2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅰ)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(新高考ⅰ)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 399.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:12:12 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷2 (新高考Ⅰ)
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 苍南县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2．（5分）（2022 安徽模拟）复数z满足z＝23i﹣3，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
3．（5分）（2022 临沭县校级模拟）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022 河南模拟）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 湘潭三模）椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022 深圳模拟）已知，则tanθ＝（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022 湖南模拟）已知f（x）＝x3﹣x．如果过点（2，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线．则下列结论中正确的是（ ）
A．﹣1＜m＜8 B．﹣2＜m＜6 C．﹣3＜m＜5 D．0＜m＜7
8．（5分）（2022春 顺庆区校级月考）有8张不同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8从中有放回的随机取两次，每次取1张卡片，A表示事件“第一次取出的卡片上的数字是8”，B表示事件“第二次取出的卡片上的数字是6”，C表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是2”，D表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是4”，则（ ）
A．A与C相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．C与D相互独立
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021秋 辽宁期末）有一组样本数据x1，x2，…，xn，另一组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据平均数相同
B．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等
C．两组样本数据方差相同
D．两组样本数据极差相同
（多选）10．（5分）（2022春 番禺区校级期中）已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．S＝4
（多选）11．（5分）（2022 湖北二模）设动直线l：mx﹣y﹣2m+3＝0（m∈R）交圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝12于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点（2，3）
B．当|AB|取得最小值时，m＝1
C．当∠ACB最小时，其余弦值为
D．的最大值为24
（多选）12．（5分）（2022 铁东区校级模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，P为棱AA1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P为AA1中点时，PO⊥DC1
B．点P与点A重合时，三棱锥P﹣BDC1外接球体积为
C．当P点运动时，三棱锥P﹣BDC1外接球的球心总在直线A1C上
D．当P为AA1中点时，正方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 浦东新区校级期中）若函数是奇函数，且，则p＝ ．
14．（5分）（2022 安阳二模）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为k的直线l，l与C交于A，B两点，若，则k＝ ．
15．（5分）（2022 临沭县校级模拟）若曲线y与y＝kx2仅有1个公共点，则k的取值范围是 ．
16．（5分）（2022 太原一模）图示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形ABC的边长为4，取正三角形ABC各边的四等分点D、E、F，作第2个正三角形DEF，然后再取正三角形DEF各边的四等分点G、H、I，作第3个正三角形GHI，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．记三角形ABC的边长为a1，三角形DEF的边长为a2，后续各三角形的边长依次为a3，a4，…，an，…．，则a2＝ ，数列{an}的前n项和Sn＝ ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 兴庆区校级一模）已知数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意的正整数n，令bn，求数列{bn}的前2n项的和S2n．
18．（12分）（2022 佛山二模）男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞．2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）．正赛分小组赛阶段与决赛阶段：
小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组比赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．
（1）本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
（2）某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
19．（12分）（2022 潍坊模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为．
（1）求∠C；
（2）若∠A，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE＝DE，求cos∠ADB．
20．（12分）（2022 南通模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．
（1）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面；
（2）当PA＝AB＝2，二面角C﹣AN﹣D的大小为时，求PN的长．
21．（12分）（2022 安徽模拟）已知椭圆E：1（a＞b＞0）过三点（1，），（﹣1，），（，）中的两点，且短轴长为2．（1）求椭圆E的标准方程；
（2）椭圆E的上、下顶点分别为A、B点，D是椭圆E上异于A，B的任意一点，直线DA交直线y于点P，连接BP，BD，记BP，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1 k2为定值．
22．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，f（x）＞g（x）．
2022年高考数学终极押题密卷2 (新高考Ⅰ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 苍南县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，
B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈N|﹣2≤x≤3}＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 安徽模拟）复数z满足z＝23i﹣3，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi，
则，
∵z＝23i﹣3，
∴a+bi＝2（a﹣bi）+3i﹣3，即，解得，
∴
故选：D．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
3．（5分）（2022 临沭县校级模拟）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】由圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，求出底面半径和高，由此能求出圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，
∴4，解得l＝2，∴2r，r＝2，
∴h2，
∴圆锥的体积V．
故选：D．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）（2022 河南模拟）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦函数的单调性；余弦函数的图象．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由2kπ﹣π≤x2kπ，（k∈Z），可求得函数f（x）单调递增时自变量满足的不等式，再对k赋值判断即可
【解答】解：2cos（x），
由2kπ﹣π≤x2kπ，（k∈Z），得2kπx≤2kπ，（k∈Z），
令k＝0，x，（k∈Z），可排除A，
令k＝1，得x，可排除B，C， [，]，故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查余弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）（2022 湘潭三模）椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用已知条件，结合椭圆的定义，三角形的周长求解a，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，△ABF2的周长为12，可得4a＝12，解得a＝3，所以椭圆的离心率为：．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
6．（5分）（2022 深圳模拟）已知，则tanθ＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用正余弦的倍角公式化简求出tan的值，再利用正切的倍角公式即可求解．
【解答】解：因为，
则，所以tan，
所以tan，
故选：C．
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系的应用，涉及到正余弦以及正切的倍角公式，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）（2022 湖南模拟）已知f（x）＝x3﹣x．如果过点（2，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线．则下列结论中正确的是（ ）
A．﹣1＜m＜8 B．﹣2＜m＜6 C．﹣3＜m＜5 D．0＜m＜7
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】设切点为（t，t3﹣t），利用导数求出过切点的切线方程，代入点（2，m），可得m＝﹣2t3+6t2﹣2，再由导数求该函数的极值，则答案可求．
【解答】解：设切点为（t，t3﹣t），
由f（x）＝x3﹣x，得f′（x）＝3x2﹣1，
则过切点的切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），
把（2，m）代入并整理，可得m＝﹣2t3+6t2﹣2有三个实数根．
令g（t）＝﹣2t3+6t2﹣2，则g′（t）＝﹣6t2+12t＝﹣6t（t﹣2）．
∴当t∈（0，2）时，g′（t）＞0，当t∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，g′（t）＜0，
∴g（t）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），
∴g（t）的极小值为g（0）＝﹣2，极大值为g（2）＝6．
又当t→﹣∞时，g（t）→+∞，当t→∞时，g（t）→﹣∞，
∴要使m＝﹣2t3+6t2﹣2有三个实数根，则﹣2＜m＜6．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）（2022春 顺庆区校级月考）有8张不同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8从中有放回的随机取两次，每次取1张卡片，A表示事件“第一次取出的卡片上的数字是8”，B表示事件“第二次取出的卡片上的数字是6”，C表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是2”，D表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是4”，则（ ）
A．A与C相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．C与D相互独立
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；随机事件．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】由题意可得，P（A），P（B），P（C），P（D），P（AC），P（AD），P（BC），P（CD）＝0，再结合相互独立事件的概率公式，依次判断，即可求解．
【解答】解：由题意可得，P（A），P（B），
P（C），P（D），P（AC），P（AD），P（BC），P（CD）＝0，
P（AC）≠P（A）P（C），故A与C不相互独立，故A错误，
P（AD）＝P（A）P（D），故A与D相互独立，故B正确，
P（BC）≠P（B）P（C），故B与C不相互独立，故C错误，
P（CD）≠P（C）P（D），故C与D不相互独立，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查计算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021秋 辽宁期末）有一组样本数据x1，x2，…，xn，另一组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据平均数相同
B．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等
C．两组样本数据方差相同
D．两组样本数据极差相同
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合极差，方差，平均数的定义，即可求解．
【解答】解：设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n）的平均数为，故A错误，
∵yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，
∴样本yi的全部数据都减少2c，两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等，故B正确，
设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为D（X），则样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n）的方差为D（Y）＝12D（X）＝D（X），故C正确，
一组样本数据x1，x2，…，xn，另一组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，
则样本数据x1，x2，…，xn中最小值与最大值变化的量相同，
故两组样本数据极差相同．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查统计的知识，考查极差，方差，平均数的定义，属于基础题．
（多选）10．（5分）（2022春 番禺区校级期中）已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．S＝4
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平行向量（共线）．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】利用向量的共线定义可判断A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B；利用向量数量积的定义可判断C；利用三角形的面积公式即可判断D．
【解答】解：由，
可知点P为AC的三等分点，点Q为AB延长线的点，
且B为AQ的中点，如图所示：
对于A，点P为AC的三等分点，点B为AQ的中点，
所以PB与CQ不平行，故A错误；
对于，
故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，设△ABC的高为，即|AB|h＝6，
则△APQ的面积，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
（多选）11．（5分）（2022 湖北二模）设动直线l：mx﹣y﹣2m+3＝0（m∈R）交圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝12于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点（2，3）
B．当|AB|取得最小值时，m＝1
C．当∠ACB最小时，其余弦值为
D．的最大值为24
【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】对于A：整理得m（x﹣2）﹣y+3＝0（m∈R），由此可求得直线所过的定点；
对于B：由直线l过定点（2，3），且定点（2，3）在圆C的内部，当直线l过圆心（4，5）时，|AB|取得最大值，由此求得m的值；
对于C：设直线l过的定点M（2，3），当CM⊥AB时，∠ACB最小，由余弦定理计算可判断；
对于D：当、共线，且方向相同时，取得最大值，由此可判断．
【解答】解：对于A：由l：mx﹣y﹣2m+3＝0（m∈R）整理得m（x﹣2）﹣y+3＝0，
当，即时，不论m为何值时m（x﹣2）﹣y+3＝0（m∈R）都成立，所以直线l过定点（2，3），故A正确；
对于B：因为直线l过定点（2，3），将定点代入圆C：（2﹣4）2+（3﹣5）2＝8＜12，
所以定点（2，3）在圆C的内部，当直线l过圆心（4，5）时，|AB|取得最大值，此时解得m＝1，故B错误；
对于C：设直线l过的定点M（2，3），当CM⊥AB时，∠ACB最小，
而|CM|2，所以|AB|＝24，所以在△ABC中，由余弦定理计算可得cos∠ABC，故C不正确；
对于D：||| cos∠BAC，而|| cos∠BAC表示在方向 上的投影，
所以当、共线即A、C、B、M四点共线，且方向相同时，取得最大值，
此时 ||||＝2 424，所以的最大值为24，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了直线过定点、直线与圆的关系，难点在于C、D两项中直线在什么情况才能使选项中的最值成立，属于中档题．
（多选）12．（5分）（2022 铁东区校级模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，P为棱AA1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P为AA1中点时，PO⊥DC1
B．点P与点A重合时，三棱锥P﹣BDC1外接球体积为
C．当P点运动时，三棱锥P﹣BDC1外接球的球心总在直线A1C上
D．当P为AA1中点时，正方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为
【考点】球的体积和表面积；轨迹方程．
【专题】计算题；整体思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】由题意，P为棱AA1上的动点，则对应点P在不同的位置，对各项进行分析即可．
【解答】解：对于A，PO为△A1CA的中位线，故PO∥A1C，
又A1C⊥平面BDC1，故PO⊥平面DBC1，则PO⊥DC1，故A正确；
对于B，P与A重合时，三棱锥P﹣BDC1的外接球即正方体外接球，故V＝4π，故B错误；
对于C，A1C过△BDC1的中心且垂直于平面BDC1，故以△BDC1为底的三棱锥，球心在A1C上，故C正确；
对于D，在平面ABB1A1和平面ADD1A1上轨迹是以P为圆心，2为半径，圆心角为的两段孤，
在平面A1B1C1D1和平面ABCD上，轨迹是以为半径，圆心角为的两段弧，故lπ，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查点的轨迹方程，及球的体积和表面积，考查学生的推理运算能力，属于难题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 浦东新区校级期中）若函数是奇函数，且，则p＝ 1 ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知可得，f（﹣2）＝﹣f（2），列方程即可求解p的值．
【解答】解：因为函数是奇函数，且，
所以f（﹣2）＝﹣f（2），
所以，，
解得q＝0，p＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）（2022 安阳二模）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为k的直线l，l与C交于A，B两点，若，则k＝ ±2 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．
【解答】解：设直线AB的方程为x＝ty，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立可得y2﹣2pty﹣p2＝0，
y1+y2＝2pt，y1 y2＝﹣p2，
|AB|＝x1+x2+p＝t（y1+y2）+2p＝2p（1+t2），
解得t，则k＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．
15．（5分）（2022 临沭县校级模拟）若曲线y与y＝kx2仅有1个公共点，则k的取值范围是 （﹣∞，0]∪{} ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；直观想象；数学运算．
【分析】将原问题转化为k只有一个解，令g（x）（x＞0），利用导数求出g（x）的单调性及最值即可得答案．
【解答】解：由题意可得：kx2只有一个解（x＞0），
即k只有一个解．
令g（x）（x＞0），
原问题等价于y＝k与y＝g（x）只有一个交点．
因为g'（x），
因为y＝1﹣3lnx﹣x在（0，+∞）上单调递减，且在x＝1处的值为0，
所以当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减且恒为正，
所以g（x）max＝g（1），
又因为y＝k与y＝g（x）只有一个交点，
所以k∈（﹣∞，0]∪{}．
故答案为：（﹣∞，0]∪{}．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
16．（5分）（2022 太原一模）图示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形ABC的边长为4，取正三角形ABC各边的四等分点D、E、F，作第2个正三角形DEF，然后再取正三角形DEF各边的四等分点G、H、I，作第3个正三角形GHI，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．记三角形ABC的边长为a1，三角形DEF的边长为a2，后续各三角形的边长依次为a3，a4，…，an，…．，则a2＝ ，数列{an}的前n项和Sn＝ ．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；对应思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】依题意利用余弦定理得，即可求出{an}的通项公式，再根据等比数列求和公式计算可得．
【解答】解：设正三角形ABC的边长为a1，后续和正三角形的边长依次为a2，a3，……，an，
由题意知，
∴，所以{an}为以4为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查数列求和，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 兴庆区校级一模）已知数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意的正整数n，令bn，求数列{bn}的前2n项的和S2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据数列的第n项和数列前n项和的关系即可得出答案；
（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前n项和的公式即可得出答案．
【解答】解：（1）由题可知，①，
所以②，
①﹣②得，所以an＝2﹣n（*），
又因为，所以a1＝1，符合（*）式，
所以；
（2）由（1）知，，
所以S2n＝b1+b2+ +b2n
＝（b1+b3+b5+ +b2n﹣1）+（b2+b4+b6+ +b2n）
．
【点评】本题考查了数列的递推式和分组求和，属于中档题．
18．（12分）（2022 佛山二模）男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞．2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）．正赛分小组赛阶段与决赛阶段：
小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组比赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．
（1）本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
（2）某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）分别求出小组赛、附加赛、四分之一决赛、铜牌赛、金牌赛各自的比赛场次，加起来能求出组委会共要安排多少场比赛．
（2）先求出甲、乙、丙、丁队获得冠军的概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
【解答】解：（1）根据赛制，小组赛共安排比赛318场比赛，
附加赛共安排8÷2＝4场比赛，
四分之一决赛共安排8÷2＝4场比赛，
半决赛共安排4÷2＝2场，
铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，
∴本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排：
18+4+4+2+2＝30场比赛．
（2）设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件A，B，C，D，都没有获得冠军为事件E，
∵晋级后每场比赛相互独立，
∴P（A），
∵四队实力相当，∴P（B）＝P（C）＝P（D）＝P（A），
∵A，B，C，D互斥，
∴甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为：
P（E）＝1﹣P（A+B+C+D）＝1﹣[P（A）+P（B）+P（C）+P（D）]＝1﹣4．
【点评】本题考查比赛场次、概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）（2022 潍坊模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为．
（1）求∠C；
（2）若∠A，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE＝DE，求cos∠ADB．
【考点】余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简可求tanC，进而可求C；
（2）由已知结合直角三角形勾股定理及角平分线性质可表示三角形各边，然后结合余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）因为△ABC的面积为，
所以，
故sinCcosC，即tanC，
由C为三角形内角得，C＝60°；
（2）设AC＝a，则BC＝2a，AB，
因为CE为∠C的角平分线，
由角平分线性质得，，
所以AE，BE，CE，
因为∠AEC＝60°，△AED中，∠AED＝120°，AE，DE，
由余弦定理得，AD2＝AE2+DE2﹣2AE DEcos120°a2，
故AD，
△BDE中，ED＝BE，∠BED＝60°，
所以BD，
又AB，
在△ABD中，由余弦定理可得，cos∠ADB．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，角平分线性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
20．（12分）（2022 南通模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．
（1）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面；
（2）当PA＝AB＝2，二面角C﹣AN﹣D的大小为时，求PN的长．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】（1）易证BC⊥平面PAB，得到BC⊥PB，MN⊥PB，BC 平面PBC，MN 平面PBC，得到BC∥MN，再结合四边形ABCD为正方形，利用平面的基本性质证明；
（2）以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面AND的一个法向量为（x，y，z），平面ANC的一个法向量为，根据二面角C﹣AN﹣D的大小为，由求解．
【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BC，又因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
又因为MN⊥PB，BC 平面PBC，MN 平面PBC，
所以BC∥MN，
又因为四边形ABCD为正方形，
所以BC∥AD，
所以MN∥AD，
所以当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面．
解：（2）以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（2，2，0），A（0，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
设平面AND的一个法向量为（x，y，z），
设平面ANC的一个法向量为（x，y，z），
设，
因为，则，
又，
则，即，
令z＝1，得，
又，
则，即，
令x＝1，得（1，﹣1，0），
因为二面角C﹣AN﹣D的大小为，
所以，
解得，
因为，
所以．
【点评】本题考查二面角及空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2022 安徽模拟）已知椭圆E：1（a＞b＞0）过三点（1，），（﹣1，），（，）中的两点，且短轴长为2．（1）求椭圆E的标准方程；
（2）椭圆E的上、下顶点分别为A、B点，D是椭圆E上异于A，B的任意一点，直线DA交直线y于点P，连接BP，BD，记BP，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1 k2为定值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由短轴长可得b的值，再由椭圆的对称性可得椭圆过的点的坐标，代入椭圆的方程，求出a的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得A，B的坐标，设P的坐标，D的坐标，设直线DA的方程，与椭圆的方程联立，求出D的坐标，求出BP，BD的斜率分别为k1 k2的代数式，再由P在直线上，可得kx0的值，求出斜率之积为定值．
【解答】解：（1）由短轴长为2可得，2b＝2，即b＝1，
再由椭圆的对称性可得椭圆E：1（a＞b＞0）一定过点（1，），（﹣1，），
所以可得1，解得a2＝2，
所以椭圆的方程为：y2＝1；
（2）证明：由（1）可得A（0，1），B（0，﹣1），
设P（x0，），设D（x1，y1），则直线DA的方程为：y＝kx+1，
联立，整理可得：（1+2k2）x2+4kx＝0，解得x1，代入直线DA的方程可得y1＝k （）+1，
所以k1k2 ，
因为直线DA：y＝kx+1过P（x0，），所以kx0+1，即kx01，
所以k1 k2为定值，
故原命题成立．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，f（x）＞g（x）．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；转化思想；分析法；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）求解导函数，分类讨论a≥﹣1，a＝﹣2，a＜﹣2和﹣2＜a＜﹣1时的对应单调性；
（2）将题目不等式转化为证明，设，求导判断单调性，求解最大值，设F（x）＝xlnx+x2+1，求导判断单调性，求解最小值，设H（x）＝﹣x2﹣x+1，得单调性，从而可证明不等式．
【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞）
．
当a≥﹣1时，a+1≥0，所以x+（a+1）＞0恒成立，
所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当a＜﹣1，分下面三种情况讨论：
①当a＝﹣2时，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当a＜﹣2时，﹣（a+1）＞1，令f'（x）＞0．得0＜x＜1，或x＞﹣（a+1）．
所以f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）单调递增，在（1，﹣a﹣1）单调递减；
③当﹣2＜a＜﹣1时，0﹣（a+1）＜1，令f′（x）＞0，得0＜x＜﹣（a+1），或x＞1，
所以f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）单调递增，在（﹣a﹣1，1）单调递减．
综上，当a＜﹣2时，f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）为增函数，在（1，﹣a﹣1）为减函数；
a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当﹣2＜a＜﹣1时，
f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）为增函数，在（﹣a﹣1，1）为减函数；
当a≥﹣1时，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数．
（2）证明：当a＝1时，要证明，
即证，设，
易知在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，
所以；设F（x）＝xlnx+x2+1，
则F′（x）＝lnx+2x+1，又函数y＝F′（x）在（0，+∞）为增函数，
而，，
所以存在，使得F′（x0）＝0，且有lnx0＝﹣1﹣2x0，
所以F（x）在（0，x0）为减函数，在（x0，+∞）为增函数．
所以．
设H（x）＝﹣x2﹣x+1，显然在为减函数，
所以，即，
而，所以，
即，故当x＞0时，
F（x）＞G（x）恒成立，所以f（x）＞g（x）成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
5．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
12．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
13．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
14．随机事件
【知识点的认识】
1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）
2．特点：
（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；
（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
3．注意：
（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；
（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到．
（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．
15．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
16．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【例题解析】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于
解：，，，，
∴原式．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【考点点评】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
17．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
18．余弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最 值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
19．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
20．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
22．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
23．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
24．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
25．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
26．直线与椭圆的综合
v．
27．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
28．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
29．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
30．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
31．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 苍南县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
2．（5分）（2022 安徽模拟）复数z满足z＝23i﹣3，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
3．（5分）（2022 临沭县校级模拟）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．（5分）（2022 河南模拟）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
5．（5分）（2022 湘潭三模）椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
6．（5分）（2022 深圳模拟）已知，则tanθ＝（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022 湖南模拟）已知f（x）＝x3﹣x．如果过点（2，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线．则下列结论中正确的是（ ）
A．﹣1＜m＜8 B．﹣2＜m＜6 C．﹣3＜m＜5 D．0＜m＜7
8．（5分）（2022春 顺庆区校级月考）有8张不同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8从中有放回的随机取两次，每次取1张卡片，A表示事件“第一次取出的卡片上的数字是8”，B表示事件“第二次取出的卡片上的数字是6”，C表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是2”，D表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是4”，则（ ）
A．A与C相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．C与D相互独立
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021秋 辽宁期末）有一组样本数据x1，x2，…，xn，另一组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据平均数相同
B．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等
C．两组样本数据方差相同
D．两组样本数据极差相同
（多选）10．（5分）（2022春 番禺区校级期中）已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．S＝4
（多选）11．（5分）（2022 湖北二模）设动直线l：mx﹣y﹣2m+3＝0（m∈R）交圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝12于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点（2，3）
B．当|AB|取得最小值时，m＝1
C．当∠ACB最小时，其余弦值为
D．的最大值为24
（多选）12．（5分）（2022 铁东区校级模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，P为棱AA1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P为AA1中点时，PO⊥DC1
B．点P与点A重合时，三棱锥P﹣BDC1外接球体积为
C．当P点运动时，三棱锥P﹣BDC1外接球的球心总在直线A1C上
D．当P为AA1中点时，正方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 浦东新区校级期中）若函数是奇函数，且，则p＝ ．
14．（5分）（2022 安阳二模）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为k的直线l，l与C交于A，B两点，若，则k＝ ．
15．（5分）（2022 临沭县校级模拟）若曲线y与y＝kx2仅有1个公共点，则k的取值范围是 ．
16．（5分）（2022 太原一模）图示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形ABC的边长为4，取正三角形ABC各边的四等分点D、E、F，作第2个正三角形DEF，然后再取正三角形DEF各边的四等分点G、H、I，作第3个正三角形GHI，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．记三角形ABC的边长为a1，三角形DEF的边长为a2，后续各三角形的边长依次为a3，a4，…，an，…．，则a2＝ ，数列{an}的前n项和Sn＝ ．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 兴庆区校级一模）已知数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意的正整数n，令bn，求数列{bn}的前2n项的和S2n．
18．（12分）（2022 佛山二模）男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞．2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）．正赛分小组赛阶段与决赛阶段：
小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组比赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．
（1）本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
（2）某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
19．（12分）（2022 潍坊模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为．
（1）求∠C；
（2）若∠A，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE＝DE，求cos∠ADB．
20．（12分）（2022 南通模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．
（1）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面；
（2）当PA＝AB＝2，二面角C﹣AN﹣D的大小为时，求PN的长．
21．（12分）（2022 安徽模拟）已知椭圆E：1（a＞b＞0）过三点（1，），（﹣1，），（，）中的两点，且短轴长为2．（1）求椭圆E的标准方程；
（2）椭圆E的上、下顶点分别为A、B点，D是椭圆E上异于A，B的任意一点，直线DA交直线y于点P，连接BP，BD，记BP，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1 k2为定值．
22．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，f（x）＞g（x）．
2022年高考数学终极押题密卷2 (新高考Ⅰ)
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）
1．（5分）（2022 苍南县校级模拟）已知集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}，则A∩B＝（ ）
A．[﹣1，3] B．[﹣2，4] C．{1，2，3} D．{0，1，2，3}
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求出集合B，利用交集定义能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A＝{x|﹣1≤x≤4}，
B＝{x∈N|x2﹣x﹣6≤0}＝{x∈N|﹣2≤x≤3}＝{0，1，2，3}，
∴A∩B＝{0，1，2，3}．
故选：D．
【点评】本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2．（5分）（2022 安徽模拟）复数z满足z＝23i﹣3，则|z|＝（ ）
A．5 B． C．10 D．
【考点】复数的模．
【专题】转化思想；转化法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合共轭复数的定义，以及复数模公式，即可求解．
【解答】解：设z＝a+bi，
则，
∵z＝23i﹣3，
∴a+bi＝2（a﹣bi）+3i﹣3，即，解得，
∴
故选：D．
【点评】本题主要考查共轭复数的定义，以及复数模公式，属于基础题．
3．（5分）（2022 临沭县校级模拟）已知圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，则圆锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．
【专题】方程思想；定义法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】由圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，求出底面半径和高，由此能求出圆锥的体积．
【解答】解：设圆锥的母线长为l，底面半径为r，高为h，
∵圆锥的轴截面是等腰直角三角形，且面积为4，
∴4，解得l＝2，∴2r，r＝2，
∴h2，
∴圆锥的体积V．
故选：D．
【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查圆锥的性质、结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
4．（5分）（2022 河南模拟）下列区间中，函数单调递增的区间是（ ）
A． B． C． D．
【考点】余弦函数的单调性；余弦函数的图象．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】由2kπ﹣π≤x2kπ，（k∈Z），可求得函数f（x）单调递增时自变量满足的不等式，再对k赋值判断即可
【解答】解：2cos（x），
由2kπ﹣π≤x2kπ，（k∈Z），得2kπx≤2kπ，（k∈Z），
令k＝0，x，（k∈Z），可排除A，
令k＝1，得x，可排除B，C， [，]，故D正确，
故选：D．
【点评】本题考查余弦函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
5．（5分）（2022 湘潭三模）椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，若△ABF2的周长为12，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用已知条件，结合椭圆的定义，三角形的周长求解a，然后求解椭圆的离心率即可．
【解答】解：椭圆E：的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l与E交于A，B两点，△ABF2的周长为12，可得4a＝12，解得a＝3，所以椭圆的离心率为：．
故选：A．
【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，离心率的求法，是基础题．
6．（5分）（2022 深圳模拟）已知，则tanθ＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】同角三角函数间的基本关系；三角函数的恒等变换及化简求值．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用正余弦的倍角公式化简求出tan的值，再利用正切的倍角公式即可求解．
【解答】解：因为，
则，所以tan，
所以tan，
故选：C．
【点评】本题考查了同角三角函数的基本关系的应用，涉及到正余弦以及正切的倍角公式，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
7．（5分）（2022 湖南模拟）已知f（x）＝x3﹣x．如果过点（2，m）可作曲线y＝f（x）的三条切线．则下列结论中正确的是（ ）
A．﹣1＜m＜8 B．﹣2＜m＜6 C．﹣3＜m＜5 D．0＜m＜7
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】转化思想；转化法；导数的综合应用；数学运算．
【分析】设切点为（t，t3﹣t），利用导数求出过切点的切线方程，代入点（2，m），可得m＝﹣2t3+6t2﹣2，再由导数求该函数的极值，则答案可求．
【解答】解：设切点为（t，t3﹣t），
由f（x）＝x3﹣x，得f′（x）＝3x2﹣1，
则过切点的切线方程为y﹣（t3﹣t）＝（3t2﹣1）（x﹣t），
把（2，m）代入并整理，可得m＝﹣2t3+6t2﹣2有三个实数根．
令g（t）＝﹣2t3+6t2﹣2，则g′（t）＝﹣6t2+12t＝﹣6t（t﹣2）．
∴当t∈（0，2）时，g′（t）＞0，当t∈（﹣∞，0）∪（2，+∞）时，g′（t）＜0，
∴g（t）的单调增区间为（0，2），单调减区间为（﹣∞，0），（2，+∞），
∴g（t）的极小值为g（0）＝﹣2，极大值为g（2）＝6．
又当t→﹣∞时，g（t）→+∞，当t→∞时，g（t）→﹣∞，
∴要使m＝﹣2t3+6t2﹣2有三个实数根，则﹣2＜m＜6．
故选：B．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性与极值，考查运算求解能力，是中档题．
8．（5分）（2022春 顺庆区校级月考）有8张不同的卡片，分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8从中有放回的随机取两次，每次取1张卡片，A表示事件“第一次取出的卡片上的数字是8”，B表示事件“第二次取出的卡片上的数字是6”，C表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是2”，D表示事件“两次取出的卡片上的数字之差的绝对值是4”，则（ ）
A．A与C相互独立 B．A与D相互独立
C．B与C相互独立 D．C与D相互独立
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式；随机事件．
【专题】转化思想；转化法；概率与统计；数学运算．
【分析】由题意可得，P（A），P（B），P（C），P（D），P（AC），P（AD），P（BC），P（CD）＝0，再结合相互独立事件的概率公式，依次判断，即可求解．
【解答】解：由题意可得，P（A），P（B），
P（C），P（D），P（AC），P（AD），P（BC），P（CD）＝0，
P（AC）≠P（A）P（C），故A与C不相互独立，故A错误，
P（AD）＝P（A）P（D），故A与D相互独立，故B正确，
P（BC）≠P（B）P（C），故B与C不相互独立，故C错误，
P（CD）≠P（C）P（D），故C与D不相互独立，故D错误．
故选：B．
【点评】本题主要考查相互独立事件的概率乘法公式，考查计算能力，属于基础题．
二．多选题（共4小题，满分20分，每小题5分）
（多选）9．（5分）（2021秋 辽宁期末）有一组样本数据x1，x2，…，xn，另一组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，则（ ）
A．两组样本数据平均数相同
B．两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等
C．两组样本数据方差相同
D．两组样本数据极差相同
【考点】众数、中位数、平均数；极差、方差与标准差．
【专题】转化思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】根据已知条件，结合极差，方差，平均数的定义，即可求解．
【解答】解：设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为，则样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n）的平均数为，故A错误，
∵yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，
∴样本yi的全部数据都减少2c，两组样本数据与各自平均数的“平均距离”相等，故B正确，
设样本数据x1，x2，…，xn的平均数为D（X），则样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n）的方差为D（Y）＝12D（X）＝D（X），故C正确，
一组样本数据x1，x2，…，xn，另一组样本数据y1，y2，…，yn，其中yi＝xi﹣2c（i＝1，2，…，n），c为非零常数，
则样本数据x1，x2，…，xn中最小值与最大值变化的量相同，
故两组样本数据极差相同．
故选：BCD．
【点评】本题主要考查统计的知识，考查极差，方差，平均数的定义，属于基础题．
（多选）10．（5分）（2022春 番禺区校级期中）已知△ABC的面积为3，在△ABC所在的平面内有两点P，Q，满足，记△APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．S＝4
【考点】平面向量数量积的性质及其运算；平行向量（共线）．
【专题】计算题；整体思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】利用向量的共线定义可判断A；利用向量加法的三角形法则以及向量减法的几何意义即可判断B；利用向量数量积的定义可判断C；利用三角形的面积公式即可判断D．
【解答】解：由，
可知点P为AC的三等分点，点Q为AB延长线的点，
且B为AQ的中点，如图所示：
对于A，点P为AC的三等分点，点B为AQ的中点，
所以PB与CQ不平行，故A错误；
对于，
故B正确；
对于C，，故C正确；
对于D，设△ABC的高为，即|AB|h＝6，
则△APQ的面积，故D正确；
故选：BCD．
【点评】本题考查了平面向量数量积的计算，属于中档题．
（多选）11．（5分）（2022 湖北二模）设动直线l：mx﹣y﹣2m+3＝0（m∈R）交圆C：（x﹣4）2+（y﹣5）2＝12于A，B两点（点C为圆心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线l过定点（2，3）
B．当|AB|取得最小值时，m＝1
C．当∠ACB最小时，其余弦值为
D．的最大值为24
【考点】直线与圆的位置关系；平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；直线与圆；数学运算．
【分析】对于A：整理得m（x﹣2）﹣y+3＝0（m∈R），由此可求得直线所过的定点；
对于B：由直线l过定点（2，3），且定点（2，3）在圆C的内部，当直线l过圆心（4，5）时，|AB|取得最大值，由此求得m的值；
对于C：设直线l过的定点M（2，3），当CM⊥AB时，∠ACB最小，由余弦定理计算可判断；
对于D：当、共线，且方向相同时，取得最大值，由此可判断．
【解答】解：对于A：由l：mx﹣y﹣2m+3＝0（m∈R）整理得m（x﹣2）﹣y+3＝0，
当，即时，不论m为何值时m（x﹣2）﹣y+3＝0（m∈R）都成立，所以直线l过定点（2，3），故A正确；
对于B：因为直线l过定点（2，3），将定点代入圆C：（2﹣4）2+（3﹣5）2＝8＜12，
所以定点（2，3）在圆C的内部，当直线l过圆心（4，5）时，|AB|取得最大值，此时解得m＝1，故B错误；
对于C：设直线l过的定点M（2，3），当CM⊥AB时，∠ACB最小，
而|CM|2，所以|AB|＝24，所以在△ABC中，由余弦定理计算可得cos∠ABC，故C不正确；
对于D：||| cos∠BAC，而|| cos∠BAC表示在方向 上的投影，
所以当、共线即A、C、B、M四点共线，且方向相同时，取得最大值，
此时 ||||＝2 424，所以的最大值为24，故D正确．
故选：AD．
【点评】本题考查了直线过定点、直线与圆的关系，难点在于C、D两项中直线在什么情况才能使选项中的最值成立，属于中档题．
（多选）12．（5分）（2022 铁东区校级模拟）在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，P为棱AA1上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A．点P为AA1中点时，PO⊥DC1
B．点P与点A重合时，三棱锥P﹣BDC1外接球体积为
C．当P点运动时，三棱锥P﹣BDC1外接球的球心总在直线A1C上
D．当P为AA1中点时，正方体表面到P点距离为2的轨迹的总长度为
【考点】球的体积和表面积；轨迹方程．
【专题】计算题；整体思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】由题意，P为棱AA1上的动点，则对应点P在不同的位置，对各项进行分析即可．
【解答】解：对于A，PO为△A1CA的中位线，故PO∥A1C，
又A1C⊥平面BDC1，故PO⊥平面DBC1，则PO⊥DC1，故A正确；
对于B，P与A重合时，三棱锥P﹣BDC1的外接球即正方体外接球，故V＝4π，故B错误；
对于C，A1C过△BDC1的中心且垂直于平面BDC1，故以△BDC1为底的三棱锥，球心在A1C上，故C正确；
对于D，在平面ABB1A1和平面ADD1A1上轨迹是以P为圆心，2为半径，圆心角为的两段孤，
在平面A1B1C1D1和平面ABCD上，轨迹是以为半径，圆心角为的两段弧，故lπ，故D正确，
故选：ACD．
【点评】本题考查点的轨迹方程，及球的体积和表面积，考查学生的推理运算能力，属于难题．
三．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2021秋 浦东新区校级期中）若函数是奇函数，且，则p＝ 1 ．
【考点】函数奇偶性的性质与判断．
【专题】计算题；方程思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知可得，f（﹣2）＝﹣f（2），列方程即可求解p的值．
【解答】解：因为函数是奇函数，且，
所以f（﹣2）＝﹣f（2），
所以，，
解得q＝0，p＝1．
故答案为：1．
【点评】本题主要考查函数奇偶性的性质，考查方程思想与运算求解能力，属于基础题．
14．（5分）（2022 安阳二模）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F作斜率为k的直线l，l与C交于A，B两点，若，则k＝ ±2 ．
【考点】抛物线的性质．
【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意求出直线AB的方程，联立直线和抛物线方程，利用抛物线的性质转化求解即可．
【解答】解：设直线AB的方程为x＝ty，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立可得y2﹣2pty﹣p2＝0，
y1+y2＝2pt，y1 y2＝﹣p2，
|AB|＝x1+x2+p＝t（y1+y2）+2p＝2p（1+t2），
解得t，则k＝±2，
故答案为：±2．
【点评】本题考查了抛物线的简单几何性质，直线与抛物线的位置关系的应用，考查了学生的计算能力，是中档题．
15．（5分）（2022 临沭县校级模拟）若曲线y与y＝kx2仅有1个公共点，则k的取值范围是 （﹣∞，0]∪{} ．
【考点】函数的零点与方程根的关系．
【专题】转化思想；综合法；导数的综合应用；直观想象；数学运算．
【分析】将原问题转化为k只有一个解，令g（x）（x＞0），利用导数求出g（x）的单调性及最值即可得答案．
【解答】解：由题意可得：kx2只有一个解（x＞0），
即k只有一个解．
令g（x）（x＞0），
原问题等价于y＝k与y＝g（x）只有一个交点．
因为g'（x），
因为y＝1﹣3lnx﹣x在（0，+∞）上单调递减，且在x＝1处的值为0，
所以当x∈（0，1）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减且恒为正，
所以g（x）max＝g（1），
又因为y＝k与y＝g（x）只有一个交点，
所以k∈（﹣∞，0]∪{}．
故答案为：（﹣∞，0]∪{}．
【点评】本题考查了函数的零点、转化思想及导数的综合运用，属于中档题．
16．（5分）（2022 太原一模）图示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正三角形ABC的边长为4，取正三角形ABC各边的四等分点D、E、F，作第2个正三角形DEF，然后再取正三角形DEF各边的四等分点G、H、I，作第3个正三角形GHI，依此方法一直继续下去，就可以得到阴影部分的图案．记三角形ABC的边长为a1，三角形DEF的边长为a2，后续各三角形的边长依次为a3，a4，…，an，…．，则a2＝ ，数列{an}的前n项和Sn＝ ．
【考点】数列的求和．
【专题】计算题；对应思想；分析法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】依题意利用余弦定理得，即可求出{an}的通项公式，再根据等比数列求和公式计算可得．
【解答】解：设正三角形ABC的边长为a1，后续和正三角形的边长依次为a2，a3，……，an，
由题意知，
∴，所以{an}为以4为首项，为公比的等比数列，
所以，
所以，
所以，
故答案为：．
【点评】本题考查数列求和，考查学生的推理运算能力，属于中档题．
四．解答题（共6小题，满分70分）
17．（10分）（2022 兴庆区校级一模）已知数列{an}满足．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）对任意的正整数n，令bn，求数列{bn}的前2n项的和S2n．
【考点】数列的求和；数列递推式．
【专题】计算题；整体思想；综合法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据数列的第n项和数列前n项和的关系即可得出答案；
（2）将奇数项和偶数项分别求和，结合等差数列和等比数列的前n项和的公式即可得出答案．
【解答】解：（1）由题可知，①，
所以②，
①﹣②得，所以an＝2﹣n（*），
又因为，所以a1＝1，符合（*）式，
所以；
（2）由（1）知，，
所以S2n＝b1+b2+ +b2n
＝（b1+b3+b5+ +b2n﹣1）+（b2+b4+b6+ +b2n）
．
【点评】本题考查了数列的递推式和分组求和，属于中档题．
18．（12分）（2022 佛山二模）男子冰球比赛上演的是速度与激情的碰撞．2022北京冬奥会男子冰球主要比赛场馆是位于北京奥林匹克公园的“冰之帆”国家体育馆．本届冬奥会男子冰球有12支队伍进入正赛，中国首次组队参赛．比赛规则：12支男子冰球参赛队先按照往届冬奥会赛制分成三个小组（每组4个队）．正赛分小组赛阶段与决赛阶段：
小组赛阶段各组采用单循环赛制（小组内任两队需且仅需比赛一次）；决赛阶段均采用淘汰制（每场比赛胜者才晋级），先将12支球队按照小组比赛成绩进行种子排名，排名前四的球队晋级四分之一决赛（且不在四分之一决赛中遭遇），其余8支球队按规则进行附加赛（每队比赛一次，胜者晋级），争夺另外4个四分之一决赛席位，随后依次是四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛．
（1）本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排多少场比赛？
（2）某机构根据赛前技术统计，率先晋级四分之一决赛的四支球队（甲乙丙丁队）实力相当，假设他们在接下来四分之一决赛、半决赛、铜牌赛、金牌赛中取胜率都依次为、、、，且每支球队晋级后每场比赛相互独立．试求甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
【考点】相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】（1）分别求出小组赛、附加赛、四分之一决赛、铜牌赛、金牌赛各自的比赛场次，加起来能求出组委会共要安排多少场比赛．
（2）先求出甲、乙、丙、丁队获得冠军的概率，利用对立事件概率计算公式能求出甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率．
【解答】解：（1）根据赛制，小组赛共安排比赛318场比赛，
附加赛共安排8÷2＝4场比赛，
四分之一决赛共安排8÷2＝4场比赛，
半决赛共安排4÷2＝2场，
铜牌赛、金牌赛各比赛一场，共2场，
∴本届冬奥会男子冰球项目从正赛开始到产生金牌，组委会共要安排：
18+4+4+2+2＝30场比赛．
（2）设甲、乙、丙、丁队获得冠军分别为事件A，B，C，D，都没有获得冠军为事件E，
∵晋级后每场比赛相互独立，
∴P（A），
∵四队实力相当，∴P（B）＝P（C）＝P（D）＝P（A），
∵A，B，C，D互斥，
∴甲、乙、丙、丁队都没获得冠军的概率为：
P（E）＝1﹣P（A+B+C+D）＝1﹣[P（A）+P（B）+P（C）+P（D）]＝1﹣4．
【点评】本题考查比赛场次、概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
19．（12分）（2022 潍坊模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且△ABC的面积为．
（1）求∠C；
（2）若∠A，∠C的角平分线CE与边AB相交于点E，延长CE至点D，使得CE＝DE，求cos∠ADB．
【考点】余弦定理．
【专题】整体思想；综合法；解三角形；数学运算．
【分析】（1）由已知结合余弦定理及三角形面积公式进行化简可求tanC，进而可求C；
（2）由已知结合直角三角形勾股定理及角平分线性质可表示三角形各边，然后结合余弦定理即可求解．
【解答】解：（1）因为△ABC的面积为，
所以，
故sinCcosC，即tanC，
由C为三角形内角得，C＝60°；
（2）设AC＝a，则BC＝2a，AB，
因为CE为∠C的角平分线，
由角平分线性质得，，
所以AE，BE，CE，
因为∠AEC＝60°，△AED中，∠AED＝120°，AE，DE，
由余弦定理得，AD2＝AE2+DE2﹣2AE DEcos120°a2，
故AD，
△BDE中，ED＝BE，∠BED＝60°，
所以BD，
又AB，
在△ABD中，由余弦定理可得，cos∠ADB．
【点评】本题主要考查了余弦定理，三角形面积公式，角平分线性质，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
20．（12分）（2022 南通模拟）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，点M，N分别为线段PB，PC上的点，MN⊥PB．
（1）求证：当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面；
（2）当PA＝AB＝2，二面角C﹣AN﹣D的大小为时，求PN的长．
【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直．
【专题】计算题；对应思想；分析法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】（1）易证BC⊥平面PAB，得到BC⊥PB，MN⊥PB，BC 平面PBC，MN 平面PBC，得到BC∥MN，再结合四边形ABCD为正方形，利用平面的基本性质证明；
（2）以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设平面AND的一个法向量为（x，y，z），平面ANC的一个法向量为，根据二面角C﹣AN﹣D的大小为，由求解．
【解答】证明：（1）因为PA⊥平面ABCD，
所以PA⊥BC，又因为BC⊥AB，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB，
所以BC⊥PB，
又因为MN⊥PB，BC 平面PBC，MN 平面PBC，
所以BC∥MN，
又因为四边形ABCD为正方形，
所以BC∥AD，
所以MN∥AD，
所以当点M不与点P，B重合时，M，N，D，A四点共面．
解：（2）以A为原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示：
则C（2，2，0），A（0，0，0），D（0，2，0），P（0，0，2），
设平面AND的一个法向量为（x，y，z），
设平面ANC的一个法向量为（x，y，z），
设，
因为，则，
又，
则，即，
令z＝1，得，
又，
则，即，
令x＝1，得（1，﹣1，0），
因为二面角C﹣AN﹣D的大小为，
所以，
解得，
因为，
所以．
【点评】本题考查二面角及空间向量的应用，考查学生的运算能力，属于中档题．
21．（12分）（2022 安徽模拟）已知椭圆E：1（a＞b＞0）过三点（1，），（﹣1，），（，）中的两点，且短轴长为2．（1）求椭圆E的标准方程；
（2）椭圆E的上、下顶点分别为A、B点，D是椭圆E上异于A，B的任意一点，直线DA交直线y于点P，连接BP，BD，记BP，BD的斜率分别为k1，k2，证明：k1 k2为定值．
【考点】直线与椭圆的综合；椭圆的标准方程．
【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）由短轴长可得b的值，再由椭圆的对称性可得椭圆过的点的坐标，代入椭圆的方程，求出a的值，进而求出椭圆的方程；
（2）由（1）可得A，B的坐标，设P的坐标，D的坐标，设直线DA的方程，与椭圆的方程联立，求出D的坐标，求出BP，BD的斜率分别为k1 k2的代数式，再由P在直线上，可得kx0的值，求出斜率之积为定值．
【解答】解：（1）由短轴长为2可得，2b＝2，即b＝1，
再由椭圆的对称性可得椭圆E：1（a＞b＞0）一定过点（1，），（﹣1，），
所以可得1，解得a2＝2，
所以椭圆的方程为：y2＝1；
（2）证明：由（1）可得A（0，1），B（0，﹣1），
设P（x0，），设D（x1，y1），则直线DA的方程为：y＝kx+1，
联立，整理可得：（1+2k2）x2+4kx＝0，解得x1，代入直线DA的方程可得y1＝k （）+1，
所以k1k2 ，
因为直线DA：y＝kx+1过P（x0，），所以kx0+1，即kx01，
所以k1 k2为定值，
故原命题成立．
【点评】本题考查椭圆的方程的求法及直线与椭圆的综合应用，属于中档题．
22．（12分）（2022 甘肃模拟）已知函数．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数，证明：当a＝1时，f（x）＞g（x）．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】分类讨论；转化思想；分析法；转化法；导数的综合应用；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）求解导函数，分类讨论a≥﹣1，a＝﹣2，a＜﹣2和﹣2＜a＜﹣1时的对应单调性；
（2）将题目不等式转化为证明，设，求导判断单调性，求解最大值，设F（x）＝xlnx+x2+1，求导判断单调性，求解最小值，设H（x）＝﹣x2﹣x+1，得单调性，从而可证明不等式．
【解答】解：（1）f（x）的定义域（0，+∞）
．
当a≥﹣1时，a+1≥0，所以x+（a+1）＞0恒成立，
所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增；
当a＜﹣1，分下面三种情况讨论：
①当a＝﹣2时，恒成立，所以f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当a＜﹣2时，﹣（a+1）＞1，令f'（x）＞0．得0＜x＜1，或x＞﹣（a+1）．
所以f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）单调递增，在（1，﹣a﹣1）单调递减；
③当﹣2＜a＜﹣1时，0﹣（a+1）＜1，令f′（x）＞0，得0＜x＜﹣（a+1），或x＞1，
所以f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）单调递增，在（﹣a﹣1，1）单调递减．
综上，当a＜﹣2时，f（x）在（0，1）和（﹣a﹣1，+∞）为增函数，在（1，﹣a﹣1）为减函数；
a＝﹣2时，f（x）在（0，+∞）为增函数；当﹣2＜a＜﹣1时，
f（x）在（0，﹣a﹣1）和（1，+∞）为增函数，在（﹣a﹣1，1）为减函数；
当a≥﹣1时，f（x）在（0，1）为减函数，在（1，+∞）为增函数．
（2）证明：当a＝1时，要证明，
即证，设，
易知在（0，1）为增函数，在（1，+∞）为减函数，
所以；设F（x）＝xlnx+x2+1，
则F′（x）＝lnx+2x+1，又函数y＝F′（x）在（0，+∞）为增函数，
而，，
所以存在，使得F′（x0）＝0，且有lnx0＝﹣1﹣2x0，
所以F（x）在（0，x0）为减函数，在（x0，+∞）为增函数．
所以．
设H（x）＝﹣x2﹣x+1，显然在为减函数，
所以，即，
而，所以，
即，故当x＞0时，
F（x）＞G（x）恒成立，所以f（x）＞g（x）成立．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用分析法证明不等式，考查了分类讨论思想和转化思想，属难题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
3．函数的零点与方程根的关系
【函数的零点与方程根的关系】
函数的零点表示的是函数与x轴的交点，方程的根表示的是方程的解，他们的含义是不一样的．但是，他们的解法其实质是一样的．
【解法】
求方程的根就是解方程，把所有的解求出来，一般要求的是二次函数或者方程组，这里不多讲了．我们重点来探讨一下函数零点的求法（配方法）．
例题：求函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点．
解：∵f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70
＝（x﹣5） （x+7） （x+2） （x+1）
∴函数f（x）＝x4+5x3﹣27x2﹣101x﹣70的零点是：5、﹣7、﹣2、﹣1．
通过这个题，我们发现求函数的零点常用的方法就是配方法，把他配成若干个一次函数的乘积或者是二次函数的乘积，最后把它转化为求基本函数的零点或者说求基本函数等于0时的解即可．
【考查趋势】
考的比较少，了解相关的概念和基本的求法即可．
4．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
5．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
6．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
7．数列的求和
【知识点的知识】
就是求出这个数列所有项的和，一般来说要求的数列为等差数列、等比数列、等差等比数列等等，常用的方法包括：
（1）公式法：
①等差数列前n项和公式：Sn＝na1n（n﹣1）d或Sn
②等比数列前n项和公式：
③几个常用数列的求和公式：
（2）错位相减法：
适用于求数列{an×bn}的前n项和，其中{an}{bn}分别是等差数列和等比数列．
（3）裂项相消法：
适用于求数列{}的前n项和，其中{an}为各项不为0的等差数列，即（）．
（4）倒序相加法：
推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个（a1+an）．
（5）分组求和法：
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可．
【典型例题分析】
典例1：已知等差数列{an}满足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n项和为Sn．
（Ⅰ）求an及Sn；
（Ⅱ）令bn（n∈N*），求数列{bn}的前n项和Tn．
分析：形如的求和，可使用裂项相消法如：
．
解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，
∵a3＝7，a5+a7＝26，
∴，解得a1＝3，d＝2，
∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；
Snn2+2n．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，
∴bn，
∴Tn，
即数列{bn}的前n项和Tn．
点评：该题的第二问用的关键方法就是裂项求和法，这也是数列求和当中常用的方法，就像友情提示那样，两个等差数列相乘并作为分母的一般就可以用裂项求和．
【解题方法点拨】
数列求和基本上是必考点，大家要学会上面所列的几种最基本的方法，即便是放缩也要往这里面考．
8．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
9．平行向量（共线）
【知识点的知识】
1、平行向量：
方向相同或相反的非零向量．如果，，是非零向量且方向相同或相反（向量所在的直线平行或重合），则可即位∥∥，任一组平行向量都可移动到同一条直线上，因此平行向量又叫共线向量，任一向量都与它自身是平行向量，并且规定，零向量与任一向量平行．
2、共线向量：
如果几个向量用同一个起点的有向线段表示后，这些有向线段在同一条直线上，这样的一组向量称为共线向量．零向量与任一向量共线．
说明：
（1）向量有两个要素：大小和方向．
（2）向量与向量共线的充要条件是：向量a与向量b的方向相同或相反，或者有一个是零向量．
共线向量又叫平行向量，指的是方向相同或方向相反的向量．
【定理】
假设向量（1，2），向量（2，4），则2，那么向量与向量平行，且有1×4﹣2×2＝0，即当向量（x1，y1）与向量（x2，y2）平行时，有x1 y2﹣x2 y1＝0，这也是两向量平行的充要条件．
【例题解析】
例：设与是两个不共线的向量，且向量与共线，则λ＝ ﹣0.5 ．
解；∵向量与共线，∴存在常数k，使得k（）
∴2＝k．﹣1＝λk
解得，λ＝﹣0.5
故答案为﹣0.5．
根据向量共线的充要条件，若向量与共线，就能得到含λ的等式，解出λ即可．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的模
【知识点的知识】
1．复数的概念：形如a+bi（a，b∈R）的数叫复数，其中a，b分别是它的实部和虚部．若b＝0，则a+bi为实数；若b≠0，则a+bi为虚数；若a＝0，b≠0，则a+bi为纯虚数．
2、复数相等：a+bi＝c+di a＝c，b＝d（a，b，c，d∈R）．
3、共轭复数：a+bi与c+di共轭 a＝c，b+d＝0（a，b，c，d∈R）．
4、复数的模：的长度叫做复数z＝a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|＝|a+bi|．
12．众数、中位数、平均数
【知识点的认识】
1．众数、中位数、平均数
众数、中位数、平均数都是描述一组数据的集中趋势的特征数，只是描述的角度不同，其中以平均数的应用最为广泛．
（1）众数：在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数；
（2）中位数：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数；
（3）平均数：一组数据的算术平均数，即．
2．众数、中位数、平均数的优缺点
【解题方法点拨】
众数、中位数、平均数的选取：
（1）平均数能较好地反映一组数据的总体情况；
（2）中位数不受极端值影响，有时用它代表全体数据的中等水平（或一般水平）；
（3）众数能反映一组数据的集中情况（即多数水平）．
根据频率分布直方图估算众数、中位数、平均数：
（1）众数：在频率分布直方图中，最高矩形的中点的横坐标就是众数．
（2）中位数：在样本中，有50%的个体小于或等于中位数，也有50%的个体大于或等于中位数，因此，在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积应该相等，由此可以估计中位数的值．
（3）平均数：是频率分布直方图的“重心”，是直方图的平衡点．平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积（即落在该组中的频率）乘以小矩形底边中点的横坐标（组中值）之和．
13．极差、方差与标准差
【概念】
用一组数据中最大数据减去最小数据的差来反映这组数据的变化范围，这个数据就叫极差．一组数据中各数据与平均数差的平方和的平均数叫做方差．方差的算术平方根就为标准差．方差和标准差都是反映这组数据波动的大小，方差越大，数据的波动越大．
【例题解析】
例：求数据98，100，101，102，99的极差，方差，标准差．
解：极差是：102﹣98＝4；
平均数（98+100+101+102+99）＝100，
则方差是：S2[（98﹣100）2+（100﹣100）2+（101﹣100）2+（102﹣100）2+（99﹣100）2]＝2；
标准差S．
可以看出这类题考查的基本上是对概念的理解，根据概念去解题就可以了．
【考点分析】
这个考点很重要，也很容易，所以大家都应该好好的看看概念，理解方差的含义和怎么求就可以了．
14．随机事件
【知识点的认识】
1．定义：在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件．（或“偶然性事件”）
2．特点：
（1）随机事件可以在相同的条件下重复进行；
（2）每个试验的可能结果不止一个，并且能事先预测试验的所有可能结果；
（3）进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现．
3．注意：
（1）随机事件发生与否，事先是不能确定的；
（2）必然事件发生的机会是1；不可能事件发生的机会是0；随机事件发生的机会在0﹣1之间，0和1可以取到．
（3）要判断一个事件是必然事件、随机事件、还是不可能事件，要从定义出发．
15．相互独立事件和相互独立事件的概率乘法公式
【知识点的认识】
1．相互独立事件：事件A（或B）是否发生，对事件B（或A）发生的概率没有影响，这样两个事件叫做相互独立事件．
2．相互独立事件同时发生的概率公式：
将事件A和事件B同时发生的事件即为A B，若两个相互独立事件A、B同时发生，则事件A B发生的概率为：
P（A B）＝P（A） P（B）
推广：一般地，如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率之积，即：
P（A1 A2…An）＝P（A1） P（A2）…P（An）
3．区分
互斥事件和相互独立事件是两个不同的概念：
（1）互斥事件：两个事件不可能同时发生；
（2）相互独立事件：一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响．
16．三角函数的恒等变换及化简求值
【概述】
三角函数的恒等变化主要是指自变量x数值比较大时，如何转化成我们常见的数值比较小的而且相等的三角函数，主要的方法就是运用它们的周期性．
【公式】
①正弦函数有y＝sin（2kπ+x）＝sinx，sin（x）＝sin（x）＝cosx
②余弦函数有y＝cos（2kπ+x）＝cosx，cos（x）＝sinx
③正切函数有y＝tan（kπ+x）＝tanx，tan（x）＝cotx，
④余切函数有y＝cot（x）＝tanx，cot（kπ+x）＝cotx．
【例题解析】
例：sin60°cos（﹣45°）﹣sin（﹣420°）cos（﹣570°）的值等于
解：，，，，
∴原式．
先利用诱导公式把sin（﹣420°）和cos（﹣570°）转化成﹣sin60°和﹣cos30°，利用特殊角的三角函数值求得问题的答案．这其实也就是一个化简求值的问题，解题时的基本要求一定要是恒等变换．
【考点点评】
本考点是三角函数的基础知识，三角函数在高考中占的比重是相当大的，所有有必要认真掌握三角函数的每一个知识点，而且三角函数的难度相对于其他模块来说应该是比较简单的．
17．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
18．余弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （k∈Z）； 递减区间： （k∈Z） 递增区间： [2kπ﹣π，2kπ] （k∈Z）； 递减区间： [2kπ，2kπ+π] （k∈Z） 递增区间： （k∈Z）
最 值 x＝2kπ+（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ﹣（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ+，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
19．余弦函数的单调性
三角函数的单调性的规律方法
1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定．
2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错．
20．余弦定理
【知识点的知识】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 2R （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccos A， b2＝a2+c2﹣2accos_B， c2＝a2+b2﹣2abcos_C
变形 形式 ①a＝2Rsin A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C； ②sin A，sin B，sin C； ③a：b：c＝sinA：sinB：sinC； ④asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A cos A， cos B， cos C
解决 三角 形的 问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 ①已知三边，求各角； ②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角
【正余弦定理的应用】
1、解直角三角形的基本元素．
2、判断三角形的形状．
3、解决与面积有关的问题．
4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识
（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．
解题关键在于明确：
①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；
②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．
（2）测量高度问题：
解题思路：
①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．
②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．
点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．
21．轨迹方程
【知识点的认识】
1．曲线的方程和方程的曲线
在平面内建立直角坐标系以后，坐标平面内的动点都可以用有序实数对（x，y）表示，这就是动点的坐标．当点按某种规律运动形成曲线时，动点坐标（x，y）中的变量x、y存在着某种制约关系，这种制约关系反映到代数中，就是含有变量x、y的方程．
一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C（看做适合某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程f（x，y）＝0的实数解建立了如下的关系：
（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解；
（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点．
那么这个方程就叫做曲线的方程，这条曲线就叫做方程的曲线．
2．求曲线方程的一般步骤（直接法）
（1）建系设点：建立适当的直角坐标系，用（x，y）表示曲线上任一点M的坐标；
（2）列式：写出适合条件p的点M的集合{M|p（M）}；
（3）代入：用坐标表示出条件p（M），列出方程f（x，y）＝0；
（4）化简：化方程f（x，y）＝0为最简形式；
（5）证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是在曲线上的点
【常用解法】
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式（如两点间的距离公式、点到直线的距离公式、夹角公式等）进行整理、化简．这种求轨迹方程的过程不需要特殊的技巧．
（2）定义法：若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义（如椭圆、双曲线、抛物线、圆等），可用定义直接探求．关键是条件的转化，即转化为某一基本轨迹的定义条件．
（3）相关点法：用所求动点P的坐标（x，y）表示已知动点M的坐标（x0，y0），即得到x0＝f（x，y），y0＝g（x，y），再将x0，y0代入M满足的条件F（x0，y0）＝0中，即得所求．一般地，定比分点问题、对称问题可用相关点法求解，相关点法的一般步骤是：设点→转换→代入→化简．
（4）待定系数法
（5）参数法
（6）交轨法．
22．直线与圆的位置关系
【知识点的认识】
1．直线与圆的位置关系
2．判断直线与圆的位置关系的方法
直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：
（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．
圆心到直线的距离d
①相交：d＜r
②相切：d＝r
③相离：d＞r
（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．
由消元，得到一元二次方程的判别式△
①相交：△＞0
②相切：△＝0
③相离：△＜0．
23．椭圆的标准方程
【知识点的认识】
椭圆标准方程的两种形式：
（1）（a＞b＞0），焦点在x轴上，焦点坐标为F（±c，0），焦距|F1F2|＝2c；
（2）（a＞b＞0），焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，±c），焦距|F1F2|＝2c．
两种形式相同点：形状、大小相同；都有a＞b＞0；a2＝b2+c2
两种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
标准方程 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在x轴上 （a＞b＞0） 中心在原点，焦点在y轴上
图形
顶点 A（a，0），A′（﹣a，0） B（0，b），B′（0，﹣b） A（b，0），A′（﹣b，0） B（0，a），B′（0，﹣a）
对称轴 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上 x轴、y轴，长轴长2a，短轴长2b 焦点在长轴长上
焦点 F1（﹣c，0），F2（c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2 |F1F2|＝2c（c＞0） c2＝a2﹣b2
离心率 e（0＜e＜1） e（0＜e＜1）
准线 x＝± y＝±
24．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
25．抛物线的性质
【知识点的知识】
抛物线的简单性质：
26．直线与椭圆的综合
v．
27．旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【知识点的认识】
旋转体的结构特征：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；该定直线
叫做旋转体的轴；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．
1．圆柱
①定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周而形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱．
圆柱用轴字母表示，如下图圆柱可表示为圆柱OO′．
②认识圆柱
③圆柱的特征及性质
圆柱与底面平行的截面是圆，与轴平行的截面是矩形．
④圆柱的体积和表面积公式
设圆柱底面的半径为r，高为h：
2．圆锥
①定义：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥．
圆锥用轴字母表示，如下图圆锥可表示为圆锥SO．
②认识圆锥
③圆锥的特征及性质
与圆锥底面平行的截面是圆，过圆锥的顶点的截面是等腰三角形，两个腰都是母线．
母线长l与底面半径r和高h的关系：l2＝h2+r2
④圆锥的体积和表面积公式
设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l：
3．圆台
①定义：以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周而成的曲面所围成的几何体叫做圆台．
圆台用轴字母表示，如下图圆台可表示为圆台OO′．
②认识圆台
③圆台的特征及性质
平行于底面的截面是圆，轴截面是等腰梯形．
④圆台的体积和表面积公式
设圆台的上底面半径为r，下底面半径为R，高为h，母线长为l：
．
28．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
29．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
30．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
31．二面角的平面角及求法
【知识点的知识】
1、二面角的定义：
从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．棱为AB、面分别为α、β的二面角记作二面角α﹣AB﹣β．有时为了方便，也可在α、β内（棱以外的半平面部分）分别取点P、Q，将这个二面角记作P﹣AB﹣Q．如果棱记作l，那么这个二面角记作二面角α﹣l﹣β或P﹣l﹣Q．
2、二面角的平面角
在二面角α﹣l﹣β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角∠AOB的大小与点O的位置无关，也就是说，我们可以根据需要来选择棱l上的点O．
3、二面角的平面角求法：
（1）定义；
（2）三垂线定理及其逆定理；
①定理内容：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么，它就和这条斜线垂直．
②三垂线定理（逆定理）法：由二面角的一个面上的斜线（或它的射影）与二面角的棱垂直，推得它位于二面角的另一的面上的射影（或斜线）也与二面角的棱垂直，从而确定二面角的平面角．
（3）找（作）公垂面法：由二面角的平面角的定义可知两个面的公垂面与棱垂直，因此公垂面与两个面的交线所成的角，就是二面角的平面角．；
（4）平移或延长（展）线（面）法；
（5）射影公式；
（6）化归为分别垂直于二面角的两个面的两条直线所成的角；
（7）向量法：用空间向量求平面间夹角的方法：
设平面α和β的法向量分别为和，若两个平面的夹角为θ，则
（1）当0，，θ，，此时cosθ＝cos，．
（2）当，π时，θ＝cos（π，）＝﹣cos，．
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