2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷理科)（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | 2022年高考数学终极押题密卷(全国甲卷理科)（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 409.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 通用版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-05-29 10:13:00 | ||
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文档简介
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国甲卷理科)
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 绵阳模拟）已知集合A{x|x2＜1}，B＝{x|ex＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，ln2） C．（0，ln2） D．（ln2，1）
2．（5分）（2022 于都县二模）如图为2018年﹣2021年中国居民第一季度消费支出情况统计图
根据该图，下列结论中不正确的是（ ）
A．2021年第一季度中国居民人均消费支出5978元
B．2021年第一季度人均教育文化娱乐清费支出占人均消费的比重超过9%
C．2021年第一季度人均教育文化娱乐消费支出较去年同期增长55.7%
D．2018年﹣2020年中国居民第一季度人均消费支出中教育文化娱乐消费支出占比最低的是2018年第一季度
3．（5分）（2022 于都县二模）已知复数z满足z（2）＝3+i，则z＝（ ）
A．1+i B．i C．1i D．
4．（5分）（2022 佛山二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1%
5．（5分）（2022 山西二模）已知点O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上的一点，若|OP|＝|OF1|，|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（5分）（2020 阿拉善盟一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022 西安模拟）已知为等比数列，则“a1＜a2”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
8．（5分）（2020 松江区模拟）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km） B．（km） C．（km） D．3（km）
9．（5分）（2022 长治模拟）已知α∈（﹣π，0），且3cos2α﹣2sinαcosα﹣3＝0，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）（2022 渭南二模）随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外．现有3个完全相同的“雪容融”．甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.5
11．（5分）（2022 渭南二模）已如A，B，C是表面积为16π的球O的球面上的三个点，且AC＝AB＝1，∠ABC＝30°，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2021秋 梅县区校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣3x2+2，则（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 二模拟）曲线在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
14．（5分）（2022 甘肃模拟）已知单位向量的夹角为60°，，若，则实数λ＝ ．
15．（5分）（2022 济南模拟）已知椭圆C1：1的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|＝7，则cos∠PF1F2的值为 ．
16．（5分）（2022 湖北模拟）已知函数，有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则m（x1+2x2+x3）的范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 兰州模拟）自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准．如表是初中八年级A学科的判断标准．
日均作业时间（分钟）） [0，4） [4，8） [8，12） [12，16） 不低于16分钟
判断标准 过少 较少 适中 较多 过多
之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得到A学科日均作业时间的频数分布表见表．
日均作业时间（分钟）） [4，8） [8，12） [12，16） [16，20） [20，24]
学校数 2 3 10 10 5
（1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）；
（2）针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了如表数据．
日均作业时间（分钟）） [4，8） [8，12） [12，16） [16，20） [20，24]
学校数 5 10 8 5 2
若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有99%的把握认为作业是否超量与培训有关．
作业未超量 作业超量
未培训
培训
附：．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（12分）（2022 沧州模拟）已知数列{an}满足a1＝2，前n项的和Sn，且an+1+an＝3×2n．
（1）写出a2，a3，并求出数列{an}的通项公式；
（2）在①bn＝log2（anan+1+λ）；②bn＝log2（Sn+λ）这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答．若数列{bn}满足，求实数λ使得数列{bn}是等差数列．
19．（12分）（2021 成都模拟）如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足，，平面BEF与平面ABC的交线为l．
（1）证明：直线l⊥平面BDD1；
（2）已知EF＝2，BD1＝4，设BF与平面BDD1所成的角为θ，求sinθ的取值范围．
20．（12分）（2021 新邵县模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C于D，E两点．过D，E分别作抛物线C的切线，两切线交于点M，若直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，且|MN|＝|DE|，求直线l的方程．
21．（12分）（2022 泸州模拟）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax．
（Ⅰ）若f（x）在[0，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≤a2ex﹣a﹣ax（a＞0）恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 山西二模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝16，曲线C1的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ＝20．
（1）求曲线C和C1的直角坐标方程，并分别说明表示什么曲线；
（2）若点A为曲线C上的动点，点B为曲线C1上的动点，点M为P（﹣4，4）和A的中点，求|MB|的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 赣州一模）已知f（x）＝|x﹣1|+2|ax+1|（a＞0）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）＞3x2的解集包含[0，1]，求a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国甲卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 绵阳模拟）已知集合A{x|x2＜1}，B＝{x|ex＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，ln2） C．（0，ln2） D．（ln2，1）
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求解不等式化简A与B，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|ex＜2}＝{x|x＜ln2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}∩{x|x＜ln2}＝（﹣1，ln2）．
故选：B．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2．（5分）（2022 于都县二模）如图为2018年﹣2021年中国居民第一季度消费支出情况统计图
根据该图，下列结论中不正确的是（ ）
A．2021年第一季度中国居民人均消费支出5978元
B．2021年第一季度人均教育文化娱乐清费支出占人均消费的比重超过9%
C．2021年第一季度人均教育文化娱乐消费支出较去年同期增长55.7%
D．2018年﹣2020年中国居民第一季度人均消费支出中教育文化娱乐消费支出占比最低的是2018年第一季度
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由统计图结合数据对各选项一一计算求解即可判断得出．
【解答】解：A．观察统计图，2021年第一季度中国居民人均消费支出为5978元，A正确，故A不符合题意；
B.2021年第一季度中国居民人均消费支出占人均消费的比重为，超过了9%，B正确，故B不符合题意；
C.2021年第一季度人均教育文化娱乐消费支出较去年同期增长为0.557，同期增长55.7%，C正确，故C不符合题意；
D.2018年﹣2020年中国居民第一季度人均消费支出中教育文化娱乐消费支出占比分别为：18年为0.076，19年的为0.098，20年的为0.069，故占比最低的是2020年第一季度，D不正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了统计图的分析求解，是基础题．
3．（5分）（2022 于都县二模）已知复数z满足z（2）＝3+i，则z＝（ ）
A．1+i B．i C．1i D．
【考点】复数的运算．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】由复数的运算求解即可．
【解答】解：因为z，
所以z（1+2i）＝﹣1+3i，
则z1+i，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算，属基础题．
4．（5分）（2022 佛山二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1%
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题意Xn＝100X0，代入，解方程即可．
【解答】解：由题意知，lg（100X0）＝10lg（1+p）+lgX0，
即2+lgX0＝10lg（1+p）+lgX0，
所以1+p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数模型的应用，属于基础题．
5．（5分）（2022 山西二模）已知点O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上的一点，若|OP|＝|OF1|，|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意画出图形，可得△PF1F2为直角三角形，由已知结合双曲线的定义求解|PF1|与|PF2|的值，再由勾股定理求解．
【解答】解：如图，
由|OP|＝|OF1|，|OF1|＝|OF2|，可得△PF1F2为直角三角形，
∵|PF1|＝3|PF2|，且|PF1|﹣|PF2|＝2a，
解得|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
再由勾股定理可得：（3a）2+（a）2＝（2c）2，
得，∴e．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）（2020 阿拉善盟一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．
【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，
该几何体的俯视图为D．
故选：D．
【点评】本题考查棱锥体积的计算，考查三视图，考查数形结合的数学思想，比较基础．
7．（5分）（2022 西安模拟）已知为等比数列，则“a1＜a2”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，则“a1＜a2” a1（q﹣1）＞0 ，或．由数列{an}为递增数列，可得，或．即可判断出结论．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则“a2＞a1” a1（q﹣1）＞0， ，或．
由数列{an}为递增数列，可得，或．
∴“a1＜a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解法、等比数列的通项公式与单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）（2020 松江区模拟）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km） B．（km） C．（km） D．3（km）
【考点】解三角形．
【专题】数形结合；综合法；解三角形；数学建模．
【分析】由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．
【解答】解：AB＝1，CD＝3，
∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝120°，
∴BE，DE；
△ACE中，由余弦定理得：
BD2＝BE2+DE2﹣2×BE×DE×cos∠BED
＝3+3﹣2（）
＝9，
所以BD＝3；
所以AC，
即两山顶A，C之间的距离为km．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．
9．（5分）（2022 长治模拟）已知α∈（﹣π，0），且3cos2α﹣2sinαcosα﹣3＝0，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得sinα（3sinα+cosα）＝0，结合范围α∈（﹣π，0），利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为3cos2α﹣2sinαcosα﹣3＝0，即3（1﹣2sin2α）﹣2sinαcosα﹣3＝0，
所以sinα（3sinα+cosα）＝0，
因为α∈（﹣π，0），
所以sinα＜0，
由于，可得sinα．
故选：D．
【点评】本题考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
10．（5分）（2022 渭南二模）随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外．现有3个完全相同的“雪容融”．甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.5
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】基本事件总数n120，3个“雪容融”连在一起包含的基本事件个数m36，由此能求出3个“雪容融”连在一起的概率．
【解答】解：有3个完全相同的“雪容融”，甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，
基本事件总数n120，
3个“雪容融”连在一起包含的基本事件个数m36，
则3个“雪容融”连在一起的概率为P0.3．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）（2022 渭南二模）已如A，B，C是表面积为16π的球O的球面上的三个点，且AC＝AB＝1，∠ABC＝30°，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；球；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，根据题意求出r，R，再根据球心O到△ABC的距离，即三棱锥O﹣ABC的高，从而可得出答案．
【解答】解：设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，
在△ABC中，由AC＝AB＝1，∠ABC＝30°，则∠BAC＝120°
得，所以r＝1，
因为球O的表面积为16π，
则4πR2＝16π，解得R＝2，
所以球心O到△ABC的距离，
即三棱锥O﹣ABC的高为，
，
所以三棱锥O﹣ABC的体积．
故选：C．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
12．（5分）（2021秋 梅县区校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣3x2+2，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知结合函数图像的平移及奇偶函数的对称性可求函数的周期，结合已知区间上函数解析式进行转化可求．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，其图像关于原点对称，
所以函数f（x）的图像关于（1，0）中心对称，f（2﹣x）＝﹣f（x），
因为f（x+2）为偶函数，其图像关于y轴对称，
所以f（x）的图像关于x＝2对称，f（2﹣x）＝f（2+x），
所以f（2+x）＝﹣f（x），
故f（4+x）＝f（x），即函数是以T＝4为周期的周期函数，
因为当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣3x2+2，
则f（4）＝f（）＝﹣f（2）＝﹣f（）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的对称性，周期性在函数求值中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 二模拟）曲线在点（0，f（0））处的切线方程为 2x+y+1＝0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数值，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由，得f′（x），
∴f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣1，
∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣0），
即2x+y+1＝0．
故答案为：2x+y+1＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
14．（5分）（2022 甘肃模拟）已知单位向量的夹角为60°，，若，则实数λ＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据题意，向量垂直的判断方法可得 0，结合数量积的计算公式可得关于λ的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，单位向量的夹角为60°，则，
又由，若，则有 （λ） （3）2﹣3λ2+（λ﹣3）0，
变形可得：1﹣3λ（λ﹣3）＝0，解可得λ；
故答案为：．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
15．（5分）（2022 济南模拟）已知椭圆C1：1的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|＝7，则cos∠PF1F2的值为 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用椭圆定义求出|PF2|，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答．
【解答】解：依题意，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|＝12，而|PF1|＝7，则|PF2|＝5，
因为点F2是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线过点F1，如图，
过点P作PQ⊥l于点Q，由抛物线定义知|PQ|＝|PF2|＝5，而F1F2∥PQ，
则∠PF1F2＝∠F1PQ，所以cos∠PF1F2＝sin∠F1PQ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）（2022 湖北模拟）已知函数，有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则m（x1+2x2+x3）的范围是 [，） ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】令z＝2x，将函数f（x）＝2sin（2x）﹣m的零点问题，转化为函数y＝sinz，z∈[，]的图象与直线y的交点横坐标问题进行研究，根据正弦函数的图象的对称性、结合图象和正弦函数的最大值，得到m的取值范围，可得m（x1+2x2+x3）的范围．
【解答】解：函数，有三个不同的零点x1，
x2，x3，且x1＜x2＜x3，
令z＝2x，将函数f（x）＝2sin（2x）﹣m的零点问题，
转化为函数y＝sinz，z∈[，]的图象与直线y的交点横坐标问题进行研究．
如图所示，
由y＝sinz的图象对称性可知，z1+z2＝π，z2+z3＝3π，
所以，z1+2z2+z3＝4π，
又∵z1+2z2+z3＝2x14x22x32（x1+2x2+x3）4π，
∴x1+2x2+x3，
由图象可知，∈[，1），所以，m∈[1，2），
所以，m（x1+2x2+x3）∈[，），
故答案为：[，）．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，用到了数形结合的思想，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 兰州模拟）自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准．如表是初中八年级A学科的判断标准．
日均作业时间（分钟）） [0，4） [4，8） [8，12） [12，16） 不低于16分钟
判断标准 过少 较少 适中 较多 过多
之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得到A学科日均作业时间的频数分布表见表．
日均作业时间（分钟）） [4，8） [8，12） [12，16） [16，20） [20，24]
学校数 2 3 10 10 5
（1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）；
（2）针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了如表数据．
日均作业时间（分钟）） [4，8） [8，12） [12，16） [16，20） [20，24]
学校数 5 10 8 5 2
若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有99%的把握认为作业是否超量与培训有关．
作业未超量 作业超量
未培训
培训
附：．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】应用题；对应思想；数学模型法；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】（1）根据已知条件，结合表中数据，以及平均数公式，即可求解．
（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）由表中数据可得，该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间为
15.7．
（2）根据题意填写列联表为：
作业未超量 作业超量 合计
未培训 5 25 30
培训 15 15 30
合计 20 40 60
计算K27.5＞6.635，
所以有99%的把握认为作业是否超量与培训有关．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了平均数计算问题，是基础题．
18．（12分）（2022 沧州模拟）已知数列{an}满足a1＝2，前n项的和Sn，且an+1+an＝3×2n．
（1）写出a2，a3，并求出数列{an}的通项公式；
（2）在①bn＝log2（anan+1+λ）；②bn＝log2（Sn+λ）这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答．若数列{bn}满足，求实数λ使得数列{bn}是等差数列．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据数列的递推公式，分类讨论，即可求出数列的通项公式；
（2）若选①可得bn＝log2（22n+1+λ），根据数列{bn}是等差数列，可得2b2＝b1+b3，即可求出；
若选②可得bn＝log2（2n+1﹣2+λ），根据数列{bn}是等差数列，可得2b2＝b1+b3，即可求出．
【解答】解：（1）a1＝2，an+1+an＝3×2n，
则an+1＝﹣an+3×2n，
∴a2＝﹣2+6＝4，a3＝﹣4+3×4＝8，
∵an+1+an＝3×2n，
∴an+2+an+1＝3×2n+1，
两式相减可得an+2﹣an＝3×2n，
当n为奇数时，即n＝2m﹣1时，a3﹣a1＝3×21，a5﹣a3＝3×23，a7﹣a5＝3×25， ，a2m+1﹣a2m﹣1＝3×22m﹣1，
累加可得a2m+1＝3×（21+23+25+ +22m﹣1）+2＝32＝22m+1，
即an＝2n，
当n为偶数时，即b＝2m，a4﹣a2＝3×22，a6﹣a4＝3×24，a8﹣a6＝3×26， ，a2m+2﹣a2m＝3×22m，
累加可得a2m+2＝3×（22+24+26+ +22m）+4＝34＝22m，
即an＝2n，
综上所述an＝2n；
（2）若选①bn＝log2（anan+1+λ）＝log2（22n+1+λ），
∴b1＝log2（23+λ），b2＝log2（25+λ），b3＝log2（27+λ），
∵数列{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1+b3，
∴2log2（25+λ）＝log2（23+λ）+log2（27+λ），
∴（25+λ）2＝（23+λ） （27+λ），
解得λ＝0，
∴当λ＝0时，数列{bn}是等差数列；
若选②∵a1＝2，an＝2n，
∴Sn2n+1﹣2，
∴bn＝log2（Sn+λ）＝log2（2n+1﹣2+λ），
∴b1＝log2（2+λ），b2＝log2（6+λ），b3＝log2（14+λ），
∵数列{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1+b3，
∴2log2（6+λ）＝log2（2+λ）+log2（14+λ），
∴（6+λ）2＝（2+λ） （14+λ），
解得λ＝2，
∴当λ＝2时，数列{bn}是等差数列．
【点评】本题考查数列由递推公式求通项方法，考查数学运算能力，属于中档题．
19．（12分）（2021 成都模拟）如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足，，平面BEF与平面ABC的交线为l．
（1）证明：直线l⊥平面BDD1；
（2）已知EF＝2，BD1＝4，设BF与平面BDD1所成的角为θ，求sinθ的取值范围．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】（1）根据线面平行，以及线面垂直，求出线面垂直即可；
（2）分别以，的方向为x，y轴的正方向建立空间坐标系，分别求出B，C，F点的坐标，结合平面的法向量求出sinθ的取值范围即可．
【解答】（1）证明：如图示：连接AC与BD交于点O，
由条件可知AE∥CF，且AE＝CF，∴AC∥EF，
∵EF 平面BEF，∴AC∥平面BEF，
∵平面BEF∩平面ABC＝l，故AC∥l，
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，
故AC⊥BD，AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1，
∴l⊥平面BDD1，
（2）解：如图示：
以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立空间坐标系，
设BD＝2a，∵BD＜BD1，∴0＜a＜2，
则OB＝a，DD12，
故B（a，0，0），C（0，1，0），F（0，1，），
由（1）可知（0，1，0）是平面BDD1的一个法向量，而（﹣a，1，），
故sinθ＝|cos，|，
当0＜a＜2时，，即sinθ∈（，）．
【点评】本题考查了线面关系，考查线面角问题，考查转化思想，数形结合思想，是难题．
20．（12分）（2021 新邵县模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C于D，E两点．过D，E分别作抛物线C的切线，两切线交于点M，若直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，且|MN|＝|DE|，求直线l的方程．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的标准方程．
【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）求出抛物线的焦点，写出直线AB的方程x＝2y﹣p，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与抛物线的方程：，利用韦达定理以及弦长公式，求解p，得到抛物线方程．
（2）设直线l的方程为x＝m（y﹣1），代入抛物线的方程x2＝4y得，m2y2﹣2（m2+2）y+m2＝0，设D（x3，y3），E（x4，y4），利用韦达定理以及弦长公式，推出，通过抛物线方程，利用函数的导数，求解切线方程，推出M坐标N的坐标，利用|MN|＝|DE|，求出m，结合直线l与准线交于第四象限的点N，推出结果即可．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，
由题意可得直线AB的方程为：，即x＝2y﹣p，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线AB与抛物线的方程：，
整理可得4y2﹣6py+p2＝0（2分），，
由抛物线的性质可得，解得p＝2，
所以抛物线的方程为：x2＝4y．
（2）易知直线l的斜率存在且不为零，又由（1）知F（0，1），
故可设直线l的方程为x＝m（y﹣1），代入抛物线的方程x2＝4y得，m2y2﹣2（m2+2）y+m2＝0，
设D（x3，y3），E（x4，y4），则，y3y4＝1，，x3x4＝﹣4，
∴，
由抛物线x2＝4y得，则，
所以抛物线在D（x3，y3），E（x4，y4）两点处的切线的斜率分别为，，
故两切线的方程分别为y﹣y3，y﹣y4，
即y3y＝2（x3+x），y4y＝2（x4+x），
解得两切线的交点为M（，），即M（，﹣1），
又准线的方程为x＝﹣1，由，得N（﹣2m，﹣1），
则|MN|＝2|m|，
由|MN|＝|DE|，得，得m＝±2，
因为直线l与准线交于第四象限的点N，
故有m＝﹣2，
从而直线l的方程为．x＝﹣2（y﹣1），即x+2y﹣2＝0．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，切线方程的求法，抛物线的方程的求法以及简单性质的应用，是难题．
21．（12分）（2022 泸州模拟）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax．
（Ⅰ）若f（x）在[0，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≤a2ex﹣a﹣ax（a＞0）恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；转化思想；构造法；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意可知f'（x）≤0在[0，+∞）恒成立，参变分离可求a的最小值；
（Ⅱ）f（x）≤a2ex﹣a﹣ax（a＞0）等价于ln（x+1）+a≤a2ex，∵不等式在x≥﹣1时恒成立，故当x＝0时也恒成立，据此即可求得a≥1．然后在证明当a 1时，不等式ln（x+1）+a≤a2ex恒成立即可．证明不等式恒成立时，可利用当x＞﹣1时，ln（x+1）≤x对不等式进行放缩化简．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
若f（x）在[0，+∞）上是减函数，则f'（x）0在[0，+∞）恒成立，
即，即 对x 0恒成立，
∵x 0，∴，因此实数a的最小值为1；
（Ⅱ）∵x＞﹣1，∴f（x）≤a2ex﹣a﹣ax（a＞0）等价于ln（x+1）+a≤a2ex，
∵x＝0时，a≤a2，∴a 1，
下面证明当a 1时，不等式ln（x+1）+a≤a2ex恒成立，
先证明当x＞﹣1时，ln（x+1）≤x，
由（1）知，当a＝1时，f（x）在（﹣1，0）上单增，在[0，+∞）上单减，
∴f（x）≤f（0）＝0，∴当x＞﹣1时，ln（x+1）≤x，
要证明ln（x+1）+a≤a2ex，只需证明对任意的x∈（﹣1，+∞），a2ex﹣x﹣a≥0恒成立，
令g（x）＝a2ex﹣x﹣a，则g'（x）＝a2ex﹣1，
令g'（x）＝a2ex﹣1＝0，得x＝﹣2lna≤0，
当﹣2lna≤﹣1，即时，g'（x）≥0，∴g（x）单调递增，
于是，
当﹣2lna＞﹣1，即时，g（x）在（﹣1，﹣2lna）上单减，在（﹣2lna，+∞）单调递增，
∴，
令h（a）＝2lna﹣a+1，则，
∴h（a）在单调递增，
于是h（a）≥h（1）＝0，即h（a）≥0，
∴g（x）≥0恒成立，
∴a 1，不等式a2ex﹣x﹣a≥0恒成立，
因此当a 1时，不等式ln（x+1）+a≤a2ex恒成立，
即a取的值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 山西二模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝16，曲线C1的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ＝20．
（1）求曲线C和C1的直角坐标方程，并分别说明表示什么曲线；
（2）若点A为曲线C上的动点，点B为曲线C1上的动点，点M为P（﹣4，4）和A的中点，求|MB|的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）首先利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用点到直线的距离公式的和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得ρ2（1+3sin2θ）＝ρ2+3ρ2sin2θ＝16，所以x2+y2+3y2＝16，即；
所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆．
由2ρcosθ+3ρsinθ＝20，得2x+3y＝20，所以曲线C1是一条直线．
（2）曲线C的参数方程为（α为参数），设A（4cosα，2sinα）．
又点M为P（﹣4，4）和A的中点，
所以M（﹣2+2cosα，2+sinα）．
对于每一个确定的点M，M到直线C1：2x+3y﹣20＝0的距离d≤|MB|，
又，，
所以当时，d取得最小值，故|MB|的最小值为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 赣州一模）已知f（x）＝|x﹣1|+2|ax+1|（a＞0）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）＞3x2的解集包含[0，1]，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）代入a的值，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；
（2）问题转化为2|ax+1|＞3x2+x﹣1，令g（x）＝3x2+x﹣1，求出g（x）的最大值，求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|，
∴f（x），
当x≥1时，f（x）＝3x+1＞5，解得x，
当﹣1＜x＜1时，f（x）＝x+3＞5，解得x＞2，无解，
当x≤﹣1时，f（x）＝﹣3x﹣1＞5，解得x＜﹣2，故x＜﹣2，
综上，不等式的解集是{x|x＜﹣2或x}；
（2）f（x）＞3x2的解集包含[0，1]，
故f（x）＞3x2在[0，1]上恒成立，
当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣x+2|ax+1|＞3x2，
故2|ax+1|＞3x2+x﹣1，
令g（x）＝3x2+x﹣1，
x∈[0，1]时，g（x）max＝g（1）＝3，
故2|ax+1|＞3，
故ax，
∵x∈[0，1]，
∴a×1，
∴a的取值范围是（，）．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
12．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
13．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
14．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
15．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
16．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最 值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
18．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
19．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
20．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．直线与抛物线的综合
v．
23．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
24．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
25．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
26．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
27．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
28．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
29．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 绵阳模拟）已知集合A{x|x2＜1}，B＝{x|ex＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，ln2） C．（0，ln2） D．（ln2，1）
2．（5分）（2022 于都县二模）如图为2018年﹣2021年中国居民第一季度消费支出情况统计图
根据该图，下列结论中不正确的是（ ）
A．2021年第一季度中国居民人均消费支出5978元
B．2021年第一季度人均教育文化娱乐清费支出占人均消费的比重超过9%
C．2021年第一季度人均教育文化娱乐消费支出较去年同期增长55.7%
D．2018年﹣2020年中国居民第一季度人均消费支出中教育文化娱乐消费支出占比最低的是2018年第一季度
3．（5分）（2022 于都县二模）已知复数z满足z（2）＝3+i，则z＝（ ）
A．1+i B．i C．1i D．
4．（5分）（2022 佛山二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1%
5．（5分）（2022 山西二模）已知点O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上的一点，若|OP|＝|OF1|，|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
6．（5分）（2020 阿拉善盟一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
A． B． C． D．
7．（5分）（2022 西安模拟）已知为等比数列，则“a1＜a2”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
8．（5分）（2020 松江区模拟）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km） B．（km） C．（km） D．3（km）
9．（5分）（2022 长治模拟）已知α∈（﹣π，0），且3cos2α﹣2sinαcosα﹣3＝0，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
10．（5分）（2022 渭南二模）随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外．现有3个完全相同的“雪容融”．甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.5
11．（5分）（2022 渭南二模）已如A，B，C是表面积为16π的球O的球面上的三个点，且AC＝AB＝1，∠ABC＝30°，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
12．（5分）（2021秋 梅县区校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣3x2+2，则（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 二模拟）曲线在点（0，f（0））处的切线方程为 ．
14．（5分）（2022 甘肃模拟）已知单位向量的夹角为60°，，若，则实数λ＝ ．
15．（5分）（2022 济南模拟）已知椭圆C1：1的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|＝7，则cos∠PF1F2的值为 ．
16．（5分）（2022 湖北模拟）已知函数，有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则m（x1+2x2+x3）的范围是 ．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 兰州模拟）自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准．如表是初中八年级A学科的判断标准．
日均作业时间（分钟）） [0，4） [4，8） [8，12） [12，16） 不低于16分钟
判断标准 过少 较少 适中 较多 过多
之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得到A学科日均作业时间的频数分布表见表．
日均作业时间（分钟）） [4，8） [8，12） [12，16） [16，20） [20，24]
学校数 2 3 10 10 5
（1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）；
（2）针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了如表数据．
日均作业时间（分钟）） [4，8） [8，12） [12，16） [16，20） [20，24]
学校数 5 10 8 5 2
若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有99%的把握认为作业是否超量与培训有关．
作业未超量 作业超量
未培训
培训
附：．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
18．（12分）（2022 沧州模拟）已知数列{an}满足a1＝2，前n项的和Sn，且an+1+an＝3×2n．
（1）写出a2，a3，并求出数列{an}的通项公式；
（2）在①bn＝log2（anan+1+λ）；②bn＝log2（Sn+λ）这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答．若数列{bn}满足，求实数λ使得数列{bn}是等差数列．
19．（12分）（2021 成都模拟）如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足，，平面BEF与平面ABC的交线为l．
（1）证明：直线l⊥平面BDD1；
（2）已知EF＝2，BD1＝4，设BF与平面BDD1所成的角为θ，求sinθ的取值范围．
20．（12分）（2021 新邵县模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C于D，E两点．过D，E分别作抛物线C的切线，两切线交于点M，若直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，且|MN|＝|DE|，求直线l的方程．
21．（12分）（2022 泸州模拟）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax．
（Ⅰ）若f（x）在[0，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≤a2ex﹣a﹣ax（a＞0）恒成立，求a的取值范围．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 山西二模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝16，曲线C1的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ＝20．
（1）求曲线C和C1的直角坐标方程，并分别说明表示什么曲线；
（2）若点A为曲线C上的动点，点B为曲线C1上的动点，点M为P（﹣4，4）和A的中点，求|MB|的最小值．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 赣州一模）已知f（x）＝|x﹣1|+2|ax+1|（a＞0）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）＞3x2的解集包含[0，1]，求a的取值范围．
2022年高考数学终极押题密卷3 (全国甲卷理科)
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．（5分）（2022 绵阳模拟）已知集合A{x|x2＜1}，B＝{x|ex＜2}，则A∩B＝（ ）
A．（﹣1，1） B．（﹣1，ln2） C．（0，ln2） D．（ln2，1）
【考点】交集及其运算．
【专题】集合思想；定义法；集合；数学运算．
【分析】求解不等式化简A与B，再由交集运算得答案．
【解答】解：∵A＝{x|x2＜1}＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|ex＜2}＝{x|x＜ln2}，
∴A∩B＝{x|﹣1＜x＜1}∩{x|x＜ln2}＝（﹣1，ln2）．
故选：B．
【点评】本题考查交集及其运算，考查不等式的解法，是基础题．
2．（5分）（2022 于都县二模）如图为2018年﹣2021年中国居民第一季度消费支出情况统计图
根据该图，下列结论中不正确的是（ ）
A．2021年第一季度中国居民人均消费支出5978元
B．2021年第一季度人均教育文化娱乐清费支出占人均消费的比重超过9%
C．2021年第一季度人均教育文化娱乐消费支出较去年同期增长55.7%
D．2018年﹣2020年中国居民第一季度人均消费支出中教育文化娱乐消费支出占比最低的是2018年第一季度
【考点】频率分布直方图．
【专题】计算题；转化思想；综合法；概率与统计；数学运算．
【分析】由统计图结合数据对各选项一一计算求解即可判断得出．
【解答】解：A．观察统计图，2021年第一季度中国居民人均消费支出为5978元，A正确，故A不符合题意；
B.2021年第一季度中国居民人均消费支出占人均消费的比重为，超过了9%，B正确，故B不符合题意；
C.2021年第一季度人均教育文化娱乐消费支出较去年同期增长为0.557，同期增长55.7%，C正确，故C不符合题意；
D.2018年﹣2020年中国居民第一季度人均消费支出中教育文化娱乐消费支出占比分别为：18年为0.076，19年的为0.098，20年的为0.069，故占比最低的是2020年第一季度，D不正确，故D符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了统计图的分析求解，是基础题．
3．（5分）（2022 于都县二模）已知复数z满足z（2）＝3+i，则z＝（ ）
A．1+i B．i C．1i D．
【考点】复数的运算．
【专题】整体思想；综合法；数系的扩充和复数；数学运算．
【分析】由复数的运算求解即可．
【解答】解：因为z，
所以z（1+2i）＝﹣1+3i，
则z1+i，
故选：A．
【点评】本题考查了复数的运算，属基础题．
4．（5分）（2022 佛山二模）核酸检测分析是用荧光定量PCR法，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增进程中成指数级增加的靶标DNA实时监测，在PCR扩增的指数时期，荧光信号强度达到阚值时，DNA的数量Xn与扩增次数n满足lgXn＝nlg（1+p）+lgX0，其中p为扩增效率，X0为DNA的初始数量．已知某被测标本DNA扩增10次后，数量变为原来的100倍，那么该样本的扩增效率p约为（ ）
（参考数据：100.2≈1.585，10﹣0.2≈0.631）
A．36.9% B．41.5% C．58.5% D．63.1%
【考点】根据实际问题选择函数类型．
【专题】计算题；整体思想；综合法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由题意Xn＝100X0，代入，解方程即可．
【解答】解：由题意知，lg（100X0）＝10lg（1+p）+lgX0，
即2+lgX0＝10lg（1+p）+lgX0，
所以1+p＝100.2≈1.585，解得p≈0.585．
故选：C．
【点评】本题考查了对数函数模型的应用，属于基础题．
5．（5分）（2022 山西二模）已知点O为坐标原点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，P是双曲线右支上的一点，若|OP|＝|OF1|，|PF1|＝3|PF2|，则该双曲线的离心率为（ ）
A．3 B． C． D．
【考点】双曲线的性质．
【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】由题意画出图形，可得△PF1F2为直角三角形，由已知结合双曲线的定义求解|PF1|与|PF2|的值，再由勾股定理求解．
【解答】解：如图，
由|OP|＝|OF1|，|OF1|＝|OF2|，可得△PF1F2为直角三角形，
∵|PF1|＝3|PF2|，且|PF1|﹣|PF2|＝2a，
解得|PF1|＝3a，|PF2|＝a，
再由勾股定理可得：（3a）2+（a）2＝（2c）2，
得，∴e．
故选：D．
【点评】本题考查双曲线的性质，考查运算求解能力，是中档题．
6．（5分）（2020 阿拉善盟一模）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的正视图（等腰直角三角形）和侧视图，且该几何体的体积为，则该几何体的俯视图可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单空间图形的三视图．
【专题】综合题；转化思想；演绎法；空间位置关系与距离．
【分析】该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，作出图形，可得结论．
【解答】解：该几何体为正方体截去一部分后的四棱锥P﹣ABCD，如图所示，
该几何体的俯视图为D．
故选：D．
【点评】本题考查棱锥体积的计算，考查三视图，考查数形结合的数学思想，比较基础．
7．（5分）（2022 西安模拟）已知为等比数列，则“a1＜a2”是“{an}为递增数列”的（ ）
A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件
C．既不充分也不必要条件 D．充要条件
【考点】充分条件、必要条件、充要条件．
【专题】计算题；转化思想；综合法；简易逻辑；数学运算．
【分析】设等比数列{an}的公比为q，则“a1＜a2” a1（q﹣1）＞0 ，或．由数列{an}为递增数列，可得，或．即可判断出结论．
【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，则“a2＞a1” a1（q﹣1）＞0， ，或．
由数列{an}为递增数列，可得，或．
∴“a1＜a2”是“数列{an}为递增数列”的必要不充分条件．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的解法、等比数列的通项公式与单调性、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
8．（5分）（2020 松江区模拟）如图，某景区欲在两山顶A，C之间建缆车，需要测量两山顶间的距离．已知山高AB＝1（km），CD＝3（km），在水平面上E处测得山顶A的仰角为30°，山顶C的仰角为60°，∠BED＝120°，则两山顶A、C之间的距离为（ ）
A．2（km） B．（km） C．（km） D．3（km）
【考点】解三角形．
【专题】数形结合；综合法；解三角形；数学建模．
【分析】由直角三角形的边角关系求出BE、DE，利用余弦定理求出BD，再计算AC的值．
【解答】解：AB＝1，CD＝3，
∠AEB＝30°，∠CED＝60°，∠AEC＝120°，
∴BE，DE；
△ACE中，由余弦定理得：
BD2＝BE2+DE2﹣2×BE×DE×cos∠BED
＝3+3﹣2（）
＝9，
所以BD＝3；
所以AC，
即两山顶A，C之间的距离为km．
故选：C．
【点评】本题考查了三角形的边角关系应用问题，也考查了解三角形的应用问题，是基础题．
9．（5分）（2022 长治模拟）已知α∈（﹣π，0），且3cos2α﹣2sinαcosα﹣3＝0，则sinα＝（ ）
A． B． C． D．
【考点】二倍角的三角函数；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；方程思想；综合法；三角函数的求值；数学运算．
【分析】利用二倍角公式化简已知等式可得sinα（3sinα+cosα）＝0，结合范围α∈（﹣π，0），利用同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】解：因为3cos2α﹣2sinαcosα﹣3＝0，即3（1﹣2sin2α）﹣2sinαcosα﹣3＝0，
所以sinα（3sinα+cosα）＝0，
因为α∈（﹣π，0），
所以sinα＜0，
由于，可得sinα．
故选：D．
【点评】本题考查了二倍角公式以及同角三角函数基本关系式在三角函数求值中的应用，属于基础题．
10．（5分）（2022 渭南二模）随着北京冬残奥会的开幕，吉祥物“雪容融”火遍国内外．现有3个完全相同的“雪容融”．甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，则3个“雪容融”连在一起的概率为（ ）
A．0.2 B．0.25 C．0.3 D．0.5
【考点】古典概型及其概率计算公式．
【专题】方程思想；定义法；概率与统计；数学运算．
【分析】基本事件总数n120，3个“雪容融”连在一起包含的基本事件个数m36，由此能求出3个“雪容融”连在一起的概率．
【解答】解：有3个完全相同的“雪容融”，甲、乙两位运动员要与这3个“雪容融”随机站成一排拍照留念，
基本事件总数n120，
3个“雪容融”连在一起包含的基本事件个数m36，
则3个“雪容融”连在一起的概率为P0.3．
故选：C．
【点评】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
11．（5分）（2022 渭南二模）已如A，B，C是表面积为16π的球O的球面上的三个点，且AC＝AB＝1，∠ABC＝30°，则三棱锥O﹣ABC的体积为（ ）
A． B． C． D．
【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积．
【专题】计算题；方程思想；综合法；空间位置关系与距离；球；逻辑推理；直观想象；数学运算．
【分析】设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，根据题意求出r，R，再根据球心O到△ABC的距离，即三棱锥O﹣ABC的高，从而可得出答案．
【解答】解：设球的半径为R，△ABC外接圆的半径为r，
在△ABC中，由AC＝AB＝1，∠ABC＝30°，则∠BAC＝120°
得，所以r＝1，
因为球O的表面积为16π，
则4πR2＝16π，解得R＝2，
所以球心O到△ABC的距离，
即三棱锥O﹣ABC的高为，
，
所以三棱锥O﹣ABC的体积．
故选：C．
【点评】本题主要考查球与多面体的切接问题，空间想象能力的培养等知识，属于中等题．
12．（5分）（2021秋 梅县区校级期中）已知函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，f（x+2）为偶函数，当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣3x2+2，则（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数奇偶性的性质与判断；函数的值．
【专题】转化思想；转化法；函数的性质及应用；数学运算．
【分析】由已知结合函数图像的平移及奇偶函数的对称性可求函数的周期，结合已知区间上函数解析式进行转化可求．
【解答】解：因为函数f（x）的定义域为R，f（x+1）为奇函数，其图像关于原点对称，
所以函数f（x）的图像关于（1，0）中心对称，f（2﹣x）＝﹣f（x），
因为f（x+2）为偶函数，其图像关于y轴对称，
所以f（x）的图像关于x＝2对称，f（2﹣x）＝f（2+x），
所以f（2+x）＝﹣f（x），
故f（4+x）＝f（x），即函数是以T＝4为周期的周期函数，
因为当x∈[1，2]时，f（x）＝﹣3x2+2，
则f（4）＝f（）＝﹣f（2）＝﹣f（）．
故选：B．
【点评】本题主要考查了函数的对称性，周期性在函数求值中的应用，体现了转化思想的应用，属于中档题．
二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．（5分）（2022 二模拟）曲线在点（0，f（0））处的切线方程为 2x+y+1＝0 ．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．
【专题】方程思想；数学模型法；导数的概念及应用；数学运算．
【分析】求出原函数的导函数，得到函数在x＝0处的导数值，再求出f（0），利用直线方程的点斜式得答案．
【解答】解：由，得f′（x），
∴f′（0）＝﹣2，又f（0）＝﹣1，
∴曲线在点（0，f（0））处的切线方程为y+1＝﹣2（x﹣0），
即2x+y+1＝0．
故答案为：2x+y+1＝0．
【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，关键是熟记基本初等函数的导函数，是基础题．
14．（5分）（2022 甘肃模拟）已知单位向量的夹角为60°，，若，则实数λ＝ ．
【考点】平面向量数量积的性质及其运算．
【专题】计算题；方程思想；转化思想；综合法；平面向量及应用；数学运算．
【分析】根据题意，向量垂直的判断方法可得 0，结合数量积的计算公式可得关于λ的方程，解可得答案．
【解答】解：根据题意，单位向量的夹角为60°，则，
又由，若，则有 （λ） （3）2﹣3λ2+（λ﹣3）0，
变形可得：1﹣3λ（λ﹣3）＝0，解可得λ；
故答案为：．
【点评】本题考查向量数量积的计算，涉及向量垂直的判断，属于基础题．
15．（5分）（2022 济南模拟）已知椭圆C1：1的焦点分别为F1，F2，且F2是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，若P是C1与C2的交点，且|PF1|＝7，则cos∠PF1F2的值为 ．
【考点】椭圆的性质．
【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】利用椭圆定义求出|PF2|，再借助抛物线的定义结合几何图形计算作答．
【解答】解：依题意，由椭圆定义得|PF1|+|PF2|＝12，而|PF1|＝7，则|PF2|＝5，
因为点F2是抛物线C2：y2＝2px（p＞0）的焦点，则该抛物线的准线过点F1，如图，
过点P作PQ⊥l于点Q，由抛物线定义知|PQ|＝|PF2|＝5，而F1F2∥PQ，
则∠PF1F2＝∠F1PQ，所以cos∠PF1F2＝sin∠F1PQ，
故答案为：．
【点评】本题主要考查椭圆与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．
16．（5分）（2022 湖北模拟）已知函数，有三个不同的零点x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则m（x1+2x2+x3）的范围是 [，） ．
【考点】正弦函数的图象．
【专题】数形结合；数形结合法；三角函数的图象与性质；数学运算．
【分析】令z＝2x，将函数f（x）＝2sin（2x）﹣m的零点问题，转化为函数y＝sinz，z∈[，]的图象与直线y的交点横坐标问题进行研究，根据正弦函数的图象的对称性、结合图象和正弦函数的最大值，得到m的取值范围，可得m（x1+2x2+x3）的范围．
【解答】解：函数，有三个不同的零点x1，
x2，x3，且x1＜x2＜x3，
令z＝2x，将函数f（x）＝2sin（2x）﹣m的零点问题，
转化为函数y＝sinz，z∈[，]的图象与直线y的交点横坐标问题进行研究．
如图所示，
由y＝sinz的图象对称性可知，z1+z2＝π，z2+z3＝3π，
所以，z1+2z2+z3＝4π，
又∵z1+2z2+z3＝2x14x22x32（x1+2x2+x3）4π，
∴x1+2x2+x3，
由图象可知，∈[，1），所以，m∈[1，2），
所以，m（x1+2x2+x3）∈[，），
故答案为：[，）．
【点评】本题考查了函数的零点与方程的根的关系，用到了数形结合的思想，属于中档题．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共60分。
17．（12分）（2022 兰州模拟）自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准．如表是初中八年级A学科的判断标准．
日均作业时间（分钟）） [0，4） [4，8） [8，12） [12，16） 不低于16分钟
判断标准 过少 较少 适中 较多 过多
之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本，得到A学科日均作业时间的频数分布表见表．
日均作业时间（分钟）） [4，8） [8，12） [12，16） [16，20） [20，24]
学校数 2 3 10 10 5
（1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）；
（2）针对初期调查所反映的情况，该市进行了A学科教师全员培训，指导教师对作业设计进行优化，之后教科研部门又随机抽取30所初中学校进行了调查，获得了如表数据．
日均作业时间（分钟）） [4，8） [8，12） [12，16） [16，20） [20，24]
学校数 5 10 8 5 2
若A学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，填写列联表，判断是否有99%的把握认为作业是否超量与培训有关．
作业未超量 作业超量
未培训
培训
附：．
P（K2≥k） 0.050 0.010 0.001
k 3.841 6.635 10.828
【考点】独立性检验．
【专题】应用题；对应思想；数学模型法；定义法；概率与统计；数据分析．
【分析】（1）根据已知条件，结合表中数据，以及平均数公式，即可求解．
（2）根据题意填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论．
【解答】解：（1）由表中数据可得，该市初中八年级学生完成A学科作业的日平均时间为
15.7．
（2）根据题意填写列联表为：
作业未超量 作业超量 合计
未培训 5 25 30
培训 15 15 30
合计 20 40 60
计算K27.5＞6.635，
所以有99%的把握认为作业是否超量与培训有关．
【点评】本题考查了列联表与独立性检验应用问题，也考查了平均数计算问题，是基础题．
18．（12分）（2022 沧州模拟）已知数列{an}满足a1＝2，前n项的和Sn，且an+1+an＝3×2n．
（1）写出a2，a3，并求出数列{an}的通项公式；
（2）在①bn＝log2（anan+1+λ）；②bn＝log2（Sn+λ）这两个条件中任选一个补充在下面横线中，并加以解答．若数列{bn}满足，求实数λ使得数列{bn}是等差数列．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（1）根据数列的递推公式，分类讨论，即可求出数列的通项公式；
（2）若选①可得bn＝log2（22n+1+λ），根据数列{bn}是等差数列，可得2b2＝b1+b3，即可求出；
若选②可得bn＝log2（2n+1﹣2+λ），根据数列{bn}是等差数列，可得2b2＝b1+b3，即可求出．
【解答】解：（1）a1＝2，an+1+an＝3×2n，
则an+1＝﹣an+3×2n，
∴a2＝﹣2+6＝4，a3＝﹣4+3×4＝8，
∵an+1+an＝3×2n，
∴an+2+an+1＝3×2n+1，
两式相减可得an+2﹣an＝3×2n，
当n为奇数时，即n＝2m﹣1时，a3﹣a1＝3×21，a5﹣a3＝3×23，a7﹣a5＝3×25， ，a2m+1﹣a2m﹣1＝3×22m﹣1，
累加可得a2m+1＝3×（21+23+25+ +22m﹣1）+2＝32＝22m+1，
即an＝2n，
当n为偶数时，即b＝2m，a4﹣a2＝3×22，a6﹣a4＝3×24，a8﹣a6＝3×26， ，a2m+2﹣a2m＝3×22m，
累加可得a2m+2＝3×（22+24+26+ +22m）+4＝34＝22m，
即an＝2n，
综上所述an＝2n；
（2）若选①bn＝log2（anan+1+λ）＝log2（22n+1+λ），
∴b1＝log2（23+λ），b2＝log2（25+λ），b3＝log2（27+λ），
∵数列{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1+b3，
∴2log2（25+λ）＝log2（23+λ）+log2（27+λ），
∴（25+λ）2＝（23+λ） （27+λ），
解得λ＝0，
∴当λ＝0时，数列{bn}是等差数列；
若选②∵a1＝2，an＝2n，
∴Sn2n+1﹣2，
∴bn＝log2（Sn+λ）＝log2（2n+1﹣2+λ），
∴b1＝log2（2+λ），b2＝log2（6+λ），b3＝log2（14+λ），
∵数列{bn}是等差数列，
∴2b2＝b1+b3，
∴2log2（6+λ）＝log2（2+λ）+log2（14+λ），
∴（6+λ）2＝（2+λ） （14+λ），
解得λ＝2，
∴当λ＝2时，数列{bn}是等差数列．
【点评】本题考查数列由递推公式求通项方法，考查数学运算能力，属于中档题．
19．（12分）（2021 成都模拟）如图所示，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，侧棱垂直于底面，点E，F分别在棱AA1，CC1上，且满足，，平面BEF与平面ABC的交线为l．
（1）证明：直线l⊥平面BDD1；
（2）已知EF＝2，BD1＝4，设BF与平面BDD1所成的角为θ，求sinθ的取值范围．
【考点】直线与平面所成的角；直线与平面垂直．
【专题】数形结合；转化法；空间位置关系与距离；数学运算．
【分析】（1）根据线面平行，以及线面垂直，求出线面垂直即可；
（2）分别以，的方向为x，y轴的正方向建立空间坐标系，分别求出B，C，F点的坐标，结合平面的法向量求出sinθ的取值范围即可．
【解答】（1）证明：如图示：连接AC与BD交于点O，
由条件可知AE∥CF，且AE＝CF，∴AC∥EF，
∵EF 平面BEF，∴AC∥平面BEF，
∵平面BEF∩平面ABC＝l，故AC∥l，
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形，且侧棱垂直于底面，
故AC⊥BD，AC⊥BB1，又BD∩BB1＝B，故AC⊥平面BDD1，
∴l⊥平面BDD1，
（2）解：如图示：
以O为坐标原点，分别以，的方向为x，y轴的正方向建立空间坐标系，
设BD＝2a，∵BD＜BD1，∴0＜a＜2，
则OB＝a，DD12，
故B（a，0，0），C（0，1，0），F（0，1，），
由（1）可知（0，1，0）是平面BDD1的一个法向量，而（﹣a，1，），
故sinθ＝|cos，|，
当0＜a＜2时，，即sinθ∈（，）．
【点评】本题考查了线面关系，考查线面角问题，考查转化思想，数形结合思想，是难题．
20．（12分）（2021 新邵县模拟）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F，过点F且斜率为的直线与抛物线C交于A，B两点，|AB|＝5．
（1）求抛物线C的标准方程；
（2）过点F的直线l交抛物线C于D，E两点．过D，E分别作抛物线C的切线，两切线交于点M，若直线l与抛物线C的准线交于第四象限的点N，且|MN|＝|DE|，求直线l的方程．
【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的标准方程．
【专题】计算题；分类讨论；转化思想；综合法；导数的综合应用；圆锥曲线的定义、性质与方程；数学运算．
【分析】（1）求出抛物线的焦点，写出直线AB的方程x＝2y﹣p，设A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线AB与抛物线的方程：，利用韦达定理以及弦长公式，求解p，得到抛物线方程．
（2）设直线l的方程为x＝m（y﹣1），代入抛物线的方程x2＝4y得，m2y2﹣2（m2+2）y+m2＝0，设D（x3，y3），E（x4，y4），利用韦达定理以及弦长公式，推出，通过抛物线方程，利用函数的导数，求解切线方程，推出M坐标N的坐标，利用|MN|＝|DE|，求出m，结合直线l与准线交于第四象限的点N，推出结果即可．
【解答】解：（1）由抛物线的方程可得焦点，
由题意可得直线AB的方程为：，即x＝2y﹣p，
设A（x1，y1），B（x2，y2），
联立直线AB与抛物线的方程：，
整理可得4y2﹣6py+p2＝0（2分），，
由抛物线的性质可得，解得p＝2，
所以抛物线的方程为：x2＝4y．
（2）易知直线l的斜率存在且不为零，又由（1）知F（0，1），
故可设直线l的方程为x＝m（y﹣1），代入抛物线的方程x2＝4y得，m2y2﹣2（m2+2）y+m2＝0，
设D（x3，y3），E（x4，y4），则，y3y4＝1，，x3x4＝﹣4，
∴，
由抛物线x2＝4y得，则，
所以抛物线在D（x3，y3），E（x4，y4）两点处的切线的斜率分别为，，
故两切线的方程分别为y﹣y3，y﹣y4，
即y3y＝2（x3+x），y4y＝2（x4+x），
解得两切线的交点为M（，），即M（，﹣1），
又准线的方程为x＝﹣1，由，得N（﹣2m，﹣1），
则|MN|＝2|m|，
由|MN|＝|DE|，得，得m＝±2，
因为直线l与准线交于第四象限的点N，
故有m＝﹣2，
从而直线l的方程为．x＝﹣2（y﹣1），即x+2y﹣2＝0．
【点评】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，函数的导数的应用，切线方程的求法，抛物线的方程的求法以及简单性质的应用，是难题．
21．（12分）（2022 泸州模拟）已知函数f（x）＝ln（x+1）﹣ax．
（Ⅰ）若f（x）在[0，+∞）上是减函数，求实数a的最小值；
（Ⅱ）若f（x）≤a2ex﹣a﹣ax（a＞0）恒成立，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
【专题】函数思想；转化思想；构造法；转化法；等差数列与等比数列；数学运算．
【分析】（Ⅰ）根据题意可知f'（x）≤0在[0，+∞）恒成立，参变分离可求a的最小值；
（Ⅱ）f（x）≤a2ex﹣a﹣ax（a＞0）等价于ln（x+1）+a≤a2ex，∵不等式在x≥﹣1时恒成立，故当x＝0时也恒成立，据此即可求得a≥1．然后在证明当a 1时，不等式ln（x+1）+a≤a2ex恒成立即可．证明不等式恒成立时，可利用当x＞﹣1时，ln（x+1）≤x对不等式进行放缩化简．
【解答】解：（Ⅰ）∵，
若f（x）在[0，+∞）上是减函数，则f'（x）0在[0，+∞）恒成立，
即，即 对x 0恒成立，
∵x 0，∴，因此实数a的最小值为1；
（Ⅱ）∵x＞﹣1，∴f（x）≤a2ex﹣a﹣ax（a＞0）等价于ln（x+1）+a≤a2ex，
∵x＝0时，a≤a2，∴a 1，
下面证明当a 1时，不等式ln（x+1）+a≤a2ex恒成立，
先证明当x＞﹣1时，ln（x+1）≤x，
由（1）知，当a＝1时，f（x）在（﹣1，0）上单增，在[0，+∞）上单减，
∴f（x）≤f（0）＝0，∴当x＞﹣1时，ln（x+1）≤x，
要证明ln（x+1）+a≤a2ex，只需证明对任意的x∈（﹣1，+∞），a2ex﹣x﹣a≥0恒成立，
令g（x）＝a2ex﹣x﹣a，则g'（x）＝a2ex﹣1，
令g'（x）＝a2ex﹣1＝0，得x＝﹣2lna≤0，
当﹣2lna≤﹣1，即时，g'（x）≥0，∴g（x）单调递增，
于是，
当﹣2lna＞﹣1，即时，g（x）在（﹣1，﹣2lna）上单减，在（﹣2lna，+∞）单调递增，
∴，
令h（a）＝2lna﹣a+1，则，
∴h（a）在单调递增，
于是h（a）≥h（1）＝0，即h（a）≥0，
∴g（x）≥0恒成立，
∴a 1，不等式a2ex﹣x﹣a≥0恒成立，
因此当a 1时，不等式ln（x+1）+a≤a2ex恒成立，
即a取的值范围是[1，+∞）．
【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性，不等式恒成立问题，考查了转化思想和函数思想，属中档题．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
22．（10分）（2022 山西二模）在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点、x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2（1+3sin2θ）＝16，曲线C1的极坐标方程为2ρcosθ+3ρsinθ＝20．
（1）求曲线C和C1的直角坐标方程，并分别说明表示什么曲线；
（2）若点A为曲线C上的动点，点B为曲线C1上的动点，点M为P（﹣4，4）和A的中点，求|MB|的最小值．
【考点】简单曲线的极坐标方程．
【专题】计算题；转化思想；综合法；三角函数的求值；三角函数的图象与性质；坐标系和参数方程；逻辑推理；数学运算．
【分析】（1）首先利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；
（2）利用点到直线的距离公式的和三角函数关系式的变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．
【解答】解：（1）由ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
得ρ2（1+3sin2θ）＝ρ2+3ρ2sin2θ＝16，所以x2+y2+3y2＝16，即；
所以曲线C为焦点在x轴上的椭圆．
由2ρcosθ+3ρsinθ＝20，得2x+3y＝20，所以曲线C1是一条直线．
（2）曲线C的参数方程为（α为参数），设A（4cosα，2sinα）．
又点M为P（﹣4，4）和A的中点，
所以M（﹣2+2cosα，2+sinα）．
对于每一个确定的点M，M到直线C1：2x+3y﹣20＝0的距离d≤|MB|，
又，，
所以当时，d取得最小值，故|MB|的最小值为．
【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线距离公式的应用，三角函数关系式的变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．
[选修4-5：不等式选讲]（10分）
23．（10分）（2022 赣州一模）已知f（x）＝|x﹣1|+2|ax+1|（a＞0）．
（1）当a＝1时，求不等式f（x）＞5的解集；
（2）若f（x）＞3x2的解集包含[0，1]，求a的取值范围．
【考点】绝对值不等式的解法．
【专题】转化思想；转化法；不等式的解法及应用；数学运算．
【分析】（1）代入a的值，通过讨论a的范围，求出不等式的解集即可；
（2）问题转化为2|ax+1|＞3x2+x﹣1，令g（x）＝3x2+x﹣1，求出g（x）的最大值，求出a的取值范围即可．
【解答】解：（1）a＝1时，f（x）＝|x﹣1|+2|x+1|，
∴f（x），
当x≥1时，f（x）＝3x+1＞5，解得x，
当﹣1＜x＜1时，f（x）＝x+3＞5，解得x＞2，无解，
当x≤﹣1时，f（x）＝﹣3x﹣1＞5，解得x＜﹣2，故x＜﹣2，
综上，不等式的解集是{x|x＜﹣2或x}；
（2）f（x）＞3x2的解集包含[0，1]，
故f（x）＞3x2在[0，1]上恒成立，
当x∈[0，1]时，f（x）＝1﹣x+2|ax+1|＞3x2，
故2|ax+1|＞3x2+x﹣1，
令g（x）＝3x2+x﹣1，
x∈[0，1]时，g（x）max＝g（1）＝3，
故2|ax+1|＞3，
故ax，
∵x∈[0，1]，
∴a×1，
∴a的取值范围是（，）．
【点评】本题考查了解绝对值不等式问题，考查转化思想，是中档题．
考点卡片
1．交集及其运算
【知识点的认识】
由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合叫做A与B的交集，记作A∩B．
符号语言：A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}．
A∩B实际理解为：x是A且是B中的相同的所有元素．
当两个集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不能说两个集合没有交集．
运算形状：
①A∩B＝B∩A．②A∩ ＝ ．③A∩A＝A．④A∩B A，A∩B B．⑤A∩B＝A A B．⑥A∩B＝ ，两个集合没有相同元素．⑦A∩（ UA）＝ ．⑧ U（A∩B）＝（ UA）∪（ UB）．
【解题方法点拨】解答交集问题，需要注意交集中：“且”与“所有”的理解．不能把“或”与“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②无限集用数轴、韦恩图．
【命题方向】掌握交集的表示法，会求两个集合的交集．
命题通常以选择题、填空题为主，也可以与函数的定义域，值域，函数的单调性、复合函数的单调性等联合命题．
2．充分条件、必要条件、充要条件
【知识点的认识】
1、判断：当命题“若p则q”为真时，可表示为p q，称p为q的充分条件，q是p的必要条件．事实上，与“p q”等价的逆否命题是“￢q ￢p”．它的意义是：若q不成立，则p一定不成立．这就是说，q对于p是必不可少的，所以说q是p的必要条件．例如：p：x＞2；q：x＞0．显然x∈p，则x∈q．等价于x q，则x p一定成立．
2、充要条件：如果既有“p q”，又有“q p”，则称条件p是q成立的充要条件，或称条件q是p成立的充要条件，记作“p q”．p与q互为充要条件．
【解题方法点拨】
充要条件的解题的思想方法中转化思想的依据；解题中必须涉及两个方面，充分条件与必要条件，缺一不可．证明题目需要证明充分性与必要性，实际上，充分性理解为充分条件，必要性理解为必要条件，学生答题时往往混淆二者的关系．判断题目可以常用转化思想、反例、特殊值等方法解答即可．
判断充要条件的方法是：
①若p q为真命题且q p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；
②若p q为假命题且q p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；
③若p q为真命题且q p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；
④若p q为假命题且q p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．
⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．
【命题方向】
充要条件是学生学习知识开始，或者没有上学就能应用的，只不过没有明确定义，因而几乎年年必考内容，多以小题为主，有时也会以大题形式出现，中学阶段的知识点都相关，所以命题的范围特别广．
3．函数奇偶性的性质与判断
【知识点的认识】
①如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝﹣f（x），那么函数f（x）就叫做奇函数，其图象特点是关于（0，0）对称．②如果函数f（x）的定义域关于原点对称，且定义域内任意一个x，都有f（﹣x）＝f（x），那么函数f（x）就叫做偶函数，其图象特点是关于y轴对称．
【解题方法点拨】
①奇函数：如果函数定义域包括原点，那么运用f（0）＝0解相关的未知量；
②奇函数：若定义域不包括原点，那么运用f（x）＝﹣f（﹣x）解相关参数；
③偶函数：在定义域内一般是用f（x）＝f（﹣x）这个去求解；
④对于奇函数，定义域关于原点对称的部分其单调性一致，而偶函数的单调性相反．
例题：函数y＝x|x|+px，x∈R是（ ）
A．偶函数 B．奇函数 C．非奇非偶 D．与p有关
解：由题设知f（x）的定义域为R，关于原点对称．
因为f（﹣x）＝﹣x|﹣x|﹣px＝﹣x|x|﹣px＝﹣f（x），
所以f（x）是奇函数．
故选B．
【命题方向】函数奇偶性的应用．
本知识点是高考的高频率考点，大家要熟悉就函数的性质，最好是结合其图象一起分析，确保答题的正确率．
4．函数的值
【知识点的认识】
函数不等同于方程，严格来说函数的值应该说成是函数的值域．函数的值域和定义域一样，都是常考点，也是易得分的点．其概念为在某一个定义域内因变量的取值范围．
【解题方法点拨】
求函数值域的方法比较多，常用的方法有一下几种：
①基本不等式法：如当x＞0时，求2x的最小值，有2x28；
②转化法：如求|x﹣5|+|x﹣3|的最小值，那么可以看成是数轴上的点到x＝5和x＝3的距离之和，易知最小值为2；
③求导法：通过求导判断函数的单调性进而求出极值，再结合端点的值最后进行比较
例题：求f（x）＝lnx﹣x在（0，+∞）的值域
解：f′（x）1
∴易知函数在（0，1]单调递增，（1，+∞）单调递减
∴最大值为：ln1﹣1＝﹣1，无最小值；
故值域为（﹣∞，﹣1）
【命题方向】
函数的值域如果是单独考的话，主要是在选择题填空题里面出现，这类题难度小，方法集中，希望同学们引起高度重视，而大题目前的趋势主要还是以恒成立的问题为主．
5．根据实际问题选择函数类型
【知识点的知识】
1．实际问题的函数刻画
在现实世界里，事物之间存在着广泛的联系，许多联系可以用函数刻画．用函数的观点看实际问题，是学习函数的重要内容．
2．用函数模型解决实际问题
（1）数据拟合：
通过一些数据寻求事物规律，往往是通过绘出这些数据在直角坐标系中的点，观察这些点的整体特征，看它们接近我们熟悉的哪一种函数图象，选定函数形式后，将一些数据代入这个函数的一般表达式，求出具体的函数表达式，再做必要的检验，基本符合实际，就可以确定这个函数基本反映了事物规律，这种方法称为数据拟合．
（2）常用到的五种函数模型：
①直线模型：一次函数模型y＝kx+b（k≠0），图象增长特点是直线式上升（x的系数k＞0），通过图象可以直观地认识它，特例是正比例函数模型y＝kx（k＞0）．
②反比例函数模型：y（k＞0）型，增长特点是y随x的增大而减小．
③指数函数模型：y＝a bx+c（b＞0，且b≠1，a≠0），其增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越快（底数b＞1，a＞0），常形象地称为指数爆炸．
④对数函数模型，即y＝mlogax+n（a＞0，a≠1，m≠0）型，增长特点是随着自变量的增大，函数值增大越来越慢（底数a＞1，m＞0）．
⑤幂函数模型，即y＝a xn+b（a≠0）型，其中最常见的是二次函数模型：y＝ax2+bx+c（a≠0），其特点是随着自变量的增大，函数值先减小后增大（a＞0）．
在以上几种函数模型的选择与建立时，要注意函数图象的直观运用，分析图象特点，分析变量x的范围，同时还要与实际问题结合，如取整等．
3．函数建模
（1）定义：用数学思想、方法、知识解决实际问题的过程，叫作数学建模．
（2）过程：如下图所示．
【典型例题分析】
典例1：某公司为了实现1000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员的奖励方案：销售利润达到10万元时，按销售利润进行奖励，且奖金数额y（单位：万元）随销售利润x（单位：万元）的增加而增加，但奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中模型能符合公司的要求的是（参考数据：1.003600≈6，1n7≈1.945，1n102≈2.302）（ ）
A．y＝0.025x B．y＝1.003xC．y＝l+log7x D．yx2
分析：由题意，符合公司要求的模型只需满足：当x∈[10，1000]时，①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%，然后一一验证即可．
解答：解：由题意，符合公司要求的模型只需满足：
当x∈[10，1000]时，
①函数为增函数；②函数的最大值不超过5；③y≤x 25%x，
A中，函数y＝0.025x，易知满足①，但当x＞200时，y＞5不满足公司要求；
B中，函数y＝1.003x，易知满足①，但当x＞600时，y＞5不满足公司要求；
C中，函数y＝l+log7x，易知满足①，当x＝1000时，y取最大值l+log71000＝4﹣lg7＜5，且l+log7xx恒成立，故满足公司要求；
D中，函数yx2，易知满足①，当x＝400时，y＞5不满足公司要求；
故选C
点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查方案的优化设计，解题的关键是一一验证．
典例2：某服装生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2015年度进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，服装的年销量x万件与年促销t万元之间满足关系式3﹣x（k为常数），如果不搞促销活动，服装的年销量只能是1万件．已知2015年生产服装的设备折旧，维修等固定费用需要3万元，每生产1万件服装需再投入32万元的生产费用，若将每件服装的售价定为：“每件生产成本的150%”与“平均每件促销费的一半”之和，试求：
（1）2015年的利润y（万元）关于促销费t （万元）的函数；
（2）该企业2015年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
（注：利润＝销售收入﹣生产成本﹣促销费，生产成本＝固定费用+生产费用）
分析：（1）通过x表示出年利润y，并化简整理，代入整理即可求出y万元表示为促销费t万元的函数．
（2）根据已知代入（2）的函数，分别进行化简即可用基本不等式求出最值，即促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
解答：解：（1）由题意：3﹣x，
且当t＝0时，x＝1．
所以k＝2，所以3﹣x，…（1分）
生产成本为 32x+3，每件售价，…（2分）
所以，y（3分）
＝16x，（t≥50）；…（2分）
（2）因为 当且仅当，即t＝7时取等号，…（4分）
所以y≤50﹣8＝42，…（1分）
答：促销费投入7万元时，企业的年利润最大．…（1分）
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，看出基本不等式在求最值中的应用，考查学生分析问题和解决问题的能力，强调对知识的理解和熟练运用，考查转化思想的应用．
【解题方法点拨】
用函数模型解决实际问题的常见类型及解法：
（1）解函数关系已知的应用题
①确定函数关系式y＝f（x）中的参数，求出具体的函数解析式y＝f（x）；②讨论x与y的对应关系，针对具体的函数去讨论与题目有关的问题；③给出实际问题的解，即根据在函数关系的讨论中所获得的理论参数值给出答案．
（2）解函数关系未知的应用题
①阅读理解题意
看一看可以用什么样的函数模型，初步拟定函数类型；
②抽象函数模型
在理解问题的基础上，把实际问题抽象为函数模型；
③研究函数模型的性质
根据函数模型，结合题目的要求，讨论函数模型的有关性质，获得函数模型的解；
④得出问题的结论
根据函数模型的解，结合实际问题的实际意义和题目的要求，给出实际问题的解．
6．利用导数研究函数的单调性
【知识点的知识】
1、导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）＞0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）＞0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间；
（2）若f′（x）＜0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）＜0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间．
2、利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
（1）确定f（x）的定义域；
（2）计算导数f′（x）；
（3）求出f′（x）＝0的根；
（4）用f′（x）＝0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）＞0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）＜0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间．
【典型例题分析】
题型一：导数和函数单调性的关系
典例1：已知函数f（x）的定义域为R，f（﹣1）＝2，对任意x∈R，f′（x）＞2，则f（x）＞2x+4的解集为（ ）
A．（﹣1，1）B．（﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，+∞）
解：f（x）＞2x+4，
即f（x）﹣2x﹣4＞0，
设g（x）＝f（x）﹣2x﹣4，
则g′（x）＝f′（x）﹣2，
∵对任意x∈R，f′（x）＞2，
∴对任意x∈R，g′（x）＞0，
即函数g（x）单调递增，
∵f（﹣1）＝2，
∴g（﹣1）＝f（﹣1）+2﹣4＝4﹣4＝0，
则由g（x）＞g（﹣1）＝0得
x＞﹣1，
即f（x）＞2x+4的解集为（﹣1，+∞），
故选：B
题型二：导数和函数单调性的综合应用
典例2：已知函数f（x）＝alnx﹣ax﹣3（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数y＝f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线的倾斜角为45°，对于任意的t∈[1，2]，函数在区间（t，3）上总不是单调函数，求m的取值范围；
（Ⅲ）求证：．
解：（Ⅰ）（2分）
当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，减区间为[1，+∞）；
当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），减区间为（0，1]；
当a＝0时，f（x）不是单调函数（4分）
（Ⅱ）得a＝﹣2，f（x）＝﹣2lnx+2x﹣3
∴，
∴g'（x）＝3x2+（m+4）x﹣2（6分）
∵g（x）在区间（t，3）上总不是单调函数，且g′（0）＝﹣2
∴
由题意知：对于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
所以有：，∴（10分）
（Ⅲ）令a＝﹣1此时f（x）＝﹣lnx+x﹣3，所以f（1）＝﹣2，
由（Ⅰ）知f（x）＝﹣lnx+x﹣3在（1，+∞）上单调递增，
∴当x∈（1，+∞）时f（x）＞f（1），即﹣lnx+x﹣1＞0，
∴lnx＜x﹣1对一切x∈（1，+∞）成立，（12分）
∵n≥2，n∈N*，则有0＜lnn＜n﹣1，
∴
∴
【解题方法点拨】
若在某区间上有有限个点使f′（x）＝0，在其余的点恒有f′（x）＞0，则f（x）仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′（x）＞0是f（x）在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件．
7．利用导数研究函数的最值
【利用导数求函数的最大值与最小值】
1、函数的最大值和最小值
观察图中一个定义在闭区间[a，b]上的函数f（x）的图象．图中f（x1）与f（x3）是极小值，f（x2）是极大值．函数f（x）在[a，b]上的最大值是f（b），最小值是f（x1）．
一般地，在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值．
说明：（1）在开区间（a，b）内连续的函数f（x）不一定有最大值与最小值．如函数f（x）在（0，+∞）内连续，但没有最大值与最小值；
（2）函数的最值是比较整个定义域内的函数值得出的；函数的极值是比较极值点附近函数值得出的．
（3）函数f（x）在闭区间[a，b]上连续，是f（x）在闭区间[a，b]上有最大值与最小值的充分条件而非必要条件．
（4）函数在其定义区间上的最大值、最小值最多各有一个，而函数的极值可能不止一个，也可能没有一个
2、用导数求函数的最值步骤：
由上面函数f（x）的图象可以看出，只要把连续函数所有的极值与定义区间端点的函数值进行比较，就可以得出函数的最值了．
设函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则求f（x）在[a，b]上的最大值与最小值的步骤如下：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值；
（2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值．
【解题方法点拨】
在理解极值概念时要注意以下几点：
（1）按定义，极值点x0是区间[a，b]内部的点，不会是端点a，b（因为在端点不可导）．
（2）极值是一个局部性概念，只要在一个小领域内成立即可．要注意极值必须在区间内的连续点取得．一个函数在定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值也可能大于另一个点的极大值，也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系，即极大值不一定比极小值大，极小值不一定比极大值小．
（3）若f（x）在（a，b）内有极值，那么f（x）在（a，b）内绝不是单调函数，即在区间上单调的函数没有极值．
（4）若函数f（x）在[a，b]上有极值且连续，则它的极值点的分布是有规律的，相邻两个极大值点之间必有一个极小值点，同样相邻两个极小值点之间必有一个极大值点，一般地，当函数f（x）在[a，b]上连续且有有限个极值点时，函数f（x）在[a，b]内的极大值点、极小值点是交替出现的，
（5）可导函数的极值点必须是导数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点，不可导的点也可能是极值点，也可能不是极值点．
8．利用导数研究曲线上某点切线方程
【考点描述】
利用导数来求曲线某点的切线方程是高考中的一个常考点，它既可以考查学生求导能力，也考察了学生对导数意义的理解，还考察直线方程的求法，因为包含了几个比较重要的基本点，所以在高考出题时备受青睐．我们在解答这类题的时候关键找好两点，第一找到切线的斜率；第二告诉的这点其实也就是直线上的一个点，在知道斜率的情况下可以用点斜式把直线方程求出来．
【实例解析】
例：已知函数y＝xlnx，求这个函数的图象在点x＝1处的切线方程．
解：k＝y'|x＝1＝ln1+1＝1
又当x＝1时，y＝0，所以切点为（1，0）
∴切线方程为y﹣0＝1×（x﹣1），
即y＝x﹣1．
我们通过这个例题发现，第一步确定切点；第二步求斜率，即求曲线上该点的导数；第三步利用点斜式求出直线方程．这种题的原则基本上就这样，希望大家灵活应用，认真总结．
9．数列递推式
【知识点的知识】
1、递推公式定义：如果已知数列{an}的第1项（或前几项），且任一项an与它的前一项an﹣1（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．
2、数列前n项和Sn与通项an的关系式：an．
在数列{an}中，前n项和Sn与通项公式an的关系，是本讲内容一个重点，要认真掌握．
注意：（1）用an＝Sn﹣Sn﹣1求数列的通项公式时，你注意到此等式成立的条件了吗？（n≥2，当n＝1时，a1＝S1）；若a1适合由an的表达式，则an不必表达成分段形式，可化统一为一个式子．
（2）一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式an＝Sn﹣Sn﹣1，先将已知条件转化为只含an或Sn的关系式，然后再求解．
3、数列的通项的求法：
（1）公式法：①等差数列通项公式；②等比数列通项公式．
（2）已知Sn（即a1+a2+…+an＝f（n））求an，用作差法：an．一般地当已知条件中含有an与Sn的混合关系时，常需运用关系式，先将已知条件转化为只含 或 的关系式，然后再求解．
（3）已知a1 a2…an＝f（n）求an，用作商法：an，．
（4）若an+1﹣an＝f（n）求an，用累加法：an＝（an﹣an﹣1）+（an﹣1﹣an﹣2）+…+（a2﹣a1）+a1（n≥2）．
（5）已知f（n）求an，用累乘法：an（n≥2）．
（6）已知递推关系求an，有时也可以用构造法（构造等差、等比数列）．特别地有，
①形如an＝kan﹣1+b、an＝kan﹣1+bn（k，b为常数）的递推数列都可以用待定系数法转化为公比为k的等比数列后，再求an．
②形如an的递推数列都可以用倒数法求通项．
（7）求通项公式，也可以由数列的前几项进行归纳猜想，再利用数学归纳法进行证明．
10．平面向量数量积的性质及其运算
【知识点的知识】
1、平面向量数量积的重要性质：
设，都是非零向量，是与方向相同的单位向量，与和夹角为θ，则：
（1）||cosθ；
（2） 0；（判定两向量垂直的充要条件）
（3）当，方向相同时，||||；当，方向相反时，||||；
特别地：||2或||（用于计算向量的模）
（4）cosθ（用于计算向量的夹角，以及判断三角形的形状）
（5）||≤||||
2、平面向量数量积的运算律
（1）交换律：；
（2）数乘向量的结合律：（λ） λ（） （）；
（3）分配律：（） （）
【平面向量数量积的运算】
平面向量数量积运算的一般定理为①（±）22±2 2．②（）（）22．③ （ ）≠（ ） ，从这里可以看出它的运算法则和数的运算法则有些是相同的，有些不一样．
【例题解析】
例：由代数式的乘法法则类比推导向量的数量积的运算法则：
①“mn＝nm”类比得到“”
②“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；
③“t≠0，mt＝nt m＝n”类比得到“ ”；
④“|m n|＝|m| |n|”类比得到“||＝|| ||”；
⑤“（m n）t＝m（n t）”类比得到“（） ”；
⑥“”类比得到．以上的式子中，类比得到的结论正确的是 ①② ．
解：∵向量的数量积满足交换律，
∴“mn＝nm”类比得到“”，
即①正确；
∵向量的数量积满足分配律，
∴“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”，
即②正确；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”，
即③错误；
∵||≠|| ||，
∴“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；
即④错误；
∵向量的数量积不满足结合律，
∴“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”，
即⑤错误；
∵向量的数量积不满足消元律，
∴”不能类比得到，
即⑥错误．
故答案为：①②．
向量的数量积满足交换律，由“mn＝nm”类比得到“”；向量的数量积满足分配律，故“（m+n）t＝mt+nt”类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故“t≠0，mt＝nt m＝n”不能类比得到“ ”；||≠|| ||，故“|m n|＝|m| |n|”不能类比得到“||＝|| ||”；向量的数量积不满足结合律，故“（m n）t＝m（n t）”不能类比得到“（） ”；向量的数量积不满足消元律，故”不能类比得到．
【考点分析】
本知识点应该所有考生都要掌握，这个知识点和三角函数联系比较多，也是一个常考点，题目相对来说也不难，所以是拿分的考点，希望大家都掌握．
11．复数的运算
复数的加、减、乘、除运算法则
12．频率分布直方图
【知识点的认识】
1．频率分布直方图：在直角坐标系中，横轴表示样本数据，纵轴表示频率与组距的比值，将频率分布表中的各组频率的大小用相应矩形面积的大小来表示，由此画成的统计图叫做频率分布直方图．
2．频率分布直方图的特征
①图中各个长方形的面积等于相应各组的频率的数值，所有小矩形面积和为1．
②从频率分布直方图可以清楚地看出数据分布的总体趋势．
③从频率分布直方图得不出原始的数据内容，把数据表示成直方图后，原有的具体数据信息被抹掉．
3．频率分布直方图求数据
①众数：频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．
②平均数：频率分布直方图各个小矩形的面积乘底边中点的横坐标之和．
③中位数：把频率分布直方图分成两个面积相等部分的平行于y轴的直线横坐标．
【解题方法点拨】
绘制频率分布直方图的步骤：
13．独立性检验
【知识点的知识】
1、分类变量：
如果某种变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这样的变量称为分类变量．
2、原理：假设性检验（类似反证法原理）．
一般情况下：假设分类变量X和Y之间没有关系，通过计算K2值，然后查表对照相应的概率P，发现这种假设正确的概率P很小，从而推翻假设，最后得出X和Y之间有关系的可能性为（1﹣P），也就是“X和Y有关系”．（表中的k就是K2的观测值，即k＝K2）．
其中n＝a+b+c+d（考试给出）
3、2×2列联表：
4、范围：K2∈（0，+∞）；性质：K2越大，说明变量间越有关系．
5、解题步骤：
（1）认真读题，取出相关数据，作出2×2列联表；
（2）根据2×2列联表中的数据，计算K2的观测值k；
（3）通过观测值k与临界值k0比较，得出事件有关的可能性大小．
14．古典概型及其概率计算公式
【考点归纳】
1．定义：如果一个试验具有下列特征：
（1）有限性：每次试验可能出现的结果（即基本事件）只有有限个；
（2）等可能性：每次试验中，各基本事件的发生都是等可能的．
则称这种随机试验的概率模型为古典概型．
*古典概型由于满足基本事件的有限性和基本事件发生的等可能性这两个重要特征，所以求事件的概率就可以不通过大量的重复试验，而只要通过对一次试验中可能出现的结果进行分析和计算即可．
2．古典概率的计算公式
如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是；
如果某个事件A包含的结果有m个，那么事件A的概率为P（A）．
【解题技巧】
1．注意要点：解决古典概型的问题的关键是：分清基本事件个数n与事件A中所包含的基本事件数．
因此要注意清楚以下三个方面：
（1）本试验是否具有等可能性；
（2）本试验的基本事件有多少个；
（3）事件A是什么．
2．解题实现步骤：
（1）仔细阅读题目，弄清题目的背景材料，加深理解题意；
（2）判断本试验的结果是否为等可能事件，设出所求事件A；
（3）分别求出基本事件的个数n与所求事件A中所包含的基本事件个数m；
（4）利用公式P（A）求出事件A的概率．
3．解题方法技巧：
（1）利用对立事件、加法公式求古典概型的概率
（2）利用分析法求解古典概型．
15．同角三角函数间的基本关系
【知识点的认识】
1．同角三角函数的基本关系
（1）平方关系：sin2α+cos2α＝1．
（2）商数关系：tanα．
2．诱导公式
公式一：sin（α+2kπ）＝sin α，cos（α+2kπ）＝cos_α，其中k∈Z．
公式二：sin（π+α）＝﹣sin_α，cos（π+α）＝﹣cos_α，tan（π+α）＝tan α．
公式三：sin（﹣α）＝﹣sin_α，cos（﹣α）＝cos_α．
公式四：sin（π﹣α）＝sin α，cos（π﹣α）＝﹣cos_α．
公式五：sin（α）＝cosα，cos（α）＝sinα．
公式六：sin（α）＝cosα，cos（α）＝﹣sinα
3．两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）C（α﹣β）：cos （α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ；
（2）C（α+β）：cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ；
（3）S（α+β）：sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ；
（4）S（α﹣β）：sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ；
（5）T（α+β）：tan（α+β）．
（6）T（α﹣β）：tan（α﹣β）．
4．二倍角的正弦、余弦、正切公式
（1）S2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
（2）C2α：cos 2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α；
（3）T2α：tan 2α．
【解题方法点拨】
诱导公式记忆口诀：
对于角“±α”（k∈Z）的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”．
16．二倍角的三角函数
【二倍角的三角函数】
二倍角的正弦其实属于正弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：sin2α＝2sinα cosα；其可拓展为1+sin2α＝（sinα+cosα）2．
二倍角的余弦其实属于余弦函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：cos2α＝cos2α﹣sin2α＝2cos2α﹣1＝1﹣2sin2α．
二倍角的正切其实属于正切函数和差化积里面的一个特例，即α＝β的一种特例，其公式为：tan2α．对于这个公式要求是能够正确的运用其求值化简即可．
【例题解析】
例：y＝sin2x+2sinxcosx的周期是 π ．
解：∵y＝sin2x+2sinxcosx
sin2x
＝sin2xcos2x
sin（2x+φ），（tanφ）
∴其周期Tπ．
故答案为：π．
这个简单的例题的第二个式子就是一个二倍角的转换，转换过后又使用了和差化积的相关定理，这也可以看得出三角函数的题一般都涉及到几个公式，而且公式之间具有一定的相似性，所以大家要熟记各种公式．
【考点点评】
本考点也是一个很重要的考点，在高考中考查的也比较多，这里面需要各位同学多加练习，熟记各种公式．
17．正弦函数的图象
【知识点的知识】
正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质
函数 y＝sin x y＝cos x y＝tan x
图象
定义域 R R k∈Z
值域 [﹣1，1] [﹣1，1] R
单调性 递增区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ） （k∈Z） 递增区间： （2kπ﹣π，2kπ） （k∈Z）； 递减区间： （2kπ，2kπ+π） （k∈Z） 递增区间： （kπ，kπ） （k∈Z）
最 值 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ（k∈Z）时， ymin＝﹣1 x＝2kπ（k∈Z）时，ymax＝1； x＝2kπ+π（k∈Z） 时， ymin＝﹣1 无最值
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（kπ，0）（k∈Z） 对称轴：x＝kπ，k∈Z 对称中心：（，0）（k∈Z） 无对称轴
周期 2π 2π π
18．解三角形
【知识点的知识】
1．已知两角和一边（如A、B、C），由A+B+C＝π求C，由正弦定理求a、b．
2．已知两边和夹角（如a、b、c），应用余弦定理求c边；再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A+B+C＝π，求另一角．
3．已知两边和其中一边的对角（如a、b、A），应用正弦定理求B，由A+B+C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c边，要注意解可能有多种情况．
4．已知三边a、b、c，应用余弦定理求A、B，再由A+B+C＝π，求角C．
5．方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达成．正北或正南，北偏东××度，北偏西××度，南偏东××度，南偏西××度．
6．俯角和仰角的概念：
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，视线在水平线下方的角叫俯角．如图中OD、OE是视线，是仰角，是俯角．
7．关于三角形面积问题
①S△ABCahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）；
②S△ABCabsinCbcsinAacsinB；
③S△ABC＝2R2sinAsinBsinC．（R为外接圆半径）
④S△ABC；
⑤S△ABC，（s（a+b+c））；
⑥S△ABC＝r s，（ r为△ABC内切圆的半径）
在解三角形时，常用定理及公式如下表：
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝π ，2A+2B＝2π﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2＝a2+c2﹣2accosB c2＝a2+b2﹣2abcosC cosA cosB cosC
正弦定理 2R R为△ABC的外接圆半径 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC sinA，sinB，sinC
射影定理 acosB+bcosA＝c acosC+ccosA＝b bcosC+ccosB＝a
面积公式 ①S△ahabhbchc ②S△absinCacsinBbcsinA ③S△ ④S△，（s（a+b+c））； ⑤S△（a+b+c）r （r为△ABC内切圆半径） sinA sinB＝ sinC
19．椭圆的性质
【知识点的认识】
1．椭圆的范围
2．椭圆的对称性
3．椭圆的顶点
顶点：椭圆与对称轴的交点叫做椭圆的顶点．
顶点坐标（如上图）：A1（﹣a，0），A2（a，0），B1（0，﹣b），B2（0，b）
其中，线段A1A2，B1B2分别为椭圆的长轴和短轴，它们的长分别等于2a和2b，a和b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长．
4．椭圆的离心率
①离心率：椭圆的焦距与长轴长的比叫做椭圆的离心率，用e表示，即：e，且0＜e＜1．
②离心率的意义：刻画椭圆的扁平程度，如下面两个椭圆的扁平程度不一样：
e越大越接近1，椭圆越扁平，相反，e越小越接近0，椭圆越圆．当且仅当a＝b时，c＝0，椭圆变为圆，方程为x2+y2＝a2．
5．椭圆中的关系：a2＝b2+c2．
20．抛物线的标准方程
【知识点的认识】
抛物线的标准方程的四种种形式：
（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（，0），（p可为正负）
（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，），（p可为正负）
四种形式相同点：形状、大小相同；
四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．
下面以两种形式做简单的介绍：
标准方程 y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上 x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上
图形
顶点 （0，0） （0，0）
对称轴 x轴 焦点在x轴长上 y轴 焦点在y轴长上
焦点 （，0） （0，）
焦距 无 无
离心率 e＝1 e＝1
准线 x y
21．双曲线的性质
【知识点的知识】
双曲线的标准方程及几何性质
标准方程 （a＞0，b＞0） （a＞0，b＞0）
图形
性 质 焦点 F1（﹣c，0），F2（ c，0） F1（0，﹣c），F2（0，c）
焦距 |F1F2|＝2c |F1F2|＝2c
范围 |x|≥a，y∈R |y|≥a，x∈R
对称 关于x轴，y轴和原点对称
顶点 （﹣a，0）．（a，0） （0，﹣a）（0，a）
轴 实轴长2a，虚轴长2b
离心率 e（e＞1）
准线 x＝± y＝±
渐近线 ±0 ±0
22．直线与抛物线的综合
v．
23．简单空间图形的三视图
【知识点认识】
1．三视图：
①正视图：光线自物体的正前方向后投影所得的投影图
②左视图：光线自物体的左侧向右投影所得的投影图
③俯视图：光线自物体的上方向下投影所得的投影图
2．三视图的排放规则：
俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的正右方．
3．三视图的画图规则：
①主、俯视图长对正；主、左视图高平齐；俯、左视图宽相等
②分界线与可见的轮廓线都用实线画出，不可见的轮廓线用虚线画出．
24．棱柱、棱锥、棱台的体积
【知识点的知识】
柱体、锥体、台体的体积公式：
V柱＝sh，V锥Sh．
25．球的体积和表面积
【知识点的认识】
1．球体：在空间中，到定点的距离等于或小于定长的点的集合称为球体，简称球．其中到定点距离等于定长的点的集合为球面．
2．球体的体积公式
设球体的半径为R，
V球体
3．球体的表面积公式
设球体的半径为R，
S球体＝4πR2．
【命题方向】
考查球体的体积和表面积公式的运用，常见结合其他空间几何体进行考查，以增加试题难度，根据题目所给条件得出球体半径是解题关键．
26．直线与平面垂直
【知识点的认识】
直线与平面垂直：
如果一条直线l和一个平面α内的任意一条直线都垂直，那么就说直线l和平面α互相垂直，记作l⊥α，其中l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面．
直线与平面垂直的判定：
（1）定义法：对于直线l和平面α，l⊥α l垂直于α内的任一条直线．
（2）判定定理1：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）判定定理2：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面．
直线与平面垂直的性质：
①定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行．符号表示为：a⊥α，b⊥α a∥b
②由定义可知：a⊥α，b α a⊥b．
27．直线与平面所成的角
【知识点的知识】
1、直线和平面所成的角，应分三种情况：?
（1）直线与平面斜交时，直线和平面所成的角是指此直线和它在平面上的射影所成的锐角；
（2）直线和平面垂直时，直线和平面所成的角的大小为90°；?
（3）直线和平面平行或在平面内时，直线和平面所成的角的大小为0°．?
显然，斜线和平面所成角的范围是（0，）；直线和平面所成的角的范围为[0，]．?
2、一条直线和一个平面斜交，它们所成的角的度量问题（空间问题）是通过斜线在平面内的射影转化为两条相交直线的度量问题（平面问题）来解决的．具体的解题步骤与求异面直线所成的角类似，有如下的环节：?
（1）作﹣﹣作出斜线与射影所成的角；?
（2）证﹣﹣论证所作（或找到的）角就是要求的角；?
（3）算﹣﹣常用解三角形的方法（通常是解由垂线段、斜线段、斜线段的射影所组成的直角三角形）求出角．?
（4）答﹣﹣回答求解问题．
在求直线和平面所成的角时，垂线段是其中最重要的元素，它可起到联系各线段的纽带的作用．在直线与平面所成的角的定义中体现等价转化和分类与整合的数学思想．?
3、斜线和平面所成角的最小性：
斜线和平面所成的角是用两条相交直线所成的锐角来定义的，其中一条直线就是斜线本身，另一条直线是斜线在平面上的射影．在平面内经过斜足的直线有无数条，它们和斜线都组成相交的两条直线，为什么选中射影和斜线这两条相交直线，用它们所成的锐角来定义斜线和平面所成的角呢？原因是斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中，它是最小的角．对于已知的斜线来说这个角是唯一确定的，它的大小反映了斜线关于平面的“倾斜程度”．根据线面所成的角的定义，有结论：斜线和平面所成的角，是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角．
用空间向量直线与平面所成角的求法：
（1）传统求法：可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得．
（2）向量求法：设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线与平面所成的角为θ，与的夹角为φ，则有sinθ＝|cos φ|．
28．简单曲线的极坐标方程
【知识点的认识】
一、曲线的极坐标方程
定义：如果曲线C上的点与方程f（ρ，θ）＝0有如下关系
（1）曲线C上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程f（ρ，θ）＝0；
（2）以方程f（ρ，θ）＝0的所有解为坐标的点都在曲线C上．
则曲线C的方程是f（ρ，θ）＝0．
二、求曲线的极坐标方程的步骤：
与直角坐标系里的情况一样
①建系 （适当的极坐标系）
②设点 （设M（ ρ，θ）为要求方程的曲线上任意一点）
③列等式（构造△，利用三角形边角关系的定理列关于M的等式）
④将等式坐标化
⑤化简 （此方程f（ρ，θ）＝0即为曲线的方程）
三、圆的极坐标方程
（1）圆心在极点，半径为r，ρ＝r．
（2）中心在C（ρ0，θ0），半径为r．
ρ2+ρ02﹣2ρρ0cos（θ﹣θ0）＝r2．
四、直线的极坐标方程
（1）过极点，θ＝θ0（ρ∈R）
（2）过某个定点垂直于极轴，ρcosθ＝a
（3）过某个定点平行于极轴，rsinθ＝a
（4）过某个定点（ρ1，θ1），且与极轴成的角度α，ρsin（α﹣θ）＝ρ1sin（α﹣θ1）
五、直线的极坐标方程步骤
1、据题意画出草图；
2、设点M（ρ，θ）是直线上任意一点；
3、连接MO；
4、根据几何条件建立关于ρ，θ的方程，并化简；
5、检验并确认所得的方程即为所求．
29．绝对值不等式的解法
【知识点的认识】
绝对值不等式的解法
1、绝对值不等式|x|＞a与|x|＜a的解集
不等式 a＞0 a＝0 a＜0
|x|＜a {x|﹣a＜x＜a}
|x|＞a {x|x＞a，或x＜﹣a} {x|x≠0} R
2、|ax+b|≤c（c＞0）和|ax+b|≥c（c＞0）型不等式的解法：
（1）|ax+b|≤c ﹣c≤ax+b≤c；
（2）|ax+b|≥c ax+b≥c或ax+b≤﹣c；
（3）|x﹣a|+|x﹣b|≥c（c＞0）和|x﹣a|+|x﹣b|≤c（c＞0）型不等式的解法：
方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想．
方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；
方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．
【解题方法点拨】
1、解绝对值不等式的基本方法：
（1）利用绝对值的定义，通过分类讨论转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（2）当不等式两端均为正号时，可通过两边平方的方法，转化为解不含绝对值符号的普通不等式；
（3）利用绝对值的几何意义，数形结合求解．
2．解绝对值不等式主要是通过同解变形去掉绝对值符号转化为一元一次和一元二次不等式（组）进行求解．含有多个绝对值符号的不等式，一般可用零点分段法求解，对于形如|x﹣a|+|x﹣b|＞m或|x﹣a|+|x﹣b|＜m （m为正常数），利用实数绝对值的几何意义求解较简便．
3．不等式|x﹣a|+|x﹣b|≥c的解就是数轴上到A（a），B（b）两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点的位置，就可以得出不等式的解．
4．不等式|a|﹣|b|≤|a+b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≥0，左侧“＝”成立的条件是ab≤0且|a|≥|b|；不等式|a|﹣|b|≤|a﹣b|≤|a|+|b|，右侧“＝”成立的条件是ab≤0，左侧“＝”成立的条件是ab≥0且|a|≥|b|．
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