证明PE⊥平面ABCD，即可得到棱锥的高PE，再由棱锥体积求解即可．
【解答】（1）证明：连接AC，设AC BD＝M，连接FM．
∵ABCD是平行四边形，
∴M是AC的中点．
∵F是PC的中点，
∴MF是△ACP的中位线．
∴PA∥FM．
又∵PA 平面BDF，FM 平面BDF，
∴PA∥平面BDF．
（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．
∵E为AD的中点，PA＝PD＝4
∴PE⊥AD，．
∵ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，
∴．
∵PE2+BE2＝15+3＝18＝PB2，
∴BE⊥PE．
∵AD BE＝E，AD 平面ABCD，BE 平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD．
∴PE是点P到平面ABCD的距离．
由已知得平行四边形ABCD的面积．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，锥体体积的计算等知识，属于中等题．
19．（12分）（2022 黄山模拟）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足b1＝2，若数列{anbn}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝（2an﹣1）bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据通项anbn与Sn的关系求出数列{anbn}的通项公式，再由n＝2，n＝3列出方程求出公差公比即可得出{an}，{bn}的通项公式；
（2）利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn即可．
【解答】解：（1）由①，
可得②，
由①﹣②得，
又a1b1＝2也符合上式，所以，
由b1＝2得a1＝1，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则有
（dn+1﹣d）×2×qn﹣1＝n 2n，
令n＝2，有（1+d）×2×q＝8，
令n＝3，有（1+2d）×2×q2＝24，
解得d＝1，q＝2或者，
取n＝4，有（1+3d）×2×q3＝64，检验得（舍去），
所以；
（2）由cn＝（2an﹣1） bn得，
所以，
则，
两式相减得，
＝2+（23+24+ +2n+1）﹣（2n﹣1）×2n+1
＝（3﹣2n）×2n+1﹣6，
∴．
【点评】本题考查了数列的递推式和错位相减求和，属于中档题．
20．（12分）（2022 安徽一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且λ．
（1）若λ＝1，求点P的坐标；
（2）设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且，若λ＝4μ，求a的值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据抛物线的对称性可以判断PA⊥x轴，进而解出答案；
（2）设出点的坐标和直线PA，PB的方程，将直线方程代入抛物线方程并化简，进而根据平面向量间的关系及根与系数的关系得到λ，μ间的关系．
【解答】解：（1）由，知焦点F（1，0）是PA的中点，
又抛物线C：y2＝4x关于x轴对称，所以PA⊥x轴，所以直线l的方程x＝1，
代入y2＝4x得，y＝±2，
所以P（1，﹣2）或P（1，2）；
（2）设点P（x0，y0）（y0≠0），A（x1，y1）（y1≠0），
由λ，得λ①，
设直线l：x＝my+1与抛物线C：y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，
所以Δ＝16（m2+1）＞0，y0y1＝﹣4②，
由①②可得，
设点B（x2，y2），由，得③，
直线PB：x＝ny+a与抛物线C：y2＝4x联立得y2﹣4ny﹣4a＝0，
所以需要满足Δ＝16（n2+a）＞0，y0y2＝﹣4a④，
由③④可得μ，
又λ＝4μ，
所以4，
因为y0≠0，解得a＝4，
此时Δ＝16（n2+a）＝16（n2+4）＞0，
所以a的值为4．
【点评】本题考查了直线与抛物线的相交的综合问题，也考查了转化思想，属于中档题．
21．（12分）（2021 昆明一模）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；函数思想；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）根据函数导数的几何意义，即可求得函数在点（0，f（0））处的切线方程；（2）法一：根据题意，只需证明函数f（x）在R上的最小值为1，即可．法二：只需证明ex﹣x﹣1≥0即可．
【解答】（1）解：根据题意可得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
根据函数导数的几何意义即得，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程即为y﹣f（0）＝f'（0）（x﹣0）
∵f（0）＝1，f'（0）＝0，
∴函数y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程即为：y﹣1＝0 y＝1．
（2）证明：法一：由（1）得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
∴f“（x）＝ex+2＞0，即得f'（x）在R上单调递增，
又因为f'（0）＝0，
所以当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，f'（x）＜f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递减；
综上可得，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增．
即得f（x）min＝f（0）＝1，
所以对任意的x∈R，都有f（x）≥1．
法二：令g（x）＝ex﹣x﹣1，g′（x）＝ex﹣1，易知
g（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，g（x）≥g（0）＝0，又x2≥0，
所以ex﹣x﹣1+x2≥0．
【点评】本题考查函数导数几何意义的使用，以及导数法求解函数单调性，属于基础题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数推出曲线C1的普通方程．利用极坐标与普通坐标的互化，求解曲线C2的极坐标方程化为曲线C2的直角坐标方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组利用韦达定理推出AB的中点坐标求解弦长，即可推出以AB为直径的圆的直角坐标方程，转化为极坐标方程．
【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（t为参数），
所以曲线C1的普通方程为y2＝4x．
因为曲线C2的极坐标方程为，
所以曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣6＝0．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得y2+4y﹣24＝0，
则y1+y2＝﹣4，y1y2＝﹣24．
因为x1+x2＝12﹣（y1+y2）＝16，
所以AB的中点坐标为（8，﹣2），．
所以以AB为直径的圆的直角坐标方程为（x﹣8）2+（y+2）2＝56，
故以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ2﹣16ρcosθ+4ρsinθ+12＝0．
【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 昆明一模）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥1；
（2）若|x﹣m|≥f（x），求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，分类讨论取并集，即可求解．
（2）根据f（x）的表达式，画出图象，再结合图象，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得
由f（x）≥1可得或或，
解得或x≤﹣1，
所以不等式的解集为．
（2）如图所示，
函数y＝|x﹣m|图象是顶点为（m，0），开口向上的“V”型折线，其左支y＝﹣x+m过点（﹣1，2）时，m＝1，
①当m≥1时，函数y＝|x﹣m|图象在函数y＝f（x）的图象上方，不等式|x﹣m|≥f（x）显然成立，
②当m＜1时，函数y＝|x﹣m|图象有部分在函数y＝f（x）的图象下方，|x﹣m|≥f（x）不一定成立，
综上所述，实数m的取值范围为[1，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查数形结合的能力，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．逻辑联结词“或”、“且”、“非”
【或】
一般地，用连接词“或”把命题 和命题 连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p或q”．
规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pⅤq是假命题．
例如：“2≤2”、“27是7或9的倍数”等命题都是 pⅤq的命题．
解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p或q表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p真q假②q真p假③p真q真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q或r表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．
“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．
命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．
【且】
一般地，用连接词“且”把命题p和命题q连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”．
规定：当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替． 例1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：
（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；
（2）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数；
（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．
解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p且q表示两个简单命题两个都成立，就是p真并且q真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．
命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．
【非】
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p的否定．
规定：若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题．
“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p ￢p
真 假
假 真
解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p或q”、“p且q”的否定分别是“非p且非q”和“非p或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．
命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
12．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
13．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
14．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
15．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
16．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
17．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
18．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
19．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
20．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k，
故直线方程为y﹣1（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
22．圆锥曲线的综合
【知识点的知识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c a2+b2＝c2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±1 ±1
23．直线与抛物线的综合
v．
24．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
25．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
26．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
27．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
28．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
29．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
30．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 赤峰模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{0，1}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．[0，1] B．{0，1} C．[0，2] D．{0，1，2}
2．（5分）（2022 安徽模拟）i为虚数单位，复数（ ）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
3．（5分）（2019 绵阳模拟）已知命题p： x0∈R，使得lgcosx0＞0；命题q： x＜0，3x＞0，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
4．（5分）（2020 道里区校级模拟）△ABC中，（cosA，sinA），（cosB，﹣sinB），若 ，则角C为（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 台州模拟）若实数x，y满足则z＝y﹣3x的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
6．（5分）（2021 淮安模拟）设a＝sin246°，b＝cos235°﹣sin235°，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
7．（5分）（2022 许昌模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3：2．左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大、小五角星相似，其外接圆的直径之比为3：1，相似图形和相似三角形性质相同．若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．（5分）（2018秋 黄浦区校级期中）下列各式中，最小值为2的是（ ）
A．x（x＜0） B．1（x≥1）
C． D．
9．（5分）（2011 遂川县校级模拟）已知f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0）上递减，若x∈[，1]时，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，2] B．（﹣∞，2] C．[﹣4，+∞） D．[﹣4，﹣2]
10．（5分）（2022 河南模拟）在各面均为正三角形的四面体A﹣BCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
11．（5分）（2021 河北区二模）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线y2＝1（a＞0）相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则实数a＝（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2022 安康模拟）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 上饶模拟）已知向量，且（）∥（λ），则实数λ的值为 ．
14．（5分）（2021 中卫三模）若点P（x，y）在直线l：x+2y﹣3＝0上运动，则x2+y2的最小值为 ．
15．（5分）（2022 昌吉州模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3bsinC+csinB＝8asinBsinC，b2﹣a2＝8﹣c2，则△ABC的面积为 ．
16．（5分）（2014秋 辽宁期末）把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C﹣ABD的正视图和俯视图如图所示，则侧视图的面积为 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 山西二模）某厂新开设了一条生产线生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10个零件，监测各个零件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
9.7 10.1 9.8 10.2 9.7 9.9 10.2 10.2 10.0 10.2
（1）求上表数据的平均数和方差s2；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
下面是另一天抽检的核心指标数据：
10.1 10.3 9.7 9.8 10.0 9.8 10.3 10.0 10.7 9.8
从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
18．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
19．（12分）（2022 黄山模拟）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足b1＝2，若数列{anbn}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝（2an﹣1）bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
20．（12分）（2022 安徽一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且λ．
（1）若λ＝1，求点P的坐标；
（2）设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且，若λ＝4μ，求a的值．
21．（12分）（2021 昆明一模）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 昆明一模）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥1；
（2）若|x﹣m|≥f（x），求实数m的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷1 (全国乙卷文科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 赤峰模拟）已知集合A＝{x|x2﹣2x＞0}，B＝{0，1}，则（ RA）∩B＝（ ）
A．[0，1] B．{0，1} C．[0，2] D．{0，1，2}
【考点】交、并、补集的混合运算．
【专题】计算题；转化思想；综合法；集合；数学运算．
【分析】求出集合A，再由交集的定义求出（ RA）∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|x2﹣2x＞0}＝{x|x＜0或x＞2}，
∴ RA＝{x|0≤x≤2}，B＝{0，1}，
∴（ RA）∩B＝{0，1}．
故选：B．
【点评】本题考查交集、补集的求法，考查交集、补集的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 安徽模拟）i为虚数单位，复数（ ）
A．﹣1+i B．1+i C．﹣1﹣i D．1﹣i
【考点】复数的运算．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合复数的运算法则，即可求解．
【解答】解：1﹣i．
故选：C．
【点评】本题主要考查复数的运算法则，属于基础题．
3．（5分）（2019 绵阳模拟）已知命题p： x0∈R，使得lgcosx0＞0；命题q： x＜0，3x＞0，则下列命题为真命题的是（ ）
A．p∧q B．p∨（￢q） C．（￢p）∧（￢q） D．p∨q
【考点】逻辑联结词“或”、“且”、“非”．
【专题】计算题；对应思想；转化法；简易逻辑；逻辑推理．
【分析】先判断p，q的真假，再利用复合命题真假性的判定方法得出选项．
【解答】解：命题p： x0∈R，使得lgcosx0＞0，
∵﹣1≤cosx≤1，
∴lgcosx≤0，
∴命题p为假命题，
命题q： x＜0，3x＞0，是真命题，
∴p∧q为假命题，p∨（￢q）为假命题，（￢p）∧（￢q）为假命题，p∨q真命题，
故选：D．
【点评】本题考查符合命题真假性的判断．一般化为组成符合命题的基本命题真假性．考查逻辑推理，运算求解能力．
4．（5分）（2020 道里区校级模拟）△ABC中，（cosA，sinA），（cosB，﹣sinB），若 ，则角C为（ ）
A． B． C． D．
【考点】三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】三角函数的求值．
【分析】利用数量积和三角形的内角和定理、诱导公式即可化简，再利用三角形内特殊角的三角函数值即可得出．
【解答】解：∵（cosA，sinA），（cosB，﹣sinB），
∴cosAcosB﹣sinAsinB＝cos（A+B）＝cos（π﹣C）＝﹣cosC，
∴，得cosC．
∵0＜C＜π．
∴．
故选：B．
【点评】熟练掌握数量积和三角形的内角和定理、诱导公式、三角形内角的特殊角的三角函数值是解题的关键．
5．（5分）（2022 台州模拟）若实数x，y满足则z＝y﹣3x的最小值为（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
【解答】解：由约束条件作出可行域如图，
联立，解得A（1，2），
由z＝y﹣3x，得y＝3x+z，由图可知，当直线y＝3x+z过A时，
直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2﹣3×1＝﹣1．
故选：B．
【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
6．（5分）（2021 淮安模拟）设a＝sin246°，b＝cos235°﹣sin235°，，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＜c＜a B．c＜a＜b C．a＜b＜c D．b＜a＜c
【考点】二倍角的三角函数．
【专题】计算题；转化思想；转化法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】由sin45°＜sin46°＜sin60°，可得，利用同角三角函数基本关系式可得b＝1﹣2sin235°，根据sin30°＜sin35°＜sin45°，可求0，即可得解a＞b，又ctan64°，根据tan64°＞tan60°，可得ctan64°，可得c＞a，即可得解c＞a＞b．
【解答】解：因为sin45°＜sin46°＜sin60°，所以sin46°，所以sin246°，可得；
因为b＝cos235°﹣sin235°＝1﹣2sin235°，
又sin30°＜sin35°＜sin45°，
所以sin235°，
所以﹣1＜﹣2sin235°，
所以1﹣2sin235°∈（0，），即0，
所以a＞b，
又 tan64°，
因为tan64°＞tan60°，可得tan64°，
可得ctan64°，
所以c＞a，
综上，可得c＞a＞b．
故选：D．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用以及正弦函数以及正切函数的性质的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
7．（5分）（2022 许昌模拟）中华人民共和国国旗是五星红旗，旗面为红色，中国国旗尺寸不是统一的，长宽比例为3：2．左上方缀五颗黄色正五角星，四颗小星环拱在一颗大星的右面，并各有一个角尖正对大星的中心点，大、小五角星相似，其外接圆的直径之比为3：1，相似图形和相似三角形性质相同．若在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】几何概型．
【专题】转化思想；定义法；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据几何概型的概率公式进行计算即可．
【解答】解：相似三角形的性质：相似三角形的面积之比等于边长比的平方，
∵相似图形和相似三角形性质相同，大小五角星外接圆的直径之比为3：1，
∴大小五角星的面积之比为9：1，
设大五角星的面积为9a，则小五角星的面积为a，
则五星图案的面积之和为9a+4a＝13a，
则在该五星图案内随机取一点，则该点来自大五角星内的概率为，
故选：D．
【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，根据相似图形的面积关系求出对应的面积是解决本题的关键，是基础题．
8．（5分）（2018秋 黄浦区校级期中）下列各式中，最小值为2的是（ ）
A．x（x＜0） B．1（x≥1）
C． D．
【考点】基本不等式及其应用．
【专题】计算题；方程思想；定义法；转化法；不等式的解法及应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】由x＜0，可得x0，从而判断选项A；举反例，存在x＝1，使得10＜2，即可判断选项B；利用基本不等式可判断选项C，D．
【解答】解：由x＜0，得x0，即x（x＜0）的值始终为负数，选项A错误；
存在x＝1，使得10＜2，所以1（x≥1）的最小值不是2，选项B错误；
根据基本不等式，可得22，
但方程没有实数根，故不能取得最小值2，选项C错误；
由0，得22，
当且仅当，即x＝0时等号成立，
所以的最小值为2，选项D正确．
故选：D．
【点评】本题考查基本不等式的应用，解题的关键在于把握“一正，二定，三相等”的原则，考查学生的逻辑推理和运算求解的能力，属于基础题．
9．（5分）（2011 遂川县校级模拟）已知f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0）上递减，若x∈[，1]时，f（ax+1）≤f（x+2）恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，2] B．（﹣∞，2] C．[﹣4，+∞） D．[﹣4，﹣2]
【考点】奇函数、偶函数；函数恒成立问题．
【专题】计算题；转化思想．
【分析】先利用偶函数的定义把f（ax+1）≤f（x+2） f（|ax+1|）≤f（|x+2|），再利用其单调性转化为|ax+1|≤|x+2|；对其两边平方整理后利用分类讨论的方法分别求出实数a的取值范围最后综合即可．
【解答】解：因为f（x）是偶函数，故有f（x）＝f（﹣x）＝f（|x|）
所以f（ax+1）≤f（x+2）在 上恒成立 f（|ax+1|）≤f（|x+2|）在 上恒成立 ①；
又因为在[0，+∞）上是增函数，
故①式转化为|ax+1|≤|x+2|在 上恒成立 （a2﹣1）x2+2（a﹣2）x﹣3≤0 ②；
在 上恒成立．
a＝1时，②转化为﹣2x﹣3≤0 x成立；
a＝﹣1时，②转化为2x+1≥0 x成立；
|a|＞1时，得a2﹣1＞0，②转化为，
﹣4≤a≤2（a≠±1）．
综上得：实数a的取值范围为[﹣4，2]．
故选：A．
【点评】本题主要考查函数的奇偶性和单调性．在偶函数的定义应用中，因为其在关于原点对称的区间上单调性相反，所以在作题过程中，一般是利用f（x）＝f（﹣x）＝f（|x|）把变量转化到同一个单调区间内．
10．（5分）（2022 河南模拟）在各面均为正三角形的四面体A﹣BCD中，M，N分别是棱AD，BC的中点，则异面直线BM与AN所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【考点】异面直线及其所成的角．
【分析】取DN中点O，连结MO，BO，则MO∥AN，∠BMO是异面直线BM与AN所成角，由此能求出异面直线BM与AN所成角的余弦值．
【解答】解：取DN中点O，连结MO，BO，
∵三棱锥A﹣BCD的所有棱长都相等，M，N分别是棱AD，BC的中点，
∴MO∥AN，∴∠BMO是异面直线BM与AN所成角，
设三棱锥A﹣BCD的所有棱长为2，
则AN＝BM＝DN，
MOAN＝NODN，
BO，
∴cos∠BMO．
∴异面直线BM与AN所成角的余弦值为．
故选：B．
【点评】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
11．（5分）（2021 河北区二模）已知抛物线y2＝4x的准线与双曲线y2＝1（a＞0）相交于A、B两点，F为抛物线的焦点，若△FAB为直角三角形，则实数a＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】圆锥曲线的综合．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】求出抛物线的准线为x，焦点为F（，0）．根据对称性可得△FAB是等腰直角三角形，从而算出A、B的坐标，将其代入双曲线方程，解关于a的等式即可得到实数a的值．
【解答】解：∵抛物线的方程为y2＝4x，
∴抛物线的准线为x，焦点为F（，0）．
又∵直线x交双曲线y2＝1于A、B两点，△FAB为直角三角形．
∴△FAB是等腰直角三角形，AB边上的高FF'＝2，
由此可得A（，2）、B（，﹣2），如图所示．
将点A或点B的坐标代入双曲线方程，得，解得a（负值舍去）．
故选：D．
【点评】本题给出抛物线与双曲线满足的条件，在已知抛物线的方程情况下求双曲线的标准方程，着重考查了抛物线、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．
12．（5分）（2022 安康模拟）若函数f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【考点】利用导数研究函数的极值．
【专题】方程思想；综合法；导数的综合应用；直观想象；数学运算．
【分析】先求导数，再根据f（x）＝ex﹣ax2﹣2ax有两个极值点得f′（x）＝0有两个根，最后用导数研究函数零点个数问题求解．
【解答】解：f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a，因为f（x）有两个极值点，所以f′（x）＝ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根，
显然a≠0，ex﹣2ax﹣2a＝0有两个根 有两个根，
令g（x）＝e﹣x（x+1），g′（x）＝﹣xe﹣x，
当x＜0时，g′（x）＞0，g（x）单调递增，当x＞0时，g′（x）＜0，g（x）单调递减，
所以gmax（x）＝g（0）＝1，
又因为当x→+∞时，g（x）→0，当x→﹣∞时，g（x）→﹣∞，
所以ex﹣2ax﹣2ax＝0有两个根 有两个根 01 a，
故选：D．
【点评】本题考查了利用导数研究函数极值问题，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 上饶模拟）已知向量，且（）∥（λ），则实数λ的值为 ﹣1 ．
【考点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平行向量（共线）．
【专题】方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】求出对应向量的坐标，再利用向量平行列式求出实数λ的值．
【解答】解：∵向量，
∴（7，﹣3），（4λ﹣3，﹣2λ+1），
∵（）∥（λ），
∴，
∴λ＝﹣1，
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查了平面向量的基本定理，平面向量的坐标表示，属于基础题．
14．（5分）（2021 中卫三模）若点P（x，y）在直线l：x+2y﹣3＝0上运动，则x2+y2的最小值为 ．
【考点】点到直线的距离公式．
【专题】转化思想；直线与圆．
【分析】代数法，由点在直线l上运动，得x＝3﹣2y，代入x2+y2求最小值即可；
几何法，把x2+y2的值看作直线l上的点到原点的距离的平方，最小值是原点到直线的距离的平方．
【解答】解：代数法，∵点P（x，y）在直线l：x+2y﹣3＝0上运动，
∴由x+2y﹣3＝0，得x＝3﹣2y，
∴x2+y2＝（3﹣2y）2+y2＝5y2﹣12y+9＝5
当y时取最小值，最小值为．
几何法，x2+y2的值可以看作直线l：x+2y﹣3＝0上点到原点的距离的平方
它的最小值是原点到直线的距离的平方；
即d2；
故答案为：．
【点评】本题考查了求最值的问题，解题时应用转化思想，寻求合理的解题途径，是基础题．
15．（5分）（2022 昌吉州模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知3bsinC+csinB＝8asinBsinC，b2﹣a2＝8﹣c2，则△ABC的面积为 ．
【考点】正弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】利用正弦定理可得sinA；再利用余弦定理求得bc，从而可求得△ABC的面积．
【解答】解：在△ABC中，∵3bsinC+csinB＝8asinBsinC，
∴由正弦定理得：3sinBsinC+sinCsinB＝8sinAsinBsinC，
∵sinB＞0，sinC＞0，∴sinBsinC＞0，
∴sinA；
又b2﹣a2＝8﹣c2，即b2+c2﹣a2＝8，
由余弦定理得：b2+c2﹣a2＝2bccosA，
∴2bccosA＝8，故cosA，
∴bc，
∴S△ABCbcsinA，
故答案为：．
【点评】本题考查正弦定理与余弦定理的应用，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）（2014秋 辽宁期末）把矩形ABCD沿对角线BD折起，形成三棱锥C﹣ABD的正视图和俯视图如图所示，则侧视图的面积为 ．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】空间位置关系与距离．
【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是底面为直角三角形BAD，且一侧面CBD垂直于底面的三棱锥，画出图形，求出它的侧视图的面积来．
【解答】解：根据几何体的三视图，得；
该几何体是底面为直角三角形BAD，且一侧面CBD垂直于底面的三棱锥，
如图所示；
∴BD＝5，
∴Rt△ABD与Rt△CBD的高相等，
即CE＝AF，
∴侧视图是腰长为的等腰三角形，
面积为．
故答案为：．
【点评】本题考查了空间几何体的三视图的应用问题，解题的关键是根据三视图得出该几何体的结构特征是什么．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 山西二模）某厂新开设了一条生产线生产一种零件，为了监控生产线的生产情况，每天需抽检10个零件，监测各个零件的核心指标，下表是某天抽检的核心指标数据：
9.7 10.1 9.8 10.2 9.7 9.9 10.2 10.2 10.0 10.2
（1）求上表数据的平均数和方差s2；
（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在（3s，3s）之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．
下面是另一天抽检的核心指标数据：
10.1 10.3 9.7 9.8 10.0 9.8 10.3 10.0 10.7 9.8
从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？
【考点】极差、方差与标准差．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）由表中数据，利用平均数公式和方差公式直接求解．
（2）求出s＝0.2，则．表中第9个数据10.7＞10.6，从而这天需停止生产并检查设备．
【解答】解：（1）由表中数据，得：
，
．
（2）由（1）可知s＝0.2，故．
因为表中第9个数据10.7＞10.6，故这天需停止生产并检查设备．
【点评】本题考查平均数、方差的运算，考查平均数公式和方差公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
18．（12分）（2022 云南模拟）如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四边形，F是PC的中点．
（1）求证：PA∥平面BDF；
（2）若∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，PA＝PD＝4，PB，求四棱锥P﹣ABCD的体积．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】（1）设M是AC的中点，连接FM，证明PA∥FM，即可证得PA∥平面BDF；
（2）设AD的中点为E，证明PE⊥平面ABCD，即可得到棱锥的高PE，再由棱锥体积求解即可．
【解答】（1）证明：连接AC，设AC BD＝M，连接FM．
∵ABCD是平行四边形，
∴M是AC的中点．
∵F是PC的中点，
∴MF是△ACP的中位线．
∴PA∥FM．
又∵PA 平面BDF，FM 平面BDF，
∴PA∥平面BDF．
（2）解：设AD的中点为E，连接BE，PE．
∵E为AD的中点，PA＝PD＝4
∴PE⊥AD，．
∵ABCD是平行四边形，∠BAD＝60°，AB＝AD＝2，
∴．
∵PE2+BE2＝15+3＝18＝PB2，
∴BE⊥PE．
∵AD BE＝E，AD 平面ABCD，BE 平面ABCD，
∴PE⊥平面ABCD．
∴PE是点P到平面ABCD的距离．
由已知得平行四边形ABCD的面积．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积．
∴四棱锥P﹣ABCD的体积为．
【点评】本题主要考查线面平行的证明，锥体体积的计算等知识，属于中等题．
19．（12分）（2022 黄山模拟）已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足b1＝2，若数列{anbn}的前n项和为Sn，且．
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（2）若数列{cn}满足cn＝（2an﹣1）bn，求数列{cn}的前n项和Tn．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据通项anbn与Sn的关系求出数列{anbn}的通项公式，再由n＝2，n＝3列出方程求出公差公比即可得出{an}，{bn}的通项公式；
（2）利用错位相减法求出数列{cn}的前n项和Tn即可．
【解答】解：（1）由①，
可得②，
由①﹣②得，
又a1b1＝2也符合上式，所以，
由b1＝2得a1＝1，设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，则有
（dn+1﹣d）×2×qn﹣1＝n 2n，
令n＝2，有（1+d）×2×q＝8，
令n＝3，有（1+2d）×2×q2＝24，
解得d＝1，q＝2或者，
取n＝4，有（1+3d）×2×q3＝64，检验得（舍去），
所以；
（2）由cn＝（2an﹣1） bn得，
所以，
则，
两式相减得，
＝2+（23+24+ +2n+1）﹣（2n﹣1）×2n+1
＝（3﹣2n）×2n+1﹣6，
∴．
【点评】本题考查了数列的递推式和错位相减求和，属于中档题．
20．（12分）（2022 安徽一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l与抛物线C交于P，A两点，且λ．
（1）若λ＝1，求点P的坐标；
（2）设点E（a，0），直线PE与抛物线C的另一个交点为B，且，若λ＝4μ，求a的值．
【考点】直线与抛物线的综合．
【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）根据抛物线的对称性可以判断PA⊥x轴，进而解出答案；
（2）设出点的坐标和直线PA，PB的方程，将直线方程代入抛物线方程并化简，进而根据平面向量间的关系及根与系数的关系得到λ，μ间的关系．
【解答】解：（1）由，知焦点F（1，0）是PA的中点，
又抛物线C：y2＝4x关于x轴对称，所以PA⊥x轴，所以直线l的方程x＝1，
代入y2＝4x得，y＝±2，
所以P（1，﹣2）或P（1，2）；
（2）设点P（x0，y0）（y0≠0），A（x1，y1）（y1≠0），
由λ，得λ①，
设直线l：x＝my+1与抛物线C：y2＝4x联立得y2﹣4my﹣4＝0，
所以Δ＝16（m2+1）＞0，y0y1＝﹣4②，
由①②可得，
设点B（x2，y2），由，得③，
直线PB：x＝ny+a与抛物线C：y2＝4x联立得y2﹣4ny﹣4a＝0，
所以需要满足Δ＝16（n2+a）＞0，y0y2＝﹣4a④，
由③④可得μ，
又λ＝4μ，
所以4，
因为y0≠0，解得a＝4，
此时Δ＝16（n2+a）＝16（n2+4）＞0，
所以a的值为4．
【点评】本题考查了直线与抛物线的相交的综合问题，也考查了转化思想，属于中档题．
21．（12分）（2021 昆明一模）已知函数f（x）＝ex+x2﹣x．
（1）求曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；
（2）证明：对任意x∈R，都有f（x）≥1．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】计算题；函数思想；导数的综合应用；数学运算．
【分析】（1）根据函数导数的几何意义，即可求得函数在点（0，f（0））处的切线方程；（2）法一：根据题意，只需证明函数f（x）在R上的最小值为1，即可．法二：只需证明ex﹣x﹣1≥0即可．
【解答】（1）解：根据题意可得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
根据函数导数的几何意义即得，曲线y＝f（x）在点（0，f（0））处的切线方程即为y﹣f（0）＝f'（0）（x﹣0）
∵f（0）＝1，f'（0）＝0，
∴函数y＝f（x）在点（0，1）处的切线方程即为：y﹣1＝0 y＝1．
（2）证明：法一：由（1）得，f'（x）＝ex+2x﹣1，
∴f“（x）＝ex+2＞0，即得f'（x）在R上单调递增，
又因为f'（0）＝0，
所以当x＞0时，f'（x）＞f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递增；当x＜0时，f'（x）＜f'（0）＝0，此时函数f（x）单调递减；
综上可得，函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递减；在（0，+∞）上单调递增．
即得f（x）min＝f（0）＝1，
所以对任意的x∈R，都有f（x）≥1．
法二：令g（x）＝ex﹣x﹣1，g′（x）＝ex﹣1，易知
g（x）在（﹣∞，0）上递减，在（0，+∞）上递增，g（x）≥g（0）＝0，又x2≥0，
所以ex﹣x﹣1+x2≥0．
【点评】本题考查函数导数几何意义的使用，以及导数法求解函数单调性，属于基础题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 新乡三模）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为．
（1）写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C1与曲线C2交于A，B两点，求以AB为直径的圆的极坐标方程．
【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数推出曲线C1的普通方程．利用极坐标与普通坐标的互化，求解曲线C2的极坐标方程化为曲线C2的直角坐标方程．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组利用韦达定理推出AB的中点坐标求解弦长，即可推出以AB为直径的圆的直角坐标方程，转化为极坐标方程．
【解答】解：（1）因为曲线C1的参数方程为（t为参数），
所以曲线C1的普通方程为y2＝4x．
因为曲线C2的极坐标方程为，
所以曲线C2的直角坐标方程为x+y﹣6＝0．
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组得y2+4y﹣24＝0，
则y1+y2＝﹣4，y1y2＝﹣24．
因为x1+x2＝12﹣（y1+y2）＝16，
所以AB的中点坐标为（8，﹣2），．
所以以AB为直径的圆的直角坐标方程为（x﹣8）2+（y+2）2＝56，
故以AB为直径的圆的极坐标方程为ρ2﹣16ρcosθ+4ρsinθ+12＝0．
【点评】本题考查参数方程以及极坐标方程与普通方程的互化，直线与抛物线的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 昆明一模）已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+1|．
（1）解不等式f（x）≥1；
（2）若|x﹣m|≥f（x），求实数m的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；数形结合法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）根据已知条件，分类讨论取并集，即可求解．
（2）根据f（x）的表达式，画出图象，再结合图象，即可求解．
【解答】解：（1）由题意得
由f（x）≥1可得或或，
解得或x≤﹣1，
所以不等式的解集为．
（2）如图所示，
函数y＝|x﹣m|图象是顶点为（m，0），开口向上的“V”型折线，其左支y＝﹣x+m过点（﹣1，2）时，m＝1，
①当m≥1时，函数y＝|x﹣m|图象在函数y＝f（x）的图象上方，不等式|x﹣m|≥f（x）显然成立，
②当m＜1时，函数y＝|x﹣m|图象有部分在函数y＝f（x）的图象下方，|x﹣m|≥f（x）不一定成立，
综上所述，实数m的取值范围为[1，+∞）．
【点评】本题主要考查绝对值不等式的解法，考查数形结合的能力，属于中档题．
考点卡片
1．交、并、补集的混合运算
【知识点的认识】
集合交换律 A∩B＝B∩A，A∪B＝B∪A．
集合结合律 （A∩B）∩C＝A∩（B∩C），（A∪B）∪C＝A∪（B∪C）．
集合分配律 A∩（B∪C）＝（A∩B）∪（A∩C），A∪（B∩C）＝（A∪B）∩（A∪C）．
集合的摩根律 Cu（A∩B）＝CuA∪CuB，Cu（A∪B）＝CuA∩CuB．
集合吸收律 A∪（A∩B）＝A，A∩（A∪B）＝A．
集合求补律 A∪CuA＝U，A∩CuA＝Φ．
【解题方法点拨】直接利用交集、并集、全集、补集的定义或运算性质，借助数轴或韦恩图直接解答．
【命题方向】理解交集、并集、补集的混合运算，每年高考一般都是单独命题，一道选择题或填空题，属于基础题．
2．逻辑联结词“或”、“且”、“非”
【或】
一般地，用连接词“或”把命题 和命题 连接起来，就得到一个新命题，记作pⅤq，读作“p或q”．
规定：当p，q两个命题中有一个命题是真命题时，pⅤq是真命题；当p，q两个命题都是假命题时，pⅤq是假命题．
例如：“2≤2”、“27是7或9的倍数”等命题都是 pⅤq的命题．
解题方法点拨：三个逻辑连接词“或”、“且”、“非”中，对于“或”的理解是难点．p或q表示两个简单命题至少有一个成立，它包括①p真q假②q真p假③p真q真，这一点可以结合两个集合的并集来理解．类似地，p或q或r表示三个简单命题至少有一个成立，同样我们可以结合三个集合的并集来理解．
“正难则反”的转化思想在解题中的效果往往好于直接解答，有时起到比繁就简的作用．正确理解“或”，特别是与日常生活中的“或”的区别．
命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，小题为主．
【且】
一般地，用连接词“且”把命题p和命题q连接起来，就得到一个新命题，记作p∧q读作“p且q”．
规定：当p，q都是真命题时，p∧q是真命题；当p，q两个命题中有一个命题是假命题时，p∧q是假命题．“且”作为逻辑连接词，与生活用语中“既…”相同，表示两者都要满足的意思，在日常生活中经常用“和”，“与”代替． 例1：将下列命题用“且”连接成新命题，并判断它们的真假：
（1）p：正方形的四条边相等，q：正方形的四个角相等；
（2）p：35是15的倍数，q：35是7的倍数；
（3）p：三角形两条边的和大于第三边，q：三角形两条边的差小于第三边．
解题方法点拨：：逻辑连接词“且”，p且q表示两个简单命题两个都成立，就是p真并且q真．一般解题中，注意两个命题必须去交集，不可以偏概全解答．
命题方向：一般与集合、函数的定义域、函数的单调性联合命题，充要条件相结合，小题为主．
【非】
一般地，对一个命题p全盘否定，就得到一个新命题，记作￢p，读作“非p”或“p的否定．
规定：若p是真命题，则￢p必是假命题；若p是假命题，则￢p必是真命题．
“非p”形式复合命题的真假与p的真假相反；
“非p”形式复合命题的真假可以用下表表示：
p ￢p
真 假
假 真
解题方法点拨：注意逻辑连接词的理解及“￢p“新命题的正确表述和应用，“非”是否定的意思，必须是只否定结论．“p或q”、“p且q”的否定分别是“非p且非q”和“非p或非q”，“都”的否定是“不都”而不是“都不”．另外还有“等于”的否定是“不等于”，“大（小）于”的否定是“不大（小）于”，“所有”的否定是“某些”，“任意”的否定是“某个”，“至多有一个”的否定是“至少有两个”等等．必须注意与否命题的区别．
命题方向：理解逻辑连接词“或”“且”“非”的含义，平时学习中，同学往往把非p与否命题混为一谈，因此，高考或会考中，常常出现，但是多以小题的形式．
3．奇函数、偶函数
【奇函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．
解题方法点拨：
①如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③已知奇函数大于0的部分的函数表达式，求它的小于0的函数表达式，如奇函数f（x），当x＞0时，f（x）＝x2+x
那么当x＜0时，﹣x＞0，有f（﹣x）＝（﹣x）2+（﹣x） ﹣f（x）＝x2﹣x f（x）＝﹣x2+x
命题方向：
奇函数是函数里很重要的一个知识点，同学们一定要熟悉奇函数的概念和常用的解题方法，它的考查形式主要也就是上面提到的这两种情况﹣﹣求参数或者求函数的表达式．
【偶函数】
如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
解题方法点拨：
①运用f（x）＝f（﹣x）求相关参数，如y＝ax3+bx2+cx+d，那么a+c是多少？
②结合函数图象关于y轴对称求函数与x轴的交点个数或者是某个特定的值，如偶函数f（﹣2）＝0，周期为2，那么在区间（﹣2，8）函数与x轴至少有几个交点．
命题方向：
与奇函数雷同，熟悉偶函数的性质，高考中主要还是以选择题或者填空题的形式考查对偶函数性质的灵活运用．
4．函数恒成立问题
【知识点的认识】
恒成立指函数在其定义域内满足某一条件（如恒大于0等），此时，函数中的参数成为限制了这一可能性（就是说某个参数的存在使得在有些情况下无法满足要求的条件），因此，适当的分离参数能简化解题过程．例：要使函数f（x）＝ax^2+1恒大于0，就必须对a进行限制﹣﹣令a≥0，这是比较简单的情况，而对于比较复杂的情况时，先分离参数的话做题较简单
【解题方法点拨】
一般恒成立问题最后都转化为求最值得问题，常用的方法是分离参变量和求导．
例：f（x）＝x2+2x+3≥ax，（x＞0）求a的取值范围．
解：由题意可知：a恒成立
即a≤x2
a≤22
【命题方向】
恒成立求参数的取值范围问题是近几年高考中出现频率相当高的一类型题，它比较全面的考查了导数的应用，突出了导数的工具性作用．
5．利用导数研究函数的极值
【知识点的知识】
1、极值的定义：
（1）极大值：一般地，设函数f（x）在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＜f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极大值，记作y极大值＝f（x0），x0是极大值点；
（2）极小值：一般地，设函数f（x）在x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f（x）＞f（x0），就说f（x0）是函数f（x）的一个极小值，记作y极小值＝f（x0），x0是极小值点．
2、极值的性质：
（1）极值是一个局部概念，由定义知道，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小；
（2）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个；
（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系，即一个函数的极大值未必大于极小值；
（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点，而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．
3、判别f（x0）是极大、极小值的方法：
若x0满足f′（x0）＝0，且在x0的两侧f（x）的导数异号，则x0是f（x）的极值点，f（x0）是极值，并且如果f′（x）在x0两侧满足“左正右负”，则x0是f（x）的极大值点，f（x0）是极大值；如果f′（x）在x0两侧满足“左负右正”，则x0是f（x）的极小值点，f（x0）是极小值．
4、求函数f（x）的极值的步骤：
（1）确定函数的定义区间，求导数f′（x）；
（2）求方程f′（x）＝0的根；
（3）用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格，检查f′（x）在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f（x）在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f（x）在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号即都为正或都为负，则f（x）在这个根处无极值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有
限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
7．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
8．简单线性规划
【概念】
线性规划主要用于解决生活、生产中的资源利用、人力调配、生产安排等问题，它是一种重要的数学模型．简单的线性规划指的是目标函数含两个自变量的线性规划，其最优解可以用数形结合方法求出．我们高中阶段接触的主要是由三个二元一次不等式组限制的可行域，然后在这个可行域上面求某函数的最值或者是斜率的最值．
【例题解析】
例：若目标函数z＝x+y中变量x，y满足约束条件．
（1）试确定可行域的面积；
（2）求出该线性规划问题中所有的最优解．
解：（1）作出可行域如图：对应得区域为直角三角形ABC，
其中B（4，3），A（2，3），C（4，2），
则可行域的面积S．
（2）由z＝x+y，得y＝﹣x+z，则平移直线y＝﹣x+z，
则由图象可知当直线经过点A（2，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最小，
此时z最小为z＝2+3＝5，
当直线经过点B（4，3）时，直线y＝﹣x+z得截距最大，
此时z最大为z＝4+3＝7，
故该线性规划问题中所有的最优解为（4，3），（2，3）
这是高中阶段接触最多的关于线性规划的题型，解这种题一律先画图，把每条直线在同一个坐标系中表示出来，然后确定所表示的可行域，也即范围；最后通过目标函数的平移去找到它的最值．
【典型例题分析】
题型一：二元一次不等式（组）表示的平面区域
典例1：若不等式组所表示的平面区域被直线y＝kx+分为面积相等的两部分，则k的值是 （ ）
A． B． C． D．
分析：画出平面区域，显然点（0，）在已知的平面区域内，直线系过定点（0，），结合图形寻找直线平分平面区域面积的条件即可．
解答：不等式组表示的平面区域如图所示．
由于直线y＝kx过定点（0，）．因此只有直线过AB中点时，直线y＝kx能平分平面区域．
因为A（1，1），B（0，4），所以AB中点D（，）．
当y＝kx过点（，）时，，所以k．
答案：A．
点评：二元一次不等式（组）表示平面区域的判断方法：直线定界，测试点定域．
注意不等式中不等号有无等号，无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线．测试点可以选一个，也可以选多个，若直线不过原点，则测试点常选取原点．
题型二：求线性目标函数的最值
典例2：设x，y满足约束条件：，求z＝x+y的最大值与最小值．
分析：作可行域后，通过平移直线l0：x+y＝0来寻找最优解，求出目标函数的最值．
解答：先作可行域，如图所示中△ABC的区域，且求得A（5，2）、B（1，1）、C（1，），作出直线l0：x+y＝0，再将直线l0平移，当l0的平行线l1过点B时，可使z＝x+y达到最小值；当l0的平行线l2过点A时，可使z＝x+y达到最大值．故zmin＝2，zmax＝7．
点评：（1）线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得．
（2）求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义，明确和直线的纵截距的关系．
题型三：实际生活中的线性规划问题
典例3：某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表：
年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价
黄瓜 4吨 1.2万元 0.55万元
韭菜 6吨 0.9万元 0.3万元
为使一年的种植总利润（总利润＝总销售收入﹣总种植成本）最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积（单位：亩）分别为（ ）
A．50，0 B．30，20 C．20，30 D．0，50
分析：根据线性规划解决实际问题，要先用字母表示变量，找出各量的关系列出约束条件，设出目标函数，转化为线性规划问题．
解析 设种植黄瓜x亩，韭菜y亩，则由题意可知
求目标函数z＝x+0.9y的最大值，
根据题意画可行域如图阴影所示．
当目标函数线l向右平移，移至点A（30，20）处时，目标函数取得最大值，即当黄瓜种植30亩，韭菜种植20亩时，种植总利润最大．故答案为：B
点评：线性规划的实际应用问题，需要通过审题理解题意，找出各量之间的关系，最好是列成表格，找出线性约束条件，写出所研究的目标函数，转化为简单的线性规划问题，再按如下步骤完成：
（1）作图﹣﹣画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条l；
（2）平移﹣﹣将l平行移动，以确定最优解的对应点A的位置；
（3）求值﹣﹣解方程组求出A点坐标（即最优解），代入目标函数，即可求出最值．
题型四：求非线性目标函数的最值
典例4：（1）设实数x，y满足，则的最大值为 ．
（2）已知O是坐标原点，点A（1，0），若点M（x，y）为平面区域上的一个动点，则||的最小值是 ．
分析：与二元一次不等式（组）表示的平面区域有关的非线性目标函数的最值问题的求解一般要结合给定代数式的几何意义来完成．
解答：（1）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率，在点（1，）处取到最大值．
（2）依题意得，（x+1，y），||可视为点（x，y）与点（﹣1，0）间的距离，在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域，结合图形可知，在该平面区域内的点中，由点（﹣1，0）向直线x+y＝2引垂线的垂足位于该平面区域内，且与点（﹣1，0）的距离最小，因此||的最小值是．
故答案为：（1）（2）．
点评：常见代数式的几何意义有
（1）表示点（x，y）与原点（0，0）的距离；
（2）表示点（x，y）与点（a，b）之间的距离；
（3）表示点（x，y）与原点（0，0）连线的斜率；
（4）表示点（x，y）与点（a，b）连线的斜率．
【解题方法点拨】
1．画出平面区域．避免失误的重要方法就是首先使二元一次不等式标准化．
2．在通过求直线的截距的最值间接求出z的最值时，要注意：当b＞0时，截距取最大值时，z也取最大值；截距取最小值时，z也取最小值；当b＜0时，截距取最大值时，z取最小值；截距取最小值时，z取最大值．
9．基本不等式及其应用
【概述】
基本不等式主要应用于求某些函数的最值及证明不等式．其可表述为：两个正实数的几何平均数小于或等于它们的算术平均数．公式为：（a≥0，b≥0），变形为ab≤（）2或者a+b≥2．常常用于求最值和值域．
【实例解析】
例1：下列结论中，错用基本不等式做依据的是．
A：a，b均为负数，则． B：． C：． D：．
解：根据均值不等式解题必须满足三个基本条件：“一正，二定、三相等”可知A、B、D均满足条件．
对于C选项中sinx≠±2，
不满足“相等”的条件，
再者sinx可以取到负值．
故选：C．
A选项告诉我们正数的要求是整个式子为正数，而不是式子当中的某一个组成元素；B分子其实可以写成x2+1+1，然后除以分母就可换成基本不等式．这个例题告诉我们对于一个式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便．
例2：利用基本不等式求的最值？当0＜x＜1时，如何求的最大值．
解：当x＝0时，y＝0，
当x≠0时，，
用基本不等式
若x＞0时，0＜y，
若x＜0时，y＜0，
综上得，可以得出y，
∴的最值是与．
这是基本不等式在函数中的应用，他的解题思路是首先判断元素是否大于0，没有明确表示的话就需要讨论；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成两个元素（函数）相加，而他们的特点是相乘后为常数；最后套用基本不等式定理直接求的结果．
【基本不等式的应用】
1、求最值
例1：求下列函数的值域．
2、利用基本不等式证明不等式
3、基本不等式与恒成立问题
4、均值定理在比较大小中的应用
【解题方法点拨】
技巧一：凑项
点评：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值．
技巧二：凑系数
例2：当0＜x＜4时，求y＝x（8﹣2x）的最大值．
解析：由0＜x＜4知，8﹣2x＞0，利用基本不等式求最值，必须和为定值或积为定值，此题为两个式子积的形式，但其和不是定值．注意到2x+（8﹣2x）＝8为定值，故只需将y＝x（8﹣2x）凑上一个系数即可．
y＝x（8﹣2x）[2x （8﹣2x）]（）2＝8
当2x＝8﹣2x，即x＝2时取等号，当x＝2时，y＝x（8﹣x2）的最大值为8．
评注：本题无法直接运用基本不等式求解，但凑系数后可得到和为定值，从而可利用基本不等式求最大值．
技巧三：分离
例3：求y的值域．
解：本题看似无法运用基本不等式，不妨将分子配方凑出含有（x+1）的项，再将其分离．
y（x+1）5，
当x＞﹣1，即x+1＞0时，y≥25＝9（当且仅当x＝1时取“＝”号）
技巧四：换元
对于上面例3，可先换元，令t＝x+1，化简原式在分离求最值．
技巧五：结合函数f（x）＝x的单调性．
技巧六：整体代换
点评：多次连用最值定理求最值时，要注意取等号的条件的一致性，否则就会出错．
技巧七：取平方
点评：本题将解析式两边平方构造出“和为定值”，为利用基本不等式创造了条件．
总之，我们利用基本不等式求最值时，一定要注意“一正二定三相等”，同时还要注意一些变形技巧，积极创造条件利用基本不等式．
10．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
11．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
12．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
13．平面向量共线（平行）的坐标表示
【知识点的知识】
平面向量共线（平行）的坐标表示：
设（x1，y1），（x2，y2），则∥（） x1y2﹣x2y1＝0．
14．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
15．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
16．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
17．几何概型
【考点归纳】
1．定义：若一个试验具有下列特征：
（1）每次试验的结果有无限多个，且全体结果可用一个有度量的几何区域来表示；
（2）每次试验的各种结果是等可能的．
那么这样的试验称为几何概型．
2．几何概率：设几何概型的基本事件空间可表示成可度量的区域Ω，事件A所对应的区域用A表示（A Ω），则P（A）称为事件A的几何概率．
18．三角函数中的恒等变换应用
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cosα，tan（α+2kπ）＝tanα，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sinα，cos（π+α）＝﹣cosα，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sinα，cos（﹣α）＝cosα，tan（﹣α）＝﹣tanα．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cosα，tan（π﹣α）＝﹣tanα．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sin α，tan（α）＝cotα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα，tan（α）＝﹣cotα．
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sinαcosα；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
19．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
20．正弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 形式 ①a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC； ②sinA，sinB，sinC； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinA cosA， cosB， cosC
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
在△ABC中，已知a，b和角A时，解的情况
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b
解的个数 一解 两解 一解 一解
由上表可知，当A为锐角时，a＜bsinA，无解．当A为钝角或直角时，a≤b，无解．
2、三角形常用面积公式
1．Sa ha（ha表示边a上的高）；
2．SabsinCacsinBbcsinA．
3．Sr（a+b+c）（r为内切圆半径）．
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．点到直线的距离公式
【知识点的知识】
从直线外一点到这直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离．而这条垂线段的距离是任何点到直线中最短的距离．设直线方程为Ax+By+C＝0，直线外某点的坐标为（X0，Y0）那么这点到这直线的距离就为：d．
【例题解析】
例：过点P（1，1）引直线使A（2，3），B（4，5）到直线的距离相等，求这条直线方程．
解：当直线平行于直线AB时，或过AB的中点时满足题意，
当直线平行于直线AB时，所求直线的斜率为k1，
故直线方程为y﹣1＝（x﹣1），即x﹣y＝0；
当直线过AB的中点（3，4）时，斜率为k，
故直线方程为y﹣1（x﹣1），即3x﹣2y﹣1＝0；
故答案为：x﹣y＝0或3x﹣2y﹣1＝0．
这个题考查了点到直线的概念，虽然没有用到距离公式，但很有参考价值．他告诉我们两点，第一直线上的点到平行直线的距离相等；第二，直线过某两点的中点时，这两点到直线的距离相等，可以用三角形全等来证明．除此之外，本例题还考察了直线表达式的求法，是一个好题．
【考点分析】
正如例题所表达的一样，先要了解这个考点的概念和意义，再者要牢记距离公式，在解析几何中可能会涉及到点到直线的距离．
22．圆锥曲线的综合
【知识点的知识】
1、抛物线的简单性质：
2、双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c a2+b2＝c2
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±1 ±1
23．直线与抛物线的综合
v．
24．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
25．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
26．异面直线及其所成的角
【知识点的知识】
1、异面直线所成的角：
直线a，b是异面直线，经过空间任意一点O，作直线a′，b′，并使a′∥a，b′∥b．我们把直线a′和b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a和b所成的角．异面直线所成的角的范围：θ∈（0，]．当θ＝90°时，称两条异面直线互相垂直．
2、求异面直线所成的角的方法：
求异面直线的夹角关键在于平移直线，常用相似比，中位线，梯形两底，平行平面等手段来转移直线．
3、求异面直线所成的角的方法常用到的知识：
27．直线与平面平行
【知识点的知识】
1、直线与平面平行的判定定理：
如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 用符号表示为：若a α，b α，a∥b，则a∥α．
2、直线与平面平行的判定定理的实质是：对于平面外的一条直线，只需在平面内找到一条直线和这条直线平行，就可判定这条直线必和这个平面平行．即由线线平行得到线面平行．
1、直线和平面平行的性质定理：
如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行．
用符号表示为：若a∥α，a β，α∩β＝b，则a∥b．
2、直线和平面平行的性质定理的实质是：
已知线面平行，过已知直线作一平面和已知平面相交，其交线必和已知直线平行．即由线面平行 线线平行．
由线面平行 线线平行，并不意味着平面内的任意一条直线都与已知直线平行．
正确的结论是：a∥α，若b α，则b与a的关系是：异面或平行．即平面α内的直线分成两大类，一类与a平行有无数条，另一类与a异面，也有无数条．
28．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
29．参数方程化成普通方程
【知识点的认识】
参数方程和普通方程的互化
由参数方程化为普通方程：消去参数，消参数的方法有代入法、加减（或乘除）消元法、三角代换法等．如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f（t），把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g（t），那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致．
30．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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